《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§8.3解答

习题8.3

8.3.1证明：由习题3.4.6我们知 $2^X=\{f^{-1}(\{1\}) : f\in\{0 ,1\}^X\}$ ，进而由命题3.6.14(d)知 $\#(2^X)=\#(\{f^{-1}(\{1\}) : f\in\{0 ,1\}^X\})=\#(\{0 ,1\}^X)$ ，再由命题3.6.14(f)知 $\#(2^X)=\#(\{0 ,1\}^X)=2^{\#(X)}=2^n$ .

8.3.2证明：此题目的主要是介绍了洋葱函数（Onion function）. 此习题题干需要改正以及进一步的说明才能读懂下面证明，具体详见本书勘误页.

由题干和归纳法我们容易证明对一切自然数 $n\geqslant 0$ 有 $D_{n+1}=\{\underbrace{f(f(...f}_{n+1}(x)...)) : x\in D_0\}$ . 我们假设存在 $m,n \in\mathbb{N}$ 使得 $m\neq n$ 且 $D_m\cap D_n\neq\emptyset$ . 由 $D_0$ 的定义我们知道 $m=0$ 或 $n=0$ 是不可能使得 $D_m\cap D_n\neq\emptyset$ 的，故我们知 $m,n\geqslant 1$ ，进而 $m-1,n-1\geqslant 0$ . 不失一般性，我们假设 $n>m$ . 由于 $D_m\cap D_n\neq\emptyset$ ，即存在 $a\in D_m$ 且 $a\in D_n$ ，由 $D_{i+1}=\{\underbrace{f(f(...f}_{i+1}(x)...)) : x\in D_0\}(i\geqslant 0)$ 我们知存在 $x_m,x_n\in D_0$ 使得 $\underbrace{f(f(...f}_{m-1}(x_m)...))=\underbrace{f(f(...f}_{n-1}(x_n)...))=a$ ，由f为单射我们知道有 $x_m=\underbrace{f(f(...f}_{n-m}(x_n)...))$ ，而我们有 $x_m\in D_0$ 且 $\underbrace{f(f(...f}_{n-m}(x_n)...))\in A$ ，故等式 $x_m=\underbrace{f(f(...f}_{n-m}(x_n)...))$ 不可能成立，这个矛盾帮助我们反证完成：对一切 $m,n \in\mathbb{N}$ 如果 $m\neq n$ 则 $D_m\cap D_n=\emptyset$ .

我们容易分类讨论验证g是单射. 易证 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty D_n\subseteq A$ . 对任意 $y\in A\backslash\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ ，显然有 $y\in A$ 使得 $g(y)=y$ ；而对 $y\in B\backslash(A\backslash\bigcup_{n=1}^\infty D_n)=(B\backslash A)\cup(B\cap\bigcup_{n=1}^\infty D_n)=\bigcup_{n=0}^\infty D_n$ ，进而由第一段的证明知恰存在一个自然数n使得 $y\in D_n$ ，进而显然存在 $f(y)\in\bigcup_{n=1}^\infty D_n\subseteq A$ 使得 $g(f(y))=f^{-1}(f(y))=y$ . 综上，对任意 $y\in B$ 总存在 $x\in A$ 使得 $g(x)=y$ ，故g是满射.

实际上我们需要先验证函数 $g:A\rightarrow B$ 是定义成功的. 从书上 $g:A\rightarrow B$ 定义以及 $A\subseteq B$ 我们知道当 $x\notin\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ 时有 $g(x)=x\in A\subseteq B$ ，于是我们只需要验证另一种情形函数值也属于集合B就能说明函数 $g:A\rightarrow B$ 是定义成功的了. 现在考虑 $x_r\in\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ ，进而知对某 $p\in\mathbb{N}^+$ 有 $x_r\in D_p$ ，也即 $x_r\in f(D_{p-1})((p-1)\in\mathbb{N})$ ，由于此时 $g(x_r)=f^{-1}(x_r)$ 而f为双射，于是我们容易看到 $g(x_r)\in D_{p-1}$ ，再从 $D_i(i\in\mathbb{N})$ 定义我们容易知道 $D_{p-1}\subseteq B$ ，进而 $g(x_r)\in B$ ，这就验证了函数 $g:A\rightarrow B$ 确实是定义成功的.

而实际上题干中“ $f:C\rightarrow A$ 是双射”这个条件比较强，我们不需要这么强的条件也是可以证明习题8.3.2的结论的(同时只有这样才能在习题8.3.3中运用上习题8.3.2的结论). 具体来说就是将题干中“ $f:C\rightarrow A$ 是双射”修改成“ $f:C\rightarrow A$ 是单射”. 于是我们可以看到习题8.3.2结论的第一部分“诸集合 $D_0, D_1, D_2, ...$ 是互不相交的”仍然是成立的，因为原论证无需修改就可证明；需要修改的只是习题8.3.2结论的第二部分“ $g:A\rightarrow B$ 是双射”的论证. 注意此时公式 $g(x):=f^{-1}(x)$ 的涵义已经发生变化：在修改前 $g(x):=f^{-1}(x)$ 中逆函数 $f^{-1}$ 存在性由“ $f:C\rightarrow A$ 是双射”保证，而修改后逆函数 $f^{-1}$ 表示的是双射函数 $f:C\rightarrow f(C)$ 的逆函数)(这是“ $f:C\rightarrow A$ 是单射”可以保证的). a.进而类似的论述我们可以证明函数 $g:A\rightarrow B$ 确实是定义成功的(只需要注意到当 $x_r\in\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ 时 $x_r\in f(D_{p-1})((p-1)\in\mathbb{N})\subseteq f(C)$ 且 $D_{p-1}\subseteq B$ ，于是我们可以看到 $g(x_r)=f^{-1}(x_r)\in D_{p-1}\subseteq B$ ). b.完全一样的思考过程我们容易验证g是单射. c.类似原论述过程我们可以证明 $g:A\rightarrow B$ 是满射(只需要将原证明中“ $f(y)\in\bigcup_{n=1}^\infty D_n\subseteq A$ ”改成“ $f(y)\in\bigcup_{n=1}^\infty D_n\subseteq f(C)$ ”).

综合a.、b.和c.我们看到 $g:A\rightarrow B$ 确实是双射，这就完成了证明.

此习题的直观日后再加以补充.

8.3.3证明：参考Schröder-Bernstein定理的维基百科，我们有如下解答：

由题知存在单射 $f:A\rightarrow B, g:B\rightarrow A$ . 我们令 $C_0:=A\backslash g(B)$ ，并令 $C_{n+1}:=g(f(C_n))$ ，记 $\displaystyle C:=\bigcup_{n=0}^\infty C_n$ . 我们定义函数 $h:A\rightarrow B$ ，如果 $a\in C$ 则 $h(a):=f(a)$ ；如果 $a\notin C$ 则 $h(a):=g^{-1}(a)$ ( $g^{-1}$ 为g的值域限制到g(B)后的逆映射). 现在我们来验证此函数h是定义成功的：显然的是我们有 $C\subseteq A$ ，故当 $a\in C$ 时h(a)是定义成功的；如果 $a\in A\backslash C$ ，进而有 $a\notin C_0$ ，进而由 $C_0$ 定义知有 $a\in g(B)$ ，于是 $h(a)=g^{-1}(a)(g^{-1}:g(B)\rightarrow B, g^{-1}(x))$ 是定义成功的.

我们容易由 $f, g$ 单射性以及 $C_n(n\in\mathbb{N})$ 的定义分类讨论验证h的单射性. 现在来证明其满射性：对任意 $b\in B$ ，如果 $b\in f(C)$ ，那么存在 $a\in C$ 使得 $b=f(a)$ ，因此此时 $h(a)=f(a)=b$ ；如果 $b\notin f(C)$ ，即对所有 $a\in c$ 有 $b\neq f(a)$ ，我们考虑 $g(b)\in g(B)$ ，进而 $g(b)\notin C_0$ ，我们容易用反证法和归纳得 $g(b)\notin C_n(n\in\mathbb{N})$ ，进而 $g(b)\notin C$ ，此时 $h(g(b))=g^{-1}(g(b))=b$ . 这就证明了h的满射性.

此习题的直观日后再加以补充.

8.3.4证明：显然我们有双射 $f:X\rightarrow\{\{x\} : x\in X\}, f(x):=\{x\}$ . 而 $\{\{x\} : x\in X\}\subseteq 2^X$ . 于是f为X到 $2^X$ 的单射. 再由Cantor定理（定理8.3.1）知X与 $2^X$ 无相同基数. 综上，X的基数严格小于 $2^X$ 的基数.

由题我们知道存在单射函数 $g_1:A\rightarrow B, g_2:B\rightarrow C$ . 进而 $g_2\circ g_1:A\rightarrow C$ 也是单射. 我们假设存在A到C的双射 $g_3$ ，进而存在C到A的单射 $g_3^{-1}$ ，进而存在C到B的单射 $g_1\circ g_3^{-1}$ ，再由习题8.3.3中Schröder-Bernstein定理知B和C具有相同基数，这个矛盾帮助我们完成证明.

8.3.5证明：显然X不能为有限集和可数集. 而如果X为不可数集，则 $2^X$ 为不可数集. 这就完成了证明.

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