习题解答阅读提醒&勘误

习题解答阅读提醒

本人在学习《陶哲轩实分析》的过程中苦于没有完整的参考解答,于是萌生了自己写一个解答,一来为自己的学习做一个记录,另一方面方便其他同学习本书的书友.

本习题解答是基于人民邮电出版社2008年11月第1版的《陶哲轩实分析》写成的,所以解答的习题只包含上面提到的版本,不包括任何英文版和中文第三版(因为第二和第三版的英文版以及中文第三版增加了一些习题,并且某些习题表述的相似但不相同). 在写本习题解答的过程中,我尽量做到严谨和详实,若有人发现任何错误或纰漏,欢迎留言指出,我十分感激.

注意:本博客所有内容禁止抄袭、禁止转载,若转载和引用需提前留言和我联系确认.

最后感谢给我写成本习题解答提供了帮助的网友,他们的解答地址如下,大家也可以去参考:

liyuanbhu:https://blog.csdn.net/liyuanbhu/column/info/analysis-terencetao(这个解答并不完整,只有前面几章的内容)

城南讲马堂:https://christangdt.home.blog/analysis/analysis-tenrece-tao-3rd-ed/(这个解答很完整)

 

勘误

本勘误是对人民邮电出版社2008年11月第1版的《陶哲轩实分析》的勘误,不是其他版本的勘误. 主要参考下面的几个勘误链接,以及自己发现的错误.

中文版官方勘误详见:http://www.ituring.com.cn/book/420#gotocomment

陶哲轩本人博客的英文版勘误:

Analysis I——https://terrytao.wordpress.com/books/analysis-i/

Analysis II——https://terrytao.wordpress.com/books/analysis-ii/

  • P13:章节2.1中,人名“Guiseppe Peano”应为“Giuseppe Peano”.
  • P14:定义2.1.3,添加“此约定实际上是过分简化. 要了解如何正确地将数字的常规十进制表示法与Peano公理指定的自然数合并,请参阅附录B.”.
  • P15:例2.1.7中最后的括号,“6=1”应为“6=2”.
  • P16:在注脚中,补上“反之,如果我们有n = m,那么我们可以推论n++ = m++; 这是应用于操作++的替代公理(请参阅附录A.7).”. 由此可以证明关于自然数的加法、乘法、序等满足替代公理. 值得注意的是,我们并没有定义自然数的相等,因为我们对自然数的处理是公理化的,因此当我们讨论两自然数相等时,就是说其是同一个数,无区别的. 我们当然可以给自然数的相等一个定义,只要我们给出其模型(比如从集合论出发构造自然数的一个模型). 此时操作++的替代公理是可以证明的. 这当然无聊的,我想表达的是,当我们定义某对象的相等时,重要的是其是等价关系,最后的代入公理是帮助我们抛弃对象的具体模型,而进行抽象的思考;但实际上我们寻找数学对象的具体模型时、总要验证这个模型对于此对象上的运算等满足代入公理. 一句话总结:当我们将数学对象公理化处理而抛弃具体模型时,相等无需定义(集合论是个例外,集合的相等由外延公理保证),相等要求的四条公理默认自动成立;当我们给出数学对象的具体模型时,相等是定义出来的,相等要求的四条公理需要逐一证明.
  • P17:“命题2.1.11”改为“命题模板2.1.11”.
  • P17:注2.1.12,“罗马数系{O,I,II,III,IV,…}”改为“罗马数系{O,I,II,III,IV,…}(增加一个数字0的符号O)”.
  • P22:命题2.2.8中,“a是正的而”应为“a是正的自然数而”.
  • P22:引理2.2.10中的第一个字母b应为a.
  • P23:习题2.2.5中的提示,“n<m_0”应为“n\leqslant m_0”.
  • P25:定义2.3.11,添加备注“特别是,我们将0^0定义为等于1.”.
  • P27:定义3.1.4应改为公理(外延公理)的状态,而不是定义,并相应地更改对该定义的所有引用,即对讨论这个定义的文本进行一些修改。比如,在前一段中,“定义相等的概念”现在将是“寻求捕获相等的概念”,而“将这个定义正式化”应该是“将这个公理正式化”.
  • P28:公理3.2中,空集符号“\emptyset”比“\varnothing”好. 本书的所有空集符号都有此问题.
  • P35:习题3.1.1中“(3.1.4)”应为“定义3.1.4”.
  • P35:习题3.1.2应该允许使用公理3.1.
  • P37:公理3.9,“与A不同的”应为“与A不交的”.
  • P40:注3.3.6中,“函数不是集合”应该是“函数不一定是集合”;同样的,“集合不是函数”也应该是“集合不一定是函数”. 在“完全地描述了函数”之后,添加“一旦指定域X和范围Y”.
  • P40:定义3.3.7中,添加“两个函数f: X \to Yg: X' \to Y'被认为是不相等的,如果它们有不同的定义域X \neq X'或不同的值域Y \neq Y'(或两者都有)”.
  • P40:例3.3.9下面一句,“相等这个概念遵从常用的公理(习题3.3.1)”这一段应改为“定义3.3.7与附录A.7中的平等公理是否相容,目前还不是很明显,虽然下面的练习3.3.1提供了这种相容的证据. 至少有三种方法可以解决这个问题. 一是将定义3.3.7视为关于函数相等的公理,而不是定义. 另一种方法是对函数进行更明确的定义,使定义3.3.7成为定理;例如,你可以定义函数f:X\rightarrow Y是定义域X、值域Y和遵循垂线判别法的图G = \{(x, f (x)): x\in X\}组成的一个有序三元组(X, Y, G),然后使用这个图来定义定义域中每个元素x的函数值f(x) \in Y(参见习题3.5.10). 第三种方法是从一个没有任何函数的数学宇宙{\mathcal U}开始,使用定义3.3.7创建这个宇宙的更大扩展,其中包含符合定义3.3.7的函数对象. 然而,最后的方法需要多一点的逻辑的形式主义和模型理论知识,所以这里就不详细介绍了. ”.
  • P42:定义3.3.17,“如果f(X)=Y”可以移到下一节,因为下一节才定义函数的前象.
  • P43:例3.3.22,“公理2.2~2.4”应为“公理2.4和引理2.2.10”.
  • P43:习题3.3.1,添加“当然,这些命题可以从附录A.7中的相等公理用于函数直接得到,但是本习题的目的是表明可以从函数定义域、值域中的元素遵从相等公理来建立函数相等遵从相等公理”.
  • P46:引理3.4.9,“那么集合…是一个集合”应为“那么有一个独一无二的集合…”.
  • P47:公式(3.2)向下数第二行,“它们是贴有标签\alpha\in A的”,应为“它们是贴有标签\alpha\in I的”; 第二段第二行,“给定任意一个非空的集合”,应说明是“集合I”; 注3.4.12第二行,“Ermest”应为“Ernst”.
  • P48:习题3.4.8,公理3.1也应该允许被使用.
  • P48:习题3.4.10第三行的公式下标,“I\cap J”改为“I\cup J”.
  • P50:注3.5.8,如果要使用习题3.5.2中定义的有序n元组的定义(必须将函数限制为满射),则注3.5.8中给出的笛卡尔乘积的集合构造是不太正确的. 由于评注的正确版本是习题3.5.2的一部分,因此应将评注的第二句改为提及该习题3.5.2.
  • P51:第二行“或两个变元x\in X_1, ”应为“或两个变元x_1\in X_1, ”.
  • P53:习题3.5.12, “a_N(n++)=f(n,a(n))”应为“a_N(n++)=f(n,a_N(n))”. 在第一个句子后面添加“让X成为任意集合”,并让f成为从{\mathbf N}\times X到X的函数,而不是从{\mathbf N}\times {\mathbf N}{\mathbf N}的函数. 函数a也做类似改变. 这种概括将有助于解决练习3.5.13.
  • P55:在引理3.6.9之后,添加以下说明“严格地说,表达式n-1还没有定义. 为了这个引理的目的,我们暂时将它定义为唯一的自然数m,使得m++=n(它存在并且由引理2.2.10唯一).
  • P55:命题3.6.8的证明,第三行“根据命题3.6.4”应为“根据引理3.6.9”.
  • P58:在习题3.6.8中,应该加入A非空的附加假设.
  • P115:从上往下数第8行,“活塞从\infty处”应为“活塞从+\infty处”.
  • P127:引理7.1.4(f)的条件陈述中“a_i是对应于”应改为“a_i,b_i是对应于”.
  • P128:等式(7.1)下面一行,“我们可以把(7.1)的右端”应为“我们可以把(7.1)的左端”.
  • P131:从下往上数第8行“根据引理3.6.9”应改为“根据命题3.1.28(g)”.
  • P138:命题7.3.1上面一行,“推论6.1.7”应为“推论6.1.17”.
  • P139:引理7.3.6这一行开始向上数数到第四行,“并设T_k:=”应为“并设T_K:=”,下标K应为大写.
  • P146:从上往下数第9、10行中的“1-接近”建议改为“0.5-接近”. 因为|a_n|\geqslant 1是可能取到1的.
  • P157:引理8.2.3中不等式右边的无穷“\infty”改为正无穷“+\infty”比较好,因为这是从广义实数考虑的,这个不等式是要表达:右边的集合上确界是实数. 我们通常用无穷“\infty”表达潜无穷这个过程,比如序列的极限\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n. 本书后面关于级数绝对收敛类似的不等式都有此问题.
  • P161:从上往下数第3行中的“1837”改为“1873”.
  • P163:习题8.3.2中“g(x):=f(x)”应改为“g(x):=f^{-1}(x)”;两处“\bigcup_{n=0}^\infty D_n”可以用“\bigcup_{n=1}^\infty D_n”代替,因为两个表达都是正确的,不会影响结果.
  • P163:习题8.3.3中“Ernst Schröder”后面补上“(1841-1902)”.
  • P163:章节8.4中第一行,“Zermelo-Fraenkel 选择”应改为“Zermelo-Fraenkel-Choice”,即ZFC集合公理系统.
  • P166:习题8.4.3的第一个括号中的提示,“g^{-1}(\{a\})”应改为“g^{-1}(\{\alpha\})”.
  • P166:例8.5.2中第一行“自然数集\mathbb{R}”应为“自然数集\mathbb{N}”.
  • P168:定义8.5.12中“X是子集合”应为“X的子集合”.
  • P168:引理8.5.14的证明第一行,“尽力施实”应为“尽力实施”.
  • P168:倒数第五行,“至少有一个不空”应为“至少有一个为空”.
  • P170:习题8.5.5第二行“f(x)\leqslant_Y f(x')”应改为“f(x)<_Y f(x')x=x'”.
  • P170:习题8.5.6中“(x):=\{y\in X : y\leqslant x\}”应为“(x):=\{y\in X : y\leqslant_X x\}”.
  • P170:习题8.5.12中第三行“如果x\leqslant_X x'”应为“如果x<_X x'”.

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