《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§11.7解答

文内补充——对有界函数是否Riemann可积的一点探讨.

 

设函数f:I\rightarrow\mathbb{R}是有界函数(因为在§11.3中我们已经证明在I上无界的函数上、下Riemann积分不可能相等,故我们只用探讨有界函数是否Riemann可积,下面的结论只对有界函数有效,不包含无界函数). 其中I是有界区间.

 

 

让我们看看Riemann可积的定义,其要求f的上Riemann积分和下Riemann积分相等. 从上Riemann积分和下Riemann积分的定义我们知对任意实数\varepsilon>0,我们总可以找到f的上方控制并且是逐段常值函数g使得\displaystyle\int_Ig\leqslant\overline{\int}_If+\varepsilon和可以找到f的下方控制并且是逐段常值函数h使得\displaystyle\int_Ih\geqslant\underline{\int}_If-\varepsilon. 进而我们注意到如果f是Riemann可积的那么\displaystyle\int_Ig-\int_Ih\leqslant 2\varepsilon. 综上,我们有如果f是Riemann可积的那么我们总可以找到逐段常值的上方控制f的函数g和逐段常值的下方控制f的函数h使得\displaystyle\int_Ig-\int_Ih任意小.

反过来,如果对任意实数\varepsilon>0,我们总可以逐段常值的上方控制f的函数g和逐段常值的下方控制f的函数h使得\displaystyle\int_Ig-\int_Ih\leqslant\varepsilon,进而我们有\displaystyle\overline{\int}_If-\underline{\int}_I f\leqslant\int_Ig-\int_Ih\leqslant\varepsilon,进而有f的上Riemann积分和下Riemann积分相等.

 

综上,我们有\displaystyle\overline{\int}_If=\underline{\int}_If\Longleftrightarrow对任意实数\varepsilon>0,我们总可以逐段常值的上方控制f的函数g和逐段常值的下方控制f的函数h使得\displaystyle\int_Ig-\int_Ih\leqslant\varepsilon.

 

 

 

 

 

有了上面的结论,我们就来看看Riemann可积的函数有怎样的特点.

沿用上面函数f的说明.

如果f是Riemann可积的,进而对任意实数\varepsilon>0,我们总可以逐段常值的上方控制f的函数g和逐段常值的下方控制f的函数h使得\displaystyle\int_Ig-\int_Ih\leqslant\varepsilon. 而g关于某I的分法\mathbb{P}逐段常值并且h关于某I的分法\mathbb{P}'逐段常值,进而g、h都是关于公共加细\mathbb{P}\#\mathbb{P}'逐段常值的. 于是我们看到\displaystyle\int_Ig-\int_Ih=\int_I(g-h)=p.c.\int_I(g-h)=p.c.\int_{[\mathbb{P}\#\mathbb{P}']}(g-h)=\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}\Delta S_J|J|\leqslant\varepsilon. 也即对任意实数\varepsilon>0我们可以找到I的一个分法\mathbb{P}\#\mathbb{P}'使得f的上下Riemann和之差有\displaystyle U(f, \mathbb{P}\#\mathbb{P}')-L(f, \mathbb{P}\#\mathbb{P}')=\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}\Delta S_J|J|\leqslant\varepsilon.

反过来,如果对任意实数\varepsilon>0我们可以找到I的一个分法\mathbb{P}''使得\displaystyle U(f, \mathbb{P}'')-L(f, \mathbb{P}'')=\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon,我们可以对每个J\in\mathbb{P}''对每个x\in J定义\displaystyle g(x):=\sup_{x\in J}f(x), h(x):=\inf_{x\in J}f(x). 容易验证此时函数g, h:I\rightarrow\mathbb{R}分别是f的上方控制和下方控制并且关于分法\mathbb{P}''逐段常值. 于是f是Riemann可积的.

 

综上,我们证明了——f是Riemann可积的\Longleftrightarrow对任意实数\varepsilon>0,我们总可以找到I的一个分法\mathbb{P}''使得\displaystyle U(f, \mathbb{P}'')-L(f, \mathbb{P}'')=\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon.

 

 

 

 

 

综合上面两条结论,结合Riemann积分的几何意义,我们知道——函数H(不管有界无界)是Riemann可积的当且仅当对任意小的正实数S,我们要找到有限的矩形使其面积之和小于S,并且这些矩形从左到右并接可以完全覆盖掉函数f的图像. 如下图函数H:[0, 1]\rightarrow\mathbb{R}, f(x):=x^2当S取1时矩形的一种选择.

geogebra-terry_analysis-11.7

 

 

 

 

 

有了上面的黑体结论,我们重新写§11.5和§11.6中连续有界函数和单调有界函数都是Riemann可积的证明.

 

沿用“函数f:I\rightarrow\mathbb{R}是有界函数. 其中I是有界区间”的设定.

我们知道要证明f是Riemann可积的,也即证明对任意实数\varepsilon>0,我们总可以找到I的一个分法\mathbb{P}''使得\displaystyle U(f, \mathbb{P}'')-L(f, \mathbb{P}'')=\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon. 现在我们任取一个正实数\varepsilon_0,接下来我们就要找到一个I的分法\mathbb{P}''使得\displaystyle U(f, \mathbb{P}'')-L(f, \mathbb{P}'')=\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon_0. 但这个分法是否存在,如果存在应该如何找到却没有范式去解决. 这里的难点是表达式\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|中|J|与具体的分法有关并且矩形的高度\displaystyle \sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)与函数的定义和分法都有关. 于是自然而然的我们就有一个想法,能否“使得矩形高度为定值或有有一个最大值”或者“分法使得I为均分”. 采用“使得矩形高度为定值或有有一个最大值”时我们有\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))|J|=(\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}|J|=(\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))|I|(此推理要求I非空,因为要求\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))存在);采用“分法使得I为均分”时我们有\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|=|J|\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))=\frac{|I|}{\#(\mathbb{P}'')}\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))(I为空集时规定其分法为\{\emptyset\},这样有界区间I的分法绝对不会是空集). 前者我们只需要证明\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))可以小于任意小的正实数(当I为空集时这是自动满足的)就可以得到f是Riemann可积的;后者我们只需要证明\displaystyle \frac{1}{\#(\mathbb{P}'')}\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))可以小于任意小的正实数就可以得到f是Riemann可积的.

 

 

综上,我们证明了:如果对任意实数\varepsilon>0存在I的分法\mathbb{P}''使得\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))\leqslant\varepsilon或者存在I的均分法\mathbb{P}'''使得\displaystyle \frac{1}{\#(\mathbb{P}''')}\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))\leqslant\varepsilon,那么f是Riemann可积的.

值得注意的是,如果我们知道f是Riemann可积的,我们只能推得存在分法\mathbb{P}''使得\displaystyle (\inf_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))(分法\mathbb{P}''含有单元素集时,\displaystyle (\inf_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))=0)可以小于任意正实数,而是否存在分法\mathbb{P}''使得\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))可以小于任意小的正实数或存在均分法\mathbb{P}'''使得\displaystyle \frac{1}{\#(\mathbb{P}''')}\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))可以小于任意小的正实数现在还未证明(详见下文).

但是我们容易证得假设“如果f是Riemann可积的那么存在I的均分法\mathbb{P}'''使得\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))可以小于任意小的正实数”是真的前提下“如果f是Riemann可积的那么存在I的分法\mathbb{P}''使得\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))可以小于任意小的正实数”也是真的,因为“对任意实数\varepsilon>0都存在均分法\mathbb{P}'''使得\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))\leqslant\varepsilon”蕴涵“对任意实数\varepsilon>0都存在分法\mathbb{P}''使得\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))\leqslant\varepsilon”.

 

 

综上,我们证明了—— “对任意实数\varepsilon>0都存在均分法\mathbb{P}'''使得\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))\leqslant\varepsilon\Longrightarrow“对任意实数\varepsilon>0都存在均分法\mathbb{P}'''使得\displaystyle \frac{1}{\#(\mathbb{P}'')}\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))\leqslant\varepsilon”,“对任意实数\varepsilon>0都存在分法\mathbb{P}''使得\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))\leqslant\varepsilon\Longrightarrow“f是Riemann可积的”;

“f是Riemann可积的”\nRightarrow“对任意实数\varepsilon>0都存在分法\mathbb{P}''使得\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))\leqslant\varepsilon”(证明详见下面反例函数H_1的构造);

“f是Riemann可积的”\nRightarrow“对任意实数\varepsilon>0都存在均分法\mathbb{P}'''使得\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))\leqslant\varepsilon”(反例就是单调有界连续函数,详解见后文,所以“对任意实数\varepsilon>0都存在均分法\mathbb{P}'''使得\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))\leqslant\varepsilon”这个条件对于f是Riemann可积来说太强了);

“对任意实数\varepsilon>0都存在分法\mathbb{P}''使得\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))\leqslant\varepsilon\nRightarrow“对任意实数\varepsilon>0都存在均分法\mathbb{P}'''使得\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))\leqslant\varepsilon”(反例就是单调有界一致连续函数,详细证明见后文)

 

 

从此结论,如果f是一致连续的,按照定理11.5.1证明中分法的选择(区间I均分),我们马上看出\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))可以任意小,进而一致连续函数是Riemann可积的. 由于闭区间上的连续函数是一致连续的,故闭区间上的连续函数是Riemann可积的. 然后再利用书上命题11.5.3证明连续有界函数是Riemann可积的.

 

(沿用“函数f:I\rightarrow\mathbb{R}是有界函数. 其中I是有界区间”的设定)值得一提的是,我们容易构建出连续但不是一致连续的函数f(见下示意图而非函数图像). 即有”f是连续的”+”f是有界的”\nRightarrow“f是一致连续的”.

geogebra-terry_analysis-11.7.2

我们容易严格定义上述示意图中的函数f,并且证明f是连续且有界且不一致连续. 这里就不展开了.

 

 

同样的,如果f是单调有界函数,由于空函数自动是Riemann可积的,所以我们假设I非空,此时我们发现存在分法\mathbb{P}''使得\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))可以取到任意小的正实数(并且随着要小于的正实数越小分法的基数就越大)(这句红色双引号标出话的严格证明见下一大段. 并且值得说明的是——如果函数f是单调但不有界,这句话不正确,比如函数f:(0, 1)\rightarrow\mathbb{R}, f(x):=\frac{1}{x}),所以单调有界函数是Riemann可积的.

g:I\rightarrow\mathbb{R}是单调增的以正实数M>0为界的函数,其中定义域I是有界区间. 对任意实数\varepsilon>0,我们记N:=[\frac{2M}{\varepsilon}],进而有N\varepsilon\leqslant 2M<(N+1)\varepsilon. 接下来我们将证明集合\mathbb{P}:=\{\{x\in I : -M+n\varepsilon\leqslant g(x)<-M+(n+1)\varepsilon\}  : n\in\{m\in\mathbb{N} : n\leqslant N\}\}是I的一个分法.             显然\mathbb{P}是有限集;       对任意P\in\mathbb{P},有对某不大于N的自然数n有P=\{x\in I : -M+n\varepsilon\leqslant g(x)<-M+(n+1)\varepsilon\}. 显然P为I的子集. 现在我们将证明对任意元素x\in(\inf(P), \sup(P))都存在x'\in P使得x'<x. 用反证法,假设存在x_0\in(\inf(P), \sup(P))使得对任意x'\in P都有x'\geqslant x_0,进而有\inf(P)\geqslant x_0. 而由x_0\in(\inf(P), \sup(P))我们知道x_0>\inf(P),进而我们得到\inf(P)\geqslant x_0>\inf(P),这个矛盾帮助我们完成了证明. 故对任意元素x\in(\inf(P), \sup(P))都存在x'\in P使得x'<x,容易发现此时有x', x\in I,再由g是增函数知-M+n\varepsilon\leqslant g(x')<g(x),故有-M+n\varepsilon\leqslant g(x). 类似的论证我们知对任意元素x\in(\inf(P), \sup(P))g(x)<-M+(n+1)\varepsilon. 综上,我们证明了对任意元素x\in(\inf(P), \sup(P))-M+n\varepsilon\leqslant g(x)<-M+(n+1)\varepsilon并且x\in I,故有x\in P. 综上,有(\inf(P), \sup(P))\subseteq P. 而我们有P\subseteq[\inf(P), \sup(P)]. 综上有(\inf(P), \sup(P))\subseteq P\subseteq[\inf(P), \sup(P)],故P可以写成区间的形式.       而对任意x\in I,我们总有-M\leqslant g(x)\leqslant M,我们容易用反证法进一步证明存在不大于N的自然数n使得-M+n\varepsilon\leqslant g(x)<-M+(n+1)\varepsilon,于是有x\in\{x\in I : -M+n\varepsilon\leqslant g(x)<-M+(n+1)\varepsilon\}. 综上,对任意x\in I,存在P\in\mathbb{P}使得x\in P. 而我们容易证明\mathbb{P}中元素都是两两不相交的,故上述结论可以改为对任意x\in I,恰存在一个P\in\mathbb{P}使得x\in P.             综上,我们终于证明\mathbb{P}是I的一个分法. 此时,对任意J\in\mathbb{P},有对某n\in\{m\in\mathbb{N} : n\leqslant N\}使得J=\{x\in I : -M+n\varepsilon\leqslant g(x)<-M+(n+1)\varepsilon\}. 进而对任意x\in J,我们有-M+n\varepsilon\leqslant g(x)<-M+(n+1)\varepsilon. 于是有\displaystyle -M+n\varepsilon\leqslant\inf_{x\in J}g(x)\displaystyle \sup_{x\in J}g(x)\leqslant -M+(n+1)\varepsilon. 如果我们还知道J非空,此时有\displaystyle -M+n\varepsilon\leqslant\inf_{x\in J}g(x)\leqslant\sup_{x\in J}g(x)\leqslant -M+(n+1)\varepsilon,于是有\displaystyle \sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x)\leqslant(-M+(n+1)\varepsilon)-(-M+n\varepsilon)=\varepsilon. 综上,对任意实数\varepsilon>0存在分法\mathbb{P}'':=\{\{x\in I : -M+n\varepsilon\leqslant g(x)<-M+(n+1)\varepsilon\}  : n\in\{m\in\mathbb{N} : n\leqslant [\frac{2M}{\varepsilon}]\}\}使得\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))=\varepsilon. 当g的单调增改为单调减时也有类似的论证. 这就完成了上一段红色双引号标出的那句话的证明.

 

 

 

 

 

g:I\rightarrow\mathbb{R}是单调的以正实数M>0为界的连续函数,其中定义域I是非空有界区间. 我们来证明:对任意I的分法\mathbb{P}'''\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))=\sup(\{g(x) : x\in I\})-\inf(\{g(x) : x\in I\}).

证明:这个命题的证明与分法的性质息息相关. 我们把其拆分为几个小命题的证明.

我们首先假设g是单调增的.

 

 

\mathbb{P}为有界区间I的任意分法. 我们可以证明:

  • 小命题1.(分法的性质)对任意非退化(即不是空集也不是单元素集)的区间P\in\mathbb{P},若\sup(P)<\sup(I)那么恰存在一个非退化区间P'\in\mathbb{P}使得\sup(P)=\inf(P').

证明:当I为空集或单点集时,上述命题是空真的成立的. 所以我们考虑I为非退化的区间,此时其分法\mathbb{P}肯定含有非退化的区间.

我们大假设——存在非退化区间P_0\in\mathbb{P}使得\sup(P_0)<\sup(I)并且对任意非退化区间P'\in\mathbb{P}\sup(P_0)<\inf(P')\sup(P_0)>\inf(P'). 由于P_0非退化,进而有\inf(P_0)<\sup(P_0),进而\inf(P_0)\in\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\inf(J)<\sup(P_0)\},于是我们有max\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\inf(J)<\sup(P_0)\}\in\mathbb{R}.             我们假设对任意非退化K\in\mathbb{P}\sup(K)<\sup(I). 进而我们有\emptyset\neq(max\{\sup(K) : K\in\mathbb{P}, K\text{ is non-degenerate}\},\sup(I))\subseteq I(注意到\{\sup(K) : K\in\mathbb{P}, K\text{ is non-degenerate}\}是非空的). 于是对任意x\in(\{\sup(K) : K\in\mathbb{P}, K\text{ is non-degenerate}\},\sup(I))存在A\in\mathbb{P}使得x\in A. 由于已假设“对任意非退化K\in\mathbb{P}\sup(K)<\sup(I)”,故我们进一步知道对任意x\in(\{\sup(K) : K\in\mathbb{P}, K\text{ is non-degenerate}\},\sup(I))存在\{x\}\in\mathbb{P}使得x\in \{x\}. 由于(\{\sup(K) : K\in\mathbb{P}, K\text{ is non-degenerate}\},\sup(I))中元素是无限的,进而\mathbb{P}也是无限的,这个矛盾说明假设不成立,即存在一个非退化区间P_1\in\mathbb{P}使得\sup(P_1)=\sup(I). 我们再假设\inf(P_1)<\sup(P_0),进而我们发现\emptyset\neq(max\{\inf(P_1), \inf(P_0)\}, \sup(P_0))\subseteq P_0\cap P_1,由于分法中元素两两不相交知\emptyset\neq(max\{\inf(P_1), \inf(P_0)\}, \sup(P_0))不可能成立,这个矛盾说明假设不成立,故有\inf(P_1)\geqslant\sup(P_0). 再由大假设我们知应该为\inf(P_1)>\sup(P_0). 故我们知\inf(P_1)\in\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\}. 于是我们有min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\}\in\mathbb{R}. 并且我们容易证明\inf(I)\leqslant max\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\inf(J)<\sup(P_0)\}<\sup(P_0)<min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\}\leqslant\sup(I).

我们考虑区间(\sup(P_0), min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\}),由上论证我们显然有\emptyset\neq(\sup(P_0), min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\})\subseteq I. 于是对任意x\in(\sup(P_0), min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\})恰存在一个P\in\mathbb{P}使得x\in P.

对任意x\in(\sup(P_0), min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\}),对任意非退化区间P'\in\mathbb{P},我们小假设x\in P',再由大假设我们知只能\sup(P_0)>\inf(P'),进一步的我们看到\inf(P')<\sup(P_0)<x\leqslant\sup(P'). 于是我们可以考虑区间(max\{\inf(P_0), \inf(P')\}, \sup(P_0)),此时由于P_0, P'非退化知(max\{\inf(P_0), \inf(P')\}, \sup(P_0))\neq\emptyset. 而我们有(max\{\inf(P_0), \inf(P')\}, \sup(P_0))\subseteq P_0\cap P',由分法中元素两两不相交知(max\{\inf(P_0), \inf(P')\}, \sup(P_0))\neq\emptyset不可能. 故我们的小假设不成立. 综上,对任意x\in(\sup(P_0), min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\}),对任意非退化区间P'\in\mathbb{P}x\notin P'.

而上面我们已经证明“对任意x\in(\sup(P_0), min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\})恰存在一个P\in\mathbb{P}使得x\in P.”,于是上述结合上面一段的论述我们知:对任意x\in(\sup(P_0), min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\})恰存在一个\{x\}\in\mathbb{P}使得x\in \{x\}. 我们已经证明\emptyset\neq(\sup(P_0), min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\}),于是(\sup(P_0), min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\})有无限个元素,进而分法\mathbb{P}也应包含无限个单元素集,这是不可能的. 综上,我们的大假设不成立,故对任意非退化的区间P\in\mathbb{P},若\sup(P)<\sup(I)那么存在非退化区间P'\in\mathbb{P}使得\sup(P)=\inf(P').

 

我们已经证明了存在性,接下来只要证明唯一性.

对任意非退化的区间P\in\mathbb{P},若\sup(P)<\sup(I),我们已经证明存在非退化区间P'\in\mathbb{P}使得\sup(P)=\inf(P'). 我们假设仍存在非退化区间P''\in\mathbb{P}使得P''\neq P'\sup(P)=\inf(P''). 我们考虑区间(\sup(P), min\{\sup(P'), \sup(P'')\}),由上以及P', P''非退化我们知(\sup(P), min\{\sup(P'), \sup(P'')\})\neq\emptyset. 但是我们发现(\sup(P), min\{\sup(P'), \sup(P'')\})\subseteq P'\cap P''. 由分法中元素两两不相交我们知P'\cap P''=\emptyset. 这个矛盾说明假设不成立,故唯一性得证.

综上,我们终于完成了小命题1.的证明.

 

  • 小命题2.(已知g为单调增连续函数.)对任意非空J\in\mathbb{P},如果\sup(J)<\sup(I)那么有\displaystyle\sup_{x\in J}g(x)=g(\sup(J));同理如果\inf(J)>\inf(I)那么有\displaystyle\inf_{x\in J}g(x)=g(\inf(J)).

证明:当J为单元素集时小命题2.是显然成立的. 故我们只需再考虑J是非退化时的情形.

由于\sup(J)<\sup(I)并且J是非退化的,于是我们有\inf(I)\leqslant\inf(J)<\sup(J)<\sup(I). 于是我们看到\sup(J)\in I,进而g(\sup(J))是有定义的. 我们假设\displaystyle\sup_{x\in J}g(x)\neq g(\sup(J)),进而有\displaystyle\sup_{x\in J}g(x)<g(\sup(J))不可兼或\displaystyle\sup_{x\in J}g(x)>g(\sup(J)). 由于对任意x\in Jx\leqslant\sup(J),再由g单调增知g(x)\leqslant g(\sup(J)). 进而有\sup\{g(x) : x\in J\}\leqslant g(\sup(J)),故我们只需考虑\displaystyle\sup_{x\in J}g(x)<g(\sup(J)). 由习题9.1.15我们知道\sup(J)为J的附着点,由于g在\sup(J)处是连续的,进而由命题9.3.9知对每个由J中元素组成并且收敛到\sup(J)的序列(a_n)_{n=0}^\infty有序列(g(a_n))_{n=0}^\infty收敛到g(\sup(J)). 如果\displaystyle\sup_{x\in J}g(x)<g(\sup(J)),每个由J中元素组成并且收敛到\sup(J)的序列(a_n)_{n=0}^\infty有序列(g(a_n))_{n=0}^\infty,此时由于\displaystyle\{g(a_n) : n\in\mathbb{N}\}\subseteq\{g(x) : x\in J\},于是我们看到\displaystyle\sup\{g(a_n) : n\in\mathbb{N}\}\leqslant\sup\{g(x) : x\in J\}=\sup_{x\in J}g(x)<g(\sup(J)). 于是存在\varepsilon:=\frac{g(\sup(J))-\sup\{g(x) : x\in J\}}{2}>0,对任意自然数n,存在自然数n使得|g(a_n)-g(\sup(J))|=g(\sup(J))-g(a_n)\geqslant g(\sup(J))-\sup\{g(a_n) : n\in\mathbb{N}\}>\varepsilon,这与序列(g(a_n))_{n=0}^\infty收敛到g(\sup(J))相矛盾. 综上,我们证明了“对每个由J中元素组成并且收敛到\sup(J)的序列(a_n)_{n=0}^\infty有序列(g(a_n))_{n=0}^\infty收敛到g(\sup(J))”和“如果\displaystyle\sup_{x\in J}g(x)<g(\sup(J))那么对每个由J中元素组成并且收敛到\sup(J)的序列(a_n)_{n=0}^\infty有序列(g(a_n))_{n=0}^\infty不收敛到g(\sup(J))”. 由于\sup(J)为J的附着点和引理9.1.14知论域“由J中元素组成并且收敛到\sup(J)的序列(a_n)_{n=0}^\infty全体”非空,于是“对每个由J中元素组成并且收敛到\sup(J)的序列(a_n)_{n=0}^\infty有序列(g(a_n))_{n=0}^\infty不收敛到g(\sup(J))”为假,故不可能有\displaystyle\sup_{x\in J}g(x)<g(\sup(J)). 综上,我们的假设不成立. 于是\displaystyle\sup_{x\in J}g(x)=g(\sup(J))成立.

同理我们可证如果\inf(J)>\inf(I)那么有\displaystyle\inf_{x\in J}g(x)=g(\inf(J)).

综上,我们完成了小命题2.的证明.

需要注意的是,当g为单调减时类似的论证可以证明类似结论——“我们有对任意非空J\in\mathbb{P},如果\sup(J)<\sup(I)那么有\displaystyle\inf_{x\in J}g(x)=g(\sup(J));同理如果\inf(J)>\inf(I)那么有\displaystyle\sup_{x\in J}g(x)=g(\inf(J)).”.

 

  • 小命题3.(分法的性质)对所有非退化区间J\in\mathbb{P},我们可以按照\inf(J)的大小对其从小到大进行排列. 也即存在双射h:\{n\in\mathbb{N} : 1\leqslant n\leqslant\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})\}\rightarrow\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\}使得h':\{n\in\mathbb{N} : 1\leqslant n\leqslant\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})\}\rightarrow\{\inf(K) : K\in\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\}\}, h'(n):=\inf(h(n))严格单调增. 并且使\inf(I)=\inf(h(1))<\sup(h(1))=...=\inf(h(\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})-1))<\sup(h(\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})-1))=\inf(h(\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})))<\sup(h(\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})))=\sup(I).

证明一:当\mathbb{P}中不含有非退化区间时小命题3.是显然成立的,此时h, h'都是值域为空集的空函数. 所以我们再考虑\mathbb{P}含有非退化区间的情形.

我们将递归定义函数h.

仿照小命题1.中的部分论证,我们假设对任意非退化K\in\mathbb{P}\inf(I)<\inf(K). 进而我们有\emptyset\neq(\inf(I), min\{\inf(K) : K\in\mathbb{P}, K\text{ is non-degenerate}\})\subseteq I(注意到\{\inf(K) : K\in\mathbb{P}, K\text{ is non-degenerate}\}是非空的). 于是对任意x\in(\inf(I), min\{\inf(K) : K\in\mathbb{P}, K\text{ is non-degenerate}\})存在A\in\mathbb{P}使得x\in A. 由于已假设“对任意非退化K\in\mathbb{P}\inf(I)<\inf(K)”,故我们进一步知道对任意x\in(\inf(I), min\{\inf(K) : K\in\mathbb{P}, K\text{ is non-degenerate}\})存在\{x\}\in\mathbb{P}使得x\in \{x\}. 由于(\inf(I), min\{\inf(K) : K\in\mathbb{P}, K\text{ is non-degenerate}\})中元素是无限的,进而\mathbb{P}也是无限的,这个矛盾说明假设不成立,即存在非退化区间P_1\in\mathbb{P}使得\inf(P_1)=\inf(I).

同理仿照小命题1.的部分论证我们知道存在一个非退化区间P_1\in\mathbb{P}使得\inf(P_1)=\inf(I),其他的非退化区间的下确界都大于\inf(I).

于是我们可以定义h(1):=P_1,其中\inf(I)=\inf(P_1)<\sup(P_1).

接下来,我们考虑\sup(h(1)), \sup(I)的大小关系.

如果\sup(h(1))=\sup(P_1)=\sup(I),进而有\inf(I)=\inf(P_1)<\sup(P_1)=\sup(I),即(\inf(I), \sup(I))\subseteq P_1, I\subseteq[\inf(I), \sup(I)]. 这说明h(1)=P_1是分法\mathbb{P}唯一的非退化区间. 显然此时容易验证小命题3.成立.

否则我们有\sup(h(1))=\sup(P_1)<\sup(I),由小命题1.我们知道恰存在一个非退化区间P_2\in\mathbb{P}使得\sup(P_1)=\inf(P_2). 于是我们可以定义h(2):=P_2,其中\inf(I)=\inf(P_1)<\sup(P_1)=\inf(P_2)<\sup(P_2).

 

接下来,我们考虑\sup(h(2)), \sup(I)的大小关系.

如果\sup(h(2))=\sup(P_2)=\sup(I),进而有\inf(I)=\inf(P_1)<\sup(P_1)=\inf(P_2)<\sup(P_2)=\sup(I),即(\inf(I), \sup(I))\backslash\{\sup(P_1)\}\subseteq P_1\cup P_2\subseteq[\inf(I), \sup(I)], (\inf(I), \sup(I))\backslash\{\sup(P_1)\}\subseteq I\subseteq[\inf(I), \sup(I)]. 这说明h(1)=P_1, h(2)=P_2是分法\mathbb{P}唯二的非退化区间. 显然此时容易验证小命题3.成立.

否则我们有\sup(h(2))=\sup(P_2)<\sup(I),由小命题1.我们知道恰存在一个非退化区间P_3\in\mathbb{P}使得\sup(P_2)=\inf(P_3). 于是我们可以定义h(3):=P_3,其中\inf(I)=\inf(P_1)<\sup(P_1)=\inf(P_2)<\sup(P_2)=\inf(P_3)<\sup(P_3).

 

现在我们假设对某自然数n\geqslant 2,对一切自然数1\leqslant k\leqslant n已定义好h(k),并且有\inf(I)=\inf(h(1))<\sup(h(1))=...=\inf(h(n-1))<\sup(h(n-1))=\inf(h(n))<\sup(h(n)).

接下来,我们考虑\sup(h(n)), \sup(I)的大小关系.

如果\sup(h(n))=\sup(I),进而有\inf(I)=\inf(h(1))<\sup(h(1))=...=\inf(h(n-1))<\sup(h(n-1))=\inf(h(n))<\sup(h(n))=\sup(I),即有\displaystyle(\inf(I), \sup(I))\backslash\{\sup(h(1)),..., \sup(h(n-1))\}=\bigcup_{m\in\mathbb{N} : 1\leqslant m\leqslant n}(\inf(h(m)), \sup(h(m)))\subseteq \bigcup_{m\in\mathbb{N} : 1\leqslant m\leqslant n}h(m)\subseteq[\inf(I), \sup(I)], (\inf(I), \sup(I))\backslash\{\sup(h(1)),..., \sup(h(n-1))\}\subseteq I\subseteq[\inf(I), \sup(I)]. 于是我们发现\displaystyle I\backslash\bigcup_{m\in\mathbb{N} : 1\leqslant m\leqslant n}h(m)\subseteq[\inf(I), \sup(I)]\backslash((\inf(I), \sup(I))\backslash\{\sup(h(1)),..., \sup(h(n-1))\})=\{\inf(I), \sup(h(1)),..., \sup(h(n-1)), \sup(I)\},于是乎分法\mathbb{P}只含有n个非退化区间h(1),..., h(n-1), h(n). 显然此时容易验证小命题3.成立.

否则我们有\sup(h(n))<\sup(I),由小命题1.我们知道恰存在一个非退化区间P_{n+1}\in\mathbb{P}使得\sup(h(n))=\inf(P_{n+1}). 于是我们可以定义h(n+1):=P_{n+1},其中\inf(I)=\inf(h(1))<\sup(h(1))=...=\inf(h(n))<\sup(h(n))=\inf(h(n+1))<\sup(h(n+1)).

 

但是,由于根据分法\mathbb{P}为有限集以及小命题1.中证明“存在一个非退化区间P_N\in\mathbb{P}使得\sup(P_N)=\sup(I)(N=\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\}))”知上面的操作肯定能以小命题3.成立结束.

于是,这就证明了小命题3..

 

证明二(简略,选读):同样的当\mathbb{P}中不含有非退化区间时小命题3.是显然成立的,此时h, h'都是值域为空集的空函数. 所以我们再考虑\mathbb{P}含有非退化区间的情形.

对任意非退化区间J_1\in\mathbb{P},对任意非退化区间J_2\in\mathbb{P},如果J_1\neq J_2,我们假设\inf(J_1)=\inf(J_2). 于是我们看到\emptyset\neq(\inf(J_1), min\{\sup(J_1), \sup(J_2)\})\subseteq J_1\cap J_2=\emptyset. 这个矛盾说明我们的假设不成立,于是有\inf(J_1)\neq\inf(J_2).

于是\mathbb{P}中的非退化区间的下确界都是两两不同的. 于是集合\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\}和集合\{\inf(K) : K\in\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\}\}, h'(n):=\inf(h(n))有相同的基数.

于是“存在双射h:\{n\in\mathbb{N} : 1\leqslant n\leqslant\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})\}\rightarrow\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\}使得h':\{n\in\mathbb{N} : 1\leqslant n\leqslant\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})\}\rightarrow\{\inf(K) : K\in\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\}\}, h'(n):=\inf(h(n))严格单调增.”这件事就是显然的了. 因为我们可以取到唯一的非退化区间J_1\in\mathbb{P}使得其下界等于非空集合A_1:=\{\inf(K) : K\in\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\}\}的最小值,进而定义h(1):=J_1. 进而把J_1从集合\{\inf(K) : K\in\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\}\}剔除而得到新集合A_2. 重复上面的操作直至新得到的集合A_{\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})+1}为空集即可.

 

接下来就要证明\inf(I)=\inf(h(1))<\sup(h(1))=...=\inf(h(\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})-1))<\sup(h(\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})-1))=\inf(h(\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})))<\sup(h(\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})))即可,这里就不展开了.

 

 

综上,我们有——对任意I的分法\mathbb{P}''',当\mathbb{P}'''的基数不小于2时有

\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))

\displaystyle =\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset, J\text{ is singleton}}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))+\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset, J\text{ is not singleton}}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))由命题7.1.11(e)

\displaystyle =\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset, J\text{ is singleton}}(g(\sup_{x\in J})-g(\inf_{x\in J}))+\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset, J\text{ is not singleton}}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))单元素集的上下确界是其唯一的元素

\displaystyle =\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset, J\text{ is singleton}}0+\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset, J\text{ is not singleton}}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))同上

\displaystyle =\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset, J\text{ is not singleton}}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))

\displaystyle=\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\text{ is non-degenerate}}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))非退化区间等价于不是空集也不是单元素集的区间

\displaystyle =\sum_{n=1}^{\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})}(-\inf_{x\in h(n)}g(x)+\sup_{x\in h(n)}g(x))定义7.1.6和上面的小命题3.

\displaystyle =(-\inf_{x\in h(1)}g(x)+\sup_{x\in h(1)}g(x))+\sum_{n=2}^{\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})-1}(-\inf_{x\in h(n)}g(x)+\sup_{x\in h(n)}g(x))+(-\inf_{x\in h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\}))}g(x)+\sup_{x\in h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\}))}g(x))由于\mathbb{P}的基数不小于2和引理7.1.4(a),引理7.1.4(a)要使用本书§7.1博文的版本.

\displaystyle =(-\inf_{x\in h(1)}g(x)+g(\sup(h(1))))+\sum_{n=2}^{\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})-1}(-g(\inf(h(n)))+g(\sup(h(n))))+(-g(\inf(h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\}))))+\sup_{x\in h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})}g(x))上面的小命题3.和小命题2,以及我们假设g是增函数.

\displaystyle =-\inf_{x\in h(1)}g(x)+(g(\sup(h(1)))+\sum_{n=2}^{\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is degenerate}\})-1}(-g(\inf(h(n)))+g(\sup(h(n))))-g(\inf(h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is degenerate}\})))))+\sup_{x\in h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is degenerate}\})}g(x)

\displaystyle =-\inf_{x\in h(1)}g(x)+(g(\sup(h(1)))-g(\inf(h(2)))+g(\sup(h(2)))+...-g(\inf(h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})-1)))+g(\sup(h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})-1)))-g(\inf(h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})))))+\sup_{x\in h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is degenerate}\})}g(x)

\displaystyle =-\inf_{x\in h(1)}g(x)+(\{g(\sup(h(1)))-g(\inf(h(2)))\}+\{g(\sup(h(2)))+...-g(\inf(h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})-1)))\}+\{g(\sup(h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})-1)))-(g(\inf(h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\}))))\})+\sup_{x\in h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})}g(x)

\displaystyle =-\inf_{x\in h(1)}g(x)+(0+0+...+0)+\sup_{x\in h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})}g(x)上面的小命题3.

\displaystyle =\sup_{x\in h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})}g(x)-\inf_{x\in h(1)}g(x)

\displaystyle =\sup(\{g(x) : x\in I\})-\inf(\{g(x) : x\in I\}).容易证明\displaystyle \sup_{x\in h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})}g(x)=\sup(\{g(x) : x\in I\}), \inf_{x\in h(1)}g(x)=\inf(\{g(x) : x\in I\}).

\mathbb(P)的基数为1时,即\mathbb{P}=\{I\},我们知道仍有\displaystyle \sum_{J\in\{I\}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))=\sup(\{g(x) : x\in I\})-\inf(\{g(x) : x\in I\}).

当g为单调增减数时,我们知道-g为单调增函数,于是任意I的分法\mathbb{P}'''\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}(-g)(x)-\inf_{x\in J}(-g)(x))=\sup(\{(-g)(x) : x\in I\})-\inf(\{(-g)(x) : x\in I\}),即\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(-\inf_{x\in J}g(x)+\sup_{x\in J}g(x))=-\inf(\{g(x) : x\in I\})+\sup(\{g(x) : x\in I\}).

至此,我们终于证明了“设g:I\rightarrow\mathbb{R}是单调的以正实数M>0为界的连续函数,其中定义域I是非空有界区间. 我们有:对任意I的分法\mathbb{P}'''\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))=\sup(\{g(x) : x\in I\})-\inf(\{g(x) : x\in I\}).”.

 

值得一提的是如果我们把前提中“设g:I\rightarrow\mathbb{R}是单调的以正实数M>0为界的连续函数”改为“设g:I\rightarrow\mathbb{R}是单调的以正实数M>0为界的函数”,即把连续去掉,我们只需要对小命题2.进行修正(小命题1.和小命题3.是关于分法的,不受影响),同样的论证我们将得到:对任意I的分法\mathbb{P}'''\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))\leqslant\sup(\{g(x) : x\in I\})-\inf(\{g(x) : x\in I\}). 也即我们可以证明“设g:I\rightarrow\mathbb{R}是单调的以正实数M>0为界的函数,其中定义域I是非空有界区间. 我们有:对任意I的分法\mathbb{P}'''\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))\leqslant\sup(\{g(x) : x\in I\})-\inf(\{g(x) : x\in I\}).”.

 

 

 

 

 

f:I\rightarrow\mathbb{R}是单调的以正实数M>0为界的一致连续函数,其中定义域I是非空有界区间. 由上面的长篇大论我们可以知道:对任意实数\varepsilon>0都存在分法\mathbb{P}''使得\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))\leqslant\varepsilon,并且f是Riemann可积的,并且对任意I的分法\mathbb{P}'''\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))=\sup(\{f(x) : x\in I\})-\inf(\{f(x) : x\in I\})>0.

由于单调的以正实数M>0为界的一致连续并且定义域I是非空有界区间的函数是存在的,于是我们得到了——

“f是Riemann可积的”\nRightarrow“对任意实数\varepsilon>0都存在均分法\mathbb{P}'''使得\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))\leqslant\varepsilon”;

“对任意实数\varepsilon>0都存在分法\mathbb{P}''使得\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))\leqslant\varepsilon\nRightarrow“对任意实数\varepsilon>0都存在均分法\mathbb{P}'''使得\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))\leqslant\varepsilon

 

 

 

 

 

下面我们来构建上面提到的反例H_1.

我们定义函数H_1:[0, 1)\rightarrow\mathbb{R}如下. 首先我们有对一切自然数m,对一切自然数n,如果m\neq n那么\displaystyle[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i)\cap[\sum_{i=0}^n(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{n+1}(\frac{1}{2})^i)=\emptyset. 并且有\displaystyle[0, 1)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i). 于是对每个偶自然数m,对每个元素\displaystyle x\in[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i)我们定义H_1(x):=1;每个奇自然数m,对每个元素\displaystyle x\in[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i)我们定义H_1(x):=0. 由上论证我们容易知函数H_1是定义成功了的. 函数H_1看上去是关于“可数分法”逐段常值的.

 

我们先来证明H_1是Riemann可积的.

对任意实数\varepsilon>0,由于\displaystyle\sum_{i=0}^\infty(\frac{1}{2})^i=1我们知可以找到自然数N使得\displaystyle 1-\sum_{i=0}^{N+1}(\frac{1}{2})^i<\varepsilon. 于是我们考虑[0, 1)的分法\mathbb{P}:=\displaystyle\{[\sum_{i=0}^0(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{1}(\frac{1}{2})^i), ... ,[\sum_{i=0}^{N-1}(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{N}(\frac{1}{2})^i), [\sum_{i=0}^{N}(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{N+1}(\frac{1}{2})^i), [\sum_{i=0}^{N+1}(\frac{1}{2})^i, 1)\},我们有\displaystyle U(H_1, \mathbb{P})-L(H_1, \mathbb{P})\\=\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}H_1(x)-\inf_{x\in J}H_1(x))|J|\\=\sum_{j=0}^{N}(\sup_{x\in [\sum_{i=0}^j(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{j+1}(\frac{1}{2})^i)}H_1(x)-\inf_{x\in [\sum_{i=0}^j(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{j+1}(\frac{1}{2})^i)}H_1(x))|[\sum_{i=0}^j(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{j+1}(\frac{1}{2})^i)|+(\sup_{x\in [\sum_{i=0}^{N+1}(\frac{1}{2})^i, 1)}H_1(x)-\inf_{x\in [\sum_{i=0}^{N+1}(\frac{1}{2})^i, 1)}H_1(x))|[\sum_{i=0}^{N+1}(\frac{1}{2})^i, 1)|\\=(0+...+0)+1\cdot(1-\sum_{i=0}^{N+1}(\frac{1}{2}))\leqslant\varepsilon. 综上,我们证明了对任意实数\varepsilon>0都存在[0, 1)的分法\mathbb{P}使得\displaystyle U(H_1, \mathbb{P})-L(H_1, \mathbb{P})=\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}H_1(x)-\inf_{x\in J}H_1(x))|J|\leqslant\varepsilon. 于是H_1是Riemann可积的.

 

我们再来证明函数H_1不满足“对任意实数\varepsilon>0都存在分法\mathbb{P}使得\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))\leqslant\varepsilon”.

对任意[0, 1)的分法\mathbb{P},对任意J\in\mathbb{P},我们假设:对任意\mathbb{N}的子集A,存在x\in J使得\displaystyle x\notin\bigcup_{i\in A}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i). 于是乎对集合\mathbb{N}的子集\mathbb{N},存在x\in J使得\displaystyle x\notin\bigcup_{i\in \mathbb{N}}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i)=[0, 1). 这与J\subseteq [0, 1)相矛盾,故假设不成立. 即我们证明了:对任意[0, 1)的分法\mathbb{P},对任意J\in\mathbb{P},存在\mathbb{N}的子集A使得对每个x\in J\displaystyle x\in\bigcup_{i\in A}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i)(也即\displaystyle J\subseteq\bigcup_{i\in A}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i)).

依上,对每个J\in\mathbb{P}我们可以选出一个使得\displaystyle J\subseteq\bigcup_{i\in A}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i)成立的\mathbb{N}的子集A,并记作N_J.

对任意[0, 1)的分法\mathbb{P},我们假设:对任意J\in\mathbb{P}我们有N_J为有限集,进而集合\bigcup\{N_J : J\in\mathbb{P}\}是有限集. 而我们有\displaystyle [0, 1)=\bigcup\mathbb{P}\subseteq\bigcup_{A\in\{N_J : J\in\mathbb{P}\}}(\bigcup_{i\in A}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i)),进而我们有\displaystyle \emptyset=([0, 1)\backslash (\bigcup_{A\in\{N_J : J\in\mathbb{P}\}}(\bigcup_{i\in A}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i))))=(\bigcup_{m\in\mathbb{N}}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i)\backslash (\bigcup_{A\in\{N_J : J\in\mathbb{P}\}}(\bigcup_{i\in A}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i))))=(\bigcup_{m\in\mathbb{N}}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i)\backslash (\bigcup_{i\in\bigcup\{N_J : J\in\mathbb{P}\}}([\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i))))=\bigcup_{i\in\mathbb{N}\backslash\bigcup\{N_J : J\in\mathbb{P}\}}([\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i))\neq\emptyset. 这个矛盾说明我们的假设不成立. 于是乎,我们证明了:对任意[0, 1)的分法\mathbb{P},存在J_0\in\mathbb{P}使得N_{J_0}为可数限集. 由于J_0为区间,进而N_{J_0}包含偶数也包含奇数,进而\sup(J_0)-\inf(J_0)=1-0=1. 由函数H_1的定义我们知道对任意非空J\in\mathbb{P}\sup(J)-\inf(J)的最大值为1. 于是乎,我们证明了存在实数0.5,对任意[0, 1)的分法\mathbb{P}我们都有\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))>0.5.

 

综上,我们证明了H_1是Riemann可积的并且“对任意实数\varepsilon>0都存在分法\mathbb{P}使得\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))\leqslant\varepsilon”不成立.

即我们证明了——“值域有界且定义域为有界区间的函数f是Riemann可积的”\nRightarrow“对任意实数\varepsilon>0都存在分法\mathbb{P}''使得\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))\leqslant\varepsilon”.

 

 

 

 

 

f:I\rightarrow\mathbb{R}是有界函数,其中I为有界区间.

我们再来考察Riemann积分的另一种常见黎曼和极限定义.  我们说f是Riemann可积的,当且仅当存在实数S,对任意实数\varepsilon>0,存在实数\delta>0,对I的任意不含空集(使得下面的笛卡尔乘积非空)分法\mathbb{P},如果max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta那么对任意函数\displaystyle(\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}\in\prod_{K\in\mathbb{P}} K我们有\displaystyle|\sum_{J\in\mathbb{P}}f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|-S|\leqslant\varepsilon. 于是我们记f的Riemann积分值为S.(也即\displaystyle\lim_{max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}\rightarrow 0}\sum_{J\in\mathbb{P}}f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|=S). 值得一提的是,如果f是按“黎曼和极限定义”Riemann可积的,我们容易证明其积分值S是唯一的.

 

下面我们将证明上述常见黎曼和极限定义与书中的Riemann可积定义是等价的.

 

 

 

 

我们先证明:小命题4.“对任意实数\varepsilon>0,存在I的一个分法\mathbb{P}使得\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon”和“对任意实数\varepsilon>0,存在实数\delta>0,对一切I的分法\mathbb{P},如果max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta那么\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon”是等价的.

证明:假设有“对任意实数\varepsilon<0,存在实数\delta>0,对一切I的分法\mathbb{P},如果max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta那么\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon”.

对任意实数\varepsilon<0,由假设我们知存在实数\delta>0使得对一切I的分法\mathbb{P}如果max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta那么\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon. 进而我们可以取到正自然数N_\delta使得\frac{|I|}{\delta}<N_\delta,即\frac{|I|}{N_\delta}<\delta. 于是我们可以考虑I的均分法\mathbb{P}'(具体来说,如果我们有\sup(I)\notin I,我们定义\mathbb{P}':=\{I\cap J : J\in\{[n\frac{|I|}{N_\delta}+\inf(I), (n+1)\frac{|I|}{N_\delta}+\inf(I)) : n\in\{i\in\mathbb{N} : i<N_\delta\}\}\};否则我们定义\mathbb{P}':=\{I\cap J : J\in\{[n\frac{|I|}{N_\delta}+\inf(I), (n+1)\frac{|I|}{N_\delta}+\inf(I)) : n\in\{i\in\mathbb{N} : i<N_\delta-1\}\cup\{[(N_\delta-1)\frac{|I|}{N_\delta}+\inf(I), N_\delta\frac{|I|}{N_\delta}]+\inf(I)\}\}\}. 容易验证这样定义的集合确实是I的分法.). 于是我们可以发现max\{|J| : J\in\mathbb{P}'\}=\frac{|I|}{N_\delta}<\delta. 于是由假设我们知有\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon.

综上,我们证明了如果“对任意实数\varepsilon<0,存在实数\delta>0,对一切I的分法\mathbb{P},如果max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta那么\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon\Longrightarrow“对任意实数\varepsilon>0,存在I的一个分法\mathbb{P}使得\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon”.

 

 

 

类似的,我们假设“对任意实数\varepsilon>0,存在I的一个分法\mathbb{P}使得\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon”成立.

  • 小命题5.对于I的一切分法\mathbb{P}_1, \mathbb{P}_2我们考虑\mathbb{P}_1, \mathbb{P}_2的公共加细\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2. 对任意元素J\in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2,如果J非空,易证恰存在一个K_1\in\mathbb{P}_1使得J\subseteq K_1并且恰存在一个K_2\in\mathbb{P}_2使得J\subseteq K_2. 于是我们可以定义函数\displaystyle g_1, g_2:\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2\rightarrow\mathbb{R},对任意J\in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2,如果J非空则定义 \displaystyle g_1(J):=\sup_{x\in K_1}f(x)-\inf_{x\in K_1}f(x))\geqslant 0(J\subseteq K_1\in\mathbb{P}_1), g_2(J):=\sup_{x\in K_2}f(x)-\inf_{x\in K_2}f(x))\geqslant 0(J\subseteq K_2\in\mathbb{P}_2)否则g_1(J):=0, g_2(J)=0. 那么我们有\displaystyle\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1\neq\emptyset}(\sup_{x\in K_1}f(x)-\inf_{x\in K_1}f(x))|K_1|=\sum_{J\in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2}g_1(J)|J|\displaystyle\sum_{K_2\in\mathbb{P}_2; K_2\neq\emptyset}(\sup_{x\in K_2}f(x)-\inf_{x\in K_2}f(x))|K_2|=\sum_{J\in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2}g_2(J)|J|.

证明:对任意K_1\in\mathbb{P}_1,我们容易证明\bigcup\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\}=K_1,进而我们容易验证\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\}为集合K_1的一个分法,并且我们容易证明\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\}=\{J\cap K_1 : J\in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2\}. 进而有\displaystyle\bigcup_{P\in\mathbb{P}_1}(\bigcup\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq P\})=\bigcup_{P\in\mathbb{P}_1}P=I=\bigcup_{P\in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2}P. 我们容易验证\bigcup\{\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\} : K_1\in\mathbb{P}_1\}=\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2为I的一个分法,并且容易证明对任意K_3, K_4\in\mathbb{P}_1,如果K_3\neq K_4那么\{J \in(\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2)\backslash\{\emptyset\} : J\subseteq K_3\}\{J \in(\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2)\backslash\{\emptyset\} : J\subseteq K_4\}是不交的. 于是我们有\displaystyle\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1\neq\emptyset}(\sup_{x\in K_1}f(x)-\inf_{x\in K_1}f(x))|K_1|

\displaystyle\\=\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1\neq\emptyset}\{(\sup_{x\in K_1}f(x)-\inf_{x\in K_1}f(x))(\sum_{P\in\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\}}|P|)\}

\displaystyle\\=\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1\neq\emptyset}(\sum_{P\in\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\}}(\sup_{x\in K_1}f(x)-\inf_{x\in K_1}f(x))|P|)

\displaystyle\\=\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1\neq\emptyset}(\sum_{P\in\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\}}g_1(P)|P|)

\displaystyle\\=\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1\neq\emptyset}(\sum_{P\in\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\}}g_1(P)|P|-\sum_{P\in\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\}; P=\emptyset}g_1(P)|P|)

\displaystyle\\=\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1\neq\emptyset}(\sum_{P\in\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\}; P\neq\emptyset}g_1(P)|P|)

\displaystyle\\=\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1\neq\emptyset}(\sum_{P\in\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\}\backslash\{\emptyset\}}g_1(P)|P|)

\displaystyle\\=\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1\neq\emptyset}(\sum_{P\in\{J \in(\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2)\backslash\{\emptyset\} : J\subseteq K_1\}}g_1(P)|P|)

\displaystyle\\=\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1\neq\emptyset}(\sum_{P\in\{J \in(\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2)\backslash\{\emptyset\} : J\subseteq K_1\}}g_1(P)|P|)+\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1=\emptyset}(\sum_{P\in\{J \in(\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2)\backslash\{\emptyset\} : J\subseteq K_1\}}g_1(P)|P|)

\displaystyle\\=\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1}(\sum_{P\in\{J \in(\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2)\backslash\{\emptyset\} : J\subseteq K_1\}}g_1(P)|P|)

\displaystyle\\=\sum_{J\in\bigcup\{\{J \in(\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2)\backslash\{\emptyset\} : J\subseteq K_1\} : K_1\in\mathbb{P}_1\}}g_1(J)|J|

\displaystyle\\=\sum_{J\in\bigcup\{\{J \in(\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2) : J\subseteq K_1\} : K_1\in\mathbb{P}_1\}\backslash\{\emptyset\}}g_1(J)|J|

\displaystyle\\=\sum_{J\in\bigcup\{\{J \in(\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2) : J\subseteq K_1\} : K_1\in\mathbb{P}_1\}\backslash\{\emptyset\}}g_1(J)|J|+\sum_{J\in\{\emptyset\}}g_1(J)|J|

\displaystyle\\=\sum_{J\in\bigcup\{\{J \in(\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2) : J\subseteq K_1\} : K_1\in\mathbb{P}_1\}}g_1(J)|J|\\=\sum_{J\in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_1}g_1(J)|J|.

同理我们也可以证明\displaystyle\sum_{K_2\in\mathbb{P}_2; K_2\neq\emptyset}(\sup_{x\in K_2}f(x)-\inf_{x\in K_2}f(x))|K_2|=\sum_{J\in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2}g_2(J)|J|.

这就完成了小命题5.的证明.

 

我们回到小命题4.证明的主线.

当I为空集或单点集或f为常值函数时命题“对任意实数\varepsilon<0,存在实数\delta>0,对一切I的分法\mathbb{P},如果max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta那么\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon”是显然成立的,故我们只需再考虑I为非退化区间并且f不是在I上常值的情形,此时I的任意分法都含有非退化区间.

 

对任意实数\varepsilon>0由假设“对任意实数\varepsilon>0,存在I的一个分法\mathbb{P}使得\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon存在I的一个分法\mathbb{P}'使得\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\frac{1}{2}\cdot\varepsilon.

 

我们定义\displaystyle H_{max}^{(1)}:=max\{(\sup_{x\in P_1\cup P_2\cup P_3}f(x)-\inf_{x\in P_1\cup P_2\cup P_3}f(x)) : (P_1, P_2, P_3)\in\{(O_1, O_2, O_3)\in(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\}) : O_1\cup O_2\cup O_3\text{ is a interval}\}\}.

由于我们假设了I为非退化区间,进而此时I的分法\mathbb{P}'含有非退化区间,进而集合(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})非空. 从上面小命题3.的结论我们可以证明(严格写起来太繁琐,故省略)集合\{(O_1, O_2, O_3)\in(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\}) : O_1\cup O_2\cup O_3\text{ is a interval}\}非空. 于是我们可以看到H_{max}^{(1)}\geqslant 0. 而如果H_{max}^{(1)}=0,也即对任意\displaystyle(P_1, P_2, P_3)\in\{(O_1, O_2, O_3)\in(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\}) : O_1\cup O_2\cup O_3\text{ is a interval}\}\displaystyle\sup_{x\in P_1\cup P_2\cup P_3}f(x)-\inf_{x\in P_1\cup P_2\cup P_3}f(x)=0,这说明对每个\displaystyle(P_1, P_2, P_3)\in\{(O_1, O_2, O_3)\in(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\}) : O_1\cup O_2\cup O_3\text{ is a interval}\}函数f在区间P_1\cup P_2\cup P_3上是常值的. 进而结合小命题3.小心论证我们可以知道f在I上常值.

于是在假设f不是常值函数的前提下我们有H_{max}^{(1)}>0.

 

我们再定义\displaystyle H_{max}^{(2)}:=max\{(\sup_{x\in P_1\cup P_2}f(x)-\inf_{x\in P_1\cup P_2}f(x)) : (P_1, P_2)\in\{(O_1, O_2)\in(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})) : O_1\cup O_2\text{ is a interval}\}\}. 同上面对H_{max}^{(3)}的论述我们知此时有H_{max}^{(2)}>0.

 

我们定义\displaystyle H_{max}^{(3)}:=max\{\sum_{i=0}^3(\sup_{x\in P_i}f(x)-\inf_{x\in P_i}f(x)) : (P_1, P_2, P_3)\in\{(O_1, O_2, O_3)\in(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\}) : O_1\cup O_2\cup O_3\text{ is a interval}\}\}.

由于我们假设了I为非退化区间,进而此时I的分法\mathbb{P}'含有非退化区间,进而集合(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})非空. 从上面小命题3.的结论我们可以证明(严格写起来太繁琐,故省略)集合\{(O_1, O_2, O_3)\in(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\}) : O_1\cup O_2\cup O_3\text{ is a interval}\}非空. 于是我们可以看到H_{max}^{(3)}\geqslant 0. 而如果H_{max}^{(3)}=0,也即对任意\displaystyle(P_1, P_2, P_3)\in\{(O_1, O_2, O_3)\in(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\}) : O_1\cup O_2\cup O_3\text{ is a interval}\}\displaystyle\sum_{i=0}^3(\sup_{x\in P_i}f(x)-\inf_{x\in P_i}f(x))=0进而对任意\displaystyle(P_1, P_2, P_3)\in\{(O_1, O_2, O_3)\in(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\}) : O_1\cup O_2\cup O_3\text{ is a interval}\},对每个i\in\{1, 2, 3\},有\displaystyle(\sup_{x\in P_i}f(x)-\inf_{x\in P_i}f(x))=0. 进而结合小命题3.小心论证我们可以知道f在I上关于分法\mathbb{P}'逐段常值.

于是在假设f不是关于分法\mathbb{P}'逐段常值函数的前提下我们有H_{max}^{(3)}>0.

 

我们再定义\displaystyle H_{max}^{(4)}:=max\{\sum_{i=0}^2(\sup_{x\in P_i}f(x)-\inf_{x\in P_i}f(x)) : (P_1, P_2)\in\{(O_1, O_2)\in(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})) : O_1\cup O_2\text{ is a interval}\}\}. 同上面对H_{max}^{(3)}的论述我们知此时有H_{max}^{(4)}>0.

 

至此,我们终于可以定义我们想要的\delta. 我们记l_{min}:=\frac{1}{2}\cdot min\{|J|: J\in\{P'\in\mathbb{P}' : P'\text{ is non-degenerate}\}\},由于\mathbb{P}'包含非退化区间,于是我们看到l_{min}>0. 进而我们就定义\delta:=min\{\frac{\frac{1}{2}\varepsilon}{\#(\mathbb{P}')\cdot max\{H_{max}^{(1)}, H_{max}^{(2)}, H_{max}^{(3)}, H_{max}^{(4)}\}}, l_{min}\}>0.

 

完成了对\delta的定义,进而对任意I的分法\mathbb{P},如果max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta那么对任意J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}',如果J非空,易证恰存在一个K\in\mathbb{P}使得J\subseteq K并且恰存在一个K'\in\mathbb{P}'使得J\subseteq K'. 于是我们可以定义函数\displaystyle g, g':\mathbb{P}\#\mathbb{P}'\rightarrow\mathbb{R},对任意J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}',如果J非空则定义 \displaystyle g(J):=\sup_{x\in K}f(x)-\inf_{x\in K}f(x))\geqslant 0(J\subseteq K\in\mathbb{P}), g'(J):=\sup_{x\in K'}f(x)-\inf_{x\in K'}f(x))\geqslant 0(J\subseteq K'\in\mathbb{P}');否则g(J):=0, g'(J)=0.

由上小命题5.论证我们知\displaystyle\sum_{K\in\mathbb{P}; K\neq\emptyset}(\sup_{x\in K}f(x)-\inf_{x\in K}f(x))|K|=\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}g(J)|J|\displaystyle\sum_{K'\in\mathbb{P}'; K'\neq\emptyset}(\sup_{x\in K'}f(x)-\inf_{x\in K'}f(x))|K'|=\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}g'(J)|J|.

 

于是我们只要证明“\displaystyle\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}g(J)|J|\leqslant\varepsilon”就可以完成:在假设f在I上不是关于分法\mathbb{P}'逐段常值函数的前提下,有“对任意实数\varepsilon>0,存在I的一个分法\mathbb{P}使得\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon\Longrightarrow“对任意实数\varepsilon<0,存在实数\delta>0,对一切I的分法\mathbb{P},如果max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta那么\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon”的证明. 下面我们就做此事.

 

 

我们将会\mathbb{P}\#\mathbb{P}'分为四组:A_0:=\{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J=\emptyset\},\\A_1:=\{J\in\{J'\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J'\text{ is not empty}\} : \exists K\in\mathbb{P}, \exists K'\in\mathbb{P}'\text{ such that }J\subseteq K\subseteq K'\},\\A_2:=\{J\in\{J'\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J'\text{ is singleton}\} : \exists K\in\mathbb{P}, \exists K'\in\mathbb{P}'\text{ such that }J\subseteq K, J\subseteq K', \lnot(K\subseteq K')\},\\A_3:=\{J\in\{J'\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J'\text{ is non-degenerate}\} : \exists K\in\mathbb{P}, \exists K'\in\mathbb{P}'\text{ such that }J\subseteq K, J\subseteq K', \lnot(K\subseteq K')\}. 我们容易证明A_0\cup A_1\cup A_2\cup A_3=\mathbb{P}\#\mathbb{P}'并且A_0, A_1, A_2, A_3两两不相交.

 

 

 

先来考虑集合A_0.

对任意J\in A_0我们有J为空集,由两函数g, g’定义我们有\displaystyle g'(J)=g(J)=0,进而\displaystyle g'(J)-g(J)=0.

 

 

 

再来考虑A_1.

对任意J\in A_1,有K\subseteq K'成立,此时我们有\sup(K')\geqslant \sup(K)\inf(K)\geqslant \inf(K'),再由于\emptyset\neq J\subseteq K\subseteq K',于是我们有+\infty>\sup(K')\geqslant \sup(K)\geqslant\inf(K)\geqslant \inf(K')>-\infty,于是我们看到\displaystyle g'(J)-g(J)\geqslant 0. 即对任意J\in A_1\displaystyle g(J)-g'(J)\leqslant 0.

 

 

 

再来考虑A_2A_3.

我们定义集合A_4:=\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}. 进而我们容易证明对J_1, J_2\in A_4如果J_1\neq J_2那么J_1\cap J_2=\emptyset. 也容易证明\bigcup A_4=A_2\cup A_3. 并且我们容易证明对任意非空P\in A_4,我们有恰存在一个J'\in\mathbb{P}P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}.

进而对任意非空P\in A_4,我们有恰存在一个J'\in\mathbb{P}使得P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\},进而对此唯一的集合J'

J'

=\bigcup\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J'\}(因为\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J'\}为J的分法)

=(\bigcup\{J''\in A_0 : J''\subseteq J'\})\cup(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\})\cup(\bigcup\{J''\in A_2 : J''\subseteq J'\})\cup(\bigcup\{J''\in A_3 : J''\subseteq J'\})(由A_0\cup A_1\cup A_2\cup A_3=\mathbb{P}\#\mathbb{P}'并且A_0, A_1, A_2, A_3两两不相交可证)

=\emptyset\cup(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\})\cup(\bigcup\{J''\in A_2 : J''\subseteq J'\})\cup(\bigcup\{J''\in A_3 : J''\subseteq J'\})(容易证明\bigcup\{J''\in A_0 : J''\subseteq J'\}为空集)

=(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\})\cup(\bigcup\{J''\in A_2 : J''\subseteq J'\})\cup(\bigcup\{J''\in A_3 : J''\subseteq J'\})

 

而对任意J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}',如果J\neq\emptyset,我们知恰存在一个K\in\mathbb{P}和恰存在一个K'\in\mathbb{P}'使得J=K\cap K'. 如果我们还知道此时K\subseteq K',那么有J=K\cap K'=K. 亦即我们证明了命题:“对任意J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}',如果((J\neq\emptyset)并且(存在K\in\mathbb{P}, K'\in\mathbb{P}'使得J\subseteq K\subseteq K'))那么有J=K.”.

由上面一段以及A_1定义我们易证:对任意J\in A_1J=K(K\in\mathbb{P}).

我们假设(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\})不是空集,即存在元素x_0\in(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\}). 进而存在元素x_0\in(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\}),对某A\in\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\}x_0\in A. 进而存在元素x_0\in(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\}),存在A\in\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\}使得A\in A_1A\subseteq J'x_0\in A. 综合“对任意非空P\in A_4,我们有恰存在一个J'\in\mathbb{P}使得P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}”看到:存在非空集合A\in A_1使得A\subseteq J'并且\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}也是非空集合. 进而有存在非空集合A\in A_1使得x_0\in A\subseteq J'并且存在非空集合B\in A_2\cup A_3使得B\subseteq J'. 由于已证“对任意J\in A_1J=K(K\in\mathbb{P}).”,进一步我们得到:存在非空集合A\in A_1使得x_0\in A=J'并且存在非空集合B\in A_2\cup A_3使得B\subseteq J'=A. 进而存在非空集合A\in A_1,存在非空集合B\in A_2\cup A_3使得B\subseteq A. 而我们已证A_0, A_1, A_2, A_3两两不相交,所以“存在非空集合A\in A_1,存在非空集合B\in A_2\cup A_3使得B\subseteq A”不可能成立,所以我们的假设不成立,即(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\})=\emptyset.

 

进而继续上面的等式变换,即

J'=(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\})\cup(\bigcup\{J''\in A_2 : J''\subseteq J'\})\cup(\bigcup\{J''\in A_3 : J''\subseteq J'\})=(\bigcup\{J''\in A_2 : J''\subseteq J'\})\cup(\bigcup\{J''\in A_3 : J''\subseteq J'\})=\bigcup\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}=\bigcup P.

 

综上,我们证明了:对任意非空P\in A_4,我们有恰存在一个J'\in\mathbb{P}使得P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}并且J'=\bigcup\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J'\}=\bigcup\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}=\bigcup P.

 

 

进而对任意非空P\in A_4,我们知恰存在一个J'\in\mathbb{P}使得P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}并且J'=\bigcup\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}. 我们假设存在P'\in\mathbb{P}'使得J'\subseteq P'. 也即有\bigcup\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}\subseteq P'. 进而对任意J''\in A_2\cup A_3,如果J''\subseteq J'J''\subseteq P'. 进而对任意J''\in A_2\cup A_3,由A_2, A_3定义我们知J''\subseteq J', J''\subseteq P', \lnot(J'\subseteq P'). 由于A_4非空,进而我们得到A_2\cup A_3非空,于是由“对任意J''\in A_2\cup A_3,由A_2, A_3定义我们知J''\subseteq J', J''\subseteq P', \lnot(J'\subseteq P').”知有J'\subseteq P'不成立. 这个矛盾说明我们的假设不成立. 故我们证明了:对任意非空P\in A_4,恰存在一个J'\in\mathbb{P},使得P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}并且J'=\bigcup P并且对任意P'\in\mathbb{P}'J'\subseteq P'不成立.(或者写证明:对任意J'\in\mathbb{P},如果\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\}\in A_4非空,我们假设存在P'\in\mathbb{P}'使得J'\subseteq P'. 由于\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\}非空,于是存在J_0\in A_2\cup A_3使得J_0\subseteq J'. 再由A_2, A_3的定义知存在K_2\in\mathbb{P}, K_2'\in\mathbb{P}'使得J_0\subseteq K_2, J_0\subseteq K_2', \lnot(K_2\subseteq K_2'). 由于J_0\subseteq J',于是K_2=J'. 于是我们看到J_0\subseteq J'\subseteq P',进而K_2'=P'. 于是我们看到J'\subseteq P'\lnot(K_2\subseteq K_2')是相互矛盾的,故我们的假设不成立.)

 

综上,我们证明了:对任意J'\in\mathbb{P},如果\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\}\in A_4非空那么对任意P'\in\mathbb{P}'J'\subseteq P'不成立.

 

 

由上,对任意J'\in\mathbb{P},如果\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\}\in A_4非空,那么我们容易证明:对任意自然数N\leqslant\#(\mathbb{P}'),对任意单射f:\{n\in\mathbb{N} : n\leqslant N\}\rightarrow\mathbb{P},如果\displaystyle J'\subseteq\bigcup_{i\in\{n\in\mathbb{N} : n\leqslant N\}}f(i)那么N\geqslant 2. 进一步我们容易反证证明:对任意J'\in\mathbb{P},如果\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\}\in A_4非空,那么\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\})\geqslant 2.

 

 

于是现在我们来证明:对任意非空P\in A_4,恰存在一个J'\in\mathbb{P},使得P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\},使得1\leqslant\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset, P'\text{ is non-degenerate}\})\leqslant 2.

证明:对任意非空P\in A_4,由前面论证知恰存在一个J'\in\mathbb{P},使得P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}并且J'=\bigcup P并且对任意P'\in\mathbb{P}'J'\subseteq P'不成立.             我们假设一:\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset, P'\text{ is non-degenerate}\})\geqslant 3. 由小命题3.以及J'为区间我们容易证明J'至少包含一个\mathbb{P}'的一个非退化区间,这与J'\in\mathbb{P}使得|J'|<\delta\leqslant l_{min}相矛盾. 故我们的假设一不成立,进而有\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset, P'\text{ is non-degenerate}\})\leqslant 2.             同样的,我们假设二:\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset, P'\text{ is non-degenerate}\})=0. 由于P\in A_4非空,并且恰存在一个J'\in\mathbb{P}使得P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\},于是我们知道\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}非空. 进而存在J'''\in A_2\cup A_3使得J'''\subseteq J'. 再由A_2, A_3定义我们知J'非空. 我们进一步假设J'为单元素集,于是可以知道\emptyset\neq J'''\in A_2. 综合起来有J'''=J'为单元素集. 再由J'''\in A_2以及A_2的定义我们知存在J'\in\mathbb{P}, K'\in\mathbb{P}'使得\emptyset\neq J'''\subseteq J', \emptyset\neq J'''\subseteq K', \lnot(J'\subseteq K'). 由上“\lnot(J'\subseteq K')”以及“J'为单元素集”我们知道K'为空集,这与已证的“\emptyset\neq J'''\subseteq K'”相矛盾,说明我们的进一步假设不成立,于是J'为不是单元素集. 再结合J'非空我们知道J'为非退化区间. 于是我们有J'=\bigcup \{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}为非退化区间,进而我们知道存在J''''\in A_3使得J''''\subseteq J'. 至此,对非退化区间J''''\in A_3,由A_3定义我们知存在J'\in\mathbb{P}, K_1'\in\mathbb{P}'使得J''''\subseteq J', J''''\subseteq K_1', \lnot(J'\subseteq K_1'). 于是有\emptyset\neq J''''\subseteq K_1'\cap J'. 如果我们知道K_1'为非退化区间,进而有K_1'\in\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset, P'\text{ is non-degenerate}\},于是这与假设二\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset, P'\text{ is non-degenerate}\})=0相矛盾,故K_1'应为单点集. 此时我们看到对非退化区间J''''和单点集K_1'J''''\subseteq K_1'. 这个矛盾说明我们的假设二不成立. 故\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset, P'\text{ is non-degenerate}\})\geqslant 1.

 

综上,我们证明了对任意非空P\in A_4,恰存在一个J'\in\mathbb{P},使得P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\},使得1\leqslant\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset, P'\text{ is non-degenerate}\})\leqslant 2.

 

 

进一步的,对任意J'\in\mathbb{P},若P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}\in A_4非空,我们假设\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\})\geqslant 4. 于是我们可以从集合\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\})取出4个不同元素,分别记作P_1, P_2, P_3, P_4. 由于我们已经证明“对任意非空P\in A_4,恰存在一个J'\in\mathbb{P},使得P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\},使得1\leqslant\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset, P'\text{ is non-degenerate}\})\leqslant 2.”,于是P_1, P_2, P_3, P_4中有一个非退化区间和三个单点集;或者两个非退化区间和两个单点集. 但不管如何,我们知道此时J'包含\mathbb{P}'中至少两个单点集,我们记此两单点集分别为\{x_1\}, \{x_2\}(x_1\neq x_2). 不妨一般性,我们假设x_1<x_2. 此时对一切x\in(x_1, x_2)\subseteq I,我们知道恰存在一个P\in\mathbb{P}'使得x\in P. 我们假设存在从(x_1, x_2)\mathbb{P}'的单射. 由于x_1<x_2,于是(x_1, x_2)是无限集. 再由假设“存在从(x_1, x_2)\mathbb{P}'的单射”我们知道\mathbb{P}'是无限集. 这与分法的定义相矛盾,于是假设不成立,于是不存在从(x_1, x_2)\mathbb{P}'的单射. 于是我们定义函数F:(x_1, x_2)\rightarrow\mathbb{P}',已知对一切x\in(x_1, x_2)\subseteq I恰存在一个P\in\mathbb{P}'使得x\in P,于是我们定义F(x):=P(x\in P). 由上我们知F不是单射,即存在x_3, x_4\in(x_1, x_2)使得x_3\neq x_4并且F(x_3)=F(x_4). 再结合\{x_1\}, \{x_2\}\in\mathbb{P}'(x_1<x_2)我们知存在非退化区间P_0\in\mathbb{P}'使得P_0\subseteq (x_1, x_2). 于是我们看到P_0\subseteq J'. 由\delta定义知这与我们只考虑“max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta”的\mathbb{P}相矛盾. 于是我们的假设不成立,即有\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\})<4.

 

综上,结合已证“对任意J'\in\mathbb{P},如果\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\}\in A_4非空,那么\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\})\geqslant 2.”,有对任意J'\in\mathbb{P},若\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}\in A_4非空,有2\leqslant\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\})\leqslant 3.

 

 

进而,对任意J'\in\mathbb{P},由于\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J'\}J'的分法,进而有J'=\bigcup\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J'\}. 于是对任意x\in J',我们知对某集合C\in\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J'\}x\in C. 也即对任意x\in J',我们知对某非空集合C\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'C\subseteq J'x\in C. 进而对任意x\in J'知对某非空集合C\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'C\subseteq J'x\in C,而我们知道恰存在一个元素D'\in\mathbb{P}'使得有C\subseteq D',进而有x\in D',于是我们看到x\in J'\cup D'\neq\emptyset,于是我们看到x\in\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}.

 

综上,对任意J'\in\mathbb{P},我们有J'\subseteq\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}.

 

 

对任意J'\in\mathbb{P},我们考虑集合\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}.

如果J'为空集,我们易知\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}为空集,于是此时\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}可以写成区间的形式.

如果J'为单点集,我们易知\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}就是一个区间.

我们再来考虑J'非退化的情形,我们记U:=\sup\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}, L:=\inf\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}. 我们容易证明\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}非退化,进而知\inf(I)\leqslant L<U\leqslant \sup(I). 我们大假设\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}不能写成区间的形式,这说明存在元素x_0\in(L, U)使得x_0\notin\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\},也即存在元素x_0\in(L, U)使得对任意P'\in\mathbb{P}'如果P'\cap J'\neq\emptyset那么x_0\notin P'. 而我们注意到x_0\in(L, U)(L, U)\subseteq I,于是恰存在一个非空P_0\in\mathbb{P}'使得x_0\in P_0. 由“存在元素x_0\in(L, U)使得对任意P'\in\mathbb{P}'如果P'\cap J'\neq\emptyset那么x_0\notin P'.”我们知道P_0\cap J'=\emptyset. 于是我们看到P_0\notin\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}.             我们小假设一\inf(J')<\sup(P_0)\inf(P_0)<\sup(J'). 我们容易证明当\inf(P_0)\leqslant\inf(J')或者\sup(J')\leqslant\sup(P_0)时我们有P_0\cap J'\neq\emptyset,于是在我们已证P_0\cap J'=\emptyset的条件下应有\inf(P_0)>\inf(J')\sup(J')>\sup(P_0),进而由J'为区间我们有\emptyset\neq P_0\subseteq J',于是此时仍有P_0\cap J'=P_0\neq\emptyset. 综上,我们知道小假设一不成立,于是我们证明了\sup(P_0)\leqslant\inf(J')\sup(J')\leqslant\inf(P_0).             再由于对任意P'\in\mathbb{P}'如果P'\cap J'\neq\emptyset那么有P'\subseteq\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\},于是我们看到对任意P'\in\mathbb{P}'如果P'\cap J'\neq\emptyset那么有\sup(P')\leqslant U. 我们小假设二有对任意P'\in\mathbb{P}'如果P'\cap J'\neq\emptyset那么有\sup(P')<U. 于是我们可以定义实数U_s:=max\{\sup(P) : P\in\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}\},于是我们由小假设二知有U_s<U. 那么对任意x\in\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\},我们知对某P_x\in\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}x\in P_x,进而有x\leqslant\sup(P_x)\leqslant U_s<U. 至此我们发现U不是\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}的最小上界,这个矛盾说明我们的小假设二是不成立的,于是我们得到存在P_1\in\mathbb{P}'使得P_1\cap J'\neq\emptyset\sup(P_1)\geqslant U. 再结合已证“对任意P'\in\mathbb{P}'如果P'\cap J'\neq\emptyset那么有\sup(P')\leqslant U.”我们知存在P_1\in\mathbb{P}'使得P_1\cap J'\neq\emptyset\sup(P_1)=U. 同理我们可以证明存在P_2\in\mathbb{P}'使得P_2\cap J'\neq\emptyset\inf(P_2)=L.             综上,我们证明了“\sup(P_0)\leqslant\inf(J')\sup(J')\leqslant\inf(P_0)”和“存在P_1\in\mathbb{P}'使得P_1\cap J'\neq\emptyset\sup(P_1)=U”和“存在P_2\in\mathbb{P}'使得P_2\cap J'\neq\emptyset\inf(P_2)=L”. 我们再小假设三L<\sup(P_0)\inf(P_0)<U. 结合上面已证我们有L<\sup(P_0)\leqslant\inf(J')或者\sup(J')\leqslant\inf(P_0)<U,也即\inf(P_2)<\sup(P_0)\leqslant\inf(J')或者\sup(J')\leqslant\inf(P_0)<\sup(P_1). 再由于P_2\cap J'\neq\emptysetP_1\cap J'\neq\emptyset我们知道有\inf(J')\leqslant\sup(P_2)\inf(P_1)\leqslant\sup(J'),再结合已证的“\inf(P_2)<\sup(P_0)\leqslant\inf(J')或者\sup(J')\leqslant\inf(P_0)<\sup(P_1)”我们知道有\inf(P_2)<\sup(P_0)\leqslant\sup(P_2)或者\inf(P_1)\leqslant\inf(P_0)<\sup(P_1). 进而我们由“\inf(P_2)<\sup(P_0)\leqslant\sup(P_2)或者\inf(P_1)\leqslant\inf(P_0)<\sup(P_1)”以及P_1, P_2是区间知有P_0\cap P_2\neq\emptyset或者P_0\cap P_1\neq\emptyset,但由P_0, P_1, P_2\in\mathbb{P}'以及分法的定义我们知道“P_0\cap P_2\neq\emptyset或者P_0\cap P_1\neq\emptyset”是不成立的,于是我们的小假设三不成立. 进而有L\geqslant\sup(P_0)或者\inf(P_0)\geqslant U.             此时由“L\geqslant\sup(P_0)或者\inf(P_0)\geqslant U”以及x_0\in P_0我们知L\geqslant x_0或者x_0\geqslant U,但这与x_0\in(L, U)是相矛盾的,于是我们的大假设不成立,进而当J'非退化时\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}也能写成区间的形式.

 

综上,我们知对任意J'\in\mathbb{P},集合\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}可以写成区间的形式.

 

 

下面这段论证是上面一大整段的具体情形,但对证明小命题4.的帮助不大,可以跳过.

下面我们将证明:对任意J\in A_3,恰存在一个K\in\mathbb{P}使得
J\subseteq K2\leqslant\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap K\neq\emptyset\})\leqslant 3\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap K\neq\emptyset\}为区间.


证明:对任意J\in A_3,易知恰存在一个K\in\mathbb{P}和恰存在一个
K'\in\mathbb{P}'使得J\subseteq K, K'并且有K\subseteq K'不成立. 
由于K\in\mathbb{P},于是有|K|<\delta\leqslant l_{min}=\frac{1}{2}\cdot min\{|P|: P\in\{P'\in\mathbb{P}' : P'\text{ is non-degenerate}\}\}. 
综上,我们有K\subseteq K'不成立和|K|<\frac{1}{2}\cdot min\{|P|: P\in\{P'\in\mathbb{P}' : P'\text{ is non-degenerate}\}\}J\subseteq K, K'
为非退化区间,从这三个条件我们容易得到1\leqslant\#(\{P\in\{P'\in\mathbb{P}' : P'\text{ is non-degenerate}\} : P\cap K\neq\emptyset\})\leqslant 2. 故我们按
\#(\{P\in\{P'\in\mathbb{P}' : P'\text{ is non-degenerate}\} : P\cap K\neq\emptyset\})继续分类讨论.




当\#(\{P\in\{P'\in\mathbb{P}' : P'\text{ is non-degenerate}\} : P\cap K\neq\emptyset\})=1时,
再由J\subseteq K, K'均为非退化区间知\emptyset \neq J\subseteq K\cap K'
且K'是\mathbb{P}'中非退化区间,进而有\{P\in\{P'\in\mathbb{P}' : P'\text{ is non-degenerate}\} : P\cap K\neq\emptyset\}=K'. 
再由K\subseteq K'不成立知存在x_0\in K, x_0\notin K'. 进而对任意x\in K,
若x\notin K',由于“\{P\in\{P'\in\mathbb{P}' : P'\text{ is non-degenerate}\} : P\cap K\neq\emptyset\}=K'”知
x只能属于\mathbb{P}'中的单元素区间. 进而对任意x\in K,若x\notin K',
我们进一步假设有x<\inf(K')x>\sup(K'),此时由上面小命题3.我们容易证明有
|K|>min\{|J|: J\in\{P'\in\mathbb{P}' : P'\text{ is non-degenerate}\}\},
这与上面证明了的“|K|<l_{min}”相矛盾,于是我们的假设不成立,即有\inf(K')\leqslant x\leqslant\sup(K'). 
进而对任意x\in K,若x\notin K',再由x\notin K'知有x\in\{\inf(K'), \sup(K')\}. 
进而对任意x\in K,若x\notin K',由于当K\backslash K'=\{\inf(K'), \sup(K')\}
我们可证得|K|\geqslant |K'|>\delta,这个矛盾说明应该有K\backslash K'=\{\inf(K')\}或者
K\backslash K'=\{\sup(K')\}. 综上,我们证明了当\#(\{P\in\{P'\in\mathbb{P}' : P'\text{ is non-degenerate}\} : P\cap K\neq\emptyset\})=1时,
我们有存在K', \{\inf(K')\}\in\mathbb{P}'使得K=K'\cup\{\inf(K')\}不可兼或
存在K', \{\sup(K')\}\in\mathbb{P}'使得K=K'\cup\{\sup(K')\}. 于是我们可以发现此时有
\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap K\neq\emptyset\})=2\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap K\neq\emptyset\}为区间.




当\#(\{P\in\{P'\in\mathbb{P}' : P'\text{ is non-degenerate}\} : P\cap K\neq\emptyset\})=2时,
我们记\{P_1, P_2\}=\{P\in\{P'\in\mathbb{P}' : P'\text{ is non-degenerate}\} : P\cap K\neq\emptyset\},
也即恰存在 P_1, P_2\in\mathbb{P}'使得P_1\neq P_2并且P_1\cap K, P_2\cap K\neq\emptyset
并且P_1, P_2均为非退化区间. 我们有(max\{\inf(P_1), \inf(P_2)\}, min\{\sup(P_1), \sup(P_2)\})\subseteq P_1\cap P_2\subseteq[max\{\inf(P_1), \inf(P_2)\}, min\{\sup(P_1), \sup(P_2)\}],
由于 P_1, P_2\in\mathbb{P}'进而我们知P_1\cap P_2=\emptyset,
进而(max\{\inf(P_1), \inf(P_2)\}, min\{\sup(P_1), \sup(P_2)\})=\emptyset,
也即min\{\sup(P_1), \sup(P_2)\}\leqslant max\{\inf(P_1), \inf(P_2)\}. 
我们以\sup(P_1), \sup(P_2)的大小关系进行讨论如下.

如果\sup(P_1)\leqslant\sup(P_2),由min\{\sup(P_1), \sup(P_2)\}\leqslant max\{\inf(P_1), \inf(P_2)\}
以及P_1, P_2均为非退化区间我们知\inf(P_2)\geqslant\inf(P_1), \sup(P_1),
进而我们有\inf(P_1)<\sup(P_1)\leqslant\inf(P_2)<\sup(P_2);同理如果有
\sup(P_1)>\sup(P_2)我们将得到\inf(P_2)<\sup(P_2)\leqslant\inf(P_1)<\sup(P_1).

如果为\inf(P_1)<\sup(P_1)\leqslant\inf(P_2)<\sup(P_2),我们假设
\sup(P_1)<\inf(P_2),进而(\sup(P_1), \inf(P_2))\subseteq I是
非退化区间,于是对任意x\in(\sup(P_1), \inf(P_2)),恰存在一个P''\in\mathbb{P}'使得
x\in P''并且P''\neq P_1, P_2. 再由于P_1\cap K, P_2\cap K\neq\emptyset,
于是存在元素x_1\in P_1, x_2\in P_2使得\inf(K)\leqslant x_1\leqslant\sup(P_1)\inf(P_2)\leqslant x_1\leqslant\sup(K). 
综合起来我们有\inf(K)\leqslant x_1\leqslant\sup(P_1)<\inf(P_2)\leqslant x_1\leqslant\sup(K),
进而我们看到(\sup(P_1), \inf(P_2))\subseteq K. 由于已证
“对任意x\in(\sup(P_1), \inf(P_2)),恰存在一个P''\in\mathbb{P}'使得x\in P''
并且P''\neq P_1, P_2”并且“\{P_1, P_2\}=\{P\in\{P'\in\mathbb{P}' : P'\text{ is non-degenerate}\} : P\cap K\neq\emptyset\}”,
于是我们得到结论“对任意x\in(\sup(P_1), \inf(P_2)),恰存在一个\{x\}\in\mathbb{P}'使得
x\in \{x\}”. 但是此时(\sup(P_1), \inf(P_2))中元素是无限多的,
进而得到\mathbb{P}'是无限集. 这个矛盾说明假设\sup(P_1)<\inf(P_2)不成立,
进而有\sup(P_1)=\inf(P_2). 由于K\in\mathbb{P},所以我们有
|K|<\delta\leqslant l_{min},这说明\inf(P_1)<\inf(K)\sup(K)<\sup(P_2). 
综合起来我们有\inf(P_1)<\inf(K)\leqslant\sup(P_1)=\inf(P_2)\leqslant\sup(K)<\sup(P_2). 
至此,我们可以看到:如果P_1\cup P_2为区间,那么K\subseteq P_1\cup P_2;
如果P_1\cup P_2不为区间,那么\{\sup(P_1)\}\in\mathbb{P}'并且
P_1\cup P_2\cup\{\sup(P_1)\}为区间并且K\subseteq P_1\cup P_2\cup\{\sup(P_1)\}. 
进而我们还看到:2\leqslant\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap K\neq\emptyset\})\leqslant 3\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap K\neq\emptyset\}为区间;             同
理如果为\inf(P_2)<\sup(P_2)\leqslant\inf(P_1)<\sup(P_1)我们将得到类似的结论.

综上,我们总有2\leqslant\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap K\neq\emptyset\})\leqslant 3\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap K\neq\emptyset\}为区间.

这就完成了“对任意J\in A_3,恰存在一个K\in\mathbb{P}使得
J\subseteq K2\leqslant\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap K\neq\emptyset\})\leqslant 3\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap K\neq\emptyset\}为区间.”的证明.


当然,对任意的J\in A_2,我们也有类似的结论,这里就不展开论证了.

 

 

从上,我们已证“对任意J'\in\mathbb{P},我们有J'\subseteq\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}.”和“对任意J'\in\mathbb{P},集合\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}可以写成区间的形式.”和“对任意J'\in\mathbb{P},若\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}\in A_4非空,有2\leqslant\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\})\leqslant 3.”. 进而我们容易证明\#(\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\})\leqslant\#(\mathbb{P}').

 

 

于是我们看到\displaystyle \sum_{P\in A_2\cup A_3}g(P)|P|

\displaystyle=\sum_{P\in \bigcup A_4}g(P)|P|(由于已证\bigcup A_4=A_2\cup A_3)

\displaystyle=\sum_{P\in\bigcup\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}}g(P)|P|(由A_4定义)

\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}}\sum_{P_2\in P_1}g(P_2)|P_2|(由对J_1, J_2\in A_4如果J_1\neq J_2那么J_1\cap J_2=\emptyset)

\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in P_1}g(P_2)|P_2|

\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in \{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J_{P_1}'\}}g(P_2)|P_2|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})(由对任意非空P\in A_4,恰有一个J'\in\mathbb{P}使P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\})

\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in \{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J_{P_1}'\}\backslash\{\emptyset\}}g(P_2)|P_2|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})

\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in \{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J_{P_1}'\}\backslash\{\emptyset\}}g(P_2)|P_2|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})(由已证\bigcup\{J''\in A_0 : J''\subseteq J'\}为空集且(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\})=\emptyset以及A_0\cup A_1\cup A_2\cup A_3=\mathbb{P}\#\mathbb{P}'并且A_0, A_1, A_2, A_3两两不相交,我们可以证明\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J_{P_1}'\}=\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J_{P_1}'\}\backslash\{\emptyset\})

\displaystyle =\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in \{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J_{P_1}'\}\backslash\{\emptyset\}}(\sup_{x\in J_{P_1}'}f(x)-\inf_{x\in J_{P_1}'}f(x))|P_2|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})(由于对任意P_2\in \{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J_{P_1}'\}\backslash\{\emptyset\}\emptyset\neq P_2\subseteq J_{P_1}'以及g的定义)

\displaystyle =\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}((\sup_{x\in J_{P_1}'}f(x)-\inf_{x\in J_{P_1}'}f(x))\cdot\sum_{P_2\in \{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J_{P_1}'\}\backslash\{\emptyset\}}|P_2|)(J_{P_1}'\in\mathbb{P})

\displaystyle =\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}((\sup_{x\in J_{P_1}'}f(x)-\inf_{x\in J_{P_1}'}f(x))\cdot|J_{P_1}'|)(J_{P_1}'\in\mathbb{P})(由于\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J_{P_1}'\}J_{P_1}'\in\mathbb{P}的一个分法)

\displaystyle <\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}((\sup_{x\in J_{P_1}'}f(x)-\inf_{x\in J_{P_1}'}f(x))\cdot\delta)(J_{P_1}'\in\mathbb{P})(因为J_{P_1}'\in\mathbb{P})

\displaystyle \leqslant\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}((\sup_{x\in J_{P_1}'}f(x)-\inf_{x\in J_{P_1}'}f(x))\cdot\frac{\frac{1}{2}\varepsilon}{\#(\mathbb{P}')\cdot max\{H_{max}^{(1)}, H_{max}^{(2)}, H_{max}^{(3)}, H_{max}^{(4)}\}})(J_{P_1}'\in\mathbb{P})(由\delta的定义)

\displaystyle \leqslant\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}((\sup_{x\in J_{P_1}'}f(x)-\inf_{x\in J_{P_1}'}f(x))\cdot\frac{\frac{1}{2}\varepsilon}{\#(\mathbb{P}')\cdot max\{H_{max}^{(1)}, H_{max}^{(2)}\}})(J_{P_1}'\in\mathbb{P})

\displaystyle \leqslant\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}((\sup_{x\in J_{P_1}'}f(x)-\inf_{x\in J_{P_1}'}f(x))\cdot\frac{\frac{1}{2}\varepsilon}{\displaystyle(\#(\mathbb{P}')\cdot \sup_{x\in J_{P_1}'}f(x)-\inf_{x\in J_{P_1}'}f(x))})(J_{P_1}'\in\mathbb{P})(由已证“对任意J'\in\mathbb{P},我们有J'\subseteq\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}.”以及“对任意非空P\in A_4,我们有恰存在一个J'\in\mathbb{P}使得P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}并且J'=\bigcup\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J'\}=\bigcup\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}=\bigcup P.”以及“对任意J'\in\mathbb{P},若\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}\in A_4非空,有2\leqslant\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\})\leqslant 3.”以及“对任意J'\in\mathbb{P},集合\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}可以写成区间的形式.”.)

\displaystyle \leqslant\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}(\frac{\frac{1}{2}\varepsilon}{\#(\mathbb{P}')})(J_{P_1}'\in\mathbb{P})

\displaystyle \leqslant\frac{1}{2}\varepsilon\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}(\frac{1}{\#(\mathbb{P}')})(J_{P_1}'\in\mathbb{P})

\leqslant\frac{1}{2}\varepsilon(由\#(\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\})\leqslant\#(\mathbb{P}'))

于是我们看到\displaystyle 0\leqslant\sum_{P\in A_2\cup A_3}g(P)|P|\leqslant \frac{1}{2}\varepsilon.

 

同样的,我们有\displaystyle \sum_{P\in A_2\cup A_3}g'(P)|P|

\displaystyle=\sum_{P\in \bigcup A_4}g'(P)|P|(由于已证\bigcup A_4=A_2\cup A_3)

\displaystyle=\sum_{P\in\bigcup\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}}g'(P)|P|(由A_4定义)

\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}}\sum_{P_2\in P_1}g'(P_2)|P_2|(由对J_1, J_2\in A_4如果J_1\neq J_2那么J_1\cap J_2=\emptyset)

\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in P_1}g'(P_2)|P_2|

\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in \{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J_{P_1}'\}}g'(P_2)|P_2|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})(由对任意非空P\in A_4,恰有一个J'\in\mathbb{P}使P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\})

\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in \{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J_{P_1}'\}\backslash\{\emptyset\}}g'(P_2)|P_2|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})

\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in \{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J_{P_1}'\}\backslash\{\emptyset\}}g'(P_2)|P_2|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})(由已证\bigcup\{J''\in A_0 : J''\subseteq J'\}为空集且(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\})=\emptyset以及A_0\cup A_1\cup A_2\cup A_3=\mathbb{P}\#\mathbb{P}'并且A_0, A_1, A_2, A_3两两不相交,我们可以证明\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J_{P_1}'\}=\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J_{P_1}'\}\backslash\{\emptyset\})

\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in \{P'\cap J_{P_1}' : P'\in\mathbb{P}'\}\backslash\{\emptyset\}}g'(P_2)|P_2|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})(我们易证\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J_{P_1}'\}\backslash\{\emptyset\}=\{P'\cap J_{P_1}' : P'\in\mathbb{P}'\}\backslash\{\emptyset\})

\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}}g'(P_2\cap J_{P_1}')|P_2\cap J_{P_1}'|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})(我们定义函数h:\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}\rightarrow\{P'\cap J_{P_1}' : P'\in\mathbb{P}'\}\backslash\{\emptyset\}, h(P):=P\cap J_{P_1}'. 对任意y\in\{P'\cap J_{P_1}' : P'\in\mathbb{P}'\}\backslash\{\emptyset\},即有y\in\{P'\cap J_{P_1}' : P'\in\mathbb{P}'\}y\notin\{\emptyset\},即有(对某P_0\in\mathbb{P}'y=P_0\cap J_{P_1}')且(y\neq\emptyset),即存在某P_0\in\mathbb{P}'使得P_0\cap J_{P_1}'\neq\emptyset. 于是我们看到P_0\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}并且h(P_0)=P_0\cap J_{P_1}'=y. 故我们证明了h的满射性;             而对任意J_1, J_2\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\},我们有J_1, J_2\in\mathbb{P}'并且J_1\cap J_{P_1}', J_2\cap J_{P_1}'\neq\emptyset. 如果J_1\neq J_2,我们假设h(J_1)=h(J_2). 由假设以及h定义知即有J_1\cap J_{P_1}'=J_2\cap J_{P_1}'. 由于已知J_1\cap J_{P_1}', J_2\cap J_{P_1}'\neq\emptyset,即存在x_1\in J_1使得x_1\in J_1\cap J_{P_1}'并且存在x_2\in J_2使得x_2\in J_2\cap J_{P_1}'. 由于J_1, J_2\in\mathbb{P}'并且J_1\neq J_2我们看到x_1\notin J_2. 再由于J_1\cap J_{P_1}'=J_2\cap J_{P_1}'以及x_1\in J_1\cap J_{P_1}'x_1\in J_2\cap J_{P_1}',进而x_1\in J_2. 综上,我们得到了x_1\notin J_2x_1\in J_2,这个矛盾说明假设不成立. 故对任意J_1, J_2\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\},如果J_1\neq J_2那么h(J_1)\neq h(J_2). 这就证明了h的单射性.

综上,h是双射. 并且我们发现对任意x\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}我们有g'(x\cap J_{P_1}')=g'(h(x))以及h(x)\subseteq x. 这就证明了\displaystyle\sum_{P_2\in \{P'\cap J_{P_1}' : P'\in\mathbb{P}'\}\backslash\{\emptyset\}}g'(P_2)|P_2|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})=\sum_{P_2\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}}g'(P_2\cap J_{P_1}')|P_2\cap J_{P_1}'|(J_{P_1}'\in\mathbb{P}))

\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}}(\sup_{x\in P_2}f(x)-\inf_{x\in P_2}f(x))|P_2\cap J_{P_1}'|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})(由g’定义)

\displaystyle\leqslant\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}}(\sup_{x\in P_2}f(x)-\inf_{x\in P_2}f(x))|J_{P_1}'|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})(由于P_2\cap J_{P_1}'\subseteq J_{P_1}')

\displaystyle<\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}}(\sup_{x\in P_2}f(x)-\inf_{x\in P_2}f(x))\cdot\delta(J_{P_1}'\in\mathbb{P})(因为J_{P_1}'\in\mathbb{P})

\displaystyle\leqslant\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}}(\sup_{x\in P_2}f(x)-\inf_{x\in P_2}f(x))\cdot\frac{\frac{1}{2}\varepsilon}{\#(\mathbb{P}')\cdot max\{H_{max}^{(1)}, H_{max}^{(2)}, H_{max}^{(3)}, H_{max}^{(4)}\}}(J_{P_1}'\in\mathbb{P})(由\delta的定义)

\displaystyle\leqslant\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}}(\sup_{x\in P_2}f(x)-\inf_{x\in P_2}f(x))\cdot\frac{\frac{1}{2}\varepsilon}{\#(\mathbb{P}')\cdot max\{H_{max}^{(3)}, H_{max}^{(4)}\}}(J_{P_1}'\in\mathbb{P})

\displaystyle\leqslant\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}}(\sup_{x\in P_2}f(x)-\inf_{x\in P_2}f(x))\cdot\frac{\frac{1}{2}\varepsilon}{\#(\mathbb{P}')\cdot \displaystyle\sum_{P_2\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}}(\sup_{x\in P_2}f(x)-\inf_{x\in P_2}f(x))}(J_{P_1}'\in\mathbb{P})(由已证“对任意J'\in\mathbb{P},我们有J'\subseteq\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}.”以及“对任意非空P\in A_4,我们有恰存在一个J'\in\mathbb{P}使得P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}并且J'=\bigcup\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J'\}=\bigcup\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}=\bigcup P.”以及“对任意J'\in\mathbb{P},若\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}\in A_4非空,有2\leqslant\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\})\leqslant 3.”以及“对任意J'\in\mathbb{P},集合\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}可以写成区间的形式.”.)

\displaystyle\leqslant\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\frac{\frac{1}{2}\varepsilon}{\#(\mathbb{P}')}

\displaystyle \leqslant\frac{1}{2}\varepsilon\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}(\frac{1}{\#(\mathbb{P}')})(J_{P_1}'\in\mathbb{P})

\leqslant\frac{1}{2}\varepsilon(由\#(\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\})\leqslant\#(\mathbb{P}'))

于是我们看到\displaystyle 0\leqslant\sum_{P\in A_2\cup A_3}g'(P)|P|\leqslant \frac{1}{2}\varepsilon.

 

综上,我们有\displaystyle 0\leqslant\sum_{P\in A_2\cup A_3}g(P)|P|\leqslant \frac{1}{2}\varepsilon\displaystyle 0\leqslant\sum_{P\in A_2\cup A_3}g'(P)|P|\leqslant \frac{1}{2}\varepsilon. 进而有\displaystyle -\frac{1}{2}\varepsilon\leqslant\sum_{P\in A_2\cup A_3}(g(P)-g'(P))|P|\leqslant \frac{1}{2}\varepsilon.

 

至此,我们发现\displaystyle \sum_{P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}g(P)|P|-\sum_{P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}g'(P)|P|=\sum_{P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}(g(P)-g'(P))|P|=\sum_{P\in A_0}(g(P)-g'(P))|P|+\sum_{P\in A_1}(g(P)-g'(P))|P|+\sum_{P\in A_2\cup A_3}(g(P)-g'(P))|P|\leqslant 0+0+\frac{1}{2}\varepsilon=\frac{1}{2}\varepsilon.

 

于是此时\displaystyle \sum_{P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}g(P)|P|\leqslant \frac{1}{2}\varepsilon+\sum_{P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}g'(P)|P|\leqslant\frac{1}{2}\varepsilon+\frac{1}{2}\varepsilon=\varepsilon. 至此,我们终于可以确认在假设函数f:I\rightarrow\mathbb{R}不是逐段常值函数的前提下小命题4.是成立的.

 

如果函数f:I\rightarrow\mathbb{R}是关于分法\mathbb{P}'逐段常值函数,我们知道上述论证失效的地方是我们不能保证H_{max}^{(3)}, H_{max}^{(4)}不为0.             但是,如果我们能证明“对任意实数\varepsilon>0,存在I的一个分法\mathbb{P}'使得\displaystyle 0<\sum_{J\in\mathbb{P}'; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\frac{1}{2}\cdot\varepsilon.”,这说明f关于分法\mathbb{P}'不是是逐段常值的,那么上述论证也就是成立的了. 而命题“对任意实数\varepsilon>0,存在I的一个分法\mathbb{P}'使得\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\frac{1}{2}\cdot\varepsilon\rightarrow对任意实数\varepsilon>0,存在I的一个分法\mathbb{P}'使得\displaystyle 0<\sum_{J\in\mathbb{P}'; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\frac{1}{2}\cdot\varepsilon.”用反证法和Riemann积分定义是容易证明的. 这就补完证明中的Gap.

 

于是我们现在知道了:“对任意实数\varepsilon>0,存在I的一个分法\mathbb{P}使得\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon”和“对任意实数\varepsilon>0,存在实数\delta>0,对一切I的分法\mathbb{P},如果max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta那么\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon”是等价的.

 

 

 

现在我们继续Riemann积分常见黎曼和极限定义书中的Riemann可积定义等价的的证明.

我们先假设函数f是按书上的定义Riemann可积的. 于是我们知道其Riemann积分\displaystyle\int_I f=\overline{\int}_I f=\underline{\int}_I f=\inf\{U(f, \mathbb{P}) : \mathbb{P}\text{ is a partition of }I\}=\sup\{L(f, \mathbb{P}) : \mathbb{P}\text{ is a partition of }I\}是实数,我们定义S:=\int_I f.

对任意实数\varepsilon>0,由于上面我们已证“f是按书上函数Riemann可积定义是Riemann可积的\Longleftrightarrow对任意实数\varepsilon>0,我们总可以找到I的一个分法\mathbb{P}''使得\displaystyle U(f, \mathbb{P}'')-L(f, \mathbb{P}'')=\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon.”,于是我们总可以找到I的一个分法\mathbb{P}'使得\displaystyle U(f, \mathbb{P}')-L(f, \mathbb{P}')=\sum_{J\in\mathbb{P}'; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon. 由小命题4.我们知道对实数\varepsilon存在实数\delta>0,对一切I不含空集的分法\mathbb{P},如果max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta,那么有\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon. 进而对任意函数\displaystyle(\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}\in\prod_{K\in\mathbb{P}} K,我们由“\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon”容易知此时有“\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J)))|J|\leqslant\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon”和“\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon”,进而我们有“\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x))|J|-\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J)))|J|\leqslant\varepsilon”和“\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J)))|J|-\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon”,也即“\displaystyle U(f, \mathbb{P})-\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J)))|J|\leqslant\varepsilon”和“\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J)))|J|-L(f, \mathbb{P})\leqslant\varepsilon”,进而我们有“\displaystyle U(f, \mathbb{P})-\varepsilon\leqslant\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J)))|J|\leqslant L(f, \mathbb{P})+\varepsilon”,进而有“\displaystyle \int_I f-\varepsilon\leqslant\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J)))|J|\leqslant\int_I f+\varepsilon”,进而有\displaystyle |\sum_{J\in\mathbb{P}}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J)))|J|-\int_I f|\leqslant\varepsilon.

 

综上,我们证明了:f是按书上函数Riemann可积定义是Riemann可积的\Longrightarrow\displaystyle\lim_{max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}\rightarrow 0}\sum_{J\in\mathbb{P}}f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|=S,并且此时f的两种Riemann积分定义的积分值是一样的.

 

 

我们再来考虑函数f是按定义“存在实数S,对任意实数\varepsilon>0,存在实数\delta>0,对I的任意不含空集的分法\mathbb{P},如果max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta那么对任意函数\displaystyle(\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}\in\prod_{K\in\mathbb{P}} K我们有\displaystyle|\sum_{J\in\mathbb{P}}f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|-S|\leqslant\varepsilon”Riemann可积的.

进而对任意实数\varepsilon>0,由f是按“黎曼和极限定义”Riemann可积的知存在I不含空集的分法\mathbb{P}(比如I的均分法)使得:对任意函数\displaystyle(\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}\in\prod_{K\in\mathbb{P}} K我们有\displaystyle|\sum_{J\in\mathbb{P}}f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|-S|\leqslant\frac{1}{4}\varepsilon,进而我们有\displaystyle -\frac{1}{4}\varepsilon+S\leqslant\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|\leqslant\frac{1}{4}\varepsilon+S.

由于\displaystyle (\sup_{x\in J}f(x))\displaystyle \{f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J)) : (\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}\in\prod_{K\in\mathbb{P}} K\}(J\in\mathbb{P})(由于\mathbb{P}是不含空集的I的分法,进而我们自动知J\neq\emptyset)的上确界故我们容易证明对任意J\in\mathbb{P}\backslash\{\emptyset\}=\mathbb{P}\displaystyle -(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|)+(\sup_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\frac{1}{4\cdot(\#(\mathbb{P})+1)}\varepsilon;同理容易证明对任意J\in\mathbb{P}\backslash\{\emptyset\}=\mathbb{P}\displaystyle (f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|)-(\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\frac{1}{4\cdot(\#(\mathbb{P})+1)}\varepsilon. 综上,我们看到\displaystyle -\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|)+\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\frac{1}{4}\varepsilon\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|)-\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\frac{1}{4}\varepsilon.

综上,结合“\displaystyle -\frac{1}{4}\varepsilon+S\leqslant\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|\leqslant\frac{1}{4}\varepsilon+S”和“\displaystyle -\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|)+\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\frac{1}{4}\varepsilon\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|)-\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\frac{1}{4}\varepsilon”我们可以看到\displaystyle 0\leqslant\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x))|J|-\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon.

至此,由于我们已证“f是按书上函数Riemann可积定义是Riemann可积的\Longleftrightarrow对任意实数\varepsilon>0,我们总可以找到I的一个分法\mathbb{P}''使得\displaystyle U(f, \mathbb{P}'')-L(f, \mathbb{P}'')=\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon.”,于是f是按书上的Riemann可积定义Riemann可积的.

 

综上,我们证明了:\displaystyle\lim_{max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}\rightarrow 0}\sum_{J\in\mathbb{P}}f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|=S\Longrightarrowf是按书上定义Riemann可积的. 而上面我们已经证明“f是按书上函数Riemann可积定义是Riemann可积的\Longrightarrow\displaystyle\lim_{max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}\rightarrow 0}\sum_{J\in\mathbb{P}}f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|=S,并且此时f的两种Riemann积分定义的积分值是一样的”,我们容易用反证法说明如果f是按Riemann积分常见黎曼和极限定义Riemann可积的并且积分值是S,那么f也是按书上函数Riemann可积定义是Riemann可积的并且积分值也是S. 这样就证明了此时f的两种Riemann积分定义的积分值是一样的.

 

至此,我们终于完成了“常见黎曼和极限定义与书中的Riemann可积定义是等价的”的证明.

 

 

 

 

 

值得一说,Riemann积分常见黎曼和极限定义来源于求曲线下的面积,因此是十分自然的,但这个概念在判断函数是否Riemann可积时并不好用,关键在于我们考虑一般函数是否Riemann可积时Riemann积分常见黎曼和极限定义中的\underline{\delta}并不容易找到. 由于这个问题,促使数学家去寻找函数Riemann可积的等价命题来判断不同类型函数的Riemann可积性. 书上Riemann积分定义就是其中一种,其完美简洁地解决了一致连续函数、连续函数以及单调函数的Riemann可积性问题. 也就是说,我们当然可以用Riemann积分更原始的黎曼和极限定义来证明一致连续函数、连续函数以及单调函数的Riemann可积性问题,但证明会更加繁琐,篇幅更多.

 

关于有界函数是否Riemann可积就讨论到这里.

《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§11.10解答

习题11.10

11.10.1证明:命题11.10.1题设中两实数要求是a\leqslant b,当a>b时命题表达式\displaystyle\int_{[a, b]}FG'=F(b)G(b)-F(a)F(a)-\int_{[a, b]}F'G是毫无意义的,因为空函数是没有输入的.

 

 

a=b时,“F以及G在[a, b]是可微的”是空真地成立的;在此基础上F’和G’确实是在I=[a, b]上Riemann可积的,由于F’和G’定义域均为单元素集故积分值为0. 并且我们容易验证表达式\displaystyle\int_{[a, b]}FG'=F(b)G(b)-F(a)F(a)-\int_{[a, b]}F'G确实成立.

 

a<b时,由于F以及G在定义域[a, b]是可微的,于是F以及G在定义域[a, b]上连续,由于[a, b]是闭区间,故F以及G在[a, b]上一致连续,进而F以及G在[a, b]上Riemann可积.

而我们有(FG)'=F'G+FG'. 由于F、F’、G、G’均Riemann可积,于是F’G与FG’均Riemann可积,进而F’G+FG’是Riemann可积的,于是我们看到(FG)’是Riemann可积的.

由微积分第二基本定理我们知:\displaystyle\int_{[a, b]}(FG)'=F(b)G(b)-F(a)G(a),即\displaystyle\int_{[a, b]}(F'G+FG')=F(b)G(b)-F(a)G(a),简单运算得到\displaystyle\int_{[a, b]}FG'=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{[a, b]}F'G.

 

 

 

 

 

11.10.2补充引理11.10.5中证明细节:

<1>第一个为什么:对每个区间J\in\mathbb{P},对任意x_1, x_2\in\varphi^{-1}(J)\varphi^{-1}(J)的定义我们知有x_1, x_2\in[a, b]以及\varphi(x_1), \varphi(x_2)\in J. 如果x_1<x_2,进而对任意的x\in[x_1, x_2],我们知有x_1\leqslant x\leqslant x_2,由\varphi单调增我们知\varphi(x_1)\leqslant\varphi(x)\leqslant\varphi(x_2). 由于J是有界区间,故其是有界连通的,于是从前面已证“\varphi(x_1), \varphi(x_2)\in J\varphi(x_1)\leqslant\varphi(x)\leqslant\varphi(x_2)”我们知\varphi(x)\in J. 综上我们有x\in\varphi^{-1}(J). 最后由定义11.1.1知\varphi^{-1}(J)是连通的.

 

<2>第二个为什么:对任意J\in\mathbb{P},对任意x\in\varphi^{-1}(J),我们有\varphi(x)\in J,进而f(\varphi(x))=C_J,故f\circ\varphi(x)=f(\varphi(x))=C_J. 所以C_Jf\circ\varphi\varphi^{-1}(J)上的常数值.

 

<3>第三个为什么:a.显然\mathrm{Q}是有限集;b.\mathrm{Q}中元素我们在第一个为什么中已证是区间;c.对任意x\in[a, b],由\mathbb{P}[\varphi(a), \varphi(b)]的分法以及\varphi单调增我们知恰存在一个J\in\mathbb{P}使得\varphi(x)\in J. 进而我们看到x\in\varphi^{-1}(J).

综上于是我们发现存在\varphi^{-1}(J)\in\mathrm{Q}使得x\in\varphi^{-1}(J). 我们假设对x仍存在一个q\in\mathrm{Q}使得x\in q,进而是存在一个J'\in\mathbb{P}使x\in\varphi^{-1}(J')=q. 于是我们发现有\varphi(x)\in J, \varphi(x)\in J'. 由\mathbb{P}[\varphi(a), \varphi(b)]的分法我们知有J=J'.

综上我们知\mathrm{Q}[a, b]的分法.

 

<4>第四个为什么:对任意q\in \mathrm{Q}知有存在J\in\mathbb{P}使\varphi^{-1}(J)=q,进而对任意x\in q=\varphi^{-1}(J)知有x\in[a, b]\varphi(x)\in J,进而由第二个为什么知有f(\varphi(x))=C_J. 故f\circ\varphi关于\mathrm{Q}是逐段常值的.

 

<5>第五个为什么:此小问证明的篇幅有点长. 设J\in\mathbb{P}.

首先我们容易观察到