《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§6.6解答

习题6.6

6.6.1 证明：存在一个函数 $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ ，其由 $f(n):=n$ 定义. 由于对一切 $n\in\mathbb{N}$ 有 $f(n+1)>f(n)$ ，故其为严格增函数. 又因为对一切 $n\in\mathbb{N}$ 有 $a_n=a_{f(n)}$ ，由定义6.6.1知 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 是 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 的子序列.

如果 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 是 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 的子序列并且 $(c_n)_{n=0}^\infty$ 是 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 的子序列，由定义6.6.1知存在严格增函数 $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ 和严格增函数 $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ ，对一切 $n\in\mathbb{N}$ 有 $b_n=a_{f(n)}$ 和 $c_n=b_{g(n)}$ . 那么存在函数 $f\circ g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ ，对一切 $n\in\mathbb{N}$ 有 $f\circ g(n+1)=f(g(n+1))>f(g(n))=f\circ g(n)$ ，故其也为严格增函数. 此时对一切 $n\in\mathbb{N}$ 有 $a_{f\circ g(n)}=a_{f(g(n))}=b_{g(n)}=c_n$ . 由定义6.6.1知 $(c_n)_{n=0}^\infty$ 是 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 的子序列.

6.6.2 解答：可以. 序列 $((-1)^n)_{n=1}^\infty$ 和序列 $((-1)^{n+1})_{n=1}^\infty$ 是两个不同的序列，因为对一切整数 $n\geqslant 1$ 都有 $(-1)^n\neq (-1)^{n+1}$ . 但我们可以找到一个严格增函数 $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ ，其由 $f(n):=n+1$ 定义，使得对一切整数 $n\geqslant 1$ 都有 $(-1)^{n+1}=(-1)^{f(n)}$ ，所以 $((-1)^{n+1})_{n=1}^\infty$ 是 $((-1)^n)_{n=1}^\infty$ 的子序列. 同时，对一切整数 $n\geqslant 1$ 都有 $(-1)^n=(-1)^{f(n)+1}$ ，故 $((-1)^n)_{n=1}^\infty$ 是 $((-1)^{n+1})_{n=1}^\infty$ 的子序列.

6.6.3 此题提示(中文第一版)陈述有多处错误，所以在这里把完整正确的题目写出来：设 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 是一个序列，它不是有界的. 证明它有一个子序列 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 使得 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{b_n}$ 存在并等于零. (提示：对每个自然数j递归定义号码 $n_j:=min\{n\in\mathbb{N} : |a_n|\geqslant j;n>n_{j-1}\}$ (在 $j=0$ 时省略 $n>n_{j-1}$ 条件). 首先解释为什么集合 $\{n\in\mathbb{N} : |a_n|\geqslant j;n>n_{j-1}\}$ 不是空集，然后令 $b_j:=a_{n_j}$ .)

证明：对自然数0，由题干知 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 不是有界的. 归纳假设对某自然数 $m\geqslant 0$ ， $(a_n)_{n=m}^\infty$ 不是有界的. 那么对自然数 $m+1$ ，假设 $(a_n)_{n=m+1}^\infty$ 是有界的，由引理5.1.14知有限序列 $a_m$ 也是有界的，两者综合起来得到 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 是有界的，这与归纳假设相矛盾，故假设不成立，即 $(a_n)_{n=m+1}^\infty$ 不是有界的，这就完成了归纳. 故对一切自然数 $m\geqslant 0$ ， $(a_n)_{n=m}^\infty$ 不是有界的.

对自然数0，由分类公理知有集合 $\{n\in\mathbb{N} : |a_n|\geqslant 0\}\subseteq\mathbb{N}$ . 由于 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 不是有界的，则对自然数0存在整数 $n'\geqslant 0$ 使 $|a_{n'}|>0$ ，即 $|a_{n'}|\geqslant 0$ ，故 $n'\in\{n\in\mathbb{N} : |a_n|\geqslant 0\}$ ，所以集合 $\{n\in\mathbb{N} : |a_n|\geqslant 0\}$ 非空，再由命题8.1.4良序原理知 $n_0:=min\{n\in\mathbb{N} : |a_n|\geqslant 0\}$ 是定义成功的，进而有 $n_0\in\mathbb{N}$ 并且 $|a_{n_0}|\geqslant 0$ . 对自然数1，由分类公理知有集合 $\{n\in\mathbb{N} : |a_n|\geqslant 1;n>n_0\}\subseteq\mathbb{N}$ . 由于 $(a_n)_{n=n_0+1}^\infty$ 不是有界的，则对自然数1存在整数 $n'\geqslant n_0+1$ ，即 $n'>n_0$ 使 $|a_{n'}|>1$ ，即 $|a_{n'}|\geqslant 1$ ，故 $n'\in\{n\in\mathbb{N} : |a_n|\geqslant 1;n>n_0\}$ ，所以集合 $\{n\in\mathbb{N} : |a_n|\geqslant 1;n>n_0\}$ 非空，再由命题8.1.4良序原理知 $n_1:=min\{n\in\mathbb{N} : |a_n|\geqslant 1;n>n_0\}$ 是定义成功的，进而有 $n_1\in\mathbb{N}$ 并且 $|a_{n_1}|\geqslant 1$ 并且 $n_1>n_0$ . 现归纳假设对某自然数 $j\geqslant 1$ ， $n_j:=min\{n\in\mathbb{N} : |a_n|\geqslant j;n>n_{j-1}\}$ 是定义成功的，进而有 $n_j\in\mathbb{N}$ 并且 $|a_{n_j}|\geqslant j$ 并且 $n_j>n_{j-1}$ . 那么对自然数 $j+1$ ，由分类公理知有集合 $\{n\in\mathbb{N} : |a_n|\geqslant j+1;n>n_j\}\subseteq\mathbb{N}$ . 由于 $(a_n)_{n=n_j+1}^\infty$ 不是有界的，则对自然数 $j+1$ 存在整数 $n'\geqslant n_j+1$ ，即 $n'>n_j$ 使 $|a_{n'}|>j+1$ ，即 $|a_{n'}|\geqslant j+1$ ，故 $n'\in\{n\in\mathbb{N} : |a_n|\geqslant j+1;n>n_j\}$ ，所以集合 $\{n\in\mathbb{N} : |a_n|\geqslant j+1;n>n_j\}$ 非空，再由命题8.1.4良序原理知 $n_{j+1}:=min\{n\in\mathbb{N} : |a_n|\geqslant j+1;n>n_j\}$ 是定义成功的，进而有 $n_{j+1}\in\mathbb{N}$ 并且 $|a_{n_{j+1}}|\geqslant j+1$ 并且 $n_{j+1}>n_j$ . 这就完成了归纳，所以对所有自然数j， $n_j$ 都是定义成功的，并且有 $n_j\in\mathbb{N}$ 和 $|a_{n_j}|\geqslant j$ ，对每个自然数 $j\geqslant 1$ ，还有 $n_j>n_{j-1}$ . 由于对每个自然数 $j\geqslant 0$ ，有 $j+1\geqslant 1$ ，故有 $n_{j+1}>n_j$ ，即对每个 $j\in\mathbb{N}$ 有 $n_{j+1}>n_j$ . 又因为 $b_j=a_{n_j}$ ，由定义6.6.1知 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 是 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 的子序列.

对每个 $j\in\mathbb{N}$ ，有 $b_j=a_{n_j}$ 和 $|a_{n_j}|\geqslant j$ ，故 $|b_j|=|a_{n_j}|\geqslant j\geqslant 0$ . 那么对所有整数 $j\geqslant 1$ ，有 $\frac{1}{|b_j|}\leqslant\frac{1}{j}$ . 所以对每个整数 $N\geqslant 1$ ，对每个整数 $n\geqslant N$ ，有 $\frac{1}{|b_n|}\leqslant\frac{1}{n}\leqslant\frac{1}{N}$ . 对每个实数 $\varepsilon>0$ ，由推论5.4.13阿基米德性质知存在正整数N使得 $N\varepsilon>1$ ，即 $\frac{1}{N}<\varepsilon$ ，而对每个整数 $n\geqslant N$ ，有 $|\frac{1}{|b_n|}-0|=|\frac{1}{|b_n|}|=\frac{1}{|b_n|}\leqslant\frac{1}{n}\leqslant\frac{1}{N}<\varepsilon$ . 故 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{|b_n|}=0$ ，由推论6.4.17知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{b_n}=0$ .

6.6.4 证明：如果序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 的每个子序列都收敛到L，由引理6.6.4知 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 本身也是序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 的子序列，故序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 收敛到L.

已知序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 收敛到L. 设 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 是 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 的子序列，由定义6.1.1知存在函数 $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ ，满足对一切 $n\in\mathbb{N}$ 有 $f(n+1)>f(n)$ 并且 $b_n=a_{f(n)}$ . 由于f为自然数集到自然数集的函数，故对一切 $n\in\mathbb{N}$ 有 $f(n)\in\mathbb{N}$ . 我们现在证明对一切 $n\in\mathbb{N}$ 有 $f(n)\geqslant n$ . 用归纳法. 对自然数0，由于 $f(0)\in\mathbb{N}$ ，所以 $f(n)\geqslant 0$ ，这就完成了归纳基始. 归纳假设对某自然数n有 $f(n)\geqslant n$ . 那么对自然数n+1，有 $f(n+1)>f(n)\geqslant n$ ，即 $f(n+1)>n$ ，由于 $f(n+1)\in\mathbb{N}$ ，所以 $f(n+1)\geqslant n+1$ ，这就完成了归纳. 由于序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 收敛到L，则对每个实数 $\varepsilon>0$ 存在整数 $N\geqslant 0$ 对一切整数 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-L|\leqslant\varepsilon$ . 那么对一切整数 $n'\geqslant N$ ，有 $f(n')\geqslant n'\geqslant N$ ，故 $|a_{f(n')}-L|\leqslant\varepsilon$ ，即 $|b_{n'}-L|\leqslant\varepsilon$ . 故 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 也收敛到L，由 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 的任意性，所以 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 的每个子序列都收敛到L.

6.6.5 此题提示(中文第一版)陈述有多处错误，所以在这里把完整正确的题目写出来：证明命题6.6.6. (提示：为了证明(a)蕴涵(b)，对于每个正的自然数j用递归公式 $n_j:=min\{n\in\mathbb{N} : |a_n-L|\leqslant\frac{1}{j};n>n_{j-1}\}$ 定义一个号码，我们约定 $n_0=0$ . 解释为什么集合 $\{n\in\mathbb{N} : |a_n-L|\leqslant\frac{1}{j};n>n_{j-1}\}$ 是非空集合，然后考虑序列 $(a_{n_j})_{j=0}^\infty$ .)

证明：如果存在 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 的子序列收敛到L，我们不妨记此子序列为 $(b_n)_{n=0}^\infty$ ，即存在严格增函数 $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ ，使对一切 $n\in\mathbb{N}$ 有 $b_n=a_{f(n)}$ . 由于 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 收敛到L，即对每个实数 $\varepsilon>0$ 存在整数 $N\geqslant 0$ 使对一切整数 $n\geqslant N$ 有 $|b_n-L|\leqslant\varepsilon$ ，即 $|a_{f(n)}-L|\leqslant\varepsilon$ . 由于在习题6.6.4中我们已证明对一切 $n\in\mathbb{N}$ 有 $f(n)\geqslant n$ ，所以上述陈述可复述为：对每个实数 $\varepsilon>0$ 存在整数 $N\geqslant 0$ 使对一切整数 $n\geqslant N$ 存在 $f(n)\geqslant n$ 使 $|a_{f(n)}-L|\leqslant\varepsilon$ . 那么对整数 $0\leqslant N'<N$ ，显然存在整数 $f(n)\geqslant n\geqslant N>N'$ 使 $|a_{f(n)}-L|\leqslant\varepsilon$ . 综上，对每个实数 $\varepsilon>0$ 对每个整数 $N\geqslant 0$ 存在整数 $n\geqslant N$ 使 $|a_n-L|\leqslant\varepsilon$ . 故L是序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 的极限点.

由于L是序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 的极限点，即对每个实数 $\varepsilon>0$ 每个整数 $N\geqslant 0$ 存在整数 $n\geqslant N$ 使得 $|a_n-L|\leqslant\varepsilon$ . 由分类公理知存在集合 $\{n\in\mathbb{N} : |a_n-L|\leqslant\frac{1}{1}=1;n>n_0=0\}$ ，由于L是 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 的极限点，所以对实数1，存在整数 $m\geqslant 1$ 使 $|a_m-L|\leqslant 1$ ，故 $m\in\{n\in\mathbb{N} : |a_n-L|\leqslant\frac{1}{1}=1;n>n_0=0\}$ ，即 $\{n\in\mathbb{N} : |a_n-L|\leqslant\frac{1}{1}=1;n>n_0=0\}$ 非空，再由良序原理知对正自然数1， $n_1:=min\{n\in\mathbb{N} : |a_n-L|\leqslant\frac{1}{1};n>n_0\}$ 是定义成功了的. 现归纳假设对某自然数 $j\geqslant 1$ ， $n_j$ 是定义成功的. 那么对自然数j+1，同理由分类公理知存在集合 $\{n\in\mathbb{N} : |a_n-L|\leqslant\frac{1}{j+1};n>n_j\}$ ，同理由L是 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 的极限点，所以对实数 $\frac{1}{j+1}$ ，存在整数 $m\geqslant n_j+1$ 使 $|a_m-L|\leqslant\frac{1}{j+1}$ ，故 $m\in\{n\in\mathbb{N} : |a_n-L|\leqslant\frac{1}{j+1};n>n_j\}$ ，即 $\{n\in\mathbb{N} : |a_n-L|\leqslant\frac{1}{j+1};n>n_j\}$ 非空，再由良序原理知对正自然数j+1， $n_{j+1}:=min\{n\in\mathbb{N} : |a_n-L|\leqslant\frac{1}{j+1};n>n_j\}$ 是定义成功了的. 这就完成了归纳. 综上，对一切自然数j有 $n_j$ 都是定义成功的，并且有如下性质：首先，对一切自然数j有 $n_{j+1}>n_j$ ，我们定义 $b_j:=a_{n_j}$ ，由定义6.6.1知 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 是 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 的子序列；最后，对一切自然数 $j\geqslant 1$ 有 $|a_{n_j}-L|\leqslant\frac{1}{j}$ . 所以对每个实数 $\varepsilon>0$ ，由推论5.4.13阿基米德性质知存在正整数N使得 $N\varepsilon>1$ ，即 $\frac{1}{N}<\varepsilon$ ，而对每个整数 $j\geqslant N\geqslant 1$ ，有 $|a_{n_j}-L|\leqslant\frac{1}{j}\leqslant\frac{1}{N}<\varepsilon$ ，即 $|b_j-L|\leqslant\varepsilon$ ，故 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 收敛到L.

文内补充

1.严格增函数是单射函数.

设 $f:X\rightarrow Y$ 是严格增函数. 设 $x_1,x_2\in X$ ，由于 $f:X\rightarrow Y$ 是严格增，所以如果 $x_2>x_1$ 那么 $f(x_2)>f(x_1)$ . 对任意 $x_1,x_2\in X$ ，如果 $x_1\neq x_2$ ，那么有 $x_1>x_2$ 或者 $x_2>x_1$ . 但无论何种情况都有 $f(x_2)\neq f(x_1)$ ，所以严格增函数是单射函数.

2.或许我们可以推广一下定义6.6.1，使具有不同起始下标的序列间也可以谈论是否构成子序列.

定义6.6.1推广：设 $(a_n)_{n=m}^\infty,(b_n)_{n=m}^\infty$ (m为某整数)为实数列. 我们说 $(b_n)_{n=m}^\infty$ 是 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的子序列，当且仅当存在一个函数 $f:\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m\}\rightarrow\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m\}$ ，其对一切 $p\in\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m\}$ 有 $f(p+1)>f(p)$ ，使得对于一切 $p\in\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m\}$ 有 $b_p=a_{f(p)}$ .

很明显，定义6.6.1推广与定义6.6.1是相容的，即“ $(b_n)_{n=m}^\infty$ 是 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的子序列”这个命题在定义6.6.1和定义6.6.1推广下具有相同的真假值.

定义6.6.1进一步推广：设 $(a_n)_{n=m}^\infty,(b_n)_{n=m'}^\infty(m,m'\in\mathbb{Z})$ 为实数列. 我们说 $(b_n)_{n=m'}^\infty$ 是 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的子序列，当且仅当存在一个函数 $f:\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m'\}\rightarrow\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m\}$ ，其对一切 $p\in\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m'\}$ 有 $f(p+1)>f(p)$ ，使得对于一切 $p\in\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m'\}$ 有 $b_p=a_{f(p)}$ .

我们也很容易验证定义6.6.1进一步推广和定义6.6.1推广是相容的，进而定义6.6.1进一步推广和定义6.6.1也是相容的. 定义6.6.1进一步推广是子序列定义的一般形式，并且我们容易证明三个定义中函数f都是严格增的，故是单射的.

有了子序列的一般定义，我们可以得到引理6.6.4、命题6.6.5、命题6.6.6以及定理6.6.8不受限于序列起始下标为零的形式，下面我们就做此事.

3.小引理：设 $m,m'\in\mathbb{Z}$ ， $(a_n)_{n=m}^\infty,(b_n)_{n=m'}^\infty$ 为实数列. 令 $p:=m'-m$ ，两序列满足对一切 $n\geqslant m$ 有 $a_n=b_{n+p}$ . 即两序列本身是相同的，只是可能有不同的起始下标. 那么在定义6.6.1进一步推广的意义下， $(a_n)_{n=m}^\infty$ 和 $(b_n)_{n=m'}^\infty$ 互为对方的子序列.

证明：存在一个函数 $f:\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m'\}\rightarrow\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m\}$ ，其由 $f(n):=n-p$ 定义. 对一切 $q\in\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m'\}$ 有 $f(q+1)=(q+1)-p>q-p=f(q)$ (即f严格增)，并且对于一切 $q\in\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m'\}$ 有 $b_q=b_{(q-p)+p}=a_{q-p}=a_{f(q)}$ . 由定义6.6.1进一步推广知 $(b_n)_{n=m'}^\infty$ 是 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的子序列.

同理可证 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 是 $(b_n)_{n=m'}^\infty$ 的子序列.

4.引理6.6.4推广：设 $m_1,m_2,m_3\in\mathbb{Z}$ ， $(a_n)_{n=m_1}^\infty,(b_n)_{n=m_2}^\infty,(c_n)_{n=m_3}^\infty$ 为实数列. 那么有 $(a_n)_{n=m_1}^\infty$ 是 $(a_n)_{n=m_1}^\infty$ 的子序列；如果 $(b_n)_{n=m_2}^\infty$ 是 $(a_n)_{n=m_1}^\infty$ 的子序列并且 $(c_n)_{n=m_3}^\infty$ 是 $(b_n)_{n=m_2}^\infty$ 的子序列那么 $(c_n)_{n=m_3}^\infty$ 是 $(a_n)_{n=m_1}^\infty$ 的子序列.

证明：由上面4小引理我们马上知道 $(a_n)_{n=m_1}^\infty$ 是 $(a_n)_{n=m_1}^\infty$ 的子序列.

如果 $(b_n)_{n=m_2}^\infty$ 是 $(a_n)_{n=m_1}^\infty$ 的子序列并且 $(c_n)_{n=m_3}^\infty$ 是 $(b_n)_{n=m_2}^\infty$ 的子序列，由定义6.6.1进一步推广知存在严格增函数 $f:\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m_2\}\rightarrow\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m_1\}$ 和严格增函数 $g:\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m_3\}\rightarrow\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m_2\}$ ，对一切整数 $n\geqslant m_2$ 有 $b_n=a_{f(n)}$ 和对一切整数 $n\geqslant m_3$ 有 $c_n=b_{g(n)}$ . 那么存在函数 $f\circ g:\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m_3\}\rightarrow\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m_1\}$ ，对一切整数 $n\geqslant m_3$ 有 $f\circ g(n+1)=f(g(n+1))>f(g(n))=f\circ g(n)$ ，故其也为严格增函数. 此时对一切整数 $n\geqslant m_3$ 有 $a_{f\circ g(n)}=a_{f(g(n))}=b_{g(n)}=c_n$ . 由定义6.6.1进一步推广知 $(c_n)_{n=m_3}^\infty$ 是 $(a_n)_{n=m_1}^\infty$ 的子序列.

5.命题6.6.5推广：设 $m\in\mathbb{Z}$ ，设 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 是实数列，并设L是实数. 那么下述两命题在逻辑上是等价的：(a)序列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 收敛到L；(b) $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的每个子序列都收敛到L.

证明：如果序列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的每个子序列都收敛到L，由引理6.6.4推广知 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 本身也是序列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的子序列，故序列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 收敛到L.

已知序列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 收敛到L. 设 $(b_n)_{n=m'}^\infty$ 是 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的子序列，由定义6.1.1进一步推广知存在函数 $f:\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m'\}\rightarrow\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m\}$ ，满足对一切 $p\in\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m'\}$ 有 $f(p+1)>f(p)$ ，并且 $b_p=a_{f(p)}$ ，并且 $f(p)\in\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m\}$ . 我们现在证明对一切 $p\in\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m'\}$ 有 $f(p)\geqslant p+(m-m')$ . 用归纳法. 对自然数0，有 $f(m'+0)=f(m')\in\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m\}$ ，故 $f(m'+0)\geqslant m=m+0$ ，这就完成了归纳基始. 归纳假设对某自然数n有 $f(m'+n)\geqslant m+n$ . 那么对自然数n+1，有 $f(m'+(n+1))>f(m'+n)\geqslant m+n$ ，即 $f(m'+(n+1))>m+n$ ，由于 $f(m'+(n+1)),m+n$ 都是整数，故有 $f(m'+(n+1))\geqslant m+(n+1)$ ，这就完成了归纳. 故对任何自然数n都有 $f(m'+n)\geqslant m+n$ . 对任何整数 $p\geqslant m'$ ，则有 $p=m'+n$ (n为某自然数)，故 $f(p)=f(m'+n)\geqslant m+n=m+(p-m')=p+(m-m')$ . 由于序列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 收敛到L，则对每个实数 $\varepsilon>0$ 存在整数 $N\geqslant m$ 对一切整数 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-L|\leqslant\varepsilon$ . 那么存在整数 $N-(m-m')\geqslant m'$ 使对一切整数 $n'\geqslant N-(m-m')$ 有 $f(n')\geqslant n'+(m-m')\geqslant N-(m-m')+(m-m')=N$ ，故 $|a_{f(n')}-L|\leqslant\varepsilon$ ，即 $|b_{n'}-L|\leqslant\varepsilon$ . 故 $(b_n)_{n=m'}^\infty$ 也收敛到L，由 $(b_n)_{n=m'}^\infty$ 的任意性，所以 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的每个子序列都收敛到L.

6.命题6.6.6推广：设 $m\in\mathbb{Z}$ ，设 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 是实数列，并设L是实数. 那么下述两命题在逻辑上是等价的：(a)L是序列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的极限点；(b)存在 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的子序列都收敛到L.

证明：如果存在 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的子序列收敛到L，我们不妨记此子序列为 $(b_n)_{n=m'}^\infty$ ，即存在严格增函数 $f:\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m'\}\rightarrow\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m\}$ ，使对一切 $p\in\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m'\}$ 有 $b_p=a_{f(p)}$ . 由于 $(b_n)_{n=m'}^\infty$ 收敛到L，即对每个实数 $\varepsilon>0$ 存在整数 $N\geqslant m'$ 使对一切整数 $n\geqslant N$ 有 $|b_n-L|\leqslant\varepsilon$ ，即 $|a_{f(n)}-L|\leqslant\varepsilon$ . 由于在命题6.6.5推广中我们已证明对一切 $p\in\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m'\}$ 有 $f(p)\geqslant p+(m-m')$ ，所以上述陈述可复述为：对每个实数 $\varepsilon>0$ ，存在整数 $N\geqslant m'$ ，即存在整数 $N+(m-m')\geqslant m$ ，使对一切整数 $n\geqslant N+(m-m')$ 存在整数 $f(n-(m-m'))\geqslant n-(m-m')+(m-m')=n$ ，由于 $n\geqslant N+(m-m')$ ，进而 $n-(m-m')\geqslant N$ ，所以有 $|b_{n-(m-m')}-L|\leqslant\varepsilon$ ，即 $|a_{f(n-(m-m'))}-L|\leqslant\varepsilon$ . 那么对整数 $m\leqslant N'<N+(m-m')$ ，显然存在整数 $f(n-(m-m'))\geqslant n\geqslant N+(m-m')>N'$ 使 $|a_{f(n-(m-m'))}-L|\leqslant\varepsilon$ . 综上，对每个实数 $\varepsilon>0$ 对每个整数 $N\geqslant m$ 存在整数 $n\geqslant N$ 使 $|a_n-L|\leqslant\varepsilon$ . 故L是序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 的极限点.

由于L是序列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的极限点，即对每个实数 $\varepsilon>0$ 每个整数 $N\geqslant m$ 存在整数 $n\geqslant N$ 使得 $|a_n-L|\leqslant\varepsilon$ . 我们定义 $n_m:=m$ ，并对每个正自然数p，我们定义 $n_{m+p}:=min\{n\in\mathbb{N} : |a_n-L|\leqslant\frac{1}{p};n>n_{m+p-1}\}$ . 现在用归纳法证明此归纳定义是定义成功的. 对自然数0， $n_{m+0}=n_m=m$ 已定义. 对自然数1，由分类公理知存在集合 $\{n\in\mathbb{N} : |a_n-L|\leqslant\frac{1}{1}=1;n>n_m=m\}$ ，由于L是 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的极限点，所以对实数1，存在整数 $q\geqslant n_m+1>n_m=m$ 使 $|a_q-L|\leqslant 1$ ，故 $q\in\{n\in\mathbb{N} : |a_n-L|\leqslant\frac{1}{1}=1;n>n_m=m\}$ ，即 $\{n\in\mathbb{N} : |a_n-L|\leqslant\frac{1}{1}=1;n>n_m=m\}$ 非空. 现在我们来证明“有下界的整数集非空子集X有最小元”. 由于 $X\subseteq\mathbb{Z}$ 并且 $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{R}$ ，故 $X\subseteq\mathbb{R}$ . 又因为X不空和有下界，由定理5.5.9最大下界版本知恰存在实数M是X的最大下界. 我们现在来证明 $M\in X$ . 假设不然，即 $M\notin X$ . 由于M是X的最大下界，则对每个对象 $x\in X$ 有 $x\geqslant M$ ，再由 $M\notin X$ 知 $x\neq M$ . 故对每个对象 $x\in X$ 有 $x>M$ . 由习题5.4.3知对实数M恰存在一个整数N使 $N+1>M\geqslant N$ ，故对每个对象 $x\in X$ 有 $x>M\geqslant N$ ，即 $x>N$ ，由于 $x,N$ 均为整数，进一步有 $x\geqslant N+1$ . 所以 $N+1$ 也是X的一个下界，并且比最大下界M大，这是矛盾的，故假设不成立，所以 $M\in X$ . 综合“每个对象 $x\in X$ 有 $x\geqslant M$ ”和“ $M\in X$ ”，我们知道最大下界M就是非空整数子集X的最小元. 整数集非空子集 $\{n\in\mathbb{N} : |a_n-L|\leqslant\frac{1}{1}=1;n>n_m=m\}$ 显然有下界 $n_m=m$ ，所以 $n_{m+1}:=min\{n\in\mathbb{N} : |a_n-L|\leqslant\frac{1}{1};n>n_m=m\}$ 是定义成功了的. 现归纳假设对某自然数 $p\geqslant 1$ 有 $n_{m+p}$ 是定义成功的. 那么对自然数p+1，同理由分类公理知存在集合 $\{n\in\mathbb{N} : |a_n-L|\leqslant\frac{1}{p+1};n>n_{m+p}\}$ ，同理由L是 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的极限点，所以对实数 $\frac{1}{p+1}$ ，存在整数 $q\geqslant n_{m+p}+1>n_{m+p}>m$ 使 $|a_q-L|\leqslant\frac{1}{p+1}$ ，故 $q\in\{n\in\mathbb{N} : |a_n-L|\leqslant\frac{1}{p+1};n>n_{m+p}\}$ ，即 $\{n\in\mathbb{N} : |a_n-L|\leqslant\frac{1}{p+1};n>n_{m+p}\}$ 非空，容易知 $\{n\in\mathbb{N} : |a_n-L|\leqslant\frac{1}{p+1};n>n_{m+p}\}$ 有下界 $n_m=m$ . 再由“有下界的整数集非空子集X有最小元”知对正自然数p+1， $n_{m+(p+1)}:=min\{n\in\mathbb{N} : |a_n-L|\leqslant\frac{1}{p+1};n>n_{m+p}\}$ 是定义成功了的. 这就完成了归纳. 综上，对一切自然数p有 $n_{m+p}$ 都是定义成功的，故对一切整数 $j\geqslant m$ ，有自然数p使 $j=m+p$ ，故 $n_j=n_{m+p}$ 是定义成功的，并且有如下性质：1.对一切整数 $j\geqslant m$ 有 $n_{j+1}=n_{m+(p+1)}>n_{m+p}=n_j$ ，即 $(n_j)_{j=m}^\infty$ 是严格增的. 我们定义一个新序列：对一切整数 $j\geqslant m$ 定义 $b_j:=a_{n_j}$ ，由定义6.6.1进一步推广知 $(b_j)_{j=m}^\infty$ 是 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的子序列；2.对一切整数 $j\geqslant m+1$ ，存在某自然数p使 $j=m+p+1$ ，有 $|a_{n_{m+p+1}}-L|\leqslant\frac{1}{p+1}$ ，即有 $|a_{n_j}-L|\leqslant\frac{1}{j-m}$ . 所以对每个实数 $\varepsilon>0$ ，由推论5.4.13阿基米德性质知存在正整数N使得 $N\varepsilon>1$ ，即 $\frac{1}{N}<\varepsilon$ ，进一步存在整数 $N+m\geqslant 1+m$ 使对每个整数 $j\geqslant N+m\geqslant 1+m$ ，有 $|a_{n_j}-L|\leqslant\frac{1}{j-m}$ ，由于 $j\geqslant N+m\geqslant 1+m$ ，故 $j-m\geqslant N\geqslant 1$ ，故 $\frac{1}{j-m}\leqslant\frac{1}{N}<\varepsilon$ ，即 $|b_j-L|\leqslant\varepsilon$ ，故 $(b_n)_{n=m}^\infty$ 收敛到L.

7.定理6.6.8推广：设 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 是有界序列(即存在实数 $M>0$ 使对一切整数 $n\geqslant m$ 有 $|a_n|\leqslant M$ ). 那么 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 至少有一个子序列收敛.

证明：证明过程与定理6.6.8的证明过程几乎完全一样，除了最后一步是根据命题6.6.6的推广.

8.习题6.6.3推广：设 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 是一个无界的实数列，那么其有子序列 $(b_n)_{n=m'}^\infty$ 使得 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{b_n}=0$ .

证明：我们当然可以仿照习题6.6.3的解答重新写出更一般的证明，但我们不选择这样做. 我们用另一种思路. 对一切整数 $n\geqslant 0$ ，定义 $b_n:=a_{n+m}$ ，于是我们看到 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 与 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 是序列本身相同而起始下标可能不同的两序列. 由博客《陶哲轩实分析》§5.1解答文内补充部分第6点的证明我们知：由于 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 是一个无界的实数列，所以 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 也是一个无界的实数列.

我们来证明一个小命题：如果 $(c_n)_{n=m'}^\infty$ 是 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 的子序列，那么 $(c_n)_{n=m'}^\infty$ 也是 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的子序列.

证明一：由于 $(c_n)_{n=m'}^\infty$ 是 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 的子序列，那么由定义6.6.1进一步推广知存在一个严格增函数 $f:\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m'\}\rightarrow\mathbb{Z}$ 使对一切整数 $n\geqslant m'$ 有 $c_n=b_{f(n)}$ . 我们定义一个新函数 $g:\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m'\}\rightarrow\{n\in\mathbb{Z} : n\geqslant m\}$ ，其由 $g(n)=f(n)+m$ 定义. 对一切整数 $n\geqslant m'$ 有 $g(n+1)=f(n+1)+m>f(n)+m=g(n)$ ，故g也为严格增函数. 再由于对一切整数 $n\geqslant m'$ 有 $a_{g(n)}=a_{f(n)+m}=b_{f(n)}=c_n$ ，故由定义6.6.1进一步推广知 $(c_n)_{n=m'}^\infty$ 也是 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的子序列.

证明二：由 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 的构造方式和文内补充3.小引理我们知道 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 是 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的子序列，由于 $(c_n)_{n=m'}^\infty$ 是 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 的子序列，再由文内补充4.引理6.6.4推广知 $(c_n)_{n=m'}^\infty$ 是 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的子序列.

由于 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 是一个无界的实数列，由习题6.6.3我们知其有一个子序列 $(c_n)_{n=0}^\infty$ 使得 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{c_n}=0$ . 由上面的论证我们知 $(c_n)_{n=0}^\infty$ 也是 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的子序列，故命题得证.

9.设 $m,m'\in\mathbb{Z}$ ， $(a_n)_{n=m}^\infty,(b_n)_{n=m'}^\infty$ 为实数列. 令 $p:=m'-m$ ，两序列满足对一切 $n\geqslant m$ 有 $a_n=b_{n+p}$ . 即两序列本身是相同的，只是可能有不同的起始下标. 那么我们可以证明：

M是 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的上(确)界当且仅当M是 $(b_n)_{n=m'}^\infty$ 的上(确)界；对的下(确)界也有类似命题.
$(a_n)_{n=m}^\infty,(b_n)_{n=m'}^\infty$ 两者具有同样的单调性.
$(a_n)_{n=m}^\infty,(b_n)_{n=m'}^\infty$ 两者具有相同的上、下极限以及极限点.
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}b_n$ .

《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§6.6解答

习题6.6

文内补充

发布者：iknetfomi