一台复读机

文内补充——对有界函数是否Riemann可积的一点探讨.

设函数 $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ 是有界函数（因为在§11.3中我们已经证明在I上无界的函数上、下Riemann积分不可能相等，故我们只用探讨有界函数是否Riemann可积，下面的结论只对有界函数有效，不包含无界函数）. 其中I是有界区间.

让我们看看Riemann可积的定义，其要求f的上Riemann积分和下Riemann积分相等. 从上Riemann积分和下Riemann积分的定义我们知对任意实数 $\varepsilon>0$ ，我们总可以找到f的上方控制并且是逐段常值函数g使得 $\displaystyle\int_Ig\leqslant\overline{\int}_If+\varepsilon$ 和可以找到f的下方控制并且是逐段常值函数h使得 $\displaystyle\int_Ih\geqslant\underline{\int}_If-\varepsilon$ . 进而我们注意到如果f是Riemann可积的那么 $\displaystyle\int_Ig-\int_Ih\leqslant 2\varepsilon$ . 综上，我们有如果f是Riemann可积的那么我们总可以找到逐段常值的上方控制f的函数g和逐段常值的下方控制f的函数h使得 $\displaystyle\int_Ig-\int_Ih$ 任意小.

反过来，如果对任意实数 $\varepsilon>0$ ，我们总可以逐段常值的上方控制f的函数g和逐段常值的下方控制f的函数h使得 $\displaystyle\int_Ig-\int_Ih\leqslant\varepsilon$ ，进而我们有 $\displaystyle\overline{\int}_If-\underline{\int}_I f\leqslant\int_Ig-\int_Ih\leqslant\varepsilon$ ，进而有f的上Riemann积分和下Riemann积分相等.

综上，我们有 $\displaystyle\overline{\int}_If=\underline{\int}_If\Longleftrightarrow$ 对任意实数 $\varepsilon>0$ ，我们总可以逐段常值的上方控制f的函数g和逐段常值的下方控制f的函数h使得 $\displaystyle\int_Ig-\int_Ih\leqslant\varepsilon$ .

有了上面的结论，我们就来看看Riemann可积的函数有怎样的特点.

沿用上面函数f的说明.

如果f是Riemann可积的，进而对任意实数 $\varepsilon>0$ ，我们总可以逐段常值的上方控制f的函数g和逐段常值的下方控制f的函数h使得 $\displaystyle\int_Ig-\int_Ih\leqslant\varepsilon$ . 而g关于某I的分法 $\mathbb{P}$ 逐段常值并且h关于某I的分法 $\mathbb{P}'$ 逐段常值，进而g、h都是关于公共加细 $\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 逐段常值的. 于是我们看到 $\displaystyle\int_Ig-\int_Ih=\int_I(g-h)=p.c.\int_I(g-h)=p.c.\int_{[\mathbb{P}\#\mathbb{P}']}(g-h)=\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}\Delta S_J|J|\leqslant\varepsilon$ . 也即对任意实数 $\varepsilon>0$ 我们可以找到I的一个分法 $\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 使得f的上下Riemann和之差有 $\displaystyle U(f, \mathbb{P}\#\mathbb{P}')-L(f, \mathbb{P}\#\mathbb{P}')=\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}\Delta S_J|J|\leqslant\varepsilon$ .

反过来，如果对任意实数 $\varepsilon>0$ 我们可以找到I的一个分法 $\mathbb{P}''$ 使得 $\displaystyle U(f, \mathbb{P}'')-L(f, \mathbb{P}'')=\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ ，我们可以对每个 $J\in\mathbb{P}''$ 对每个 $x\in J$ 定义 $\displaystyle g(x):=\sup_{x\in J}f(x), h(x):=\inf_{x\in J}f(x)$ . 容易验证此时函数 $g, h:I\rightarrow\mathbb{R}$ 分别是f的上方控制和下方控制并且关于分法 $\mathbb{P}''$ 逐段常值. 于是f是Riemann可积的.

综上，我们证明了——f是Riemann可积的 $\Longleftrightarrow$ 对任意实数 $\varepsilon>0$ ，我们总可以找到I的一个分法 $\mathbb{P}''$ 使得 $\displaystyle U(f, \mathbb{P}'')-L(f, \mathbb{P}'')=\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ .

综合上面两条结论，结合Riemann积分的几何意义，我们知道——函数H(不管有界无界)是Riemann可积的当且仅当对任意小的正实数S，我们要找到有限的矩形使其面积之和小于S，并且这些矩形从左到右并接可以完全覆盖掉函数f的图像. 如下图函数 $H:[0, 1]\rightarrow\mathbb{R}, f(x):=x^2$ 当S取1时矩形的一种选择.

有了上面的黑体结论，我们重新写§11.5和§11.6中连续有界函数和单调有界函数都是Riemann可积的证明.

沿用“函数 $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ 是有界函数. 其中I是有界区间”的设定.

我们知道要证明f是Riemann可积的，也即证明对任意实数 $\varepsilon>0$ ，我们总可以找到I的一个分法 $\mathbb{P}''$ 使得 $\displaystyle U(f, \mathbb{P}'')-L(f, \mathbb{P}'')=\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ . 现在我们任取一个正实数 $\varepsilon_0$ ，接下来我们就要找到一个I的分法 $\mathbb{P}''$ 使得 $\displaystyle U(f, \mathbb{P}'')-L(f, \mathbb{P}'')=\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon_0$ . 但这个分法是否存在，如果存在应该如何找到却没有范式去解决. 这里的难点是表达式 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|$ 中|J|与具体的分法有关并且矩形的高度 $\displaystyle \sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)$ 与函数的定义和分法都有关. 于是自然而然的我们就有一个想法，能否“使得矩形高度为定值或有有一个最大值”或者“分法使得I为均分”. 采用“使得矩形高度为定值或有有一个最大值”时我们有 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))|J|=(\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}|J|=(\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))|I|$ （此推理要求I非空，因为要求 $\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))$ 存在）；采用“分法使得I为均分”时我们有 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|=|J|\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))=\frac{|I|}{\#(\mathbb{P}'')}\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))$ （I为空集时规定其分法为 $\{\emptyset\}$ ，这样有界区间I的分法绝对不会是空集）. 前者我们只需要证明 $\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))$ 可以小于任意小的正实数（当I为空集时这是自动满足的）就可以得到f是Riemann可积的；后者我们只需要证明 $\displaystyle \frac{1}{\#(\mathbb{P}'')}\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))$ 可以小于任意小的正实数就可以得到f是Riemann可积的.

综上，我们证明了：如果对任意实数 $\varepsilon>0$ 存在I的分法 $\mathbb{P}''$ 使得 $\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))\leqslant\varepsilon$ 或者存在I的均分法 $\mathbb{P}'''$ 使得 $\displaystyle \frac{1}{\#(\mathbb{P}''')}\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))\leqslant\varepsilon$ ，那么f是Riemann可积的.

值得注意的是，如果我们知道f是Riemann可积的，我们只能推得存在分法 $\mathbb{P}''$ 使得 $\displaystyle (\inf_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))$ (分法 $\mathbb{P}''$ 含有单元素集时， $\displaystyle (\inf_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))=0$ )可以小于任意正实数，而是否存在分法 $\mathbb{P}''$ 使得 $\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))$ 可以小于任意小的正实数或存在均分法 $\mathbb{P}'''$ 使得 $\displaystyle \frac{1}{\#(\mathbb{P}''')}\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))$ 可以小于任意小的正实数现在还未证明（详见下文）.

但是我们容易证得假设“如果f是Riemann可积的那么存在I的均分法 $\mathbb{P}'''$ 使得 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))$ 可以小于任意小的正实数”是真的前提下“如果f是Riemann可积的那么存在I的分法 $\mathbb{P}''$ 使得 $\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))$ 可以小于任意小的正实数”也是真的，因为“对任意实数 $\varepsilon>0$ 都存在均分法 $\mathbb{P}'''$ 使得 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))\leqslant\varepsilon$ ”蕴涵“对任意实数 $\varepsilon>0$ 都存在分法 $\mathbb{P}''$ 使得 $\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))\leqslant\varepsilon$ ”.

综上，我们证明了—— “对任意实数 $\varepsilon>0$ 都存在均分法 $\mathbb{P}'''$ 使得 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))\leqslant\varepsilon$ ” $\Longrightarrow$ “对任意实数 $\varepsilon>0$ 都存在均分法 $\mathbb{P}'''$ 使得 $\displaystyle \frac{1}{\#(\mathbb{P}'')}\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))\leqslant\varepsilon$ ”，“对任意实数 $\varepsilon>0$ 都存在分法 $\mathbb{P}''$ 使得 $\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))\leqslant\varepsilon$ ” $\Longrightarrow$ “f是Riemann可积的”；

“f是Riemann可积的” $\nRightarrow$ “对任意实数 $\varepsilon>0$ 都存在分法 $\mathbb{P}''$ 使得 $\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))\leqslant\varepsilon$ ”(证明详见下面反例函数 $H_1$ 的构造)；

“f是Riemann可积的” $\nRightarrow$ “对任意实数 $\varepsilon>0$ 都存在均分法 $\mathbb{P}'''$ 使得 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))\leqslant\varepsilon$ ”(反例就是单调有界连续函数，详解见后文，所以“对任意实数 $\varepsilon>0$ 都存在均分法 $\mathbb{P}'''$ 使得 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))\leqslant\varepsilon$ ”这个条件对于f是Riemann可积来说太强了)；

“对任意实数 $\varepsilon>0$ 都存在分法 $\mathbb{P}''$ 使得 $\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))\leqslant\varepsilon$ ” $\nRightarrow$ “对任意实数 $\varepsilon>0$ 都存在均分法 $\mathbb{P}'''$ 使得 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))\leqslant\varepsilon$ ”(反例就是单调有界一致连续函数，详细证明见后文)

从此结论，如果f是一致连续的，按照定理11.5.1证明中分法的选择（区间I均分），我们马上看出 $\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))$ 可以任意小，进而一致连续函数是Riemann可积的. 由于闭区间上的连续函数是一致连续的，故闭区间上的连续函数是Riemann可积的. 然后再利用书上命题11.5.3证明连续有界函数是Riemann可积的.

(沿用“函数 $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ 是有界函数. 其中I是有界区间”的设定)值得一提的是，我们容易构建出连续但不是一致连续的函数f(见下示意图而非函数图像). 即有”f是连续的”+”f是有界的” $\nRightarrow$ “f是一致连续的”.

我们容易严格定义上述示意图中的函数f，并且证明f是连续且有界且不一致连续. 这里就不展开了.

同样的，如果f是单调有界函数，由于空函数自动是Riemann可积的，所以我们假设I非空，此时我们发现“存在分法 $\mathbb{P}''$ 使得 $\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))$ 可以取到任意小的正实数（并且随着要小于的正实数越小分法的基数就越大）”(这句红色双引号标出话的严格证明见下一大段. 并且值得说明的是——如果函数f是单调但不有界，这句话不正确，比如函数 $f:(0, 1)\rightarrow\mathbb{R}, f(x):=\frac{1}{x}$ )，所以单调有界函数是Riemann可积的.

设 $g:I\rightarrow\mathbb{R}$ 是单调增的以正实数M>0为界的函数，其中定义域I是有界区间. 对任意实数 $\varepsilon>0$ ，我们记 $N:=[\frac{2M}{\varepsilon}]$ ，进而有 $N\varepsilon\leqslant 2M<(N+1)\varepsilon$ . 接下来我们将证明集合 $\mathbb{P}:=\{\{x\in I : -M+n\varepsilon\leqslant g(x)<-M+(n+1)\varepsilon\} : n\in\{m\in\mathbb{N} : n\leqslant N\}\}$ 是I的一个分法. 显然 $\mathbb{P}$ 是有限集；对任意 $P\in\mathbb{P}$ ，有对某不大于N的自然数n有 $P=\{x\in I : -M+n\varepsilon\leqslant g(x)<-M+(n+1)\varepsilon\}$ . 显然P为I的子集. 现在我们将证明对任意元素 $x\in(\inf(P), \sup(P))$ 都存在 $x'\in P$ 使得 $x'<x$ . 用反证法，假设存在 $x_0\in(\inf(P), \sup(P))$ 使得对任意 $x'\in P$ 都有 $x'\geqslant x_0$ ，进而有 $\inf(P)\geqslant x_0$ . 而由 $x_0\in(\inf(P), \sup(P))$ 我们知道 $x_0>\inf(P)$ ，进而我们得到 $\inf(P)\geqslant x_0>\inf(P)$ ，这个矛盾帮助我们完成了证明. 故对任意元素 $x\in(\inf(P), \sup(P))$ 都存在 $x'\in P$ 使得 $x'<x$ ，容易发现此时有 $x', x\in I$ ，再由g是增函数知 $-M+n\varepsilon\leqslant g(x')<g(x)$ ，故有 $-M+n\varepsilon\leqslant g(x)$ . 类似的论证我们知对任意元素 $x\in(\inf(P), \sup(P))$ 有 $g(x)<-M+(n+1)\varepsilon$ . 综上，我们证明了对任意元素 $x\in(\inf(P), \sup(P))$ 有 $-M+n\varepsilon\leqslant g(x)<-M+(n+1)\varepsilon$ 并且 $x\in I$ ，故有 $x\in P$ . 综上，有 $(\inf(P), \sup(P))\subseteq P$ . 而我们有 $P\subseteq[\inf(P), \sup(P)]$ . 综上有 $(\inf(P), \sup(P))\subseteq P\subseteq[\inf(P), \sup(P)]$ ，故P可以写成区间的形式. 而对任意 $x\in I$ ，我们总有 $-M\leqslant g(x)\leqslant M$ ，我们容易用反证法进一步证明存在不大于N的自然数n使得 $-M+n\varepsilon\leqslant g(x)<-M+(n+1)\varepsilon$ ，于是有 $x\in\{x\in I : -M+n\varepsilon\leqslant g(x)<-M+(n+1)\varepsilon\}$ . 综上，对任意 $x\in I$ ，存在 $P\in\mathbb{P}$ 使得 $x\in P$ . 而我们容易证明 $\mathbb{P}$ 中元素都是两两不相交的，故上述结论可以改为对任意 $x\in I$ ，恰存在一个 $P\in\mathbb{P}$ 使得 $x\in P$ . 综上，我们终于证明 $\mathbb{P}$ 是I的一个分法. 此时，对任意 $J\in\mathbb{P}$ ，有对某 $n\in\{m\in\mathbb{N} : n\leqslant N\}$ 使得 $J=\{x\in I : -M+n\varepsilon\leqslant g(x)<-M+(n+1)\varepsilon\}$ . 进而对任意 $x\in J$ ，我们有 $-M+n\varepsilon\leqslant g(x)<-M+(n+1)\varepsilon$ . 于是有 $\displaystyle -M+n\varepsilon\leqslant\inf_{x\in J}g(x)$ 和 $\displaystyle \sup_{x\in J}g(x)\leqslant -M+(n+1)\varepsilon$ . 如果我们还知道J非空，此时有 $\displaystyle -M+n\varepsilon\leqslant\inf_{x\in J}g(x)\leqslant\sup_{x\in J}g(x)\leqslant -M+(n+1)\varepsilon$ ，于是有 $\displaystyle \sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x)\leqslant(-M+(n+1)\varepsilon)-(-M+n\varepsilon)=\varepsilon$ . 综上，对任意实数 $\varepsilon>0$ 存在分法 $\mathbb{P}'':=\{\{x\in I : -M+n\varepsilon\leqslant g(x)<-M+(n+1)\varepsilon\} : n\in\{m\in\mathbb{N} : n\leqslant [\frac{2M}{\varepsilon}]\}\}$ 使得 $\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))=\varepsilon$ . 当g的单调增改为单调减时也有类似的论证. 这就完成了上一段红色双引号标出的那句话的证明.

设 $g:I\rightarrow\mathbb{R}$ 是单调的以正实数M>0为界的连续函数，其中定义域I是非空有界区间. 我们来证明：对任意I的分法 $\mathbb{P}'''$ 有 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))=\sup(\{g(x) : x\in I\})-\inf(\{g(x) : x\in I\})$ .

证明：这个命题的证明与分法的性质息息相关. 我们把其拆分为几个小命题的证明.

我们首先假设g是单调增的.

设 $\mathbb{P}$ 为有界区间I的任意分法. 我们可以证明：

小命题1.(分法的性质)对任意非退化(即不是空集也不是单元素集)的区间 $P\in\mathbb{P}$ ，若 $\sup(P)<\sup(I)$ 那么恰存在一个非退化区间 $P'\in\mathbb{P}$ 使得 $\sup(P)=\inf(P')$ .

证明：当I为空集或单点集时，上述命题是空真的成立的. 所以我们考虑I为非退化的区间，此时其分法 $\mathbb{P}$ 肯定含有非退化的区间.

我们大假设——存在非退化区间 $P_0\in\mathbb{P}$ 使得 $\sup(P_0)<\sup(I)$ 并且对任意非退化区间 $P'\in\mathbb{P}$ 有 $\sup(P_0)<\inf(P')$ 或 $\sup(P_0)>\inf(P')$ . 由于 $P_0$ 非退化，进而有 $\inf(P_0)<\sup(P_0)$ ，进而 $\inf(P_0)\in\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\inf(J)<\sup(P_0)\}$ ，于是我们有 $max\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\inf(J)<\sup(P_0)\}\in\mathbb{R}$ . 我们假设对任意非退化 $K\in\mathbb{P}$ 有 $\sup(K)<\sup(I)$ . 进而我们有 $\emptyset\neq(max\{\sup(K) : K\in\mathbb{P}, K\text{ is non-degenerate}\},\sup(I))\subseteq I$ (注意到 $\{\sup(K) : K\in\mathbb{P}, K\text{ is non-degenerate}\}$ 是非空的). 于是对任意 $x\in(\{\sup(K) : K\in\mathbb{P}, K\text{ is non-degenerate}\},\sup(I))$ 存在 $A\in\mathbb{P}$ 使得 $x\in A$ . 由于已假设“对任意非退化 $K\in\mathbb{P}$ 有 $\sup(K)<\sup(I)$ ”，故我们进一步知道对任意 $x\in(\{\sup(K) : K\in\mathbb{P}, K\text{ is non-degenerate}\},\sup(I))$ 存在 $\{x\}\in\mathbb{P}$ 使得 $x\in \{x\}$ . 由于 $(\{\sup(K) : K\in\mathbb{P}, K\text{ is non-degenerate}\},\sup(I))$ 中元素是无限的，进而 $\mathbb{P}$ 也是无限的，这个矛盾说明假设不成立，即存在一个非退化区间 $P_1\in\mathbb{P}$ 使得 $\sup(P_1)=\sup(I)$ . 我们再假设 $\inf(P_1)<\sup(P_0)$ ，进而我们发现 $\emptyset\neq(max\{\inf(P_1), \inf(P_0)\}, \sup(P_0))\subseteq P_0\cap P_1$ ，由于分法中元素两两不相交知 $\emptyset\neq(max\{\inf(P_1), \inf(P_0)\}, \sup(P_0))$ 不可能成立，这个矛盾说明假设不成立，故有 $\inf(P_1)\geqslant\sup(P_0)$ . 再由大假设我们知应该为 $\inf(P_1)>\sup(P_0)$ . 故我们知 $\inf(P_1)\in\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\}$ . 于是我们有 $min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\}\in\mathbb{R}$ . 并且我们容易证明 $\inf(I)\leqslant max\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\inf(J)<\sup(P_0)\}<\sup(P_0)<min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\}\leqslant\sup(I)$ .

我们考虑区间 $(\sup(P_0), min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\})$ ，由上论证我们显然有 $\emptyset\neq(\sup(P_0), min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\})\subseteq I$ . 于是对任意 $x\in(\sup(P_0), min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\})$ 恰存在一个 $P\in\mathbb{P}$ 使得 $x\in P$ .

对任意 $x\in(\sup(P_0), min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\})$ ，对任意非退化区间 $P'\in\mathbb{P}$ ，我们小假设 $x\in P'$ ，再由大假设我们知只能 $\sup(P_0)>\inf(P')$ ，进一步的我们看到 $\inf(P')<\sup(P_0)<x\leqslant\sup(P')$ . 于是我们可以考虑区间 $(max\{\inf(P_0), \inf(P')\}, \sup(P_0))$ ，此时由于 $P_0, P'$ 非退化知 $(max\{\inf(P_0), \inf(P')\}, \sup(P_0))\neq\emptyset$ . 而我们有 $(max\{\inf(P_0), \inf(P')\}, \sup(P_0))\subseteq P_0\cap P'$ ，由分法中元素两两不相交知 $(max\{\inf(P_0), \inf(P')\}, \sup(P_0))\neq\emptyset$ 不可能. 故我们的小假设不成立. 综上，对任意 $x\in(\sup(P_0), min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\})$ ，对任意非退化区间 $P'\in\mathbb{P}$ 有 $x\notin P'$ .

而上面我们已经证明“对任意 $x\in(\sup(P_0), min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\})$ 恰存在一个 $P\in\mathbb{P}$ 使得 $x\in P$ .”，于是上述结合上面一段的论述我们知：对任意 $x\in(\sup(P_0), min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\})$ 恰存在一个 $\{x\}\in\mathbb{P}$ 使得 $x\in \{x\}$ . 我们已经证明 $\emptyset\neq(\sup(P_0), min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\})$ ，于是 $(\sup(P_0), min\{\inf(J) : J\in\mathbb{P}, J\text{ is non-degenerate and }\sup(P_0)<\inf(J)\})$ 有无限个元素，进而分法 $\mathbb{P}$ 也应包含无限个单元素集，这是不可能的. 综上，我们的大假设不成立，故对任意非退化的区间 $P\in\mathbb{P}$ ，若 $\sup(P)<\sup(I)$ 那么存在非退化区间 $P'\in\mathbb{P}$ 使得 $\sup(P)=\inf(P')$ .

我们已经证明了存在性，接下来只要证明唯一性.

对任意非退化的区间 $P\in\mathbb{P}$ ，若 $\sup(P)<\sup(I)$ ，我们已经证明存在非退化区间 $P'\in\mathbb{P}$ 使得 $\sup(P)=\inf(P')$ . 我们假设仍存在非退化区间 $P''\in\mathbb{P}$ 使得 $P''\neq P'$ 且 $\sup(P)=\inf(P'')$ . 我们考虑区间 $(\sup(P), min\{\sup(P'), \sup(P'')\})$ ，由上以及 $P', P''$ 非退化我们知 $(\sup(P), min\{\sup(P'), \sup(P'')\})\neq\emptyset$ . 但是我们发现 $(\sup(P), min\{\sup(P'), \sup(P'')\})\subseteq P'\cap P''$ . 由分法中元素两两不相交我们知 $P'\cap P''=\emptyset$ . 这个矛盾说明假设不成立，故唯一性得证.

综上，我们终于完成了小命题1.的证明.

小命题2.(已知g为单调增连续函数.)对任意非空 $J\in\mathbb{P}$ ，如果 $\sup(J)<\sup(I)$ 那么有 $\displaystyle\sup_{x\in J}g(x)=g(\sup(J))$ ；同理如果 $\inf(J)>\inf(I)$ 那么有 $\displaystyle\inf_{x\in J}g(x)=g(\inf(J))$ .

证明：当J为单元素集时小命题2.是显然成立的. 故我们只需再考虑J是非退化时的情形.

由于 $\sup(J)<\sup(I)$ 并且J是非退化的，于是我们有 $\inf(I)\leqslant\inf(J)<\sup(J)<\sup(I)$ . 于是我们看到 $\sup(J)\in I$ ，进而 $g(\sup(J))$ 是有定义的. 我们假设 $\displaystyle\sup_{x\in J}g(x)\neq g(\sup(J))$ ，进而有 $\displaystyle\sup_{x\in J}g(x)<g(\sup(J))$ 不可兼或 $\displaystyle\sup_{x\in J}g(x)>g(\sup(J))$ . 由于对任意 $x\in J$ 有 $x\leqslant\sup(J)$ ，再由g单调增知 $g(x)\leqslant g(\sup(J))$ . 进而有 $\sup\{g(x) : x\in J\}\leqslant g(\sup(J))$ ，故我们只需考虑 $\displaystyle\sup_{x\in J}g(x)<g(\sup(J))$ . 由习题9.1.15我们知道 $\sup(J)$ 为J的附着点，由于g在 $\sup(J)$ 处是连续的，进而由命题9.3.9知对每个由J中元素组成并且收敛到 $\sup(J)$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 有序列 $(g(a_n))_{n=0}^\infty$ 收敛到 $g(\sup(J))$ . 如果 $\displaystyle\sup_{x\in J}g(x)<g(\sup(J))$ ，每个由J中元素组成并且收敛到 $\sup(J)$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 有序列 $(g(a_n))_{n=0}^\infty$ ，此时由于 $\displaystyle\{g(a_n) : n\in\mathbb{N}\}\subseteq\{g(x) : x\in J\}$ ，于是我们看到 $\displaystyle\sup\{g(a_n) : n\in\mathbb{N}\}\leqslant\sup\{g(x) : x\in J\}=\sup_{x\in J}g(x)<g(\sup(J))$ . 于是存在 $\varepsilon:=\frac{g(\sup(J))-\sup\{g(x) : x\in J\}}{2}>0$ ，对任意自然数n，存在自然数n使得 $|g(a_n)-g(\sup(J))|=g(\sup(J))-g(a_n)\geqslant g(\sup(J))-\sup\{g(a_n) : n\in\mathbb{N}\}>\varepsilon$ ，这与序列 $(g(a_n))_{n=0}^\infty$ 收敛到 $g(\sup(J))$ 相矛盾. 综上，我们证明了“对每个由J中元素组成并且收敛到 $\sup(J)$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 有序列 $(g(a_n))_{n=0}^\infty$ 收敛到 $g(\sup(J))$ ”和“如果 $\displaystyle\sup_{x\in J}g(x)<g(\sup(J))$ 那么对每个由J中元素组成并且收敛到 $\sup(J)$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 有序列 $(g(a_n))_{n=0}^\infty$ 不收敛到 $g(\sup(J))$ ”. 由于 $\sup(J)$ 为J的附着点和引理9.1.14知论域“由J中元素组成并且收敛到 $\sup(J)$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 全体”非空，于是“对每个由J中元素组成并且收敛到 $\sup(J)$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 有序列 $(g(a_n))_{n=0}^\infty$ 不收敛到 $g(\sup(J))$ ”为假，故不可能有 $\displaystyle\sup_{x\in J}g(x)<g(\sup(J))$ . 综上，我们的假设不成立. 于是 $\displaystyle\sup_{x\in J}g(x)=g(\sup(J))$ 成立.

同理我们可证如果 $\inf(J)>\inf(I)$ 那么有 $\displaystyle\inf_{x\in J}g(x)=g(\inf(J))$ .

综上，我们完成了小命题2.的证明.

需要注意的是，当g为单调减时类似的论证可以证明类似结论——“我们有对任意非空 $J\in\mathbb{P}$ ，如果 $\sup(J)<\sup(I)$ 那么有 $\displaystyle\inf_{x\in J}g(x)=g(\sup(J))$ ；同理如果 $\inf(J)>\inf(I)$ 那么有 $\displaystyle\sup_{x\in J}g(x)=g(\inf(J))$ .”.

小命题3.(分法的性质)对所有非退化区间 $J\in\mathbb{P}$ ，我们可以按照 $\inf(J)$ 的大小对其从小到大进行排列. 也即存在双射 $h:\{n\in\mathbb{N} : 1\leqslant n\leqslant\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})\}\rightarrow\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\}$ 使得 $h':\{n\in\mathbb{N} : 1\leqslant n\leqslant\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})\}\rightarrow\{\inf(K) : K\in\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\}\}, h'(n):=\inf(h(n))$ 严格单调增. 并且使 $\inf(I)=\inf(h(1))<\sup(h(1))=...=\inf(h(\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})-1))<\sup(h(\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})-1))=\inf(h(\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})))<\sup(h(\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})))=\sup(I)$ .

证明一：当 $\mathbb{P}$ 中不含有非退化区间时小命题3.是显然成立的，此时 $h, h'$ 都是值域为空集的空函数. 所以我们再考虑 $\mathbb{P}$ 含有非退化区间的情形.

我们将递归定义函数h.

仿照小命题1.中的部分论证，我们假设对任意非退化 $K\in\mathbb{P}$ 有 $\inf(I)<\inf(K)$ . 进而我们有 $\emptyset\neq(\inf(I), min\{\inf(K) : K\in\mathbb{P}, K\text{ is non-degenerate}\})\subseteq I$ (注意到 $\{\inf(K) : K\in\mathbb{P}, K\text{ is non-degenerate}\}$ 是非空的). 于是对任意 $x\in(\inf(I), min\{\inf(K) : K\in\mathbb{P}, K\text{ is non-degenerate}\})$ 存在 $A\in\mathbb{P}$ 使得 $x\in A$ . 由于已假设“对任意非退化 $K\in\mathbb{P}$ 有 $\inf(I)<\inf(K)$ ”，故我们进一步知道对任意 $x\in(\inf(I), min\{\inf(K) : K\in\mathbb{P}, K\text{ is non-degenerate}\})$ 存在 $\{x\}\in\mathbb{P}$ 使得 $x\in \{x\}$ . 由于 $(\inf(I), min\{\inf(K) : K\in\mathbb{P}, K\text{ is non-degenerate}\})$ 中元素是无限的，进而 $\mathbb{P}$ 也是无限的，这个矛盾说明假设不成立，即存在非退化区间 $P_1\in\mathbb{P}$ 使得 $\inf(P_1)=\inf(I)$ .

同理仿照小命题1.的部分论证我们知道恰存在一个非退化区间 $P_1\in\mathbb{P}$ 使得 $\inf(P_1)=\inf(I)$ ，其他的非退化区间的下确界都大于 $\inf(I)$ .

于是我们可以定义 $h(1):=P_1$ ，其中 $\inf(I)=\inf(P_1)<\sup(P_1)$ .

接下来，我们考虑 $\sup(h(1)), \sup(I)$ 的大小关系.

如果 $\sup(h(1))=\sup(P_1)=\sup(I)$ ，进而有 $\inf(I)=\inf(P_1)<\sup(P_1)=\sup(I)$ ，即 $(\inf(I), \sup(I))\subseteq P_1, I\subseteq[\inf(I), \sup(I)]$ . 这说明 $h(1)=P_1$ 是分法 $\mathbb{P}$ 唯一的非退化区间. 显然此时容易验证小命题3.成立.

否则我们有 $\sup(h(1))=\sup(P_1)<\sup(I)$ ，由小命题1.我们知道恰存在一个非退化区间 $P_2\in\mathbb{P}$ 使得 $\sup(P_1)=\inf(P_2)$ . 于是我们可以定义 $h(2):=P_2$ ，其中 $\inf(I)=\inf(P_1)<\sup(P_1)=\inf(P_2)<\sup(P_2)$ .

接下来，我们考虑 $\sup(h(2)), \sup(I)$ 的大小关系.

如果 $\sup(h(2))=\sup(P_2)=\sup(I)$ ，进而有 $\inf(I)=\inf(P_1)<\sup(P_1)=\inf(P_2)<\sup(P_2)=\sup(I)$ ，即 $(\inf(I), \sup(I))\backslash\{\sup(P_1)\}\subseteq P_1\cup P_2\subseteq[\inf(I), \sup(I)], (\inf(I), \sup(I))\backslash\{\sup(P_1)\}\subseteq I\subseteq[\inf(I), \sup(I)]$ . 这说明 $h(1)=P_1, h(2)=P_2$ 是分法 $\mathbb{P}$ 唯二的非退化区间. 显然此时容易验证小命题3.成立.

否则我们有 $\sup(h(2))=\sup(P_2)<\sup(I)$ ，由小命题1.我们知道恰存在一个非退化区间 $P_3\in\mathbb{P}$ 使得 $\sup(P_2)=\inf(P_3)$ . 于是我们可以定义 $h(3):=P_3$ ，其中 $\inf(I)=\inf(P_1)<\sup(P_1)=\inf(P_2)<\sup(P_2)=\inf(P_3)<\sup(P_3)$ .

现在我们假设对某自然数 $n\geqslant 2$ ，对一切自然数 $1\leqslant k\leqslant n$ 已定义好 $h(k)$ ，并且有 $\inf(I)=\inf(h(1))<\sup(h(1))=...=\inf(h(n-1))<\sup(h(n-1))=\inf(h(n))<\sup(h(n))$ .

接下来，我们考虑 $\sup(h(n)), \sup(I)$ 的大小关系.

如果 $\sup(h(n))=\sup(I)$ ，进而有 $\inf(I)=\inf(h(1))<\sup(h(1))=...=\inf(h(n-1))<\sup(h(n-1))=\inf(h(n))<\sup(h(n))=\sup(I)$ ，即有 $\displaystyle(\inf(I), \sup(I))\backslash\{\sup(h(1)),..., \sup(h(n-1))\}=\bigcup_{m\in\mathbb{N} : 1\leqslant m\leqslant n}(\inf(h(m)), \sup(h(m)))\subseteq \bigcup_{m\in\mathbb{N} : 1\leqslant m\leqslant n}h(m)\subseteq[\inf(I), \sup(I)], (\inf(I), \sup(I))\backslash\{\sup(h(1)),..., \sup(h(n-1))\}\subseteq I\subseteq[\inf(I), \sup(I)]$ . 于是我们发现 $\displaystyle I\backslash\bigcup_{m\in\mathbb{N} : 1\leqslant m\leqslant n}h(m)\subseteq[\inf(I), \sup(I)]\backslash((\inf(I), \sup(I))\backslash\{\sup(h(1)),..., \sup(h(n-1))\})=\{\inf(I), \sup(h(1)),..., \sup(h(n-1)), \sup(I)\}$ ，于是乎分法 $\mathbb{P}$ 只含有n个非退化区间 $h(1),..., h(n-1), h(n)$ . 显然此时容易验证小命题3.成立.

否则我们有 $\sup(h(n))<\sup(I)$ ，由小命题1.我们知道恰存在一个非退化区间 $P_{n+1}\in\mathbb{P}$ 使得 $\sup(h(n))=\inf(P_{n+1})$ . 于是我们可以定义 $h(n+1):=P_{n+1}$ ，其中 $\inf(I)=\inf(h(1))<\sup(h(1))=...=\inf(h(n))<\sup(h(n))=\inf(h(n+1))<\sup(h(n+1))$ .

但是，由于根据分法 $\mathbb{P}$ 为有限集以及小命题1.中证明“存在一个非退化区间 $P_N\in\mathbb{P}$ 使得 $\sup(P_N)=\sup(I)(N=\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\}))$ ”知上面的操作肯定能以小命题3.成立结束.

于是，这就证明了小命题3..

证明二（简略，选读）：同样的当 $\mathbb{P}$ 中不含有非退化区间时小命题3.是显然成立的，此时 $h, h'$ 都是值域为空集的空函数. 所以我们再考虑 $\mathbb{P}$ 含有非退化区间的情形.

对任意非退化区间 $J_1\in\mathbb{P}$ ，对任意非退化区间 $J_2\in\mathbb{P}$ ，如果 $J_1\neq J_2$ ，我们假设 $\inf(J_1)=\inf(J_2)$ . 于是我们看到 $\emptyset\neq(\inf(J_1), min\{\sup(J_1), \sup(J_2)\})\subseteq J_1\cap J_2=\emptyset$ . 这个矛盾说明我们的假设不成立，于是有 $\inf(J_1)\neq\inf(J_2)$ .

于是 $\mathbb{P}$ 中的非退化区间的下确界都是两两不同的. 于是集合 $\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\}$ 和集合 $\{\inf(K) : K\in\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\}\}, h'(n):=\inf(h(n))$ 有相同的基数.

于是“存在双射 $h:\{n\in\mathbb{N} : 1\leqslant n\leqslant\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})\}\rightarrow\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\}$ 使得 $h':\{n\in\mathbb{N} : 1\leqslant n\leqslant\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})\}\rightarrow\{\inf(K) : K\in\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\}\}, h'(n):=\inf(h(n))$ 严格单调增.”这件事就是显然的了. 因为我们可以取到唯一的非退化区间 $J_1\in\mathbb{P}$ 使得其下界等于非空集合 $A_1:=\{\inf(K) : K\in\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\}\}$ 的最小值，进而定义 $h(1):=J_1$ . 进而把 $J_1$ 从集合 $\{\inf(K) : K\in\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\}\}$ 剔除而得到新集合 $A_2$ . 重复上面的操作直至新得到的集合 $A_{\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})+1}$ 为空集即可.

接下来就要证明 $\inf(I)=\inf(h(1))<\sup(h(1))=...=\inf(h(\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})-1))<\sup(h(\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})-1))=\inf(h(\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})))<\sup(h(\#(\{J\in\mathbb{P} : J\text{ is non-degenerate}\})))$ 即可，这里就不展开了.

综上，我们有——对任意I的分法 $\mathbb{P}'''$ ，当 $\mathbb{P}'''$ 的基数不小于2时有

$\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))$

$\displaystyle =\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset, J\text{ is singleton}}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))+\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset, J\text{ is not singleton}}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))$ 由命题7.1.11(e)

$\displaystyle =\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset, J\text{ is singleton}}(g(\sup_{x\in J})-g(\inf_{x\in J}))+\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset, J\text{ is not singleton}}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))$ 单元素集的上下确界是其唯一的元素

$\displaystyle =\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset, J\text{ is singleton}}0+\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset, J\text{ is not singleton}}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))$ 同上

$\displaystyle =\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset, J\text{ is not singleton}}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))$

$\displaystyle=\sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\text{ is non-degenerate}}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))$ 非退化区间等价于不是空集也不是单元素集的区间

$\displaystyle =\sum_{n=1}^{\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})}(-\inf_{x\in h(n)}g(x)+\sup_{x\in h(n)}g(x))$ 定义7.1.6和上面的小命题3.

$\displaystyle =(-\inf_{x\in h(1)}g(x)+\sup_{x\in h(1)}g(x))+\sum_{n=2}^{\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})-1}(-\inf_{x\in h(n)}g(x)+\sup_{x\in h(n)}g(x))+(-\inf_{x\in h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\}))}g(x)+\sup_{x\in h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\}))}g(x))$ 由于 $\mathbb{P}$ 的基数不小于2和引理7.1.4(a)，引理7.1.4(a)要使用本书§7.1博文的版本.

$\displaystyle =(-\inf_{x\in h(1)}g(x)+g(\sup(h(1))))+\sum_{n=2}^{\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})-1}(-g(\inf(h(n)))+g(\sup(h(n))))+(-g(\inf(h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\}))))+\sup_{x\in h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})}g(x))$ 上面的小命题3.和小命题2，以及我们假设g是增函数.

$\displaystyle =-\inf_{x\in h(1)}g(x)+(g(\sup(h(1)))+\sum_{n=2}^{\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is degenerate}\})-1}(-g(\inf(h(n)))+g(\sup(h(n))))-g(\inf(h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is degenerate}\})))))+\sup_{x\in h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is degenerate}\})}g(x)$

$\displaystyle =-\inf_{x\in h(1)}g(x)+(g(\sup(h(1)))-g(\inf(h(2)))+g(\sup(h(2)))+...-g(\inf(h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})-1)))+g(\sup(h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})-1)))-g(\inf(h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})))))+\sup_{x\in h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is degenerate}\})}g(x)$

$\displaystyle =-\inf_{x\in h(1)}g(x)+(\{g(\sup(h(1)))-g(\inf(h(2)))\}+\{g(\sup(h(2)))+...-g(\inf(h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})-1)))\}+\{g(\sup(h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})-1)))-(g(\inf(h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\}))))\})+\sup_{x\in h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})}g(x)$

$\displaystyle =-\inf_{x\in h(1)}g(x)+(0+0+...+0)+\sup_{x\in h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})}g(x)$ 上面的小命题3.

$\displaystyle =\sup_{x\in h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})}g(x)-\inf_{x\in h(1)}g(x)$

$\displaystyle =\sup(\{g(x) : x\in I\})-\inf(\{g(x) : x\in I\})$ .容易证明 $\displaystyle \sup_{x\in h(\#(\{J\in\mathbb{P}''' : J\text{ is non-degenerate}\})}g(x)=\sup(\{g(x) : x\in I\}), \inf_{x\in h(1)}g(x)=\inf(\{g(x) : x\in I\})$ .

当 $\mathbb(P)$ 的基数为1时，即 $\mathbb{P}=\{I\}$ ，我们知道仍有 $\displaystyle \sum_{J\in\{I\}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))=\sup(\{g(x) : x\in I\})-\inf(\{g(x) : x\in I\})$ .

当g为单调增减数时，我们知道-g为单调增函数，于是任意I的分法 $\mathbb{P}'''$ 有 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}(-g)(x)-\inf_{x\in J}(-g)(x))=\sup(\{(-g)(x) : x\in I\})-\inf(\{(-g)(x) : x\in I\})$ ，即 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(-\inf_{x\in J}g(x)+\sup_{x\in J}g(x))=-\inf(\{g(x) : x\in I\})+\sup(\{g(x) : x\in I\})$ .

至此，我们终于证明了“设 $g:I\rightarrow\mathbb{R}$ 是单调的以正实数M>0为界的连续函数，其中定义域I是非空有界区间. 我们有：对任意I的分法 $\mathbb{P}'''$ 有 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))=\sup(\{g(x) : x\in I\})-\inf(\{g(x) : x\in I\})$ .”.

值得一提的是如果我们把前提中“设 $g:I\rightarrow\mathbb{R}$ 是单调的以正实数M>0为界的连续函数”改为“设 $g:I\rightarrow\mathbb{R}$ 是单调的以正实数M>0为界的函数”，即把连续去掉，我们只需要对小命题2.进行修正(小命题1.和小命题3.是关于分法的，不受影响)，同样的论证我们将得到：对任意I的分法 $\mathbb{P}'''$ 有 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))\leqslant\sup(\{g(x) : x\in I\})-\inf(\{g(x) : x\in I\})$ . 也即我们可以证明“设 $g:I\rightarrow\mathbb{R}$ 是单调的以正实数M>0为界的函数，其中定义域I是非空有界区间. 我们有：对任意I的分法 $\mathbb{P}'''$ 有 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))\leqslant\sup(\{g(x) : x\in I\})-\inf(\{g(x) : x\in I\})$ .”.

设 $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ 是单调的以正实数M>0为界的一致连续函数，其中定义域I是非空有界区间. 由上面的长篇大论我们可以知道：对任意实数 $\varepsilon>0$ 都存在分法 $\mathbb{P}''$ 使得 $\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))\leqslant\varepsilon$ ，并且f是Riemann可积的，并且对任意I的分法 $\mathbb{P}'''$ 有 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))=\sup(\{f(x) : x\in I\})-\inf(\{f(x) : x\in I\})>0$ .

由于单调的以正实数M>0为界的一致连续并且定义域I是非空有界区间的函数是存在的，于是我们得到了——

下面我们来构建上面提到的反例 $H_1$ .

我们定义函数 $H_1:[0, 1)\rightarrow\mathbb{R}$ 如下. 首先我们有对一切自然数m，对一切自然数n，如果 $m\neq n$ 那么 $\displaystyle[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i)\cap[\sum_{i=0}^n(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{n+1}(\frac{1}{2})^i)=\emptyset$ . 并且有 $\displaystyle[0, 1)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i)$ . 于是对每个偶自然数m，对每个元素 $\displaystyle x\in[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i)$ 我们定义 $H_1(x):=1$ ；每个奇自然数m，对每个元素 $\displaystyle x\in[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i)$ 我们定义 $H_1(x):=0$ . 由上论证我们容易知函数 $H_1$ 是定义成功了的. 函数 $H_1$ 看上去是关于“可数分法”逐段常值的.

我们先来证明 $H_1$ 是Riemann可积的.

对任意实数 $\varepsilon>0$ ，由于 $\displaystyle\sum_{i=0}^\infty(\frac{1}{2})^i=1$ 我们知可以找到自然数N使得 $\displaystyle 1-\sum_{i=0}^{N+1}(\frac{1}{2})^i<\varepsilon$ . 于是我们考虑[0, 1)的分法 $\mathbb{P}:=\displaystyle\{[\sum_{i=0}^0(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{1}(\frac{1}{2})^i), ... ,[\sum_{i=0}^{N-1}(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{N}(\frac{1}{2})^i), [\sum_{i=0}^{N}(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{N+1}(\frac{1}{2})^i), [\sum_{i=0}^{N+1}(\frac{1}{2})^i, 1)\}$ ，我们有 $\displaystyle U(H_1, \mathbb{P})-L(H_1, \mathbb{P})\\=\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}H_1(x)-\inf_{x\in J}H_1(x))|J|\\=\sum_{j=0}^{N}(\sup_{x\in [\sum_{i=0}^j(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{j+1}(\frac{1}{2})^i)}H_1(x)-\inf_{x\in [\sum_{i=0}^j(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{j+1}(\frac{1}{2})^i)}H_1(x))|[\sum_{i=0}^j(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{j+1}(\frac{1}{2})^i)|+(\sup_{x\in [\sum_{i=0}^{N+1}(\frac{1}{2})^i, 1)}H_1(x)-\inf_{x\in [\sum_{i=0}^{N+1}(\frac{1}{2})^i, 1)}H_1(x))|[\sum_{i=0}^{N+1}(\frac{1}{2})^i, 1)|\\=(0+...+0)+1\cdot(1-\sum_{i=0}^{N+1}(\frac{1}{2}))\leqslant\varepsilon$ . 综上，我们证明了对任意实数 $\varepsilon>0$ 都存在[0, 1)的分法 $\mathbb{P}$ 使得 $\displaystyle U(H_1, \mathbb{P})-L(H_1, \mathbb{P})=\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}H_1(x)-\inf_{x\in J}H_1(x))|J|\leqslant\varepsilon$ . 于是 $H_1$ 是Riemann可积的.

我们再来证明函数 $H_1$ 不满足“对任意实数 $\varepsilon>0$ 都存在分法 $\mathbb{P}$ 使得 $\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))\leqslant\varepsilon$ ”.

对任意[0, 1)的分法 $\mathbb{P}$ ，对任意 $J\in\mathbb{P}$ ，我们假设：对任意 $\mathbb{N}$ 的子集A，存在 $x\in J$ 使得 $\displaystyle x\notin\bigcup_{i\in A}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i)$ . 于是乎对集合 $\mathbb{N}$ 的子集 $\mathbb{N}$ ，存在 $x\in J$ 使得 $\displaystyle x\notin\bigcup_{i\in \mathbb{N}}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i)=[0, 1)$ . 这与 $J\subseteq [0, 1)$ 相矛盾，故假设不成立. 即我们证明了：对任意[0, 1)的分法 $\mathbb{P}$ ，对任意 $J\in\mathbb{P}$ ，存在 $\mathbb{N}$ 的子集A使得对每个 $x\in J$ 有 $\displaystyle x\in\bigcup_{i\in A}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i)$ (也即 $\displaystyle J\subseteq\bigcup_{i\in A}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i)$ ).

依上，对每个 $J\in\mathbb{P}$ 我们可以选出一个使得 $\displaystyle J\subseteq\bigcup_{i\in A}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i)$ 成立的 $\mathbb{N}$ 的子集A，并记作 $N_J$ .

对任意[0, 1)的分法 $\mathbb{P}$ ，我们假设：对任意 $J\in\mathbb{P}$ 我们有 $N_J$ 为有限集，进而集合 $\bigcup\{N_J : J\in\mathbb{P}\}$ 是有限集. 而我们有 $\displaystyle [0, 1)=\bigcup\mathbb{P}\subseteq\bigcup_{A\in\{N_J : J\in\mathbb{P}\}}(\bigcup_{i\in A}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i))$ ，进而我们有 $\displaystyle \emptyset=([0, 1)\backslash (\bigcup_{A\in\{N_J : J\in\mathbb{P}\}}(\bigcup_{i\in A}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i))))=(\bigcup_{m\in\mathbb{N}}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i)\backslash (\bigcup_{A\in\{N_J : J\in\mathbb{P}\}}(\bigcup_{i\in A}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i))))=(\bigcup_{m\in\mathbb{N}}[\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i)\backslash (\bigcup_{i\in\bigcup\{N_J : J\in\mathbb{P}\}}([\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i))))=\bigcup_{i\in\mathbb{N}\backslash\bigcup\{N_J : J\in\mathbb{P}\}}([\sum_{i=0}^m(\frac{1}{2})^i, \sum_{i=0}^{m+1}(\frac{1}{2})^i))\neq\emptyset$ . 这个矛盾说明我们的假设不成立. 于是乎，我们证明了：对任意[0, 1)的分法 $\mathbb{P}$ ，存在 $J_0\in\mathbb{P}$ 使得 $N_{J_0}$ 为可数限集. 由于 $J_0$ 为区间，进而 $N_{J_0}$ 包含偶数也包含奇数，进而 $\sup(J_0)-\inf(J_0)=1-0=1$ . 由函数 $H_1$ 的定义我们知道对任意非空 $J\in\mathbb{P}$ 有 $\sup(J)-\inf(J)$ 的最大值为1. 于是乎，我们证明了存在实数0.5，对任意[0, 1)的分法 $\mathbb{P}$ 我们都有 $\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))>0.5$ .

综上，我们证明了 $H_1$ 是Riemann可积的并且“对任意实数 $\varepsilon>0$ 都存在分法 $\mathbb{P}$ 使得 $\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))\leqslant\varepsilon$ ”不成立.

即我们证明了——“值域有界且定义域为有界区间的函数f是Riemann可积的” $\nRightarrow$ “对任意实数 $\varepsilon>0$ 都存在分法 $\mathbb{P}''$ 使得 $\displaystyle (\sup_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)))\leqslant\varepsilon$ ”.

设 $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ 是有界函数，其中I为有界区间.

我们再来考察Riemann积分的另一种常见黎曼和极限定义. 我们说f是Riemann可积的，当且仅当存在实数S，对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在实数 $\delta>0$ ，对I的任意不含空集(使得下面的笛卡尔乘积非空)分法 $\mathbb{P}$ ，如果 $max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta$ 那么对任意函数 $\displaystyle(\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}\in\prod_{K\in\mathbb{P}} K$ 我们有 $\displaystyle|\sum_{J\in\mathbb{P}}f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|-S|\leqslant\varepsilon$ . 于是我们记f的Riemann积分值为S.(也即 $\displaystyle\lim_{max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}\rightarrow 0}\sum_{J\in\mathbb{P}}f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|=S$ ). 值得一提的是，如果f是按“黎曼和极限定义”Riemann可积的，我们容易证明其积分值S是唯一的.

下面我们将证明上述常见黎曼和极限定义与书中的Riemann可积定义是等价的.

我们先证明：小命题4.“对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在I的一个分法 $\mathbb{P}$ 使得 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ ”和“对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在实数 $\delta>0$ ，对一切I的分法 $\mathbb{P}$ ，如果 $max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta$ 那么 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ ”是等价的.

证明：假设有“对任意实数 $\varepsilon<0$ ，存在实数 $\delta>0$ ，对一切I的分法 $\mathbb{P}$ ，如果 $max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta$ 那么 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ ”.

对任意实数 $\varepsilon<0$ ，由假设我们知存在实数 $\delta>0$ 使得对一切I的分法 $\mathbb{P}$ 如果 $max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta$ 那么 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ . 进而我们可以取到正自然数 $N_\delta$ 使得 $\frac{|I|}{\delta}<N_\delta$ ，即 $\frac{|I|}{N_\delta}<\delta$ . 于是我们可以考虑I的均分法 $\mathbb{P}'$ (具体来说，如果我们有 $\sup(I)\notin I$ ，我们定义 $\mathbb{P}':=\{I\cap J : J\in\{[n\frac{|I|}{N_\delta}+\inf(I), (n+1)\frac{|I|}{N_\delta}+\inf(I)) : n\in\{i\in\mathbb{N} : i<N_\delta\}\}\}$ ；否则我们定义 $\mathbb{P}':=\{I\cap J : J\in\{[n\frac{|I|}{N_\delta}+\inf(I), (n+1)\frac{|I|}{N_\delta}+\inf(I)) : n\in\{i\in\mathbb{N} : i<N_\delta-1\}\cup\{[(N_\delta-1)\frac{|I|}{N_\delta}+\inf(I), N_\delta\frac{|I|}{N_\delta}]+\inf(I)\}\}\}$ . 容易验证这样定义的集合确实是I的分法.). 于是我们可以发现 $max\{|J| : J\in\mathbb{P}'\}=\frac{|I|}{N_\delta}<\delta$ . 于是由假设我们知有 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ .

综上，我们证明了如果“对任意实数 $\varepsilon<0$ ，存在实数 $\delta>0$ ，对一切I的分法 $\mathbb{P}$ ，如果 $max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta$ 那么 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ ” $\Longrightarrow$ “对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在I的一个分法 $\mathbb{P}$ 使得 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ ”.

类似的，我们假设“对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在I的一个分法 $\mathbb{P}$ 使得 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ ”成立.

小命题5.对于I的一切分法 $\mathbb{P}_1, \mathbb{P}_2$ ，我们考虑 $\mathbb{P}_1, \mathbb{P}_2$ 的公共加细 $\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2$ . 对任意元素 $J\in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2$ ，如果J非空，易证恰存在一个 $K_1\in\mathbb{P}_1$ 使得 $J\subseteq K_1$ 并且恰存在一个 $K_2\in\mathbb{P}_2$ 使得 $J\subseteq K_2$ . 于是我们可以定义函数 $\displaystyle g_1, g_2:\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2\rightarrow\mathbb{R}$ ，对任意 $J\in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2$ ，如果J非空则定义 $\displaystyle g_1(J):=\sup_{x\in K_1}f(x)-\inf_{x\in K_1}f(x))\geqslant 0(J\subseteq K_1\in\mathbb{P}_1), g_2(J):=\sup_{x\in K_2}f(x)-\inf_{x\in K_2}f(x))\geqslant 0(J\subseteq K_2\in\mathbb{P}_2)$ ；否则 $g_1(J):=0, g_2(J)=0$ . 那么我们有 $\displaystyle\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1\neq\emptyset}(\sup_{x\in K_1}f(x)-\inf_{x\in K_1}f(x))|K_1|=\sum_{J\in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2}g_1(J)|J|$ 和 $\displaystyle\sum_{K_2\in\mathbb{P}_2; K_2\neq\emptyset}(\sup_{x\in K_2}f(x)-\inf_{x\in K_2}f(x))|K_2|=\sum_{J\in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2}g_2(J)|J|$ .

证明：对任意 $K_1\in\mathbb{P}_1$ ，我们容易证明 $\bigcup\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\}=K_1$ ，进而我们容易验证 $\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\}$ 为集合 $K_1$ 的一个分法，并且我们容易证明 $\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\}=\{J\cap K_1 : J\in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2\}$ . 进而有 $\displaystyle\bigcup_{P\in\mathbb{P}_1}(\bigcup\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq P\})=\bigcup_{P\in\mathbb{P}_1}P=I=\bigcup_{P\in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2}P$ . 我们容易验证 $\bigcup\{\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\} : K_1\in\mathbb{P}_1\}=\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2$ 为I的一个分法，并且容易证明对任意 $K_3, K_4\in\mathbb{P}_1$ ，如果 $K_3\neq K_4$ 那么 $\{J \in(\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2)\backslash\{\emptyset\} : J\subseteq K_3\}$ 和 $\{J \in(\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2)\backslash\{\emptyset\} : J\subseteq K_4\}$ 是不交的. 于是我们有 $\displaystyle\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1\neq\emptyset}(\sup_{x\in K_1}f(x)-\inf_{x\in K_1}f(x))|K_1|$

$\displaystyle\\=\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1\neq\emptyset}\{(\sup_{x\in K_1}f(x)-\inf_{x\in K_1}f(x))(\sum_{P\in\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\}}|P|)\}$

$\displaystyle\\=\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1\neq\emptyset}(\sum_{P\in\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\}}(\sup_{x\in K_1}f(x)-\inf_{x\in K_1}f(x))|P|)$

$\displaystyle\\=\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1\neq\emptyset}(\sum_{P\in\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\}}g_1(P)|P|)$

$\displaystyle\\=\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1\neq\emptyset}(\sum_{P\in\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\}}g_1(P)|P|-\sum_{P\in\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\}; P=\emptyset}g_1(P)|P|)$

$\displaystyle\\=\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1\neq\emptyset}(\sum_{P\in\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\}; P\neq\emptyset}g_1(P)|P|)$

$\displaystyle\\=\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1\neq\emptyset}(\sum_{P\in\{J \in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2 : J\subseteq K_1\}\backslash\{\emptyset\}}g_1(P)|P|)$

$\displaystyle\\=\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1\neq\emptyset}(\sum_{P\in\{J \in(\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2)\backslash\{\emptyset\} : J\subseteq K_1\}}g_1(P)|P|)$

$\displaystyle\\=\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1\neq\emptyset}(\sum_{P\in\{J \in(\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2)\backslash\{\emptyset\} : J\subseteq K_1\}}g_1(P)|P|)+\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1; K_1=\emptyset}(\sum_{P\in\{J \in(\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2)\backslash\{\emptyset\} : J\subseteq K_1\}}g_1(P)|P|)$

$\displaystyle\\=\sum_{K_1\in\mathbb{P}_1}(\sum_{P\in\{J \in(\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2)\backslash\{\emptyset\} : J\subseteq K_1\}}g_1(P)|P|)$

$\displaystyle\\=\sum_{J\in\bigcup\{\{J \in(\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2)\backslash\{\emptyset\} : J\subseteq K_1\} : K_1\in\mathbb{P}_1\}}g_1(J)|J|$

$\displaystyle\\=\sum_{J\in\bigcup\{\{J \in(\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2) : J\subseteq K_1\} : K_1\in\mathbb{P}_1\}\backslash\{\emptyset\}}g_1(J)|J|$

$\displaystyle\\=\sum_{J\in\bigcup\{\{J \in(\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2) : J\subseteq K_1\} : K_1\in\mathbb{P}_1\}\backslash\{\emptyset\}}g_1(J)|J|+\sum_{J\in\{\emptyset\}}g_1(J)|J|$

$\displaystyle\\=\sum_{J\in\bigcup\{\{J \in(\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2) : J\subseteq K_1\} : K_1\in\mathbb{P}_1\}}g_1(J)|J|\\=\sum_{J\in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2}g_1(J)|J|$ .

同理我们也可以证明 $\displaystyle\sum_{K_2\in\mathbb{P}_2; K_2\neq\emptyset}(\sup_{x\in K_2}f(x)-\inf_{x\in K_2}f(x))|K_2|=\sum_{J\in\mathbb{P}_1\#\mathbb{P}_2}g_2(J)|J|$ .

这就完成了小命题5.的证明.

我们回到小命题4.证明的主线.

当I为空集或单点集或f为常值函数时命题“对任意实数 $\varepsilon<0$ ，存在实数 $\delta>0$ ，对一切I的分法 $\mathbb{P}$ ，如果 $max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta$ 那么 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ ”是显然成立的，故我们只需再考虑I为非退化区间并且f不是在I上常值的情形，此时I的任意分法都含有非退化区间.

对任意实数 $\varepsilon>0$ ，由假设“对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在I的一个分法 $\mathbb{P}$ 使得 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ ”知存在I的一个分法 $\mathbb{P}'$ 使得 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\frac{1}{2}\cdot\varepsilon$ .

我们定义 $\displaystyle H_{max}^{(1)}:=max\{(\sup_{x\in P_1\cup P_2\cup P_3}f(x)-\inf_{x\in P_1\cup P_2\cup P_3}f(x)) : (P_1, P_2, P_3)\in\{(O_1, O_2, O_3)\in(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\}) : O_1\cup O_2\cup O_3\text{ is a interval}\}\}$ .

由于我们假设了I为非退化区间，进而此时I的分法 $\mathbb{P}'$ 含有非退化区间，进而集合 $(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})$ 非空. 从上面小命题3.的结论我们可以证明(严格写起来太繁琐，故省略)集合 $\{(O_1, O_2, O_3)\in(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\}) : O_1\cup O_2\cup O_3\text{ is a interval}\}$ 非空. 于是我们可以看到 $H_{max}^{(1)}\geqslant 0$ . 而如果 $H_{max}^{(1)}=0$ ，也即对任意 $\displaystyle(P_1, P_2, P_3)\in\{(O_1, O_2, O_3)\in(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\}) : O_1\cup O_2\cup O_3\text{ is a interval}\}$ 有 $\displaystyle\sup_{x\in P_1\cup P_2\cup P_3}f(x)-\inf_{x\in P_1\cup P_2\cup P_3}f(x)=0$ ，这说明对每个 $\displaystyle(P_1, P_2, P_3)\in\{(O_1, O_2, O_3)\in(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\}) : O_1\cup O_2\cup O_3\text{ is a interval}\}$ 函数f在区间 $P_1\cup P_2\cup P_3$ 上是常值的. 进而结合小命题3.小心论证我们可以知道f在I上常值.

于是在假设f不是常值函数的前提下我们有 $H_{max}^{(1)}>0$ .

我们再定义 $\displaystyle H_{max}^{(2)}:=max\{(\sup_{x\in P_1\cup P_2}f(x)-\inf_{x\in P_1\cup P_2}f(x)) : (P_1, P_2)\in\{(O_1, O_2)\in(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})) : O_1\cup O_2\text{ is a interval}\}\}$ . 同上面对 $H_{max}^{(3)}$ 的论述我们知此时有 $H_{max}^{(2)}>0$ .

我们定义 $\displaystyle H_{max}^{(3)}:=max\{\sum_{i=0}^3(\sup_{x\in P_i}f(x)-\inf_{x\in P_i}f(x)) : (P_1, P_2, P_3)\in\{(O_1, O_2, O_3)\in(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\}) : O_1\cup O_2\cup O_3\text{ is a interval}\}\}$ .

由于我们假设了I为非退化区间，进而此时I的分法 $\mathbb{P}'$ 含有非退化区间，进而集合 $(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})$ 非空. 从上面小命题3.的结论我们可以证明(严格写起来太繁琐，故省略)集合 $\{(O_1, O_2, O_3)\in(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\}) : O_1\cup O_2\cup O_3\text{ is a interval}\}$ 非空. 于是我们可以看到 $H_{max}^{(3)}\geqslant 0$ . 而如果 $H_{max}^{(3)}=0$ ，也即对任意 $\displaystyle(P_1, P_2, P_3)\in\{(O_1, O_2, O_3)\in(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\}) : O_1\cup O_2\cup O_3\text{ is a interval}\}$ 有 $\displaystyle\sum_{i=0}^3(\sup_{x\in P_i}f(x)-\inf_{x\in P_i}f(x))=0$ . 进而对任意 $\displaystyle(P_1, P_2, P_3)\in\{(O_1, O_2, O_3)\in(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\}) : O_1\cup O_2\cup O_3\text{ is a interval}\}$ ，对每个 $i\in\{1, 2, 3\}$ ，有 $\displaystyle(\sup_{x\in P_i}f(x)-\inf_{x\in P_i}f(x))=0$ . 进而结合小命题3.小心论证我们可以知道f在I上关于分法 $\mathbb{P}'$ 逐段常值.

于是在假设f不是关于分法 $\mathbb{P}'$ 逐段常值函数的前提下我们有 $H_{max}^{(3)}>0$ .

我们再定义 $\displaystyle H_{max}^{(4)}:=max\{\sum_{i=0}^2(\sup_{x\in P_i}f(x)-\inf_{x\in P_i}f(x)) : (P_1, P_2)\in\{(O_1, O_2)\in(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})\times(\mathbb{P}'\backslash\{\emptyset\})) : O_1\cup O_2\text{ is a interval}\}\}$ . 同上面对 $H_{max}^{(3)}$ 的论述我们知此时有 $H_{max}^{(4)}>0$ .

至此，我们终于可以定义我们想要的 $\delta$ . 我们记 $l_{min}:=\frac{1}{2}\cdot min\{|J|: J\in\{P'\in\mathbb{P}' : P'\text{ is non-degenerate}\}\}$ ，由于 $\mathbb{P}'$ 包含非退化区间，于是我们看到 $l_{min}>0$ . 进而我们就定义 $\delta:=min\{\frac{\frac{1}{2}\varepsilon}{\#(\mathbb{P}')\cdot max\{H_{max}^{(1)}, H_{max}^{(2)}, H_{max}^{(3)}, H_{max}^{(4)}\}}, l_{min}\}>0$ .

完成了对 $\delta$ 的定义，进而对任意I的分法 $\mathbb{P}$ ，如果 $max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta$ ，那么对任意 $J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ ，如果J非空，易证恰存在一个 $K\in\mathbb{P}$ 使得 $J\subseteq K$ 并且恰存在一个 $K'\in\mathbb{P}'$ 使得 $J\subseteq K'$ . 于是我们可以定义函数 $\displaystyle g, g':\mathbb{P}\#\mathbb{P}'\rightarrow\mathbb{R}$ ，对任意 $J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ ，如果J非空则定义 $\displaystyle g(J):=\sup_{x\in K}f(x)-\inf_{x\in K}f(x))\geqslant 0(J\subseteq K\in\mathbb{P}), g'(J):=\sup_{x\in K'}f(x)-\inf_{x\in K'}f(x))\geqslant 0(J\subseteq K'\in\mathbb{P}')$ ；否则 $g(J):=0, g'(J)=0$ .

由上小命题5.论证我们知 $\displaystyle\sum_{K\in\mathbb{P}; K\neq\emptyset}(\sup_{x\in K}f(x)-\inf_{x\in K}f(x))|K|=\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}g(J)|J|$ ， $\displaystyle\sum_{K'\in\mathbb{P}'; K'\neq\emptyset}(\sup_{x\in K'}f(x)-\inf_{x\in K'}f(x))|K'|=\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}g'(J)|J|$ .

于是我们只要证明“ $\displaystyle\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}g(J)|J|\leqslant\varepsilon$ ”就可以完成：在假设f在I上不是关于分法 $\mathbb{P}'$ 逐段常值函数的前提下，有“对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在I的一个分法 $\mathbb{P}$ 使得 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ ” $\Longrightarrow$ “对任意实数 $\varepsilon<0$ ，存在实数 $\delta>0$ ，对一切I的分法 $\mathbb{P}$ ，如果 $max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta$ 那么 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ ”的证明. 下面我们就做此事.

我们将会 $\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 分为四组： $A_0:=\{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J=\emptyset\},\\A_1:=\{J\in\{J'\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J'\text{ is not empty}\} : \exists K\in\mathbb{P}, \exists K'\in\mathbb{P}'\text{ such that }J\subseteq K\subseteq K'\},\\A_2:=\{J\in\{J'\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J'\text{ is singleton}\} : \exists K\in\mathbb{P}, \exists K'\in\mathbb{P}'\text{ such that }J\subseteq K, J\subseteq K', \lnot(K\subseteq K')\},\\A_3:=\{J\in\{J'\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J'\text{ is non-degenerate}\} : \exists K\in\mathbb{P}, \exists K'\in\mathbb{P}'\text{ such that }J\subseteq K, J\subseteq K', \lnot(K\subseteq K')\}$ . 我们容易证明 $A_0\cup A_1\cup A_2\cup A_3=\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 并且 $A_0, A_1, A_2, A_3$ 两两不相交.

先来考虑集合 $A_0$ .

对任意 $J\in A_0$ 我们有J为空集，由两函数g, g’定义我们有 $\displaystyle g'(J)=g(J)=0$ ，进而 $\displaystyle g'(J)-g(J)=0$ .

再来考虑 $A_1$ .

对任意 $J\in A_1$ ，有 $K\subseteq K'$ 成立，此时我们有 $\sup(K')\geqslant \sup(K)$ 和 $\inf(K)\geqslant \inf(K')$ ，再由于 $\emptyset\neq J\subseteq K\subseteq K'$ ，于是我们有 $+\infty>\sup(K')\geqslant \sup(K)\geqslant\inf(K)\geqslant \inf(K')>-\infty$ ，于是我们看到 $\displaystyle g'(J)-g(J)\geqslant 0$ . 即对任意 $J\in A_1$ 有 $\displaystyle g(J)-g'(J)\leqslant 0$ .

再来考虑 $A_2$ 和 $A_3$ .

我们定义集合 $A_4:=\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}$ . 进而我们容易证明对 $J_1, J_2\in A_4$ 如果 $J_1\neq J_2$ 那么 $J_1\cap J_2=\emptyset$ . 也容易证明 $\bigcup A_4=A_2\cup A_3$ . 并且我们容易证明对任意非空 $P\in A_4$ ，我们有恰存在一个 $J'\in\mathbb{P}$ 有 $P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}$ .

进而对任意非空 $P\in A_4$ ，我们有恰存在一个 $J'\in\mathbb{P}$ 使得 $P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}$ ，进而对此唯一的集合 $J'$ 有

$J'$

$=\bigcup\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J'\}$ (因为 $\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J'\}$ 为J的分法)

$=(\bigcup\{J''\in A_0 : J''\subseteq J'\})\cup(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\})\cup(\bigcup\{J''\in A_2 : J''\subseteq J'\})\cup(\bigcup\{J''\in A_3 : J''\subseteq J'\})$ (由 $A_0\cup A_1\cup A_2\cup A_3=\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 并且 $A_0, A_1, A_2, A_3$ 两两不相交可证)

$=\emptyset\cup(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\})\cup(\bigcup\{J''\in A_2 : J''\subseteq J'\})\cup(\bigcup\{J''\in A_3 : J''\subseteq J'\})$ (容易证明 $\bigcup\{J''\in A_0 : J''\subseteq J'\}$ 为空集)

$=(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\})\cup(\bigcup\{J''\in A_2 : J''\subseteq J'\})\cup(\bigcup\{J''\in A_3 : J''\subseteq J'\})$

而对任意 $J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ ，如果 $J\neq\emptyset$ ，我们知恰存在一个 $K\in\mathbb{P}$ 和恰存在一个 $K'\in\mathbb{P}'$ 使得 $J=K\cap K'$ . 如果我们还知道此时 $K\subseteq K'$ ，那么有 $J=K\cap K'=K$ . 亦即我们证明了命题：“对任意 $J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ ，如果(( $J\neq\emptyset$ )并且(存在 $K\in\mathbb{P}, K'\in\mathbb{P}'$ 使得 $J\subseteq K\subseteq K'$ ))那么有 $J=K$ .”.

由上面一段以及 $A_1$ 定义我们易证：对任意 $J\in A_1$ 有 $J=K(K\in\mathbb{P})$ .

我们假设 $(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\})$ 不是空集，即存在元素 $x_0\in(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\})$ . 进而存在元素 $x_0\in(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\})$ ，对某 $A\in\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\}$ 有 $x_0\in A$ . 进而存在元素 $x_0\in(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\})$ ，存在 $A\in\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\}$ 使得 $A\in A_1$ 且 $A\subseteq J'$ 且 $x_0\in A$ . 综合“对任意非空 $P\in A_4$ ，我们有恰存在一个 $J'\in\mathbb{P}$ 使得 $P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}$ ”看到：存在非空集合 $A\in A_1$ 使得 $A\subseteq J'$ 并且 $\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}$ 也是非空集合. 进而有存在非空集合 $A\in A_1$ 使得 $x_0\in A\subseteq J'$ 并且存在非空集合 $B\in A_2\cup A_3$ 使得 $B\subseteq J'$ . 由于已证“对任意 $J\in A_1$ 有 $J=K(K\in\mathbb{P})$ .”，进一步我们得到：存在非空集合 $A\in A_1$ 使得 $x_0\in A=J'$ 并且存在非空集合 $B\in A_2\cup A_3$ 使得 $B\subseteq J'=A$ . 进而存在非空集合 $A\in A_1$ ，存在非空集合 $B\in A_2\cup A_3$ 使得 $B\subseteq A$ . 而我们已证 $A_0, A_1, A_2, A_3$ 两两不相交，所以“存在非空集合 $A\in A_1$ ，存在非空集合 $B\in A_2\cup A_3$ 使得 $B\subseteq A$ ”不可能成立，所以我们的假设不成立，即 $(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\})=\emptyset$ .

进而继续上面的等式变换，即

$J'=(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\})\cup(\bigcup\{J''\in A_2 : J''\subseteq J'\})\cup(\bigcup\{J''\in A_3 : J''\subseteq J'\})=(\bigcup\{J''\in A_2 : J''\subseteq J'\})\cup(\bigcup\{J''\in A_3 : J''\subseteq J'\})=\bigcup\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}=\bigcup P$ .

综上，我们证明了：对任意非空 $P\in A_4$ ，我们有恰存在一个 $J'\in\mathbb{P}$ 使得 $P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}$ 并且 $J'=\bigcup\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J'\}=\bigcup\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}=\bigcup P$ .

进而对任意非空 $P\in A_4$ ，我们知恰存在一个 $J'\in\mathbb{P}$ 使得 $P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}$ 并且 $J'=\bigcup\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}$ . 我们假设存在 $P'\in\mathbb{P}'$ 使得 $J'\subseteq P'$ . 也即有 $\bigcup\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}\subseteq P'$ . 进而对任意 $J''\in A_2\cup A_3$ ，如果 $J''\subseteq J'$ 则 $J''\subseteq P'$ . 进而对任意 $J''\in A_2\cup A_3$ ，由 $A_2, A_3$ 定义我们知 $J''\subseteq J', J''\subseteq P', \lnot(J'\subseteq P')$ . 由于 $A_4$ 非空，进而我们得到 $A_2\cup A_3$ 非空，于是由“对任意 $J''\in A_2\cup A_3$ ，由 $A_2, A_3$ 定义我们知 $J''\subseteq J', J''\subseteq P', \lnot(J'\subseteq P')$ .”知有 $J'\subseteq P'$ 不成立. 这个矛盾说明我们的假设不成立. 故我们证明了：对任意非空 $P\in A_4$ ，恰存在一个 $J'\in\mathbb{P}$ ，使得 $P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}$ 并且 $J'=\bigcup P$ 并且对任意 $P'\in\mathbb{P}'$ 有 $J'\subseteq P'$ 不成立.(或者写证明：对任意 $J'\in\mathbb{P}$ ，如果 $\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\}\in A_4$ 非空，我们假设存在 $P'\in\mathbb{P}'$ 使得 $J'\subseteq P'$ . 由于 $\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\}$ 非空，于是存在 $J_0\in A_2\cup A_3$ 使得 $J_0\subseteq J'$ . 再由 $A_2, A_3$ 的定义知存在 $K_2\in\mathbb{P}, K_2'\in\mathbb{P}'$ 使得 $J_0\subseteq K_2, J_0\subseteq K_2', \lnot(K_2\subseteq K_2')$ . 由于 $J_0\subseteq J'$ ，于是 $K_2=J'$ . 于是我们看到 $J_0\subseteq J'\subseteq P'$ ，进而 $K_2'=P'$ . 于是我们看到 $J'\subseteq P'$ 和 $\lnot(K_2\subseteq K_2')$ 是相互矛盾的，故我们的假设不成立.)

综上，我们证明了：对任意 $J'\in\mathbb{P}$ ，如果 $\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\}\in A_4$ 非空那么对任意 $P'\in\mathbb{P}'$ 有 $J'\subseteq P'$ 不成立.

由上，对任意 $J'\in\mathbb{P}$ ，如果 $\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\}\in A_4$ 非空，那么我们容易证明：对任意自然数 $N\leqslant\#(\mathbb{P}')$ ，对任意单射 $f:\{n\in\mathbb{N} : n\leqslant N\}\rightarrow\mathbb{P}$ ，如果 $\displaystyle J'\subseteq\bigcup_{i\in\{n\in\mathbb{N} : n\leqslant N\}}f(i)$ 那么 $N\geqslant 2$ . 进一步我们容易反证证明：对任意 $J'\in\mathbb{P}$ ，如果 $\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\}\in A_4$ 非空，那么 $\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\})\geqslant 2$ .

于是现在我们来证明：对任意非空 $P\in A_4$ ，恰存在一个 $J'\in\mathbb{P}$ ，使得 $P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}$ ，使得 $1\leqslant\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset, P'\text{ is non-degenerate}\})\leqslant 2$ .

证明：对任意非空 $P\in A_4$ ，由前面论证知恰存在一个 $J'\in\mathbb{P}$ ，使得 $P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}$ 并且 $J'=\bigcup P$ 并且对任意 $P'\in\mathbb{P}'$ 有 $J'\subseteq P'$ 不成立. 我们假设一： $\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset, P'\text{ is non-degenerate}\})\geqslant 3$ . 由小命题3.以及 $J'$ 为区间我们容易证明 $J'$ 至少包含一个 $\mathbb{P}'$ 的一个非退化区间，这与 $J'\in\mathbb{P}$ 使得 $|J'|<\delta\leqslant l_{min}$ 相矛盾. 故我们的假设一不成立，进而有 $\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset, P'\text{ is non-degenerate}\})\leqslant 2$ . 同样的，我们假设二： $\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset, P'\text{ is non-degenerate}\})=0$ . 由于 $P\in A_4$ 非空，并且恰存在一个 $J'\in\mathbb{P}$ 使得 $P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}$ ，于是我们知道 $\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}$ 非空. 进而存在 $J'''\in A_2\cup A_3$ 使得 $J'''\subseteq J'$ . 再由 $A_2, A_3$ 定义我们知 $J'$ 非空. 我们进一步假设 $J'$ 为单元素集，于是可以知道 $\emptyset\neq J'''\in A_2$ . 综合起来有 $J'''=J'$ 为单元素集. 再由 $J'''\in A_2$ 以及 $A_2$ 的定义我们知存在 $J'\in\mathbb{P}, K'\in\mathbb{P}'$ 使得 $\emptyset\neq J'''\subseteq J', \emptyset\neq J'''\subseteq K', \lnot(J'\subseteq K')$ . 由上“ $\lnot(J'\subseteq K')$ ”以及“ $J'$ 为单元素集”我们知道 $K'$ 为空集，这与已证的“ $\emptyset\neq J'''\subseteq K'$ ”相矛盾，说明我们的进一步假设不成立，于是 $J'$ 为不是单元素集. 再结合 $J'$ 非空我们知道 $J'$ 为非退化区间. 于是我们有 $J'=\bigcup \{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}$ 为非退化区间，进而我们知道存在 $J''''\in A_3$ 使得 $J''''\subseteq J'$ . 至此，对非退化区间 $J''''\in A_3$ ，由 $A_3$ 定义我们知存在 $J'\in\mathbb{P}, K_1'\in\mathbb{P}'$ 使得 $J''''\subseteq J', J''''\subseteq K_1', \lnot(J'\subseteq K_1')$ . 于是有 $\emptyset\neq J''''\subseteq K_1'\cap J'$ . 如果我们知道 $K_1'$ 为非退化区间，进而有 $K_1'\in\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset, P'\text{ is non-degenerate}\}$ ，于是这与假设二 $\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset, P'\text{ is non-degenerate}\})=0$ 相矛盾，故 $K_1'$ 应为单点集. 此时我们看到对非退化区间 $J''''$ 和单点集 $K_1'$ 有 $J''''\subseteq K_1'$ . 这个矛盾说明我们的假设二不成立. 故 $\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset, P'\text{ is non-degenerate}\})\geqslant 1$ .

综上，我们证明了对任意非空 $P\in A_4$ ，恰存在一个 $J'\in\mathbb{P}$ ，使得 $P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}$ ，使得 $1\leqslant\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset, P'\text{ is non-degenerate}\})\leqslant 2$ .

进一步的，对任意 $J'\in\mathbb{P}$ ，若 $P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}\in A_4$ 非空，我们假设 $\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\})\geqslant 4$ . 于是我们可以从集合 $\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\})$ 取出4个不同元素，分别记作 $P_1, P_2, P_3, P_4$ . 由于我们已经证明“对任意非空 $P\in A_4$ ，恰存在一个 $J'\in\mathbb{P}$ ，使得 $P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}$ ，使得 $1\leqslant\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset, P'\text{ is non-degenerate}\})\leqslant 2$ .”，于是 $P_1, P_2, P_3, P_4$ 中有一个非退化区间和三个单点集；或者两个非退化区间和两个单点集. 但不管如何，我们知道此时 $J'$ 包含 $\mathbb{P}'$ 中至少两个单点集，我们记此两单点集分别为 $\{x_1\}, \{x_2\}(x_1\neq x_2)$ . 不妨一般性，我们假设 $x_1<x_2$ . 此时对一切 $x\in(x_1, x_2)\subseteq I$ ，我们知道恰存在一个 $P\in\mathbb{P}'$ 使得 $x\in P$ . 我们假设存在从 $(x_1, x_2)$ 到 $\mathbb{P}'$ 的单射. 由于 $x_1<x_2$ ，于是 $(x_1, x_2)$ 是无限集. 再由假设“存在从 $(x_1, x_2)$ 到 $\mathbb{P}'$ 的单射”我们知道 $\mathbb{P}'$ 是无限集. 这与分法的定义相矛盾，于是假设不成立，于是不存在从 $(x_1, x_2)$ 到 $\mathbb{P}'$ 的单射. 于是我们定义函数 $F:(x_1, x_2)\rightarrow\mathbb{P}'$ ，已知对一切 $x\in(x_1, x_2)\subseteq I$ 恰存在一个 $P\in\mathbb{P}'$ 使得 $x\in P$ ，于是我们定义 $F(x):=P(x\in P)$ . 由上我们知F不是单射，即存在 $x_3, x_4\in(x_1, x_2)$ 使得 $x_3\neq x_4$ 并且 $F(x_3)=F(x_4)$ . 再结合 $\{x_1\}, \{x_2\}\in\mathbb{P}'(x_1<x_2)$ 我们知存在非退化区间 $P_0\in\mathbb{P}'$ 使得 $P_0\subseteq (x_1, x_2)$ . 于是我们看到 $P_0\subseteq J'$ . 由 $\delta$ 定义知这与我们只考虑“ $max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta$ ”的 $\mathbb{P}$ 相矛盾. 于是我们的假设不成立，即有 $\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\})<4$ .

综上，结合已证“对任意 $J'\in\mathbb{P}$ ，如果 $\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\}\in A_4$ 非空，那么 $\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\})\geqslant 2$ .”，有对任意 $J'\in\mathbb{P}$ ，若 $\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}\in A_4$ 非空，有 $2\leqslant\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\})\leqslant 3$ .

进而，对任意 $J'\in\mathbb{P}$ ，由于 $\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J'\}$ 是 $J'$ 的分法，进而有 $J'=\bigcup\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J'\}$ . 于是对任意 $x\in J'$ ，我们知对某集合 $C\in\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J'\}$ 有 $x\in C$ . 也即对任意 $x\in J'$ ，我们知对某非空集合 $C\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 有 $C\subseteq J'$ 和 $x\in C$ . 进而对任意 $x\in J'$ 知对某非空集合 $C\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 有 $C\subseteq J'$ 和 $x\in C$ ，而我们知道恰存在一个元素 $D'\in\mathbb{P}'$ 使得有 $C\subseteq D'$ ，进而有 $x\in D'$ ，于是我们看到 $x\in J'\cup D'\neq\emptyset$ ，于是我们看到 $x\in\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ .

综上，对任意 $J'\in\mathbb{P}$ ，我们有 $J'\subseteq\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ .

对任意 $J'\in\mathbb{P}$ ，我们考虑集合 $\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ .

如果 $J'$ 为空集，我们易知 $\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ 为空集，于是此时 $\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ 可以写成区间的形式.

如果 $J'$ 为单点集，我们易知 $\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ 就是一个区间.

我们再来考虑 $J'$ 非退化的情形，我们记 $U:=\sup\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}, L:=\inf\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ . 我们容易证明 $\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ 非退化，进而知 $\inf(I)\leqslant L<U\leqslant \sup(I)$ . 我们大假设 $\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ 不能写成区间的形式，这说明存在元素 $x_0\in(L, U)$ 使得 $x_0\notin\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ ，也即存在元素 $x_0\in(L, U)$ 使得对任意 $P'\in\mathbb{P}'$ 如果 $P'\cap J'\neq\emptyset$ 那么 $x_0\notin P'$ . 而我们注意到 $x_0\in(L, U)$ 而 $(L, U)\subseteq I$ ，于是恰存在一个非空 $P_0\in\mathbb{P}'$ 使得 $x_0\in P_0$ . 由“存在元素 $x_0\in(L, U)$ 使得对任意 $P'\in\mathbb{P}'$ 如果 $P'\cap J'\neq\emptyset$ 那么 $x_0\notin P'$ .”我们知道 $P_0\cap J'=\emptyset$ . 于是我们看到 $P_0\notin\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ . 我们小假设一有 $\inf(J')<\sup(P_0)$ 且 $\inf(P_0)<\sup(J')$ . 我们容易证明当 $\inf(P_0)\leqslant\inf(J')$ 或者 $\sup(J')\leqslant\sup(P_0)$ 时我们有 $P_0\cap J'\neq\emptyset$ ，于是在我们已证 $P_0\cap J'=\emptyset$ 的条件下应有 $\inf(P_0)>\inf(J')$ 且 $\sup(J')>\sup(P_0)$ ，进而由 $J'$ 为区间我们有 $\emptyset\neq P_0\subseteq J'$ ，于是此时仍有 $P_0\cap J'=P_0\neq\emptyset$ . 综上，我们知道小假设一不成立，于是我们证明了 $\sup(P_0)\leqslant\inf(J')$ 或 $\sup(J')\leqslant\inf(P_0)$ . 再由于对任意 $P'\in\mathbb{P}'$ 如果 $P'\cap J'\neq\emptyset$ 那么有 $P'\subseteq\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ ，于是我们看到对任意 $P'\in\mathbb{P}'$ 如果 $P'\cap J'\neq\emptyset$ 那么有 $\sup(P')\leqslant U$ . 我们小假设二有对任意 $P'\in\mathbb{P}'$ 如果 $P'\cap J'\neq\emptyset$ 那么有 $\sup(P')<U$ . 于是我们可以定义实数 $U_s:=max\{\sup(P) : P\in\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}\}$ ，于是我们由小假设二知有 $U_s<U$ . 那么对任意 $x\in\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ ，我们知对某 $P_x\in\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ 有 $x\in P_x$ ，进而有 $x\leqslant\sup(P_x)\leqslant U_s<U$ . 至此我们发现U不是 $\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ 的最小上界，这个矛盾说明我们的小假设二是不成立的，于是我们得到存在 $P_1\in\mathbb{P}'$ 使得 $P_1\cap J'\neq\emptyset$ 且 $\sup(P_1)\geqslant U$ . 再结合已证“对任意 $P'\in\mathbb{P}'$ 如果 $P'\cap J'\neq\emptyset$ 那么有 $\sup(P')\leqslant U$ .”我们知存在 $P_1\in\mathbb{P}'$ 使得 $P_1\cap J'\neq\emptyset$ 且 $\sup(P_1)=U$ . 同理我们可以证明存在 $P_2\in\mathbb{P}'$ 使得 $P_2\cap J'\neq\emptyset$ 且 $\inf(P_2)=L$ . 综上，我们证明了“ $\sup(P_0)\leqslant\inf(J')$ 或 $\sup(J')\leqslant\inf(P_0)$ ”和“存在 $P_1\in\mathbb{P}'$ 使得 $P_1\cap J'\neq\emptyset$ 且 $\sup(P_1)=U$ ”和“存在 $P_2\in\mathbb{P}'$ 使得 $P_2\cap J'\neq\emptyset$ 且 $\inf(P_2)=L$ ”. 我们再小假设三有 $L<\sup(P_0)$ 且 $\inf(P_0)<U$ . 结合上面已证我们有 $L<\sup(P_0)\leqslant\inf(J')$ 或者 $\sup(J')\leqslant\inf(P_0)<U$ ，也即 $\inf(P_2)<\sup(P_0)\leqslant\inf(J')$ 或者 $\sup(J')\leqslant\inf(P_0)<\sup(P_1)$ . 再由于 $P_2\cap J'\neq\emptyset$ 和 $P_1\cap J'\neq\emptyset$ 我们知道有 $\inf(J')\leqslant\sup(P_2)$ 和 $\inf(P_1)\leqslant\sup(J')$ ，再结合已证的“ $\inf(P_2)<\sup(P_0)\leqslant\inf(J')$ 或者 $\sup(J')\leqslant\inf(P_0)<\sup(P_1)$ ”我们知道有 $\inf(P_2)<\sup(P_0)\leqslant\sup(P_2)$ 或者 $\inf(P_1)\leqslant\inf(P_0)<\sup(P_1)$ . 进而我们由“ $\inf(P_2)<\sup(P_0)\leqslant\sup(P_2)$ 或者 $\inf(P_1)\leqslant\inf(P_0)<\sup(P_1)$ ”以及 $P_1, P_2$ 是区间知有 $P_0\cap P_2\neq\emptyset$ 或者 $P_0\cap P_1\neq\emptyset$ ，但由 $P_0, P_1, P_2\in\mathbb{P}'$ 以及分法的定义我们知道“ $P_0\cap P_2\neq\emptyset$ 或者 $P_0\cap P_1\neq\emptyset$ ”是不成立的，于是我们的小假设三不成立. 进而有 $L\geqslant\sup(P_0)$ 或者 $\inf(P_0)\geqslant U$ . 此时由“ $L\geqslant\sup(P_0)$ 或者 $\inf(P_0)\geqslant U$ ”以及 $x_0\in P_0$ 我们知 $L\geqslant x_0$ 或者 $x_0\geqslant U$ ，但这与 $x_0\in(L, U)$ 是相矛盾的，于是我们的大假设不成立，进而当 $J'$ 非退化时 $\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ 也能写成区间的形式.

综上，我们知对任意 $J'\in\mathbb{P}$ ，集合 $\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ 可以写成区间的形式.

下面这段论证是上面一大整段的具体情形，但对证明小命题4.的帮助不大，可以跳过.

下面我们将证明：对任意，恰存在一个使得
且
和为区间.


证明：对任意，易知恰存在一个和恰存在一个
使得并且有不成立. 
由于，于是有. 
综上，我们有不成立和和
为非退化区间，从这三个条件我们容易得到. 故我们按
继续分类讨论.




当时，
再由均为非退化区间知
且K'是中非退化区间，进而有. 
再由不成立知存在. 进而对任意，
若，由于“”知
只能属于中的单元素区间. 进而对任意，若，
我们进一步假设有或，此时由上面小命题3.我们容易证明有
，
这与上面证明了的“”相矛盾，于是我们的假设不成立，即有. 
进而对任意，若，再由知有. 
进而对任意，若，由于当
我们可证得，这个矛盾说明应该有或者
. 综上，我们证明了当时，
我们有存在使得不可兼或
存在使得. 于是我们可以发现此时有
和为区间.




当时，
我们记，
也即恰存在使得并且
并且均为非退化区间. 我们有，
由于进而我们知，
进而，
也即. 
我们以的大小关系进行讨论如下.

如果，由
以及均为非退化区间我们知，
进而我们有；同理如果有
我们将得到.

如果为，我们假设
，进而是
非退化区间，于是对任意，恰存在一个使得
并且. 再由于，
于是存在元素使得和. 
综合起来我们有，
进而我们看到. 由于已证
“对任意，恰存在一个使得
并且”并且“”，
于是我们得到结论“对任意，恰存在一个使得
”. 但是此时中元素是无限多的，
进而得到是无限集. 这个矛盾说明假设不成立，
进而有. 由于，所以我们有
，这说明和. 
综合起来我们有. 
至此，我们可以看到：如果为区间，那么；
如果不为区间，那么并且
为区间并且. 
进而我们还看到：和
为区间；             同
理如果为我们将得到类似的结论.

综上，我们总有和
为区间.

这就完成了“对任意，恰存在一个使得
且和
为区间.”的证明.


当然，对任意的，我们也有类似的结论，这里就不展开论证了.

从上，我们已证“对任意 $J'\in\mathbb{P}$ ，我们有 $J'\subseteq\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ .”和“对任意 $J'\in\mathbb{P}$ ，集合 $\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ 可以写成区间的形式.”和“对任意 $J'\in\mathbb{P}$ ，若 $\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}\in A_4$ 非空，有 $2\leqslant\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\})\leqslant 3$ .”. 进而我们容易证明 $\#(\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\})\leqslant\#(\mathbb{P}')$ .

于是我们看到 $\displaystyle \sum_{P\in A_2\cup A_3}g(P)|P|$

$\displaystyle=\sum_{P\in \bigcup A_4}g(P)|P|$ (由于已证 $\bigcup A_4=A_2\cup A_3$ )

$\displaystyle=\sum_{P\in\bigcup\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}}g(P)|P|$ (由 $A_4$ 定义)

$\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}}\sum_{P_2\in P_1}g(P_2)|P_2|$ (由对 $J_1, J_2\in A_4$ 如果 $J_1\neq J_2$ 那么 $J_1\cap J_2=\emptyset$ )

$\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in P_1}g(P_2)|P_2|$

$\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in \{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J_{P_1}'\}}g(P_2)|P_2|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})$ (由对任意非空 $P\in A_4$ ，恰有一个 $J'\in\mathbb{P}$ 使 $P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}$ )

$\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in \{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J_{P_1}'\}\backslash\{\emptyset\}}g(P_2)|P_2|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})$

$\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in \{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J_{P_1}'\}\backslash\{\emptyset\}}g(P_2)|P_2|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})$ (由已证 $\bigcup\{J''\in A_0 : J''\subseteq J'\}$ 为空集且 $(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\})=\emptyset$ 以及 $A_0\cup A_1\cup A_2\cup A_3=\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 并且 $A_0, A_1, A_2, A_3$ 两两不相交，我们可以证明 $\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J_{P_1}'\}=\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J_{P_1}'\}\backslash\{\emptyset\}$ )

$\displaystyle =\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in \{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J_{P_1}'\}\backslash\{\emptyset\}}(\sup_{x\in J_{P_1}'}f(x)-\inf_{x\in J_{P_1}'}f(x))|P_2|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})$ (由于对任意 $P_2\in \{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J_{P_1}'\}\backslash\{\emptyset\}$ 有 $\emptyset\neq P_2\subseteq J_{P_1}'$ 以及g的定义)

$\displaystyle =\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}((\sup_{x\in J_{P_1}'}f(x)-\inf_{x\in J_{P_1}'}f(x))\cdot\sum_{P_2\in \{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J_{P_1}'\}\backslash\{\emptyset\}}|P_2|)(J_{P_1}'\in\mathbb{P})$

$\displaystyle =\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}((\sup_{x\in J_{P_1}'}f(x)-\inf_{x\in J_{P_1}'}f(x))\cdot|J_{P_1}'|)(J_{P_1}'\in\mathbb{P})$ (由于 $\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J_{P_1}'\}$ 为 $J_{P_1}'\in\mathbb{P}$ 的一个分法)

$\displaystyle <\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}((\sup_{x\in J_{P_1}'}f(x)-\inf_{x\in J_{P_1}'}f(x))\cdot\delta)(J_{P_1}'\in\mathbb{P})$ (因为 $J_{P_1}'\in\mathbb{P}$ )

$\displaystyle \leqslant\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}((\sup_{x\in J_{P_1}'}f(x)-\inf_{x\in J_{P_1}'}f(x))\cdot\frac{\frac{1}{2}\varepsilon}{\displaystyle(\#(\mathbb{P}')\cdot \sup_{x\in J_{P_1}'}f(x)-\inf_{x\in J_{P_1}'}f(x))})(J_{P_1}'\in\mathbb{P})$ (由已证“对任意 $J'\in\mathbb{P}$ ，我们有 $J'\subseteq\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ .”以及“对任意非空 $P\in A_4$ ，我们有恰存在一个 $J'\in\mathbb{P}$ 使得 $P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}$ 并且 $J'=\bigcup\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J'\}=\bigcup\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}=\bigcup P$ .”以及“对任意 $J'\in\mathbb{P}$ ，若 $\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}\in A_4$ 非空，有 $2\leqslant\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\})\leqslant 3$ .”以及“对任意 $J'\in\mathbb{P}$ ，集合 $\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ 可以写成区间的形式.”.)

$\displaystyle \leqslant\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}(\frac{\frac{1}{2}\varepsilon}{\#(\mathbb{P}')})(J_{P_1}'\in\mathbb{P})$

$\displaystyle \leqslant\frac{1}{2}\varepsilon\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}(\frac{1}{\#(\mathbb{P}')})(J_{P_1}'\in\mathbb{P})$

$\leqslant\frac{1}{2}\varepsilon$ (由 $\#(\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\})\leqslant\#(\mathbb{P}')$ )

于是我们看到 $\displaystyle 0\leqslant\sum_{P\in A_2\cup A_3}g(P)|P|\leqslant \frac{1}{2}\varepsilon$ .

同样的，我们有 $\displaystyle \sum_{P\in A_2\cup A_3}g'(P)|P|$

$\displaystyle=\sum_{P\in \bigcup A_4}g'(P)|P|$ (由于已证 $\bigcup A_4=A_2\cup A_3$ )

$\displaystyle=\sum_{P\in\bigcup\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}}g'(P)|P|$ (由 $A_4$ 定义)

$\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}}\sum_{P_2\in P_1}g'(P_2)|P_2|$ (由对 $J_1, J_2\in A_4$ 如果 $J_1\neq J_2$ 那么 $J_1\cap J_2=\emptyset$ )

$\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in P_1}g'(P_2)|P_2|$

$\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in \{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J_{P_1}'\}}g'(P_2)|P_2|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})$ (由对任意非空 $P\in A_4$ ，恰有一个 $J'\in\mathbb{P}$ 使 $P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}$ )

$\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in \{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J_{P_1}'\}\backslash\{\emptyset\}}g'(P_2)|P_2|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})$

$\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in \{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J_{P_1}'\}\backslash\{\emptyset\}}g'(P_2)|P_2|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})$ (由已证 $\bigcup\{J''\in A_0 : J''\subseteq J'\}$ 为空集且 $(\bigcup\{J''\in A_1 : J''\subseteq J'\})=\emptyset$ 以及 $A_0\cup A_1\cup A_2\cup A_3=\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 并且 $A_0, A_1, A_2, A_3$ 两两不相交，我们可以证明 $\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J_{P_1}'\}=\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J_{P_1}'\}\backslash\{\emptyset\}$ )

$\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in \{P'\cap J_{P_1}' : P'\in\mathbb{P}'\}\backslash\{\emptyset\}}g'(P_2)|P_2|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})$ (我们易证 $\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J_{P_1}'\}\backslash\{\emptyset\}=\{P'\cap J_{P_1}' : P'\in\mathbb{P}'\}\backslash\{\emptyset\}$ )

$\displaystyle=\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}}g'(P_2\cap J_{P_1}')|P_2\cap J_{P_1}'|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})$ (我们定义函数 $h:\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}\rightarrow\{P'\cap J_{P_1}' : P'\in\mathbb{P}'\}\backslash\{\emptyset\}, h(P):=P\cap J_{P_1}'$ . 对任意 $y\in\{P'\cap J_{P_1}' : P'\in\mathbb{P}'\}\backslash\{\emptyset\}$ ，即有 $y\in\{P'\cap J_{P_1}' : P'\in\mathbb{P}'\}$ 且 $y\notin\{\emptyset\}$ ，即有(对某 $P_0\in\mathbb{P}'$ 有 $y=P_0\cap J_{P_1}'$ )且( $y\neq\emptyset$ )，即存在某 $P_0\in\mathbb{P}'$ 使得 $P_0\cap J_{P_1}'\neq\emptyset$ . 于是我们看到 $P_0\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}$ 并且 $h(P_0)=P_0\cap J_{P_1}'=y$ . 故我们证明了h的满射性；而对任意 $J_1, J_2\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}$ ，我们有 $J_1, J_2\in\mathbb{P}'$ 并且 $J_1\cap J_{P_1}', J_2\cap J_{P_1}'\neq\emptyset$ . 如果 $J_1\neq J_2$ ，我们假设 $h(J_1)=h(J_2)$ . 由假设以及h定义知即有 $J_1\cap J_{P_1}'=J_2\cap J_{P_1}'$ . 由于已知 $J_1\cap J_{P_1}', J_2\cap J_{P_1}'\neq\emptyset$ ，即存在 $x_1\in J_1$ 使得 $x_1\in J_1\cap J_{P_1}'$ 并且存在 $x_2\in J_2$ 使得 $x_2\in J_2\cap J_{P_1}'$ . 由于 $J_1, J_2\in\mathbb{P}'$ 并且 $J_1\neq J_2$ 我们看到 $x_1\notin J_2$ . 再由于 $J_1\cap J_{P_1}'=J_2\cap J_{P_1}'$ 以及 $x_1\in J_1\cap J_{P_1}'$ 知 $x_1\in J_2\cap J_{P_1}'$ ，进而 $x_1\in J_2$ . 综上，我们得到了 $x_1\notin J_2$ 和 $x_1\in J_2$ ，这个矛盾说明假设不成立. 故对任意 $J_1, J_2\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}$ ，如果 $J_1\neq J_2$ 那么 $h(J_1)\neq h(J_2)$ . 这就证明了h的单射性.

综上，h是双射. 并且我们发现对任意 $x\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}$ 我们有 $g'(x\cap J_{P_1}')=g'(h(x))$ 以及 $h(x)\subseteq x$ . 这就证明了 $\displaystyle\sum_{P_2\in \{P'\cap J_{P_1}' : P'\in\mathbb{P}'\}\backslash\{\emptyset\}}g'(P_2)|P_2|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})=\sum_{P_2\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}}g'(P_2\cap J_{P_1}')|P_2\cap J_{P_1}'|(J_{P_1}'\in\mathbb{P})$ )

$\displaystyle<\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}}(\sup_{x\in P_2}f(x)-\inf_{x\in P_2}f(x))\cdot\delta(J_{P_1}'\in\mathbb{P})$ (因为 $J_{P_1}'\in\mathbb{P}$ )

$\displaystyle\leqslant\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\sum_{P_2\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}}(\sup_{x\in P_2}f(x)-\inf_{x\in P_2}f(x))\cdot\frac{\frac{1}{2}\varepsilon}{\#(\mathbb{P}')\cdot \displaystyle\sum_{P_2\in\{P'\in \mathbb{P}' : P'\cap J_{P_1}'\neq\emptyset\}}(\sup_{x\in P_2}f(x)-\inf_{x\in P_2}f(x))}(J_{P_1}'\in\mathbb{P})$ (由已证“对任意 $J'\in\mathbb{P}$ ，我们有 $J'\subseteq\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ .”以及“对任意非空 $P\in A_4$ ，我们有恰存在一个 $J'\in\mathbb{P}$ 使得 $P=\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}$ 并且 $J'=\bigcup\{J''\in \mathbb{P}\#\mathbb{P}' : J''\subseteq J'\}=\bigcup\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}=\bigcup P$ .”以及“对任意 $J'\in\mathbb{P}$ ，若 $\{J''\in A_2\cup A_3 : J''\subseteq J'\}\in A_4$ 非空，有 $2\leqslant\#(\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\})\leqslant 3$ .”以及“对任意 $J'\in\mathbb{P}$ ，集合 $\bigcup\{P'\in\mathbb{P}' : P'\cap J'\neq\emptyset\}$ 可以写成区间的形式.”.)

$\displaystyle\leqslant\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}\frac{\frac{1}{2}\varepsilon}{\#(\mathbb{P}')}$

$\displaystyle \leqslant\frac{1}{2}\varepsilon\sum_{P_1\in\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\}}(\frac{1}{\#(\mathbb{P}')})(J_{P_1}'\in\mathbb{P})$

$\leqslant\frac{1}{2}\varepsilon$ (由 $\#(\{\{J\in A_2\cup A_3 : J\subseteq J'\} : J'\in\mathbb{P}\}\backslash\{\emptyset\})\leqslant\#(\mathbb{P}')$ )

于是我们看到 $\displaystyle 0\leqslant\sum_{P\in A_2\cup A_3}g'(P)|P|\leqslant \frac{1}{2}\varepsilon$ .

综上，我们有 $\displaystyle 0\leqslant\sum_{P\in A_2\cup A_3}g(P)|P|\leqslant \frac{1}{2}\varepsilon$ 和 $\displaystyle 0\leqslant\sum_{P\in A_2\cup A_3}g'(P)|P|\leqslant \frac{1}{2}\varepsilon$ . 进而有 $\displaystyle -\frac{1}{2}\varepsilon\leqslant\sum_{P\in A_2\cup A_3}(g(P)-g'(P))|P|\leqslant \frac{1}{2}\varepsilon$ .

至此，我们发现 $\displaystyle \sum_{P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}g(P)|P|-\sum_{P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}g'(P)|P|=\sum_{P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}(g(P)-g'(P))|P|=\sum_{P\in A_0}(g(P)-g'(P))|P|+\sum_{P\in A_1}(g(P)-g'(P))|P|+\sum_{P\in A_2\cup A_3}(g(P)-g'(P))|P|\leqslant 0+0+\frac{1}{2}\varepsilon=\frac{1}{2}\varepsilon$ .

于是此时 $\displaystyle \sum_{P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}g(P)|P|\leqslant \frac{1}{2}\varepsilon+\sum_{P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}g'(P)|P|\leqslant\frac{1}{2}\varepsilon+\frac{1}{2}\varepsilon=\varepsilon$ . 至此，我们终于可以确认在假设函数 $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ 不是逐段常值函数的前提下小命题4.是成立的.

如果函数 $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ 是关于分法 $\mathbb{P}'$ 逐段常值函数，我们知道上述论证失效的地方是我们不能保证 $H_{max}^{(3)}, H_{max}^{(4)}$ 不为0. 但是，如果我们能证明“对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在I的一个分法 $\mathbb{P}'$ 使得 $\displaystyle 0<\sum_{J\in\mathbb{P}'; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\frac{1}{2}\cdot\varepsilon$ .”，这说明f关于分法 $\mathbb{P}'$ 不是是逐段常值的，那么上述论证也就是成立的了. 而命题“对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在I的一个分法 $\mathbb{P}'$ 使得 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\frac{1}{2}\cdot\varepsilon$ $\rightarrow$ 对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在I的一个分法 $\mathbb{P}'$ 使得 $\displaystyle 0<\sum_{J\in\mathbb{P}'; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\frac{1}{2}\cdot\varepsilon$ .”用反证法和Riemann积分定义是容易证明的. 这就补完证明中的Gap.

于是我们现在知道了：“对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在I的一个分法 $\mathbb{P}$ 使得 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ ”和“对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在实数 $\delta>0$ ，对一切I的分法 $\mathbb{P}$ ，如果 $max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta$ 那么 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ ”是等价的.

现在我们继续Riemann积分常见黎曼和极限定义与书中的Riemann可积定义是等价的的证明.

我们先假设函数f是按书上的定义Riemann可积的. 于是我们知道其Riemann积分 $\displaystyle\int_I f=\overline{\int}_I f=\underline{\int}_I f=\inf\{U(f, \mathbb{P}) : \mathbb{P}\text{ is a partition of }I\}=\sup\{L(f, \mathbb{P}) : \mathbb{P}\text{ is a partition of }I\}$ 是实数，我们定义 $S:=\int_I f$ .

对任意实数 $\varepsilon>0$ ，由于上面我们已证“f是按书上函数Riemann可积定义是Riemann可积的 $\Longleftrightarrow$ 对任意实数 $\varepsilon>0$ ，我们总可以找到I的一个分法 $\mathbb{P}''$ 使得 $\displaystyle U(f, \mathbb{P}'')-L(f, \mathbb{P}'')=\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ .”，于是我们总可以找到I的一个分法 $\mathbb{P}'$ 使得 $\displaystyle U(f, \mathbb{P}')-L(f, \mathbb{P}')=\sum_{J\in\mathbb{P}'; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ . 由小命题4.我们知道对实数 $\varepsilon$ 存在实数 $\delta>0$ ，对一切I不含空集的分法 $\mathbb{P}$ ，如果 $max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta$ ，那么有 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ . 进而对任意函数 $\displaystyle(\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}\in\prod_{K\in\mathbb{P}} K$ ，我们由“ $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ ”容易知此时有“ $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J)))|J|\leqslant\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ ”和“ $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ ”，进而我们有“ $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x))|J|-\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J)))|J|\leqslant\varepsilon$ ”和“ $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J)))|J|-\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ ”，也即“ $\displaystyle U(f, \mathbb{P})-\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J)))|J|\leqslant\varepsilon$ ”和“ $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J)))|J|-L(f, \mathbb{P})\leqslant\varepsilon$ ”，进而我们有“ $\displaystyle U(f, \mathbb{P})-\varepsilon\leqslant\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J)))|J|\leqslant L(f, \mathbb{P})+\varepsilon$ ”，进而有“ $\displaystyle \int_I f-\varepsilon\leqslant\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J)))|J|\leqslant\int_I f+\varepsilon$ ”，进而有 $\displaystyle |\sum_{J\in\mathbb{P}}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J)))|J|-\int_I f|\leqslant\varepsilon$ .

综上，我们证明了：f是按书上函数Riemann可积定义是Riemann可积的 $\Longrightarrow$ $\displaystyle\lim_{max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}\rightarrow 0}\sum_{J\in\mathbb{P}}f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|=S$ ，并且此时f的两种Riemann积分定义的积分值是一样的.

我们再来考虑函数f是按定义“存在实数S，对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在实数 $\delta>0$ ，对I的任意不含空集的分法 $\mathbb{P}$ ，如果 $max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}<\delta$ 那么对任意函数 $\displaystyle(\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}\in\prod_{K\in\mathbb{P}} K$ 我们有 $\displaystyle|\sum_{J\in\mathbb{P}}f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|-S|\leqslant\varepsilon$ ”Riemann可积的.

进而对任意实数 $\varepsilon>0$ ，由f是按“黎曼和极限定义”Riemann可积的知存在I不含空集的分法 $\mathbb{P}$ (比如I的均分法)使得：对任意函数 $\displaystyle(\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}\in\prod_{K\in\mathbb{P}} K$ 我们有 $\displaystyle|\sum_{J\in\mathbb{P}}f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|-S|\leqslant\frac{1}{4}\varepsilon$ ，进而我们有 $\displaystyle -\frac{1}{4}\varepsilon+S\leqslant\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|\leqslant\frac{1}{4}\varepsilon+S$ .

由于 $\displaystyle (\sup_{x\in J}f(x))$ 是 $\displaystyle \{f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J)) : (\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}\in\prod_{K\in\mathbb{P}} K\}(J\in\mathbb{P})$ (由于 $\mathbb{P}$ 是不含空集的I的分法，进而我们自动知 $J\neq\emptyset$ )的上确界故我们容易证明对任意 $J\in\mathbb{P}\backslash\{\emptyset\}=\mathbb{P}$ 有 $\displaystyle -(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|)+(\sup_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\frac{1}{4\cdot(\#(\mathbb{P})+1)}\varepsilon$ ；同理容易证明对任意 $J\in\mathbb{P}\backslash\{\emptyset\}=\mathbb{P}$ 有 $\displaystyle (f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|)-(\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\frac{1}{4\cdot(\#(\mathbb{P})+1)}\varepsilon$ . 综上，我们看到 $\displaystyle -\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|)+\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\frac{1}{4}\varepsilon$ 和 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|)-\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\frac{1}{4}\varepsilon$ .

综上，结合“ $\displaystyle -\frac{1}{4}\varepsilon+S\leqslant\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|\leqslant\frac{1}{4}\varepsilon+S$ ”和“ $\displaystyle -\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|)+\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\frac{1}{4}\varepsilon$ 和 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|)-\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\frac{1}{4}\varepsilon$ ”我们可以看到 $\displaystyle 0\leqslant\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x))|J|-\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ .

至此，由于我们已证“f是按书上函数Riemann可积定义是Riemann可积的 $\Longleftrightarrow$ 对任意实数 $\varepsilon>0$ ，我们总可以找到I的一个分法 $\mathbb{P}''$ 使得 $\displaystyle U(f, \mathbb{P}'')-L(f, \mathbb{P}'')=\sum_{J\in\mathbb{P}''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x))|J|\leqslant\varepsilon$ .”，于是f是按书上的Riemann可积定义Riemann可积的.

综上，我们证明了： $\displaystyle\lim_{max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}\rightarrow 0}\sum_{J\in\mathbb{P}}f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|=S$ $\Longrightarrow$ f是按书上定义Riemann可积的. 而上面我们已经证明“f是按书上函数Riemann可积定义是Riemann可积的 $\Longrightarrow$ $\displaystyle\lim_{max\{|J| : J\in\mathbb{P}\}\rightarrow 0}\sum_{J\in\mathbb{P}}f((\xi_K)_{K\in\mathbb{P}}(J))|J|=S$ ，并且此时f的两种Riemann积分定义的积分值是一样的”，我们容易用反证法说明如果f是按Riemann积分常见黎曼和极限定义Riemann可积的并且积分值是S，那么f也是按书上函数Riemann可积定义是Riemann可积的并且积分值也是S. 这样就证明了此时f的两种Riemann积分定义的积分值是一样的.

至此，我们终于完成了“常见黎曼和极限定义与书中的Riemann可积定义是等价的”的证明.

值得一说，Riemann积分常见黎曼和极限定义来源于求曲线下的面积，因此是十分自然的，但这个概念在判断函数是否Riemann可积时并不好用，关键在于我们考虑一般函数是否Riemann可积时Riemann积分常见黎曼和极限定义中的 $\underline{\delta}$ 并不容易找到. 由于这个问题，促使数学家去寻找函数Riemann可积的等价命题来判断不同类型函数的Riemann可积性. 书上Riemann积分定义就是其中一种，其完美简洁地解决了一致连续函数、连续函数以及单调函数的Riemann可积性问题. 也就是说，我们当然可以用Riemann积分更原始的黎曼和极限定义来证明一致连续函数、连续函数以及单调函数的Riemann可积性问题，但证明会更加繁琐，篇幅更多.