《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§11.8解答

习题11.8

11.8.1证明：我们只需要对定理11.1.13的证明稍加修改. 主要修改有1.把证明中的“区间长度”改为“区间 $\alpha$ 长度”；2.把证明中关键的等式 $|I|=|K|+|I\backslash K|$ 改为 $\alpha[I]=\alpha[K]+\alpha[I\backslash K]$ ，当然后面的等式的成立是需要证明的，但我们从本书博文§11.1文内补充第4点以及本书博文§11.7中小命题1.和小命题3.知此事是容易证明的.(不需要假定函数 $\alpha$ 单调增)

11.8.2叙述：(p.c. Riemann-Stieltjes积分是独立于分法的) 设I是有界区间，并设 $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ 是函数. 设 $\alpha: X\rightarrow\mathbb{R}$ 是定义在某个包含I的区域X上的函数. 假设 $\mathbb{P}, \mathbb{P}'$ 是I的分法，使得f关于 $\mathbb{P}, \mathbb{P}'$ 都是逐段常值的. 那么我们有 $\displaystyle p.c.\int_{[\mathbb{P}]}f\ d\alpha=p.c.\int_{[\mathbb{P}']}f\ d\alpha$ .(不需要假定函数 $\alpha$ 单调增)

证明：仿照本书博文§11.2中习题11.2.3的解答我们可以完成证明.

11.8.3叙述：我们可以仿照定理11.2.16来叙述关于p.c. Riemann-Stieltjes积分的命题(a)-(h).(需要注意的是，如果我们去掉函数 $\alpha$ 单调增的前提条件，定理11.2.16的命题(d)、(e)的p.c. Riemann-Stieltjes积分版本不再成立，其余命题继续成立.)

证明：仿照本书博文§11.2中习题11.2.4的证明易证.

值得注意的是本书博文§11.2中文内补充第4点对p.c. Riemann-Stieltjes积分不再成立. 当假设函数 $\alpha$ 单调增的前提条件下，我们只能得到p.c. Riemann-Stieltjes积分值不小于0；当去掉函数 $\alpha$ 单调增的前提条件，我们对p.c. Riemann-Stieltjes积分值大小没有任何断论. 但是如果我们假设函数 $\alpha$ 严格单调增的前提条件下，如果我们的定义域区间I是退化区间那么p.c. Riemann-Stieltjes积分值为0；如果定义域区间I是非退化区间那么p.c. Riemann-Stieltjes积分值大于0.

11.8.4证明：设I是有界区间，并设 $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ 是在I上的一致连续函数. 设 $\alpha: X\rightarrow\mathbb{R}$ 是定义在某个包含I的区域X上的单调增函数. 那么我们有f在I上关于 $\alpha$ 是Riemann-Stieltjes可积的.

证明：仿照书上定理11.5.1的证明即可. 当然我们还需要重新验证引理11.3.3、引理11.3.7、引理11.3.11以及命题11.3.12对应的Riemann-Stieltjes积分版本是成立的.

11.8.5证明：此题表述有误，详见此题勘误.

此时我们有函数 $\alpha:=sgn$ .

由于f是定义在闭区间[-1, 1]上的连续函数，由引理9.6.3知f是有界函数，我们取其一个界 $M>0$ .

由于f在[-1, 1]上连续，故f在 $x=0$ 处连续，即对任意实数 $\varepsilon>0$ ，都存在实数 $\delta>0$ ，使得对一切 $x\in[-1, 1]$ 如果 $|x-0|<\delta$ 则 $|f(x)-f(0)|\leqslant\varepsilon$ .

进而对任意实数 $\varepsilon>0$ ，由f在 $x=0$ 处连续我们可以取到实数 $min\{\delta, 0.5\}>0$ 使得对一切 $x\in(-min\{\delta, 0.5\}, min\{\delta, 0.5\})$ 有 $f(0)-\varepsilon\leqslant f(x)\leqslant f(0)+\varepsilon$ .

我们定义函数 $g_1:[-1, 1]\rightarrow\mathbb{R}$ ，当 $x\in[-1, -min\{\delta, 0.5\}]\cup[min\{\delta, 0.5\}, 1]$ 时我们定义 $g(x):=M$ ；当 $x\in(-min\{\delta, 0.5\}, min\{\delta, 0.5\})$ 我们定义 $g(x):=f(0)+\varepsilon$ . 我们容易验证 $\mathbb{P}:=\{[-1, -min\{\delta, 0.5\}], (-min\{\delta, 0.5\}, min\{\delta, 0.5\}), [min\{\delta, 0.5\}, 1]\}$ 为[-1, 1]的一个分法，进而我们容易证明 $g_1$ 是定义成功了的并且 $g_1$ 是关于 $\mathbb{P}$ 逐段常值的. 进而由前面两段的论证我们不难知 $g_1$ 是f的上方控制函数.

于是我们有 $\displaystyle \overline{\int}_I f\ d\alpha\leqslant\int_I g_1\ d\alpha=\int_{[\mathbb{P}]} g_1\ d\alpha=\sum_{J\in\mathbb{P}}C_J\alpha[J]=M\cdot\alpha[[-1, -min\{\delta, 0.5\}]]+(f(0)+\varepsilon)\cdot\alpha[(-min\{\delta, 0.5\}, min\{\delta, 0.5\})]+M\cdot\alpha[[min\{\delta, 0.5\}, 1]]=M\cdot 0+2(f(0)+\varepsilon)+M\cdot 0=2f(0)+2\varepsilon$ . 同理我们可证存在下方控制f并且是逐段常值的函数 $g_2$ 使得 $\displaystyle \underline{\int}_I f\ d\alpha\geqslant\int_I g_2\ d\alpha=2f(0)-2\varepsilon$ .

综上，我们发现有 $\displaystyle 2f(0)-2\varepsilon\leqslant\underline{\int}_I f\ d\alpha\leqslant\overline{\int}_I f\ d\alpha\leqslant 2f(0)+2\varepsilon$ ，进而有 $\displaystyle \underline{\int}_I f\ d\alpha=\overline{\int}_I f\ d\alpha=2f(0)$ .

故 $f:[-1, 1]\rightarrow\mathbb{R}$ 关于单调增函数sgn是Riemann-Stieltjes可积的，并且其积分值是2f(0).

文内补充

1.我们容易证明：引理11.3.3、注11.3.5、引理11.3.7、注11.3.8、引理11.3.11以及命题11.3.12对应的Riemann-Stieltjes积分版本是成立的(假定函数 $\alpha$ 单调增).

2.让我们考虑Riemann-Stieltjes积分的基本性质，也即我们重新考虑书中§11.4、§11.5以及§11.6内容的Riemann-Stieltjes积分版本.

我们假设I是有界区间，设 $\alpha: X\rightarrow\mathbb{R}$ 是定义在某个包含I的区域X上的单调增函数，并设 $f, g:I\rightarrow\mathbb{R}$ 都是是在I上关于 $\alpha$ 是Riemann-Stieltjes可积的.

仿照本书博文§11.4中对定理11.4.1(即习题11.4.1)的证明我们同样可以证明(a)、(b)、(c)、(d)、(e)、(f)、(g)、(h)有对应的Riemann-Stieltjes积分版本.

仿照命题11.4.3的证明，命题11.4.3的Riemann-Stieltjes积分版本仍然成立.

仿照推论11.4.4的证明，推论11.4.4的Riemann-Stieltjes积分版本仍然成立.

仿照定理11.4.5的证明，定理11.4.5的Riemann-Stieltjes积分版本仍然成立.

习题11.4.2的Riemann-Stieltjes积分版本不成立.

仿照习题11.4.3的证明，习题11.4.3的Riemann-Stieltjes积分版本仍然成立.

仿照定理11.5.1的证明，定理11.5.1的Riemann-Stieltjes积分版本(即习题11.8.4)仍然成立.

仿照推论11.5.2的证明，推论11.5.2的Riemann-Stieltjes积分版本仍然成立.

命题11.5.3的Riemann-Stieltjes积分版本不再成立，原因在于书上命题11.5.3的证明中的 $\displaystyle\int_I \tilde{h}=\varepsilon M+\int_{[a+\varepsilon, b-\varepsilon]}+\varepsilon M$ 应改为 $\displaystyle\int_I \tilde{h}=(\alpha(a+\varepsilon)-\alpha(a))M+\int_{[a+\varepsilon, b-\varepsilon]}+(\alpha(b)-\alpha(b-\varepsilon))M$ . 当我们不对函数 $\alpha$ 做出某些限制时 $\displaystyle\int_I f\ d\alpha$ 可能不存在，我们是容易构建这样的RS积分不可积例子的. 而一些限制性条件，比如限制 $\alpha$ 是一致连续的，那么 $\displaystyle\int_I f\ d\alpha$ 是存在的.

由于命题11.5.3的Riemann-Stieltjes积分版本不成立，命题11.5.6的Riemann-Stieltjes积分版本不再成立.

根据本书博文§11.7重写其Riemann-Stieltjes积分版本(这里只需考虑“使得矩形高度为定值或有有一个最大值”的处理方式，我们发现——本书博文§11.7中对单调函数 $f:[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$ 是Riemann可积的论述思路，只需要将原来的“区间长度”改为“区间 $\alpha$ 长度”那么就可以证明单调函数 $f:[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$ 是Riemann-Stieltjes可积的)，我们发现命题11.6.1的Riemann-Stieltjes积分版本仍然成立.

虽然不能仿照命题11.5.3的证明来证明推论11.6.3的Riemann-Stieltjes积分版本，但是我们还是同上根据本书博文§11.7重写其Riemann-Stieltjes积分版本可以知道推论11.6.3的Riemann-Stieltjes积分版本仍然成立.

由于推论11.6.3的Riemann-Stieltjes积分版本成立，习题11.6.2的Riemann-Stieltjes积分版本成立.

3.§11.8中三个“为什么？”的回答.

例11.8.3中的“为什么？”，显然.

例11.8.7中的“为什么？”，显然.

最后一个的“为什么？”，显然.

4.从书上Riemann-Stieltjes积分的定义我们知道，函数 $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ 是无界时不是Riemann-Stieltjes可积的. 但是还有其他的Riemann-Stieltjes积分的定义，要根据不同的定义具体考虑无界函数是否Riemann-Stieltjes可积.

5.定义11.8.1中 $\alpha:X\rightarrow\mathbb{R}$ 中X不单单应该包含I，也应该包含I的两个端点.

6.陶哲轩对于本书RS积分定义的回复.

所以定义11.8.1( $\alpha[I]$ 长度)、以及书上的RS积分的定义是否要修改，若修改后书中的例子、相关命题以及习题如何调整在 Terence Tao 给出完整的勘误前我们不得而知. 由此，我们现在先按原书的内容为准，后续 Terence Tao 给出完整的勘误后我再按照实际情况补充最新的内容.

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