《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§11.2解答

习题11.2

11.2.1证明：对每个 $J\in\mathbb{P}'$ ，由 $\mathbb{P}'$ 是比 $\mathbb{P}$ 更细的分法知存在 $J'\in\mathbb{P}$ 使得 $J\in J'$ . 而f在 $\mathbb{P}$ 上是逐段常值的，则f在 $J'$ 上是常值的，进而f在 $J'$ 的子集J上也是常值的. 综上，f是关于 $\mathbb{P}'$ 逐段常值的.

11.2.2证明：由于f、g均为I上的逐段常值函数，故存在I的分法 $\mathbb{P},\mathbb{P}'$ 使得f是关于分法 $\mathbb{P}$ 逐段常值的并且g是关于分法 $\mathbb{P}'$ 逐段常值的，进而知 $\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 也为I的分法.

对每个 $J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ ，有对某 $P_1\in\mathbb{P},P_2\in\mathbb{P}'$ 有 $J=P_1\cap P_2$ ，进而有 $J\subseteq P_1,J\subseteq P_2$ . 由于f关于分法 $\mathbb{P}$ 逐段常值，故f在 $P_1$ 上常值，即存在实数 $c_1$ 使得对一切 $x\in P_1$ 有 $f(x)=c_1$ ；同理由g关于分法 $\mathbb{P}'$ 逐段常值知存在实数 $c_2$ 使得对一切 $x\in P_2$ 有 $g(x)=c_2$ . 综上，对一切 $x\in J$ 有 $(f+g)(x)=f(x)+g(x)=c_1+c_2$ ，故f+g在J上常值. 综上，f+g关于分法 $\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 逐段常值，进而f+g是逐段常值函数.

同第一段类似的论证我们知f-g、fg、max(f, g)以及min(f, g)都是逐段常值的.

如果我们还知道g在I上不取零值，同理可证 $\frac{f}{g}$ 是逐段常值的.

11.2.3证明：当I为空集时其唯二的分法为 $\emptyset$ 和 $\{\emptyset\}$ ，因为我们显然可以验证此时 $\emptyset$ 为其分法；我们再假设I分法 $\mathbb{P}$ 非空，进而对任意 $P\in\mathbb{P}$ ，进而有 $P\subseteq I=\emptyset$ ，即 $P\subseteq\emptyset$ ，故 $P=\emptyset$ ，故 $\mathbb{P}=\{\emptyset\}$ . 进而我们容易验证I为空集时命题成立.

再来考虑I非空的情形. 由引理11.2.8以及其证明过程我们知有 $f=\frac{f+f}{2}$ 是关于 $\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 逐段常值的. 于是我们有 $\displaystyle p.c.\int_{[\mathbb{P}\#\mathbb{P}']} f=\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}C_J|J|=\sum_{J\in\{K_1\cap K_2 : K_1\in\mathbb{P}, K_2\in\mathbb{P}'\}}C_J|J|=\sum_{J\in\bigcup\{\{K_1\cap K_2 : K_2\in\mathbb{P}'\} : K_1\in\mathbb{P}\}}C_J|J|=\sum_{J\in\{K_{11}\cap K_2 : K_2\in\mathbb{P}'\}}C_J|J|+...+\sum_{J\in\{K_{1m}\cap K_2 : K_2\in\mathbb{P}'\}}C_J|J|(K_{11},...,K_{1m}\in\mathbb{P}; m=\#(\mathbb{P}))=\sum_{K_1\in\mathbb{P}}\sum_{J\in\{K_1\cap K_2 : K_2\in\mathbb{P}'\}}C_J|J|=\sum_{K_1\in\mathbb{P}}\sum_{J\in\{K_1\cap K_2 : K_2\in\mathbb{P}'\}}C_{K_1}|J|=\sum_{K_1\in\mathbb{P}}(C_{K_1}\sum_{J\in\{K_1\cap K_2 : K_2\in\mathbb{P}'\}}|J|)=\sum_{K_1\in\mathbb{P}}(C_{K_1}|K_1|)=p.c.\int_{[\mathbb{P}]} f$ .（注备：第四个等式是根据命题7.1.11(e)；第六个等式是因为由于 $J\subseteq K_1$ 并且f在 $J, K_1$ 上都常值，进而 $C_J=C_{K_1}$ ；倒数第二个等式是因为我们容易验证 $\{K_1\cap K_2 : K_2\in\mathbb{P}'\}$ 是 $K_1\in\mathbb{P}$ 的一个分法，进而由定理11.1.13所保证）同理由 $\mathbb{P}\#\mathbb{P}'=\{K_1\cap K_2 : K_1\in\mathbb{P}, K_2\in\mathbb{P}'\}=\bigcup\{\{K_1\cap K_2 : K_1\in\mathbb{P}\} : K_2\in\mathbb{P}'\}$ 我们可证 $\displaystyle p.c. \int_{[\mathbb{P}\#\mathbb{P}']}f=p.c.\int_{[\mathbb{P}']} f$ .

综上有 $\displaystyle p.c. \int_{[\mathbb{P}]}f=p.c.\int_{[\mathbb{P}']}f$ . 这就完成了证明.

11.2.4证明：由于f、g都是I上的逐段常值函数，故存在I的分法 $\mathbb{P},\mathbb{P}'$ 使得f是关于 $\mathbb{P}$ 逐段常值的并且g是关于 $\mathbb{P}'$ 逐段常值的. 进而我们有 $\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 为比 $\mathbb{P},\mathbb{P}'$ 更细的I的分法. 由引理11.2.7知f、g都是关于 $\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 逐段常值的.

(a)于是我们有 $\displaystyle p.c.\int_I f+p.c.\int_I g=p.c.\int_{[\mathbb{P}\#\mathbb{P}']} f+p.c.\int_{[\mathbb{P}\#\mathbb{P}']} g=\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}C_J|J|+\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}{C'}_J|J|=\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}(C_J+{C'}_J)|J|=p.c.\int_{[\mathbb{P}\#\mathbb{P}']} (f+g)=p.c.\int_I (f+g)$ . 其中倒数第二个等式由引理11.2.8的证明过程知.

(b)对任何实数c，有 $\displaystyle c(p.c.\int_I f)=c(p.c.\int_{[\mathbb{P}\#\mathbb{P}']} f)=c\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}C_J|J|=\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}(cC_J)|J|=p.c.\int_{[\mathbb{P}\#\mathbb{P}']} (cf)=p.c.\int_I (cf)$ . 其中倒数第二个等式由引理11.2.8的证明过程知.

(c) $\displaystyle p.c.\int_I f-p.c.\int_I g=p.c.\int_I f+(-p.c.\int_I g)=p.c.\int_I f+p.c.\int_I (-g)=p.c.\int_I (f+(-g))=p.c.\int_I (f-g)$ .

(d)如果对于一切 $x\in I$ 有 $f(x)\geqslant 0$ ，那么对一切 $J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ ，如果J非空，进而存在 $j\in J$ 使得 $f(j)=C_J\geqslant 0$ ，于是 $C_J|J|\geqslant 0$ ；如果J为空，由于 $|J|=0$ ，于是仍有 $C_J|J|\geqslant 0$ . 综上，我们有对于一切 $J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 有 $C_J|J|\geqslant 0$ . 故 $\displaystyle p.c.\int_I f=p.c.\int_{[\mathbb{P}\#\mathbb{P}']} f=\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}C_J|J|\geqslant\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}0=0$ .

(e)由于对一切 $x\in I$ 有 $f(x)\geqslant g(x)$ ，进而有 $(f-g)(x)=f(x)-g(x)\geqslant 0$ . 进而 $\displaystyle p.c.\int_I (f-g)\geqslant 0$ ，即 $\displaystyle p.c.\int_I f-p.c.\int_I g\geqslant 0$ ，即 $\displaystyle p.c.\int_I f\geqslant p.c.\int_I g$ .

(f)此时 $\{I\}$ 为I的一个分法，进而 $\displaystyle p.c.\int_I f=p.c.\int_{[\{I\}]} f=\sum_{J\in\{I\}}C_J|J|=c|I|$ .

(g)当I为空集时我们易验证这是成立的. 故我们假设I非空. 于是我们有 $\inf(I),\sup(I)\in\mathbb{R}$ 且 $\inf(I)\leqslant\sup(I)$ . 由于f是I上的逐段常值函数，所以存在I的分法 $\mathbb{P}'$ 使得f是关于 $\mathbb{P}'$ 逐段常值的. 我们考虑集合 $\mathbb{P}:=\mathbb{P}'\cup\{\{x\in J : x\notin I\text{ and }x\leqslant\inf(I)\}, \{x\in J : x\notin I\text{ and }x\geqslant\sup(I)\}\}$ ，下面我们将证明 $\mathbb{P}$ 为J的一个分法：1.显然 $\mathbb{P}$ 为有限集. 2.显然 $\mathbb{P}$ 中元素均为J的子集. 显然 $\mathbb{P}'$ 中元素为区间. 易知 $\{x\in J : x\notin I\text{ and }x\leqslant\inf(I)\}\subseteq J\cap[\inf(J), \inf(I)]$ ，而 $J\cap[\inf(J), \inf(I)]\backslash\{x\in J : x\notin I\text{ and }x\leqslant\inf(I)\}=J\cap[\inf(J), \inf(I)]\cap I$ . 由于对一切 $x\in I$ 有 $x\geqslant\inf(I)$ ，故对一切 $x\in J\cap[\inf(J), \inf(I)]\cap I$ 有 $x=\inf(I)$ ，于是 $J\cap[\inf(J), \inf(I)]\cap I$ 或者为空集或者为单点集. 于是有集合 $\{x\in J : x\notin I\text{ and }x\leqslant\inf(I)\}$ 等于集合 $J\cap[\inf(J), \inf(I)]$ 或者集合 $\{x\in J : x\notin I\text{ and }x\leqslant\inf(I)\}$ 只比集合 $J\cap[\inf(J), \inf(I)]$ 少一个元素 $\inf(I)$ . 由于I非空并且 $I\subseteq J$ ，进而J非空，于是J非空有界，故 $\inf(J)\in\mathbb{R}$ ，故 $[\inf(J), \inf(I)]$ 为有界区间，再由推论11.1.6知 $J\cap[\inf(J), \inf(I)]$ 为有界区间. 再由 $I\subseteq J$ 我们知有 $\sup(I)\leqslant\sup(J), \inf(J)\leqslant\inf(I)$ .

设 $A_1,A_2$ 为区间，由区间的定义我们知 $A_1\cap A_2$ 为区间并且从上下确界定义容易证明有 $\inf(A_1\cap A_2)=\max\{\inf(A_1), \inf(A_2)\}, \sup(A_1\cap A_2)=\min\{\sup(A_1), \sup(A_2)\}$ .

从上面一段我们知有 $\sup(J\cap[\inf(J), \inf(I)])=\min\{\sup(J), \sup([\inf(J), \inf(I)])\}=\min\{\sup(J), \inf(I)\}=\inf(I)$ . 故有界区间 $J\cap[\inf(J), \inf(I)]$ 的右端点为 $\inf(I)$ . 综上，无论何种情形 $\{x\in J : x\notin I\text{ and }x\leqslant\inf(I)\}$ 为区间. 同理可证 $\{x\in J : x\notin I\text{ and }x\geqslant\sup(I)\}\}$ 也为区间. 3.注意到 $I, \{x\in J : x\notin I\text{ and }x\leqslant\inf(I)\}, \{x\in J : x\notin I\text{ and }x\geqslant\sup(I)\}$ 三个集合两两不相交，进而对任何元素 $P_1, P_2\in\mathbb{P}$ ，我们容易容易论证 $P_1\cap P_2=\emptyset$ ，于是对任何 $x\in J$ ，至多存在一个 $P\in\mathbb{P}$ 使得 $x\in P$ . 而对任意 $x\in J$ ，如果 $x\in I$ ，由 $\mathbb{P}'$ 为I的分法知存在一个 $P\in\mathbb{P}'\subseteq\mathbb{P}$ 使得 $x\in P$ ；如果 $x\notin I$ ，由I定义知有 $x\leqslant\inf(I)$ 或者 $x\geqslant\sup(I)$ (非空区间的确界值即为区间的端点值). 进一步分析，如果为 $x\leqslant\inf(I)$ ，则我们有 $x\in J$ 且 $x\notin I$ 且 $x\leqslant\inf(I)$ ，此时 $x\in\{x\in J : x\notin I\text{ and }x\leqslant\inf(I)\}$ ；同理如果 $x\geqslant\sup(I)$ ，则有 $x\in\{x\in J : x\notin I\text{ and }x\geqslant\sup(I)\}$ . 综上，对任意 $x\in J$ ，恰存在一个 $P\in\mathbb{P}$ 使得 $x\in P$ . 综上， $\mathbb{P}$ 为J的一个分法.

于是我们有 $\displaystyle p.c.\int_J F=p.c.\int_{[\mathbb{P}]} F=\sum_{J\in\mathbb{P}'\cup\{\{x\in J : x\notin I\text{ and }x\leqslant\inf(I)\}, \{x\in J : x\notin I\text{ and }x\geqslant\sup(I)\}\}}C_J|J|=\sum_{J\in\mathbb{P}'}C_J|J|+0+0=p.c.\int_{[\mathbb{P}']} F=p.c.\int_{[\mathbb{P}']} f=p.c.\int_I f$ . 这就完成了证明.

(h)已知f是I上逐段常值的，进而存在分法 $\mathbb{P}$ 使f是关于 $\mathbb{P}$ 逐段常值的，记 $\mathbb{P}':=\{J, K\}$ . 由引理11.2.7知f是关于 $\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 逐段常值的. 我们定义 $\mathbb{P}'':=\{P\cap J : P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'\}$ ，下面我们来证明 $\mathbb{P}''$ 为J的一个分法. 1.显然 $\mathbb{P}''$ 是有限集. 2.显然 $\mathbb{P}''$ 中元素均为J的子集且均为区间. 3.对任何 $x\in J$ ，由 $J\subseteq I$ 有 $x\in I$ ，故恰存在一个 $P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 使 $x\in P$ ，进而 $x\in P\cap J$ . 综上，对任意 $x\in J$ 都有某 $P\in\mathbb{P}''$ 使得 $x\in P$ ，假设仍存在某 $P'\in\mathbb{P}''$ 使得 $x\in P'$ ，进而我们有 $x\in P\cap P'=(p\cap J)\cap(p'\cap J)=p\cap p'\cap J$ ( $p,p'\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 使得 $P=p\cap J,P'=p'\cap J$ )，进而我们有 $p=p'$ ，进而 $P=P'$ . 综上对任意 $x\in J$ 都有恰存在一个 $P\in\mathbb{P}''$ 使得 $x\in P$ . 综上 $\mathbb{P}''$ 为J的一个分法.

对任意 $P\in\mathbb{P}''$ ，有对某 $P'\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 有 $P=P'\cap J$ ，而f是关于 $\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 逐段常值的，故f是在 $P'$ 上常值的，进而f是在 $P'$ 的子集 $P=P'\cap J$ 上常值的. 综上，函数 $f|_J:J\rightarrow\mathbb{R}$ 是关于 $\mathbb{P}''$ 逐段常值的，进而函数 $f|_J:J\rightarrow\mathbb{R}$ 是J上的逐段常值函数. 同理可证函数 $f|_K:K\rightarrow\mathbb{R}$ 是K上的逐段常值函数.

从上面证明过程我们还知：对任意 $P\in\mathbb{P}''$ ，如果P非空那么有 $f|_J$ 在P上的常数值 ${C\_f|_J}_P$ 与f在P上的常数值 ${C\_f}_P$ 相同；对函数 $f|_K$ 也有类似说明.

进而我们有 $\displaystyle p.c.\int_J f|_J+p.c.\int_K f|_K=p.c.\int_{[\{P\cap J : P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'\}]} f|_J+p.c.\int_{[\{P\cap K : P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'\}]} f|_K=\sum_{I\in\{P\cap J : P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'\}}{C\_f|_J}_I|I|+\sum_{I\in\{P\cap K : P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'\}}{C\_f|_K}_I|I|=\sum_{I\in\{P\cap J : P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'\}\backslash\{\emptyset\}}{C\_f|_J}_I|I|+\sum_{I\in\{P\cap K : P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'\}\backslash\{\emptyset\}}{C\_f|_K}_I|I|=\sum_{I\in\{P\cap J : P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'\}\backslash\{\emptyset\}}{C\_f}_I|I|+\sum_{I\in\{P\cap K : P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'\}\backslash\{\emptyset\}}{C\_f}_I|I|=\sum_{I\in(\{P\cap J : P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'\}\cup\{P\cap K : P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'\})\backslash\{\emptyset\}}{C\_f}_I|I|=\sum_{I\in\{P\cap P' : P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}', P'\in\mathbb{P}'\}\backslash\{\emptyset\}}{C\_f}_I|I|=\sum_{I\in\{P\cap P' : P\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}', P'\in\mathbb{P}'\}}{C\_f}_I|I|=p.c.\int_{[(\mathbb{P}\#\mathbb{P}')\#\mathbb{P}']}f=p.c.\int_I f$ . 这就完成了证明.

文内补充

1.注11.2.2中的“为什么？”.

显然. 因为论域此时为空.

2.例11.2.6中的“为什么？”.

显然.

3.逐段常值函数的空间在代数运算之下是封闭的.

4.对于定理11.2.16(d)、(e)的一些补充.

(d)如果我们将前提改成“ $f(x)>0$ 对于一切 $x\in I$ 成立”，我们容易证明如下结论：1.如果函数 $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ 的定义域I为空集或者单点集，那么 $\displaystyle p.c.\int_I f=0$ ；2.否则 $\displaystyle p.c.\int_I f>0$ .

(e)如果我们将前提改成“ $f(x)>g(x)$ 对于一切 $x\in I$ 成立”，我们容易证明如下结论：1.如果函数 $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ 的定义域I为空集或者单点集，那么 $\displaystyle p.c.\int_I f=p.c.\int_I g$ ；2.否则 $\displaystyle p.c.\int_I f>p.c.\int_I g$ .

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习题11.2

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发布者：iknetfomi