《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§6.1解答

习题6.1

6.1.1 证明：用归纳法. 对自然数1，由对每个自然数n满足 $a_{n+1}>a_n$ 知显然有 $a_{n+1}>a_n$ ，这就完成了归纳基始. 归纳假设对自然数k，有 $a_{n+k}>a_n$ ，那么对自然数k+1， $a_{n+(k+1)}=a_{(n+k)+1}$ (函数满足代入公理)，再次由对每个自然数n满足 $a_{n+1}>a_n$ 知 $a_{(n+k)+1}>a_{n+k}$ ，所以有 $a_{n+(k+1)}>a_{n+k}$ ，由归纳假设 $a_{n+k}>a_n$ 知 $a_{n+(k+1)}>a_n$ ，这就完成了归纳. 所以对所有大于0的自然数k，都有 $a_{n+k}>a_n$ .

由于 $m>n$ ，则有非零自然数j使得 $m=n+j$ ，所以 $a_m=a_{n+j}>a_n$ . 这样就证明了命题.

这个习题定义了增序列的概念：一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是增序列，当且仅当对一切 $j,k\geqslant m$ ，如果 $j>k$ 那么 $a_j>a_k$ .

这个概念与反映的是序列本身的性质，与序列的起始下标没有关系. 即我们可以证明如下命题：

对序列 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 和序列 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ ，令 $p:=m_2-m_1$ . 两序列满足对于 $\forall n\geqslant m_1$ 都有 $a_n=b_{n+p}$ . 这就说明了两序列本身是相同的序列，只是有相同或者不同的起始下标.

序列 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是增序列当且仅当序列 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 是增序列.

证明：如果序列 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是增序列，说明对一切 $s,t\geqslant m_1$ ，如果 $s>t$ 那么 $a_s>a_t$ . 对任意 $j,k\geqslant m_2$ ，即对任意 $j,k\geqslant m_1+p$ ，即对任意 $j-p,k-p\geqslant m_1$ ，由 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是增序列我们知道如果 $j-p>k-p$ 那么 $a_{j-p}>a_{k-p}$ . 即如果 $j>k$ 那么 $b_j>b_k$ . 这样就证明了如果序列 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是增序列那么序列 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 是增序列.

同理可证如果序列 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 是增序列那么序列 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是增序列. 综上我们证明了序列 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是增序列当且仅当序列 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 是增序列.

而习题6.1.1说明了序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 只要满足对所有 $n\geqslant m$ 都有 $a_{n+1}>a_n$ ，那么其就是增序列. 证明方法就是构建一个起始下标为0但序列本身与 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 一样的新的序列 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ ，证明“对所有 $n\geqslant m$ 都有 $a_{n+1}>a_n$ ”蕴含着“对所有 $n\geqslant 0$ 都有 $b_{n+1}>b_n$ ”，再由习题6.1.1说明 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是增序列，所以 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 也是增序列.

6.1.2 证明：这道习题给我们展示了某些数学概念是如何建立在其它数学概念之上的. 说明了对建立在其它数学概念上的复杂数学概念，我们该如何一步步地把复杂概念写成不含建立起其的子概念的形式.

如果 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到L，由定义6.1.5实数列收敛的定义知对于每个实数 $\varepsilon>0$ ，序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ -接近于L的. 由定义6.1.5中实数列终极接近于某实数的定义知对于每个实数 $\varepsilon>0$ ，都存在 $N\geqslant m$ 使得序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ -接近于L的. 由定义6.1.5中实数列接近于某实数的定义知对于每个实数 $\varepsilon>0$ ，都存在 $N\geqslant m$ 使得对于每个 $n\geqslant N$ 有 $a_n$ 是 $\varepsilon$ -接近于L的. 由定义6.1.2知对于每个实数 $\varepsilon>0$ ，都存在 $N\geqslant m$ 使得对于每个 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-L|\leqslant\varepsilon$ . 故如果 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到L，那么对于任何给定的 $\varepsilon>0$ 都能找到 $N\geqslant m$ 使得对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-L|\leqslant\varepsilon$ .

如果对于任何给定的 $\varepsilon>0$ 都能找到 $N\geqslant m$ 使得对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-L|\leqslant\varepsilon$ ，由定义6.1.2知对于每个实数 $\varepsilon>0$ ，都存在 $N\geqslant m$ 使得对于每个 $n\geqslant N$ 有 $a_n$ 是 $\varepsilon$ -接近于L的. 由定义6.1.5中实数列接近于某实数的定义知对于每个实数 $\varepsilon>0$ ，都存在 $N\geqslant m$ 使得序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ -接近于L的. 由定义6.1.5中实数列终极接近于某实数的定义知对于每个实数 $\varepsilon>0$ ，序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ -接近于L的. 由定义6.1.5实数列收敛的定义知 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到L. 故如果对于任何给定的 $\varepsilon>0$ 都能找到 $N\geqslant m$ 使得对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-L|\leqslant\varepsilon$ 那么 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到L.

综上我们有 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到L当且仅当对于任何给定的 $\varepsilon>0$ 都能找到 $N\geqslant m$ 使得对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-L|\leqslant\varepsilon$ .

6.1.3 证明：对任一给定的 $\varepsilon>0$ ，由 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到c和习题6.1.2知我们能找到 $N\geqslant m$ 使得对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-c|\leqslant\varepsilon$ . 现在定义 $N':=max\{N,m'\}$ ，则有 $N'\geqslant N$ 且 $N'\geqslant m'$ ，此时我们找到了 $N'\geqslant m'$ ，对于一切 $n\geqslant N'$ ，由 $N'\geqslant N$ 知 $n\geqslant N$ ，故有 $|a_n-c|\leqslant\varepsilon$ . 故 $(a_n)_{n=m'}^{\infty}$ 收敛到c.

对任一给定的 $\varepsilon>0$ ，由 $(a_n)_{n=m'}^{\infty}$ 收敛到c和习题6.1.2知我们能找到 $N\geqslant m'$ ，由 $m'\geqslant m$ 知此时 $N\geqslant m$ ，使得对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-c|\leqslant\varepsilon$ . 故 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到c.

综上，我们有 $(a_n)_{n=m'}^{\infty}$ 收敛到c当且仅当 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到c.

这个命题说明了一个实数列是否收敛与其前面连续的有限个的项都是无关的，即我们可以对一个收敛的实数列增加自然数个项在前头而不改变序列收敛的性质.

6.1.4 证明：我们用两种方式证明此命题.

证明一：首先证明一个小命题：序列 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 和序列 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 是实数列，令 $p:=m_2-m_1$ . 两序列满足对于 $\forall n\geqslant m_1$ 都有 $a_n=b_{n+p}$ . 这就说明了两序列本身是相同的序列，只是有相同或者不同的起始下标. 那么我们有 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 收敛到c当且仅当 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 收敛到c.

证明：对于任何实数 $\varepsilon>0$ ，由 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 收敛到c我们知道存在 $N\geqslant m_1$ ，使得对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-c|\leqslant\varepsilon$ . 则我们找到了 $N+p\geqslant m_1+p=m_2$ ，对一切 $n\geqslant N+p$ ，即 $n-p\geqslant N$ ，有 $|a_{n-p}-c|\leqslant\varepsilon$ . 即有 $N+p\geqslant m_2$ ，对一切 $n\geqslant N+p$ ，有 $|b_n-c|\leqslant\varepsilon$ . 故 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 收敛到c.

同理可证如果 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 收敛到c那么 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 收敛到c. 综上 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 收敛到c当且仅当 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 收敛到c.

现在我们要证明 $(a_{n+k})_{n=m}^{\infty}$ 和 $(a_n)_{n=m+k}^{\infty}$ 是起始下标不一样但序列本身一样的序列. 此时 $p:=(m+k)-m=k$ ，而对 $\forall n\geqslant m$ 都有 $a_{n+k}=a_{n+p}$ . 这就得证.

由上小命题我们知道 $(a_{n+k})_{n=m}^{\infty}$ 收敛到c当且仅当 $(a_n)_{n=m+k}^{\infty}$ 收敛到c；再由习题6.1.3我们知道 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到c当且仅当 $(a_n)_{n=m+k}^{\infty}$ 收敛到c. 综上我们知道 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到c当且仅当 $(a_{n+k})_{n=m}^{\infty}$ 收敛到c.

证明二：我们直接使用实数列收敛的概念也可以证明此命题.

对于任何实数 $\varepsilon>0$ ，由 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到c知存在 $N\geqslant m$ 使得对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-c|\leqslant\varepsilon$ . 故对一切 $n\geqslant N$ ，我们有 $n+k\geqslant n\geqslant N$ ，由上“对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-c|\leqslant\varepsilon$ ”知有 $|a_{n+k}-c|\leqslant\varepsilon$ . 综上，对于任何实数 $\varepsilon>0$ 都存在 $N\geqslant m$ 使得对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_{n+k}-c|\leqslant\varepsilon$ ，所以 $(a_{n+k})_{n=m}^{\infty}$ 收敛到c.

对于任何实数 $\varepsilon>0$ ，由 $(a_{n+k})_{n=m}^{\infty}$ 收敛到c我们知存在 $N\geqslant m$ 使得对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_{n+k}-c|\leqslant\varepsilon$ . 故存在 $N+k\geqslant m+k$ ，使得对于一切 $n\geqslant N+k$ ，则 $n-k\geqslant N$ ，由“对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_{n+k}-c|\leqslant\varepsilon$ ”知有 $|a_n-c|\leqslant\varepsilon$ . 综上，对于任何实数 $\varepsilon>0$ 都存在 $N+k\geqslant m+k$ 使得对于一切 $n\geqslant N+k$ 有 $|a_n-c|\leqslant\varepsilon$ . 所以实数列 $(a_n)_{n=m+k}^{\infty}$ 收敛到c，再由习题6.1.3知 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到c.

6.1.5 证明：现对任一实数 $\varepsilon>0$ ，有 $\frac{\varepsilon}{2}>0$ . 由 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是收敛的实数列知对 $\frac{\varepsilon}{2}>0$ ，存在 $N\geqslant m$ ，使得对于一切 $j,k\geqslant N$ 有 $|a_j-L|\leqslant \frac{\varepsilon}{2}$ 且 $|a_k-L|\leqslant \frac{\varepsilon}{2}$ ，即对于一切 $j,k\geqslant N$ 有 $L-\frac{\varepsilon}{2}\leqslant a_j\leqslant L+\frac{\varepsilon}{2}$ 且 $a_k-\frac{\varepsilon}{2}\leqslant L\leqslant a_k+\frac{\varepsilon}{2}$ . 两不等式综合起来我们可得 $a_k-\varepsilon\leqslant a_j\leqslant a_k+\varepsilon$ ，即 $|a_j-a_k|\leqslant\varepsilon$ . 综上对任一实数 $\varepsilon>0$ ，存在 $N\geqslant m$ ，使得对于一切 $j,k\geqslant N$ 有 $|a_j-a_k|\leqslant\varepsilon$ . 这样就证明了收敛的实数列是Cauchy序列.

6.1.6 证明：用反证法. 记 $L:=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n$ . 假设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 不收敛到L，由实数列收敛的定义我们知道存在一个实数 $\varepsilon>0$ 使得 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 不是终极 $\varepsilon$ -接近于L的，则不存在 $N\geqslant m$ 使得对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-L|\leqslant\varepsilon$ ，即对每个 $N\geqslant m$ 都存在 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-L|>\varepsilon$ . 由于 $\varepsilon>0$ ，则 $\frac{\varepsilon}{2}>0$ . 由 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是Cauchy序列我们知道存在 $N_a\geqslant m$ 使得对一切 $j,k\geqslant N_a$ 有 $|a_j-a_k|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$ . 由于 $N_a\geqslant m$ 故存在 $n_a\geqslant N_a$ 有 $|a_{n_a}-L|>\varepsilon$ . 综上对 $\varepsilon$ ，存在 $N_a\geqslant m$ 使得对一切 $j,k\geqslant N_a$ 有 $|a_j-a_k|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$ ，并且存在 $n_a\geqslant N_a$ 有 $|a_{n_a}-L|>\varepsilon$ . 由于 $n_a\geqslant N_a$ ，故对一切 $j\geqslant N_a$ 有 $|a_j-a_{n_a}|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$ ，即有 $a_{n_a}-\frac{\varepsilon}{2}\leqslant a_j\leqslant a_{n_a}+\frac{\varepsilon}{2}$ . 再由 $|a_{n_a}-L|>\varepsilon$ 我们知道 $a_{n_a}-L>\varepsilon$ 或者 $-a_{n_a}+L>\varepsilon$ ，即 $a_{n_a}>L+\varepsilon$ 或者 $a_{n_a}<L-\varepsilon$ . 对一切 $j\geqslant N_a$ ，如果 $a_{n_a}>L+\varepsilon$ ，那么我们有 $L+\frac{\varepsilon}{2}< a_{n_a}-\frac{\varepsilon}{2}\leqslant a_j$ ，即 $a_j>L+\frac{\varepsilon}{2}$ . 现在我们定义一个新的序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ :当 $m\leqslant n<N$ 时 $b_n:=L+\frac{\varepsilon}{2}$ ;当 $n\geqslant N$ 时 $b_n:=a_n$ . 这样，对于一切 $n\geqslant m$ 都有 $b_n\geqslant L+\frac{\varepsilon}{2}$ ，并且容易验证 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是等价的(即 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}b_n$ ). 由习题5.4.8的推广形式(即比例数序列的起始下标不是1，而用一个字母变量代替)知 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}b_n\geqslant L+\frac{\varepsilon}{2}$ ，即 $L=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n\geqslant L+\frac{\varepsilon}{2}$ ，由于 $\varepsilon>0$ ，所以这是不可能的. 同理可证另一种情况： $a_{n_a}<L-\varepsilon$ 也会出现矛盾. 这些矛盾说明我们的假设不能成立，故 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到L. 让我们细致分析一下这些矛盾说明什么. 通过这两个矛盾，我们知道陈述“存在实数 $\varepsilon$ ，存在 $N_a\geqslant m$ ，存在 $n_a\geqslant N_a$ 使得对于一切 $j\geqslant N_a$ 有 $|a_j-a_{n_a}|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$ 并且 $|a_{n_a}-L|>\varepsilon$ ”是假的，则其否定“对所有实数 $\varepsilon$ ，对所有 $N\geqslant m$ ，对所有 $n\geqslant N$ 存在 $j\geqslant N$ 有 $|a_j-a_n|>\frac{\varepsilon}{2}$ 或者 $|a_n-L|\leqslant\varepsilon$ ”是真的. 由 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是Cauchy序列我们知道有真陈述“对所有实数 $\varepsilon$ ，存在 $N_a\geqslant m$ 使得对一切 $n\geqslant N_a$ 对一切 $j\geqslant N$ 有 $|a_j-a_n|\leqslant \frac{\varepsilon}{2}$ ”，这说明对 $N_a$ 来说，只能是“对所有实数 $\varepsilon$ ，对 $N_a$ ，有对所有 $n\geqslant N_a$ 有 $|a_n-L|\leqslant\varepsilon$ ”是真的，这说明 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是收敛于L的.

6.1.7 证明：

定义5.1.12更一般的定义：一个比例数无限序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是以比例数 $M\geqslant 0$ 为界的，当且仅当对于一切 $i\geqslant m$ 有 $|a_i|\leqslant M$ . 一个比例数序列叫作是有界的，当且仅当对于某比例数 $M\geqslant 0$ 它是以M为界的.

定义5.1.12更一般的定义的推广：一个实数无限序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是以比例数 $M\geqslant 0$ 为界的，当且仅当对于一切 $i\geqslant m$ 有 $|a_i|\leqslant M$ . 一个实数序列叫作是有界的，当且仅当对于某比例数 $M\geqslant 0$ 它是以M为界的.

定义6.1.16：一个实数无限序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是以实数M为界的，当且仅当对于一切 $i\geqslant m$ 有 $|a_i|\leqslant M$ . 一个实数序列叫作是有界的，当且仅当对于某实数 $M>0$ 它是以M为界的.

很显然，定义5.1.12更一般的定义和定义5.1.12更一般的定义的推广是相容的. 显然定义5.1.12更一般的定义的推广和定义6.1.16在“实数无限序列以某比例数 $M\geqslant 0$ 为界”这个概念上是相容的；在“实数无限序列是有界的”这个概念上是等价的，因为如果某实数无限序列在定义5.1.12更一般的定义的推广的概念是有界的，即以某比例数 $M\geqslant 0$ 为界，那么其也是以实数 $M+1>0$ 为界的，即此实数无限序列在定义6.1.16下也是有界的. 如果某实数无限序列在定义6.1.16的概念下是有界的，即以某实数 $M>0$ 为界，那么其也是以比例数数 $[M]+1\geqslant 0$ ([M]为实数的整部，详见习题5.4.3)为界的，即此实数无限序列在定义5.1.12更一般的定义的推广下也是有界的.

6.1.8 证明：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 是分别收敛到实数x和y的实数列，即有 $x=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n$ 和 $y=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}b_n$ .

(a)对于任何给定的实数 $\varepsilon>0$ ，有 $\frac{\varepsilon}{2}>0$ ，由于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 都是收敛的实数列，那么存在整数 $N_1,N_2\geqslant m$ ，使得对于一切 $n\geqslant N_1$ 有 $|a_n-x|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$ 并且对于一切 $n\geqslant N_2$ 有 $|b_n-y|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$ . 取 $N:=max\{N_1,N_2\}$ ，那么对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-x|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$ 并且 $|b_n-y|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$ . 此时 $|(a_n+b_n)-(x+y)|=|(a_n-x)+(b_n-y)|\leqslant |a_n-x|+|b_n-y|\leqslant\varepsilon$ . 这说明 $(a_n+b_n)_{n=m}^{\infty}$ 也是收敛的实数列并且收敛到x+y，故 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n+\lim_{n\rightarrow\infty}b_n$ .

(b)由推论6.1.17知 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是有界的，即存在 $M>0$ 使得对于每个 $i\geqslant m$ 有 $|a_i|\leqslant M$ .

对于任何给定的实数 $\varepsilon>0$ ，我们有 $\frac{\varepsilon}{2|y|+2}>0$ 且 $\frac{\varepsilon}{2M}>0$ . 由于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 都是收敛的实数列，那么存在整数 $N_1,N_2\geqslant m$ ，使得对于一切 $n\geqslant N_1$ 有 $|a_n-x|\leqslant\frac{\varepsilon}{2|y|+2}$ 并且对于一切 $n\geqslant N_2$ 有 $|b_n-y|\leqslant\frac{\varepsilon}{2M}$ . 取 $N:=max\{N_1,N_2\}$ ，那么对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-x|\leqslant\frac{\varepsilon}{2|y|+2}$ 并且 $|b_n-y|\leqslant\frac{\varepsilon}{2M}$ . 此时

$|a_nb_n-xy|=|a_nb_n-a_ny+a_ny-xy|=|a_n(b_n-y)+y(a_n-x)|\\\leqslant |a_n||b_n-y|+|y||a_n-x|\leqslant |a_n||b_n-y|+(|y|+1)|a_n-x|\\\leqslant M\frac{\varepsilon}{2M}+(|y|+1)\frac{\varepsilon}{2|y|+2}=\varepsilon$

故 $(a_nb_n)_{n=m}^{\infty}$ 也是收敛的实数列并且收敛到xy，故 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(a_nb_n)=(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n)(\lim_{n\rightarrow\infty}b_n)$ .

(c)我们先来证明，对任意实数c，实数列 $(c)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到c，即 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}c=c$ . 对任一实数 $\varepsilon>0$ ，我们总能找到 $N=m$ ，使得对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|c-c|=0<\varepsilon$ . 这就得证.

由(b)我们知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(ca_n)=(\lim_{n\rightarrow\infty}c)(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n)=c\lim_{n\rightarrow\infty}a_n$ ，即序列 $(ca_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到cx.

(d)由(a)和(c)我们知道

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n-b_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n+(-b_n))=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n+\lim_{n\rightarrow\infty}(-b_n)=x+(-y)=x-y$ ，即序列 $(a_n-b_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到x-y.

(e)我们先证明任何其项非零而收敛到非零极限的实数列是限制离开零的.

为证此事，我们先推广一下定义5.3.12使之适用有限序列. 有限序列 $a_m,a_{m+1},...,a_{m+p}$ 叫作是限制离开零的，当且仅当存在正实数 $c>0$ ，对一切 $m\leqslant n\leqslant m+p$ 都有 $|a_n|\geqslant c$ .

其项非零的有限实数列 $a_0,a_1,...,a_p$ 是限制离开零的.

证明：我们对p进行归纳. 当 $p=0$ 时，序列 $a_0$ 显然是限制离开零的，因为 $a_0\neq 0$ ，则 $|a_0|\neq 0$ ，进一步 $|a_0|\geqslant |a_0|>0$ . 归纳假设我们已对某 $p\geqslant 0$ 证明其项非零的有限实数列 $a_0,a_1,...,a_p$ 是限制离开零的，即存在正实数 $c>0$ ，对一切 $0\leqslant n\leqslant p$ 都有 $|a_n|\geqslant c$ . 那么对p+1来说，对其项非零的有限实数列 $a_0,a_1,...,a_p,a_{p+1}$ ，我们取 $c':=min\{c,|a_{p+1}|\}$ ，由于 $c>0$ 且 $|a_{p+1}|>0$ ，则 $c'>0$ . 此时对一切 $0\leqslant n\leqslant p$ 都有 $|a_n|\geqslant c\geqslant c'>0$ ，并且 $|a_{p+1}|\geqslant c'>0$ . 故对一切 $0\leqslant n\leqslant p+1$ 都有 $|a_n|\geqslant c'>0$ ，故其项非零的有限实数列 $a_0,a_1,...,a_p,a_{p+1}$ 其也是限制离开零的，这就完成了归纳，所以其项非零的有限实数列 $a_0,a_1,...,a_p$ 是限制离开零的.

以上证明说明了起始下标为0(或者说是某自然数)的其项非零的有限实数列是限制离开零的. 下面的证明将说明一个有限实数列是否是限制离开零的与起始下标是无关的.

对有限实序列 $a_m,a_{m+1},...,a_{m+p}$ 和有限实序列 $b_n,b_{n+1},...,b_{n+p}$ ，其满足对一切 $m\leqslant i\leqslant m+p$ 都有 $a_i=b_{i+(n-m)}$ . (这说明两序列本身是相同的序列，只是起始下标可能不一样.) 那么我们有 $a_m,a_{m+1},...,a_{m+p}$ 是限制离开零的当且仅当 $b_n,b_{n+1},...,b_{n+p}$ 是限制离开零的.

证明：由于 $a_m,a_{m+1},...,a_{m+p}$ 是限制离开零的，故存在实数 $c>0$ 使得对一切 $m\leqslant i\leqslant m+p$ 有 $|a_i|\geqslant c>0$ . 对于任一 $n\leqslant i\leqslant n+p$ ，我们有 $m\leqslant i+(m-n)\leqslant m+p$ ，故 $|a_{i+(m-n)}|\geqslant c>0$ . 再由 $a_i=b_{i+(n-m)}$ 我们知道 $|b_i|\geqslant c>0$ ，故 $b_n,b_{n+1},...,b_{n+p}$ 也是限制离开零的. 同理可证如果 $b_n,b_{n+1},...,b_{n+p}$ 是限制离开零的那么 $a_m,a_{m+1},...,a_{m+p}$ 是限制离开零的.

综上我们有 $a_m,a_{m+1},...,a_{m+p}$ 是限制离开零的当且仅当 $b_n,b_{n+1},...,b_{n+p}$ 是限制离开零的.

到这我们知道项非零的有限实数列 $a_m,a_{m+1},...,a_{m+p}$ 是限制离开零的.

已知收敛到非零实数的实数列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ ，满足对一切 $n\geqslant m$ 有 $a_n\neq 0$ . 我们记 $\displaystyle L:=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\neq 0$ . 现在证其是限制离开零的.

由于 $L\neq 0$ ，则 $|L|\neq 0$ ，进一步 $\frac{|L|}{2}>0$ . 由于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是收敛数列，那么存在 $N\geqslant m$ 使得对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-L|\leqslant\frac{|L|}{2}$ ，即有 $-|a_n-L|\geqslant -\frac{|L|}{2}$ . 此时对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n|\geqslant |L|-|a_n-L|\geqslant |L|-\frac{|L|}{2}=\frac{|L|}{2}>0$ . 序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 开头的那一部分 $a_m,a_{m+1},...,a_N$ 由条件对一切 $n\geqslant m$ 有 $a_n\neq 0$ 知其为其项非零的有限序列，由上论证我们知道其也是限制离开零的，即存在实数 $c>0$ 使得对一切 $m\leqslant n\leqslant N$ 有 $|a_n|\geqslant c$ . 现取 $c':=min\{c,\frac{|L|}{2}\}>0$ ，那么对一切 $n\geqslant m$ 有 $|a_n|\geqslant c'>0$ . 故其项非零而收敛到非零实数的实数列是限制离开零的.

现在我们终于可以证(e)了.

由题设我们知道 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 是限制离开零的，即存在实数 $c>0$ 使得对一切 $n\geqslant m$ 有 $|b_n|\geqslant c>0$ ，即有 $0<|b_n|^{-1}\leqslant c^{-1}$ .

对任一 $\varepsilon>0$ ，有 $\varepsilon c|y|>0$ ，由 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 是收敛的知存在 $N\geqslant m$ 使得对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|b_n-y|\leqslant\varepsilon c|y|$ . 此时 $|b_n^{-1}-y^{-1}|=|\frac{y-b_n}{b_ny}|=|y-b_n||b_n|^{-1}|y|^{-1}\leqslant |y-b_n|c^{-1}|y|^{-1}\leqslant \varepsilon c|y|c^{-1}|y|^{-1}=\varepsilon$ . 故序列 $(b_n^{-1})_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $y^{-1}$ ，即 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}b_n^{-1}=(\lim_{n\rightarrow\infty}b_n)^{-1}$ .

(f)由(b)和(e)我们知

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}(a_nb_n^{-1})=(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n)(\lim_{n\rightarrow\infty}b_n^{-1})=(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n)(\lim_{n\rightarrow\infty}b_n)^{-1}=\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}$ ，即 $(\frac{a_n}{b_n})_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $\frac{x}{y}$ .

(g)我们先证明一个小命题：如果 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 是等价的序列(用到了习题6.1.10定义的等价的序列，但注意这不是循环论证，因为习题6.1.10的证明是独立于(g)的)，那么 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数L当且仅当 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数L.

证明：对于任一实数 $\varepsilon>0$ ，有 $\frac{\varepsilon}{2}>0$ ，由 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 是等价的序列，则存在 $N_1\geqslant m$ 使得对于一切 $n\geqslant N_1$ 有 $|a_n-b_n|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$ . 由于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数L，则存在 $N_2\geqslant m$ 使得对于一切 $n\geqslant N_2$ 有 $|a_n-L|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$ . 取 $N:=max\{N_1,N_2\}$ ，则对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-b_n|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$ 并且 $|a_n-L|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$ . 此时 $|b_n-L|=|b_n-a_n+a_n-L|\leqslant|b_n-a_n|+|a_n-L|\leqslant\varepsilon$ . 故 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 也收敛到实数L. 同理可证如果 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数L那么 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数L.

综上，我们有如果 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 是等价的序列，那么 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数L当且仅当 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数L.

现在我们来证明(g).

由实数的三歧性我们知 $x>y,x=y,x<y$ 三者之一成立.

若 $x>y$ ，则此时 $max(x,y)=x$ ，现在我们证明 $(max(a_n,b_n))_{n=m}^{\infty}$ 与 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是等价的序列.

由于 $x>y$ ，则 $x-y>0$ ，进一步 $\frac{|x-y|}{3}>0$ ，由于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数x，则存在 $N_1\geqslant m$ 使得对于一切 $n\geqslant N_1$ 有 $|a_n-x|\leqslant\frac{|x-y|}{3}$ ，即有 $x-\frac{|x-y|}{3}\leqslant a_n\leqslant x+\frac{|x-y|}{3}$ . 同理由 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数y，则存在 $N_2\geqslant m$ 使得对于一切 $n\geqslant N_2$ 有 $|b_n-y|\leqslant\frac{|x-y|}{3}$ ，即有 $y-\frac{|x-y|}{3}\leqslant b_n\leqslant y+\frac{|x-y|}{3}$ . 我们取 $N:=max\{N_1,N_2\}$ ，则对一切 $n\geqslant N$ 有 $x-\frac{|x-y|}{3}\leqslant a_n$ 且 $b_n\leqslant y+\frac{|x-y|}{3}$ . 由于 $x>y$ ，则 $x-y=|x-y|>\frac{2|x-y|}{3}>0$ ，即 $x-\frac{|x-y|}{3}>y+\frac{|x-y|}{3}$ ，这就说明对一切 $n\geqslant N$ 有 $b_n\leqslant y+\frac{|x-y|}{3}<x-\frac{|x-y|}{3}\leqslant a_n$ ，故此时 $max(a_n,b_n)=a_n$ . 则我们找到了N使得对一切 $n\geqslant N$ 有 $max(a_n,b_n)=a_n$ . 故对于任一实数 $\varepsilon>0$ ，存在 $N\geqslant m$ 使得对一切 $n\geqslant N$ 有 $|max(a_n,b_n)-a_n|=|a_n-a_n|=0<\varepsilon$ ，故 $(max(a_n,b_n))_{n=m}^{\infty}$ 与 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是等价的序列.

由于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数x，由上面小命题我们知道 $(max(a_n,b_n))_{n=m}^{\infty}$ 也收敛到实数x. 由于 $max(x,y)=x$ ，即 $(max(a_n,b_n))_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数 $max(x,y)$ . 所以 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}max(a_n,b_n)=max(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n,\lim_{n\rightarrow\infty}b_n)$ .

当 $x<y$ 同理可证有 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}max(a_n,b_n)=max(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n,\lim_{n\rightarrow\infty}b_n)$ .

当 $x=y$ 时，对于任一实数 $\varepsilon>0$ ，由 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 是收敛的序列，则存在 $N_1\geqslant m$ 使得对于一切 $n\geqslant N_1$ 有 $|a_n-x|\leqslant\varepsilon$ 并且则存在 $N_2\geqslant m$ 使得对于一切 $n\geqslant N_2$ 有 $|b_n-y|\leqslant\varepsilon$ . 取 $N:=max\{N_1,N_2\}$ ，则对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-x|\leqslant\varepsilon$ 并且 $|b_n-y|\leqslant\varepsilon$ . 而对 $|max(a_n,b_n)-max(x,y)|$ 的运算结果不是 $|a_n-x|$ 就是 $|b_n-y|$ ，但这两种结果在 $n\geqslant N$ 都是小于或等于 $\varepsilon$ 的，即在 $n\geqslant N$ 时 $|max(a_n,b_n)-max(x,y)|\leqslant\varepsilon$ ，故 $(max(a_n,b_n))_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数 $max(x,y)$ . 所以 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}max(a_n,b_n)=max(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n,\lim_{n\rightarrow\infty}b_n)$ .

(h)同理如(g)可证 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}min(a_n,b_n)=min(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n,\lim_{n\rightarrow\infty}b_n)$ .

6.1.9 从等式右边看，我们知道当 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 的极限为0时，显然其极限 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=0$ 是不能作为分母的，因为我们没有定义0的倒数.(详见书P88倒数第四行开始的一段话，即0没有逆元). 从等式左边看，如果 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 的极限为0时，我们可以证明 $(\frac{1}{b_n})_{n=m}^{\infty}$ 不是有极限的序列，所以等式左边的序列也可能是没有极限的. 这样等式是错误的数学表达式.

命题：如果 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 是项非零而序列极限为零的实数列，那么 $(b_n^{-1})_{n=m}^{\infty}$ 不是收敛的实数列.

用反证法. 假设 $(b_n^{-1})_{n=m}^{\infty}$ 是收敛的实数列. 由推论6.1.17知其是有界的，即存在实数 $M>0$ ，使得对于一切 $n\geqslant m$ 有 $|b_n^{-1}| = |b_n|^{-1}\leqslant M$ .

对 $M>0$ ，有 $\frac{1}{M+1}>0$ ，由于 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 的极限为零，那么存在 $N\geqslant m$ 使得对于一切 $n\geqslant N$ 有 $0<|b_n-0|=|b_n|\leqslant\frac{1}{M+1}$ ，即有 $|b_n|^{-1}\geqslant M+1>0$ .

则我们得到了“对于一切 $n\geqslant m$ 有 $|b_n|^{-1} \leqslant M$ ”和“对于一切 $n\geqslant N\geqslant m$ 有 $|b_n|^{-1}\geqslant M+1$ ”，这显然是个矛盾，故假设不成立，故如果 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 是项非零而序列极限为零的实数列，那么 $(b_n^{-1})_{n=m}^{\infty}$ 不是收敛的实数列.

6.1.10 定义5.2.6(等价的序列)：两序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是等价的当且仅当对于每个比例数 $\varepsilon>0$ 都存在 $N\geqslant 0$ 使得对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-b_n|\leqslant\varepsilon$ .

定义5.2.6更一般定义：两序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 是等价的当且仅当对于每个比例数 $\varepsilon>0$ 都存在 $N\geqslant m$ 使得对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-b_n|\leqslant\varepsilon$ .

新定义：两序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 是等价的当且仅当对于每个实数 $\varepsilon>0$ 都存在 $N\geqslant m$ 使得对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-b_n|\leqslant\varepsilon$ .

现在来证明定义5.2.6更一般定义和新定义的等价性.

证明：如果实数列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 在新定义的意义下是等价的，那么对于每个实数 $\varepsilon>0$ 序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 都是终极 $\varepsilon$ -接近的，那么显然对于每个比例数 $\varepsilon>0$ 序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 都是终极 $\varepsilon$ -接近的，所以此时两序列也是在定义5.2.6更一般定义的意义下是等价的.

对每个实数 $\varepsilon>0$ ，由命题5.4.14知存在一个比例数 $\varepsilon'>0$ 其比 $\varepsilon$ 小. 如果实数列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 在定义5.2.6更一般定义的意义下是等价的，那么两序列是终极 $\varepsilon'$ -接近的，进而也是终极 $\varepsilon$ -接近的. 所以两序列在新定义下也是等价的.

一点补充：我们当然可以把定义5.2.1、定义5.2.3推广，使对实数 $\varepsilon>0$ 也可以谈两序列 $\varepsilon$ -接近性和终极 $\varepsilon$ -接近性. 并且容易验证它们是相容的.

还有可以证明两序列序列是否具有 $\varepsilon$ -接近性和终极 $\varepsilon$ -接近性和等价与起始下标的选择是无关的.

文内补充

1.当我们在谈数学上的相容时是在谈什么？

我们说某新定义是和旧定义是相容的，是指它们是无矛盾的. 就运算来说，要求两个相容的运算定义对相同的运算对象给出的运算结果是相等的；就概念来说，其要求每个相关对象在旧概念下的真假与新概念下的真假是一致的. 即每个相关对象如果在旧概念下是真的那么在新概念下也是真的，并且每个相关对象如果在旧概念下是假的那么在新概念下也是假的. 也即每个相关对象如果在旧概念下是真的那么在新概念下也是真的，并且每个相关对象如果在新概念下是真的那么在旧概念下也是真的.

2.定义6.1.1和定义4.3.2是相容的，定义6.1.2和定义4.3.4是相容的.

定义6.1.1和定义4.3.2都是定义了距离运算，可以看到它们定义的形式都是 $d(x,y):=|x-y|$ . 由于比例数也是实数，所以对两个比例数x,y定义4.3.2和定义6.1.1给出的结果都是一样的，都为 $|x-y|$ ，所以定义6.1.1对于定义4.3.2是相容的.

定义6.1.2和定义4.3.4都定义了 $\varepsilon$ -接近性的概念，定义6.1.2是定义4.3.4的扩展. 对于任何比例数 $\varepsilon,x,y$ ，如果在定义4.3.4下x和y是 $\varepsilon$ 接近的，即有 $d(x,y)\leqslant\varepsilon$ ，由于比例数也是实数，那么由 $d(x,y)\leqslant\varepsilon$ 知在定义6.1.2下x和y也是 $\varepsilon$ 接近的；同理，如果在定义6.1.2下x和y是 $\varepsilon$ 接近的那么在定义4.3.4下x和y也是 $\varepsilon$ 接近的. 这样就说明了定义6.1.2对于定义4.3.4是相容的.

3.定义6.1.3中定义的 $\varepsilon$ -稳定性和定义5.1.3、定义6.1.3中定义的终极 $\varepsilon$ -稳定性和定义5.1.6、定义6.1.3中定义的Cauchy序列和定义5.1.8都是相容的.

定义5.1.3、定义5.1.6和定义5.1.8都只是对起始下标为0的序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 分别作了 $\varepsilon$ -稳定性、终极 $\varepsilon$ -稳定性和Cauchy序列的定义，但正如前面博客§5.1解答中文内补充第5条说明的那样，其有更一般化的定义，即把起始下标看成整数变量的概念定义. 我们要验证定义6.1.3中定义的 $\varepsilon$ -稳定性和定义5.1.3、定义6.1.3中定义的终极 $\varepsilon$ -稳定性和定义5.1.6、定义6.1.3中定义的Cauchy序列和定义5.1.8的相容性，是要验证起始下标相同但不指定的序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ ，而不是起始下标确定的序列如 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ ，即序列的起始下标是一个变量.

定义6.1.3中定义的 $\varepsilon$ -稳定性和定义5.1.3的相容性.

定义5.1.3：对于比例数 $\varepsilon>0$ ，一个比例数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 叫作是 $\varepsilon$ -稳定的，当且仅当对一切 $j,k\geqslant m$ 都有 $|a_j-a_k|\leqslant\varepsilon$ .

我们把定义5.1.3推广一下，使其也适用于实数列.

定义5.1.3推广：对于比例数 $\varepsilon>0$ ，一个实数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 叫作是 $\varepsilon$ -稳定的，当且仅当对一切 $j,k\geqslant m$ 都有 $|a_j-a_k|\leqslant\varepsilon$ .

定义6.1.3：对于实数 $\varepsilon>0$ ，一个实数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 叫作是 $\varepsilon$ -稳定的，当且仅当对一切 $j,k\geqslant m$ 都有 $|a_j-a_k|\leqslant\varepsilon$ .

我们先验证定义5.1.3和定义5.1.3推广是相容的，即对于每个比例数 $\varepsilon>0$ ，比例数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 在定义5.1.3意义下是 $\varepsilon$ -稳定的当且仅当在定义5.1.3推广意义下也是 $\varepsilon$ -稳定的.

对任一比例数 $\varepsilon>0$ ，如果比例数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 在定义5.1.3意义下是 $\varepsilon$ -稳定的，即对一切 $j,k\geqslant m$ 都有 $|a_j-a_k|\leqslant\varepsilon$ ，很明显其在定义5.1.3推广意义下也是 $\varepsilon$ -稳定的. 同理可证如果比例数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 在定义5.1.3推广意义下是 $\varepsilon$ -稳定的那么其在定义5.1.3意义下也是 $\varepsilon$ -稳定的. 这样就验证了两定义的相容性.

我们再来验证定义5.1.3推广和定义6.1.3的相容性.

对任一比例数 $\varepsilon>0$ ，如果实数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 在定义5.1.3推广意义下是 $\varepsilon$ -稳定的，即对一切 $j,k\geqslant m$ 都有 $|a_j-a_k|\leqslant\varepsilon$ ，很明显其在定义6.1.3意义下也是 $\varepsilon$ -稳定的. 同理可证如果实数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 在定义6.1.3意义下是 $\varepsilon$ -稳定的那么其在定义5.1.3推广意义下也是 $\varepsilon$ -稳定的. 这样就验证了两定义的相容性.

所以定义5.1.3和定义6.1.3也是相容的. 我们当然可以直接验证定义5.1.3和定义6.1.3的相容性，但为了看清楚概念之间的演化，我们不这样做.

定义6.1.3中定义的终极 $\varepsilon$ -稳定性和定义5.1.6的相容性.

定义5.1.6：对于比例数 $\varepsilon>0$ ，一个比例数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 叫作是终极 $\varepsilon$ -稳定的，当且仅当存在整数 $N\geqslant m$ 使得对一切 $j,k\geqslant N$ 都有 $|a_j-a_k|\leqslant\varepsilon$ .

定义5.1.6推广：对于比例数 $\varepsilon>0$ ，一个实数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 叫作是终极 $\varepsilon$ -稳定的，当且仅当存在整数 $N\geqslant m$ 使得对一切 $j,k\geqslant N$ 都有 $|a_j-a_k|\leqslant\varepsilon$ .

定义6.1.3：对于实数 $\varepsilon>0$ ，一个实数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 叫作是终极 $\varepsilon$ -稳定的，当且仅当存在整数 $N\geqslant m$ 使得对一切 $j,k\geqslant N$ 都有 $|a_j-a_k|\leqslant\varepsilon$ .

同理我们容易验证三个概念都是相容的.

定义6.1.3中定义的Cauchy序列和定义5.1.8的相容性.

定义5.1.8：一个比例数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 叫作是Cauchy序列，当且仅当对每个比例数 $\varepsilon>0$ ，都存在整数 $N\geqslant m$ 使得对一切 $j,k\geqslant N$ 都有 $|a_j-a_k|\leqslant\varepsilon$ .

定义5.1.8推广：一个实数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 叫作是Cauchy序列，当且仅当对每个比例数 $\varepsilon>0$ ，都存在整数 $N\geqslant m$ 使得对一切 $j,k\geqslant N$ 都有 $|a_j-a_k|\leqslant\varepsilon$ .

定义6.1.3：一个实数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 叫作是Cauchy序列，当且仅当对每个实数 $\varepsilon>0$ ，都存在整数 $N\geqslant m$ 使得对一切 $j,k\geqslant N$ 都有 $|a_j-a_k|\leqslant\varepsilon$ .

命题6.1.4就是直接验证定义5.1.8和定义定义6.1.3的相容性，当然我们也可以先验证定义5.1.8和定义5.1.8推广的相容性，再验证定义5.1.8推广和定义6.1.3的等价性(证明过程与命题6.1.4一样)，最后得出定义5.1.8和定义定义6.1.3是相容的结论.

就这样，我们完成了定义6.1.3中定义的 $\varepsilon$ -稳定性和定义5.1.3、定义6.1.3中定义的终极 $\varepsilon$ -稳定性和定义5.1.6、定义6.1.3中定义的Cauchy序列和定义5.1.8相容性的验证，我们可以使用新的定义，同样也可以使用旧的定义.

4.定义6.1.16和定义5.1.12是相容的，详见习题6.1.7.

《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§6.1解答

习题6.1

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