《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§11.1解答

习题11.1

11.1.1证明：当X是空集或单元素集（即X是退化区间）时引理11.1.4是平凡的.

我们进一步考虑X至少含有两个元素的情形：如果X是有界区间，由定义9.1.1和定义9.1.22知X的左端点a和右端点b均为实数，再由X至少含有两个元素知 $a<b$ ，类似于例11.1.3的论证我们知其是连通的，综上X是有界连通集，即 $(b)\Longrightarrow(a)$ . 如果X是有界连通的，进而我们知道 $(\inf(X), \sup(X))\in\mathbb{R}$ . 我们假设存在 $x_0\in(\inf(X), \sup(X))$ 使得 $x_0\notin X$ ，进而有 $\inf(X)<x_0<\sup(X)$ ，故 $x_0$ 不是X的上界和下界. 由于 $x_0$ 不是X的下界，进而存在 $x_1\in X$ 使得 $x_1<x_0$ ；同理由于 $x_0$ 不是X的上界知存在 $x_2\in X$ 使得 $x_0<x_2$ . 综合起来就是存在 $x_1,x_2\in X$ 使得 $x_1<x_0<x_2$ . 而我们知道X是连通的，这说明 $x_0\in[x_1, x_2]\subseteq X$ ，即 $x_0\in X$ ，这个矛盾说明假设不成立，即对任意 $x\in(\inf(X), \sup(X))$ 有 $x\in X$ ，即 $(\inf(X), \sup(X))\subseteq X$ . 而对任何 $x\in\mathbb{R}\backslash[\inf(X), \sup(X)]$ 显然有 $x\notin X$ . 综上，X至少有开区间 $(\inf(X), \sup(X))$ 这么大，至多有闭区间 $[\inf(X), \sup(X)]$ 这么大. 而两个区间的区别仅在于是否包含 $\inf(X), \sup(X)$ 这两个端点，故X是区间的形式，故X是有界区间.

综上命题得证.

11.1.2证明：由于I为有界集且 $I\cap J\subseteq I$ ，进而有 $I\cap J\subseteq I\subseteq[-M, M](M\in\mathbb{R}, M>0)$ ，即 $I\cap J\subseteq[-M, M]$ ，故 $I\cap J$ 也是以I的界为界的有界集合. 已知I、J均为连通集，进而对任意 $x,y\in I\cap J$ ，如果 $x<y$ ，我们就有 $x,y\in I$ 且 $x,y\in J$ 且 $x<y$ ，进而有 $[x, y]\subseteq I$ 且 $[x, y]\subseteq J$ ，进而有 $[x, y]\subseteq I\cap J$ . 综上 $I\cap J$ 也为连通集. 所以 $I\cap J$ 为有界连通集，由引理11.1.4知 $I\cap J$ 为有界区间.

11.1.3证明：设 $I$ 是形如 $(a, b)$ 或 $[a, b)$ 的有界区间，其中 $a<b$ . 设 $\{I_1, ..., I_n\}$ 是I的一个分法. 设实数c有 $a\leqslant c<b$ .

大假设：对一切自然数 $1\leqslant j\leqslant n$ 有 $I_j$ 不是形如 $(c, b)$ 或 $[c, b)$ 的区间.

小假设：存在自然数 $1\leqslant j'\leqslant n$ 使得 $\sup(I_{j'})\geqslant b$ .

论证：由于 $I_{j'}\subseteq I$ 且 $\sup(I)=b$ ，进而我们有 $\sup(I_{j'})\leqslant b$ ，结合小假设知 $\sup(I_{j'})=b$ ，进而 $I_{j'}$ 非空，于是 $I_{j'}$ 为非空有界区间，于是其上确界b确为其右端点的值，但这与我们的大假设相矛盾，故在承认大假设的前提下小假设不成立，即如果大假设成立则有对一切自然数 $1\leqslant j\leqslant n$ 有 $\sup(I_j)<b$ . 进而有 $max\{\sup(I_j) : j\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}\}<b$ . 而我们有 $I\subseteq\bigcup_{j\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}}I_j$ ，故 $\sup(I)\leqslant max\{\sup(I_j) : j\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}\}<b$ . 这与 $\sup(I)=b$ 相矛盾，故大假设不成立. 综上命题得证.

11.1.4证明： $\mathbb{P}\#\mathbb{P}':=\{K\cap J : K\in\mathbb{P}, J\in\mathbb{P}'\}=\bigcup\{\{K\cap J : K\in\mathbb{P}\} : J\in\mathbb{P}'\}$ . 由于 $\mathbb{P}$ 为有限集，则对一切 $J\in\mathbb{P}'$ 有 $\{K\cap J : K\in\mathbb{P}\}$ 为有限集. 由于 $\mathbb{P}'$ 为有限集，故有限集的有限并 $\bigcup\{\{K\cap J : K\in\mathbb{P}\} : J\in\mathbb{P}'\}$ （归纳法易证）仍为有限集，即 $\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 为有限集.

对一切 $p\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ ，由推论11.1.6知p为有界区间，并且易知 $p\subseteq I$ .

对一切 $i\in I$ ，由于 $\mathbb{P}$ 为I分法知恰存在一个 $K\in\mathbb{P}$ 使 $i\in K$ ；同理知恰存在一个 $J\in\mathbb{P}'$ 使 $i\in J$ ，故有 $i\in K\cap J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ . 假设仍存在 $K'\cap J'\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 使 $i\in K'\cap J'$ ，进而有 $i\in(K \cap K')\cap(J\cap J')$ ，由一个分法中的元素互不相交我们知必有 $K=K'$ 且 $J=J'$ . 故恰存在一个 $K\cap J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 使 $i\in K\cap J$ .

综上，由定义11.1.10知 $\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 为I的一个分法.

由定义11.1.4显然知 $\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 为比 $\mathbb{P}$ 和 $\#\mathbb{P}'$ 都更细的分法.

文内补充

1.定义11.1.1与章节8.2的博文中对实数集的连通集定义有些许区别. 对于无限实数集两者相容. 对于有限实数集：前者认为空集和单点集是连通的，后者则不然；其余至少有两个元素的有限实数集两者均认为不连通.

2.例11.1.3中的“为什么？”.

显然.

3.引理11.1.4的(b)“X是有界区间”改成“X可以写成有界区间形式”更好.

4.定义11.1.8的另一个等价的表述是：设I是有界区间，当 $I=\emptyset$ 时 $|I|=0$ ；否则 $|I|=\sup(I)-\inf(I)$ .

5.定义11.1.10：设I是有界区间. 集合 $\mathbb{P}$ 是I的一个分法要求其满足三点——1. $\mathbb{P}$ 为有限集；2. $\mathbb{P}$ 的元素均为I的子集并且均为区间；3.对任意 $i\in I$ 恰存在一个 $p\in\mathbb{P}$ 使得 $i\in p$ .

并且我们容易验证有 $\displaystyle I=\bigcup_{P\in\mathbb{P}}P$ .

6.定理11.1.13证明中的“为什么？”.

第一个为什么：若I非空，则分法非空.

第二个为什么：显然.

第三个为什么：显然.

第四个为什么：我们容易从分法要求的三点逐一验证.

7.例11.1.15中的“为什么？”.

第一个为什么：显然.

第二个为什么：显然.

第三个为什么：归谬法或构造性证明.

8.例11.1.17中的“为什么？”.

显然.

9.证明一个小命题：设I、J均为有界区间，并且 $I\cup J$ 仍为区间并且 $I\cap J=\emptyset$ . 那么我们有 $|I\cup J|=|I|+|J|$ .（这个命题是定理11.1.3的证明中 $|I|=|K|+|I\backslash K|$ 的总结）

证明：当I或J为空集时结论显然成立. 故考虑两集合均非空的情形. 我们假设 $\sup(I)<\inf(J)$ ，进而有 $\sup(I)<\frac{\sup(I)+\inf(J)}{2}<\inf(J)$ ，我们任取一个 $x\in I$ 和 $y\in J$ ，于是我们有 $x\leqslant\sup(I)<\frac{\sup(I)+\inf(J)}{2}<\inf(J)\leqslant y$ ，进而 $\frac{\sup(I)+\inf(J)}{2}\in[x, y]$ . 由于 $I\cup J$ 仍为有界区间并且 $x,y\in I\cup J$ 并且 $x<y$ ，由引理11.1.4和定义11.1.1我们知道有 $[x, y]\subseteq I\cup J$ ，进而 $\frac{\sup(I)+\inf(J)}{2}\in I\cup J$ ，于是有 $\frac{\sup(I)+\inf(J)}{2}\in I$ 或者 $\frac{\sup(I)+\inf(J)}{2}\in J$ ，但这个陈述由 $\sup(I)<\frac{\sup(I)+\inf(J)}{2}<\inf(J)$ 知为假，这个矛盾说明假设不成立，进而得到 $\sup(I)\geqslant\inf(J)$ . 同理我们可证 $\sup(J)\geqslant\inf(I)$ .

进而我们可以假设有 $\sup(I)>\inf(J)$ 并且 $\sup(J)>\inf(I)$ . 于是我们发现有 $max\{\inf(I), \inf(J)\}<min\{\sup(I), \sup(J)\}$ ，进而区间 $(max\{\inf(I), \inf(J)\}, min\{\sup(I), \sup(J)\})$ 非空，我们任取一个元素 $x\in (max\{\inf(I), \inf(J)\}, min\{\sup(I), \sup(J)\})$ ，进而有 $max\{\inf(I), \inf(J)\}<x<min\{\sup(I), \sup(J)\}$ ，进而有 $\inf(I)<x<\sup(I)$ 和 $\inf(J)<x<\sup(J)$ ，由于I、J均为区间故有 $x\in I$ 且 $x\in J$ （因为非空区间的确界即为其端点值），进而 $x\in I\cap J$ ，这与 $I\cap J=\emptyset$ 相矛盾，说明我们的假设不成立，再结合第一段的论证我们知有 $\sup(I)=\inf(J)$ 或 $\sup(J)=\inf(I)$ . 进而由 $\sup(I)=\inf(J)$ 、 $\sup(J)=\inf(I)$ 这两个等式可以分别推得“ $\sup(I\cup J)=\sup(J)$ 且 $\inf(I\cup J)=\inf(I)$ ”和“ $\sup(I\cup J)=\sup(I)$ 且 $\inf(I\cup J)=\inf(J)$ ”，但无论何种情形我们有 $|I\cup J|=\sup(I\cup J)-\inf(I\cup J)=\sup(J)-\inf(J)+\sup(I)-\inf(I)=|I|+|J|$ . 这就完成了证明.

我们还容易证明：1.如果 $\mathbb{P}$ 是I的分法，并且 $\mathbb{P}'$ 是某 $p\in\mathbb{P}$ 的分法，那么有 $\mathbb{P}\backslash\{p\}\cup\mathbb{P}'$ 是比 $\mathbb{P}$ 更细的分法.

2.如果 $\mathbb{P}$ 是I的分法并且 $\mathbb{P}$ 基数不小于2，那么对任意 $p\in\mathbb{P}$ ，总存在 $p'\in\mathbb{P}\backslash\{p\}$ 使得 $p\cup p'$ 是区间. 这个命题很直观显然，但证明还是有点繁琐的，留给读者自证了:). ————-在命题“设 $g:I\rightarrow\mathbb{R}$ 是单调的以正实数M>0为界的连续函数，其中定义域I是非空有界区间. 我们来证明：对任意I的分法 $\mathbb{P}'''$ 有 $\displaystyle \sum_{J\in\mathbb{P}'''; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}g(x)-\inf_{x\in J}g(x))=\sup(\{g(x) : x\in I\})-\inf(\{g(x) : x\in I\})$ .”中的小命题1.和小命题3.证明后，这个结论是显然的，详细请点链接.

《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§11.1解答

习题11.1

文内补充

发布者：iknetfomi