《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§8.4解答

习题8.4

8.4.1证明：由选择公理知 $\displaystyle\prod_{x\in X}Y_x$ 非空，即存在 $\displaystyle g\in\prod_{x\in X}Y_x$ 使得对一切 $x\in X$ 有 $g(x)\in Y_x$ . 于是我们可以定义 $f:X\rightarrow Y, f(x):=g(x)$ . 故选择公理 $\Longrightarrow$ 命题8.4.7.

如果命题8.4.7成立，设I是集合并且对每个 $\alpha\in I$ 有 $X_\alpha$ 为非空集合. 我们记 $\displaystyle Y:=\bigcup_{\alpha\in I}X_\alpha$ . 定义关于对象 $\alpha\in I$ 和对象 $y\in Y$ 的性质 $P(\alpha, y)$ 为： $y\in X_\alpha$ . 那么对每个 $\alpha\in I$ ，由于 $X_\alpha$ 非空，则存在 $y\in X_\alpha\subseteq Y$ 使 $P(\alpha, y)$ 成立. 由命题8.4.7知存在函数 $f:I\rightarrow Y$ ，对一切 $\alpha\in I$ 有 $P(\alpha, f(\alpha))$ 成立，即 $f(\alpha)\in X_\alpha$ 成立，进而 $\displaystyle f\in\prod_{\alpha\in I}X_\alpha$ . 故命题8.4.7 $\Longrightarrow$ 选择公理.

综上，选择公理 $\Longleftrightarrow$ 命题8.4.7.

8.4.2证明：由选择公理知存在 $\displaystyle f\in\prod_{\alpha\in I}X_\alpha$ . 我们定义 $Y:=\{f(\alpha) : \alpha\in I\}$ . 对于一切 $\alpha\in I$ 有 $f(\alpha)\subseteq Y$ 并且 $f(\alpha)\subseteq X_\alpha$ ，故 $Y\cap X_\alpha\neq\emptyset$ . 而对任何 $a\in Y\cap X_\alpha$ ，有对某 $\alpha'\in I$ 有 $a=f(\alpha')$ 和 $a\in X_\alpha$ ，而我们有 $a=f(\alpha')\in X_{\alpha'}$ ，即 $a\in X_{\alpha'}$ 和 $a\in X_\alpha$ . 由于“如果 $\alpha\neq\alpha'$ 则 $X_\alpha\cap X_{\alpha'}=\emptyset$ ”，故有 $\alpha'=\alpha$ ，进而 $a=f(\alpha)$ . 综上， $Y\cap X_\alpha$ 为单元素集 $\{f(\alpha)\}$ ，故 $\#(Y\cap X_\alpha)=1$ . 故选择公理 $\Longrightarrow$ 存在集合Y使得对一切 $\alpha\in I$ 有 $\#(Y\cap X_\alpha)=1$ .

如果上述命题对任意I以及不空的不相交的集合 $X_\alpha(\alpha\in I)$ 都成立，我们设I是集合，并且对每个 $\alpha\in I$ 有 $X_\alpha$ 非空. 定义集合 $X'_\alpha:=\{\alpha\}\times X_\alpha$ . 容易证明对一切不同的 $\alpha_1,\alpha_2\in I$ 有 $X'_{\alpha_1}\cap X'_{\alpha_2}=\emptyset$ . 进而由上述命题知存在一个集合Y使得对一切 $\alpha\in I$ 有 $\#(Y\cap X'_\alpha)=1$ . 于是定义函数 $\displaystyle f:I\rightarrow\bigcup_{\alpha\in I}X_\alpha, f(\alpha):=g(Y\cap X'_\alpha)$ (其中g为取二元组的第二分量的函数). 于是有 $\displaystyle f\in\prod_{\alpha\in I}X_\alpha$ . 综上，选择公理 $\Longleftrightarrow$ 存在集合Y使得对一切 $\alpha\in I$ 有 $\#(Y\cap X_\alpha)=1$ .

8.4.3证明：对每个 $\alpha\in A$ ，定义 $X_\alpha:=g^{-1}(\{\alpha\})=\{b\in B: g(b)=\alpha\}$ . 由于g为满射，则 $X_\alpha$ 非空. 由选择公理知存在 $\displaystyle f\in\prod_{\alpha\in A}X_\alpha$ . 此时对任意 $\alpha_1,\alpha_2\in A$ ，如果 $\alpha_1\neq \alpha_2$ ，由于 $f(\alpha_1)\in X_{\alpha_1}$ ，即有 $g(f(\alpha_1))=\alpha_1$ ，同理我们可以知 $g(f(\alpha_2))=\alpha_2$ ，由于 $\alpha_1\neq \alpha_2$ ，即 $g(f(\alpha_1))\neq g(f(\alpha_2))$ ，则 $f(\alpha_1)\neq f(\alpha_2)$ ，故f为单射. 而 $\displaystyle\bigcup_{\alpha\in A}X_\alpha\subseteq B$ ，则f也为从A到B的单射. 综上，选择公理 $\Longrightarrow$ 上述命题.

如果上述命题对任意集合A、B以及满射函数 $g:B\rightarrow A$ 成立，我们设I是集合并且对每个 $\alpha\in I$ 有 $X_\alpha$ 非空并且所有的集合 $X_\alpha$ 都不相交. 对任意 $\alpha\in I$ ，我们考虑从集合 $X_\alpha$ 到 $\{\alpha\}$ 的函数 $f_\alpha(x):=\alpha$ ，由于 $X_\alpha$ 非空，故f为满射函数，进而知存在单射函数 $g_\alpha:\{\alpha\}\rightarrow X_\alpha$ . 综上，对每个 $\alpha\in I$ ，都存在单射函数 $g_\alpha:\{\alpha\}\rightarrow X_\alpha$ （注意，这并没有用到选择公理，因为我们不是从集合族 $X_\alpha(\alpha\in I)$ 通过选择公理从每个集合中选出一个代表元素）. 由此我们可以构建集合 $Y:=\{g_\alpha(\alpha) : \alpha\in I\}$ . 对一切 $\alpha\in I$ ，显然存在 $g_\alpha(\alpha)\in Y\cap X_\alpha$ . 我们假设仍然存在 $x\in Y\cap X_\alpha$ ，进而对某 $\alpha'\in I$ 有 $x=g_{\alpha'}(\alpha')$ ，进而有 $x\in X_{\alpha'}$ . 而我们已经知道 $x\in Y\cap X_\alpha$ ，进而 $x\in X_\alpha$ ，于是 $x\in X_\alpha\cap X_{\alpha'}$ ，由于集合族 $X_\beta(\beta\in I)$ 都不相交，故只能 $\alpha=\alpha'$ . 于是我们有 $x=g_\alpha(\alpha)$ ，这就证明了 $Y\cap X_a$ 为单元素集，即 $\#(Y\cap X_a)=1$ . 再由习题8.4.2我们知道选择公理成立.

综上，命题得证.

文内补充

1.选择公理是不可解决的，即其不能被集合论的其他公理所证明或证否(前提假设是其他集合公理是相容的，这一点无法在集合论内所证实，原因是哥德尔不完备定理). 进而有：使用选择公理证明的结果绝不会与不使用选择公理证明的结果相矛盾，否则我们就证明了选择公理与集合论的其他公理是不相容的. 所以我们可以把“选择公理”看作是分析学中一个方便的、安全的、节省劳力的工具.

2.节8.4第一段最后一个括号里面的——“可解决(decidable)”问题的应用应该说明是指在ZF集合论框架内可解决.

3.公理8.1已经考虑了I为空集的情形.

4.选择公理有许多不同的版本，有的蕴涵另一些. 比如书上的选择公理蕴涵可数选择公理和依序选择公理. 有时候选择合适的选择公理版本可以简化证明. 比书上的选择公理强的还有全局选择公理等.

5.考虑习题3.5.2，定义8.4.1的定义不是很严谨. 但我们可以仿照习题3.5.2的解决办法来解决此问题.

《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§8.4解答

习题8.4

文内补充

发布者：iknetfomi