习题解答阅读提醒

本人在学习《陶哲轩实分析》的过程中苦于没有完整的参考解答，于是萌生了自己写一个解答，一来为自己的学习做一个记录，另一方面方便其他同学习本书的书友.

本习题解答是基于人民邮电出版社2008年11月第1版的《陶哲轩实分析》写成的，所以解答的习题只包含上面提到的版本，不包括任何英文版和中文第三版(因为第二和第三版的英文版以及中文第三版增加了一些习题，并且某些习题表述的相似但不相同). 在写本习题解答的过程中，我尽量做到严谨和详实，若有人发现任何错误或纰漏，欢迎留言指出，我十分感激.

最后感谢给我写成本习题解答提供了帮助的网友，他们的解答地址如下，大家也可以去参考：

liyuanbhu：https://blog.csdn.net/liyuanbhu/column/info/analysis-terencetao(这个解答并不完整，只有前面几章的内容)

城南讲马堂：https://christangdt.home.blog/analysis/analysis-tenrece-tao-3rd-ed/(这个解答很完整)

勘误

本勘误是对人民邮电出版社2008年11月第1版的《陶哲轩实分析》的勘误，不是其他版本的勘误. 主要参考下面的几个勘误链接，以及自己发现的错误.

中文版官方勘误详见：http://www.ituring.com.cn/book/420#gotocomment

陶哲轩本人博客的英文版勘误：

Analysis I——https://terrytao.wordpress.com/books/analysis-i/

Analysis II——https://terrytao.wordpress.com/books/analysis-ii/

P5:出于教学原因，例1.2.4中第二个变量替换 $x=\frac{\pi}{2}-z$ 改为 $\frac{\pi}{2}+z$ 更好.
P13:章节2.1中，人名“Guiseppe Peano”应为“Giuseppe Peano”.
P14:定义2.1.3，添加“此约定实际上是过分简化. 要了解如何正确地将数字的常规十进制表示法与Peano公理指定的自然数合并，请参阅附录B.”.
P15:例2.1.7中最后的括号，“6=1”应为“6=2”.
P16:在注脚中，补上“反之，如果我们有n = m，那么我们可以推论n++ = m++; 这是因为替代公理应用于操作++（请参阅附录A.7）.”. 由此可以证明关于自然数的加法、乘法、序等满足替代公理. 值得注意的是，我们并没有定义自然数的相等，因为我们对自然数的处理是公理化的，因此当我们讨论两自然数相等时，就是说其是同一个数，无区别的. 我们当然可以给自然数的相等一个定义，只要我们给出其模型（比如从集合论出发构造自然数的一个模型）. 此时操作++的替代公理是可以证明的. 这当然无聊的，我想表达的是，当我们定义某对象的相等时，重要的是其是等价关系，最后的代入公理是帮助我们抛弃对象的具体模型，而进行抽象的思考；但实际上我们寻找数学对象的具体模型时、总要验证这个模型对于此对象上的运算等满足代入公理. 一句话总结：当我们将数学对象公理化处理而抛弃具体模型时，相等无需定义（集合论是个例外，集合的相等由外延公理保证），相等要求的四条公理默认自动成立；当我们给出数学对象的具体模型时，相等是定义出来的，相等要求的四条公理需要逐一证明.
P17:“命题2.1.11”改为“命题模板2.1.11”.
P17:注2.1.12，“罗马数系{O,I,II,III,IV,…}”改为“罗马数系{O,I,II,III,IV,…}(罗马数系被扩大通过加入一个数字0的符号O)”.
P22:命题2.2.8中，“a是正的而”应为“a是正的自然数而”.
P22:引理2.2.10中的第一个字母b应为a.
P23:习题2.2.5中的提示，“ $n<m_0$ ”应为“ $n\leqslant m_0$ ”.
P25:定义2.3.11，添加备注“特别是，我们将 $0^0$ 定义为等于1.”.
P26:例3.1.2，“并非一切对象都是集合”应该理解成“一切对象都是集合这种事实不是必然的”.
P27:定义3.1.4应改为公理(外延公理)的状态，而不是定义，并相应地更改对该定义的所有引用，即对讨论这个定义的文本进行一些修改。比如，在前一段中，“定义相等的概念”现在将是“寻求捕获相等的概念”，而“将这个定义正式化”应该是“将这个公理正式化”. 对例3.1.5后的一段，删掉前两个句子，然后从第三个句子中移除掉句首的“那么”. 于是习题3.1.1现在是平凡的并且可以被删掉.
P28:公理3.2中，空集符号“ $\emptyset$ ”比“ $\varnothing$ ”好. 本书的所有空集符号都有此问题.
P35:习题3.1.1中“(3.1.4)”应为“定义3.1.4”.
P35:习题3.1.2应该允许使用公理3.1.
P37:公理3.9，“与A不同的”应为“与A不交的”.
P40:注3.3.6中，“函数不是集合”应该是“函数不一定是集合”；同样的，“集合不是函数”也应该是“集合不一定是函数”. 在“完全地描述了函数”之后，添加“一旦指定域X和范围Y”.
P40:定义3.3.7中，添加“两个函数 $f: X \to Y$ 和 $g: X' \to Y'$ 被认为是不相等的，如果它们有不同的定义域 $X \neq X'$ 或不同的值域 $Y \neq Y'$ (或两者都有)”.
P40:例3.3.9下面一句，“相等这个概念遵从常用的公理(习题3.3.1)”这一段应改为“定义3.3.7与附录A.7中的相等公理是否相容，目前还不是很明显，虽然下面的练习3.3.1提供了这种相容的证据. 至少有三种方法可以解决这个问题. 一是将定义3.3.7视为关于函数相等的公理，而不是定义. 另一种方法是对函数进行更明确的定义，使定义3.3.7成为定理；例如，你可以定义函数 $f:X\rightarrow Y$ 是定义域X、值域Y和遵循垂线判别法的图 $G = \{(x, f (x)): x\in X\}$ 组成的一个有序三元组(X, Y, G)，然后使用这个图来定义定义域中每个元素x的函数值 $f(x) \in Y$ (参见习题3.5.10). 第三种方法是从一个没有任何函数的数学宇宙 ${\mathcal U}$ 开始，使用定义3.3.7创建这个宇宙的更大扩展，其中包含符合定义3.3.7的函数对象. 然而，最后的方法需要多一点的逻辑的形式主义和模型理论知识，所以这里就不详细介绍了. ”.
P42:定义3.3.17，“f(X)=Y当且仅当函数 $f:X\rightarrow Y$ 为满射”可以移到下一节，因为下一节才定义函数的前象.
P43:例3.3.22，“公理2.2~2.4”应为“公理2.4和引理2.2.10”.
P43:习题3.3.1，添加“当然，这些命题可以从附录A.7中的相等公理用于函数直接得到，但是本习题的目的是表明可以从函数定义域、值域中的元素遵从相等公理来建立函数相等遵从相等公理”.
P46:引理3.4.9，“那么集合…是一个集合.”应理解为“那么有一个独一无二的形如…集合. 更具体的说，存在一个集合A使得对于任何对象Y， $Y\in A$ 当且仅当Y是X的子集.”.
P47:公式(3.2)向下数第二行，“它们是贴有标签 $\alpha\in A$ 的”，应为“它们是贴有标签 $\alpha\in I$ 的”；第二段第二行，“给定任意一个非空的集合”，应说明是“集合I”；注3.4.12第二行，“Ermest”应为“Ernst”.
P48:习题3.4.8，公理3.1也应该允许被使用.
P48:习题3.4.10第三行的公式下标，“ $I\cap J$ ”改为“ $I\cup J$ ”.
P50:注3.5.8，如果要使用习题3.5.2中定义的有序n元组的定义(必须将函数限制为满射)，则注3.5.8中给出的笛卡尔乘积的集合构造是不太正确的. 由于评注的正确版本是习题3.5.2的一部分，因此应将评注的第二句改为提及习题3.5.2.
P51:第二行“或两个变元 $x\in X_1$ , ”应为“或两个变元 $x_1\in X_1$ , ”.
P51:注3.5.10，“ $x_1, ... , x_n$ ”应改为“ $(x_1, ... , x_n)$ ”.
P51:引理3.5.12的证明结尾，“对于一切 $1\leqslant i\leqslant n$ 成立，从而完成了”应改为“对于一切 $1\leqslant i\leqslant n++$ 成立，从而完成了”.
P52:习题3.5.7，“ $h=f\oplus g$ ”最好改为“ $f=(f, g)$ ”.
P53:习题3.5.12， “ $a_N(n++)=f(n,a(n))$ ”应为“ $a_N(n++)=f(n,a_N(n))$ ”. 在第一个句子后面添加“让X成为任意集合”，并让f成为从 ${\mathbf N}\times X$ 到X的函数，而不是从 ${\mathbf N}\times {\mathbf N}$ 到 ${\mathbf N}$ 的函数. 函数a也做类似改变. 这种概括将有助于解决练习3.5.13.
P55:在引理3.6.9后，添加如下说明：“严格来说，表达式 $n-1$ 还未曾定义. 为了此引理的目的，我们暂时定义其为使得 $m++=n$ 成立的那个唯一的自然数(存在性和唯一性由引理2.2.10保证).”.
P55:命题3.6.8的证明，第三行“根据命题3.6.4”应为“根据引理3.6.9”.
P58:在习题3.6.8中，应该加入A非空的附加假设.
P65:在注脚中，“b为零的话”应为“b为零和a为非零的话”；在第一句后添加一句“相似地，恒等式 $\frac{a}{a}=1$ 和 $2\times \frac{a}{a}=\frac{2a}{a}$ 不能同时成立如果 $\frac{0}{0}$ 被定义.”.
P68:在第一段前我们增加一段：“以类似的精神，我们用公式x-y:=x+(-y)定义有理数的减法，就像处理整数时一样”.
P69:习题4.2.1，“使用推论2.3.7”应为“推论4.1.9”.
P70:定义4.3.4，“设 $\varepsilon>0$ ”应改为“设比例数 $\varepsilon>0$ ”.
P71:在命题4.3.7后和注4.3.8前，增加一段“我们很容易扩展到 $\varepsilon, \delta=0$ 的情形.”.
P71:定义4.3.9在最后加上“特别地，我们有 $0^0=1$ ”.
P71:命题4.3.10(b)，应该假定n>0.
P72:4.4节，第一段“整数也在有理数中”改为“整数也在比例数中”比较好.
p73:命题4.4.4证明倒数第二段，“解的的值”应为“解的值”.
P75:第一个脚注，“德文的数”应改为“德文的“数(复数形式)””.
P76:定义5.1.1，“更正式地说”应为“更不正式地说”.
P77:定义5.1.3，“设 $\varepsilon>0$ ”最好为“设比例数 $\varepsilon>0$ ”. 但是正如注5.1.4、注5.1.9、注5.2.7的说明一样这件事不太重要. 故对定义5.1.6、定义5.2.1、定义5.2.3等不再说明此事.
P77:定义5.1.6，“ $d(a_j, a_k)$ ”最好改成“ $|a_j-a_k|$ ”，这是为了与后来的定义保持一致.
P78:定义5.1.8，“ $d(a_j, a_k)$ ”最好改成“ $|a_j-a_k|$ ”，这是为了与后来的定义保持一致.
P78:注5.1.9，“命题6.4.1”应为“命题6.1.4”.
P79:定义5.1.12，“有限的序列”最好说明为“有限的比例数序列”，虽然这是平凡而无聊的.
P80:定义5.2.1和定义5.2.3，“ $(a_n)_{n=1}^\infty$ 和 $(b_n)_{n=1}^\infty$ ”应为“ $(a_n)_{n=0}^\infty$ 和 $(b_n)_{n=0}^\infty$ ”.
P81:定义5.2.6，“ $(a_n)_{n=1}^\infty$ 和 $(b_n)_{n=1}^\infty$ ”应为“ $(a_n)_{n=0}^\infty$ 和 $(b_n)_{n=0}^\infty$ ”.
P82:最后一句，“相等的三条定律”应为“相等的自反、对称和传递三条公理”.
P84:引理5.3.7证明，在“命题4.3.7”后添加“（以明显的方式扩展到 $\varepsilon, \delta=0$ 的情形.）”.
P87:引理5.3.15证明，倒数第四行，“一切 $n\geqslant N$ ”应为“一切 $n, m\geqslant N$ ”.
P89:习题5.3.2，应为证明命题5.3.10.
P89:习题5.3.4，补充“（提示：使用练习5.2.2.）”.
P91:定义5.4.6，两处“如果”应为“当且仅当”. 本书的所有定义有时候都会犯此错误，以后不再提及进行勘误.
P94:习题5.4.8提示，“再用命题5.4.9”应为“再用命题5.4.9或推论5.4.10”.
P97:命题5.5.12证明倒数第三行，“ $(x-\varepsilon)^2<y\leqslant 2$ ”应为“ $(x-\varepsilon)^2<y^2\leqslant 2$ ”.
P97:习题5.5.1，“-M=inf(E)”应为“-M=inf(-E)”.
P98:添加习题5.5.5：建立命题5.4.14的类比，其中用“非比例数”代替“比例数”.
P99:引理5.6.6(c)，应该说明“ $x=0$ 当且仅当 $x^{\frac{1}{n}}=0$ ，或者等价地说 $x>0$ 当且仅当 $x^{\frac{1}{n}}>0$ ”，具体证明详见习题5.6.3的解答；引理5.6.6(e)，应该声明“k为正整数”.
P99:最后一段，“x=1”应为“n=1”.
P100:引理5.6.8的证明倒数第4行，“ $\frac{-a}{b}=\frac{-a'}{b}$ ”应为“ $\frac{-a}{b}=\frac{-a'}{b'}$ ”.
P101:引理5.6.9(e)，“ $x^q>y^r$ ”应为“ $x^q>x^r$ ”.
P101:引理5.6.9，添加一项“(f) $(xy)^q=x^qy^q$ ”.
P101:习题5.6.3，应该补充0的方根定义，详见博文对习题5.6.3的解答.
P103:命题6.1.4的证明，“根据5.4.14”可以改成“根据命题5.4.12或命题5.4.14”. 因为命题5.4.14的证明已留作习题，原则上在给出其证明之前不能引用.
P108:倒数第七行，“supremum的概念和最小上界的概念”应为“supremum即最小上界的概念”.
P109:定理6.2.11(b)、(c)，第二个“(b)”标号应为“(c)”；(b)和(c)中都应该声明M是广义实数.
P110:习题6.2.2，“命题6.2.11”应为“定理6.2.11”.
P110:定义6.3.1，“实数列”应改为“广义实数列”.
P111:第一行，“上一节”改为“前面”，因为“一切收敛数列都是有界的”是在6.1节中提到，而在上一节即6.2节中并未提到.
P111:命题6.3.10证明，所有x的下标n应为上标. 除此之外，证明的第三行最后一个x^n应为x^(n+1)，第四行第一个x^n应为x^(n+1)，以及第四行“增加一项”应为“平移一项”（此处原文为“shifted by one”）.
P111:命题6.3.10前面一段，“单调序列有极限”应为“单调有界序列”.
P115:从上往下数第8行，“活塞从 $\infty$ 处”应为“活塞从 $+\infty$ 处”.
P116:第六行，“(c)款和(d)款”应为“(d)款和(e)款”. 第八行，“重合”应为“重合且有限”.
P117:定理6.4.18证明第三行，“推论6.1.17”应为“引理5.1.15（将该引理扩展为实数，这以完全相同的方式证明）” . 注：引理5.1.15为比例数Cauchy序列是有界的，推论6.1.17为实数的收敛序列是有界的，显然这里应该用引理5.1.15，否则为循环论证.
P119:习题6.5.1的提示中，“，并用定理6.1.19”应为“定理6.1.19”，即删去“，并用”，因为极限算律就是定理6.1.19.
P121:定理6.6.8前面一段，“Bernarad Bolzano”应为“Bernard Bolzano”.
P122:练习6.6.3的表述有多处错误，勘误详见本习题的解答，《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§6.6解答. 并添加以下注释：“还需要调用良序原理（我们已在命题8.1.4中提出了该原理，但其证明没有依赖于任何尚未提供的材料）或最小上界原理（定理5.5.9）来确保最小值的存在性和唯一性.” .
P122:练习6.6.5的表述有多处错误，勘误详见本习题的解答，《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§6.6解答. 并添加以下注释：“还需要调用良序原理（我们已在命题8.1.4中提出了该原理，但其证明没有依赖于任何尚未提供的材料）或最小上界原理（定理5.5.9）来确保最小值的存在性和唯一性.” .
P122:倒数第四行，“ $q^n$ ”和“ $q^m$ ”中的“n”和“m”应为下标.
P127:引理7.1.4(f)的条件陈述中“ $a_i$ 是对应于”应改为“ $a_i,b_i$ 是对应于”.
P128:命题7.1.8的证明中，有三个等式公式中的四处“x”应为“f(x)”.
P128:命题7.1.8证明第九行，“于是设X是n+1个元素的的集合”应为“于是设X是n+1个元素的集合”.
P128:等式(7.1)下面一行，“我们可以把(7.1)的右端”应为“我们可以把(7.1)的左端”.
P130:命题7.1.11(e), 第一行第二个“∩”改为“∪”.
P131:从下往上数第8行“根据引理3.6.9”应改为“根据命题3.1.28(g)和引理3.6.9”.
P132:在推论7.1.14的证明中，函数h应用其逆函数代替，即 $h:Y\times X\rightarrow X\times Y, h(y,x):=(x,y)$ .
P135:在注释7.2.11中添加“但是我们要注意，在大多数其他文本中，术语“条件收敛”在后一种意义上（即，表示条件收敛但未绝对收敛）.
P136:命题7.2.12证明，“ $(-1)^na_n$ 收敛到”应为“ $((-1)^na_n)_{n=m}^\infty$ 收敛到”；其他说明为序列的地方也有此问题.
P136:例7.2.13，“绝对发散并不蕴含条件发散”应为“不是绝对收敛并不蕴含不是条件收敛”.
P138:习题7.2.6，添加“如果假设 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 不收敛为零，而是收敛到其他实数L，则命题如何变化？”.
P138:命题7.3.1上面一行，“推论6.1.7”应为“推论6.1.17”.
P138:推论7.3.2下面一段，“ $\displaystyle\sum_{n=m}^\infty b_n$ 发散”应该更具体的为“ $\displaystyle\sum_{n=m}^\infty b_n$ 不是条件收敛”.
P139:引理7.3.6这一行开始向上数数到第四行，“并设 $T_k:=$ ”应为“并设 $T_K:=$ ”，下标K应为大写.
P140:推论7.3.7，“q>0是比例数”应改为“q>0是实数”，证明中“引理5.6.9”应改为“命题6.7.3”.
P144:命题7.4.3证明的倒数第二句，“接近于L的”应为“接近于L’的”.
P145:节7.4最后一段，“重排一个绝对发散的级数”应为“重排一个不是绝对收敛的级数”.
P145:习题7.4.1，“证明 $\displaystyle\sum_{m=0}^M a_{f(m)}$ ”应为“证明 $\displaystyle\sum_{m=0}^\infty a_{f(m)}$ ”.
P145:定理7.5.1，“条件发散”应改为“不是条件收敛”；同样的“绝对发散”应改为“不是绝对收敛”.
P146:从上往下数第9、10行中的“1-接近”建议改为“0.5-接近”. 因为 $|a_n|\geqslant 1$ 是可能取到1的.
P147:推论7.5.3，“条件发散”应改为“不是条件收敛”；同样的“绝对发散”应改为“不是绝对收敛”.
P154:习题8.1.1应该添加提示“(这需要用到节8.4介绍的选择公理)”.
P154:习题8.1.9应该添加提示“(这需要用到节8.4介绍的选择公理)”.
P155:在定义8.2.1之后，添加“对于有限集 $X$ ，我们采用约定——级数 $\displaystyle\sum_{x\in X}f(x)$ 自动地是绝对收敛的.”.
P156:定理8.2.2的证明，“ $X\subset \mathbb{N}\times\mathbb{N}$ ”可以改为“ $X\subseteq \mathbb{N}\times\mathbb{N}$ ”；“当 $M\rightarrow\infty$ 时取上确界”要改成“当 $M\rightarrow\infty$ 时取极限”(改后好理解，详见博文《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§8.2解答文内补充第2点)；“(根据极限算律及对N的归纳)”应改为“(根据习题7.1.5和命题6.3.8(或者引理6.4.13))”；“ $\displaystyle\sum_{n=0}^N\sum_{m=0}^m f(n, m)\leqslant\sum_{(n, m)\in X}f(n, m)\leqslant L$ ”应为“ $\displaystyle\sum_{n=0}^N\sum_{m=0}^m f(n, m)=\sum_{(n, m)\in X}f(n, m)\leqslant L$ ”.
P157:引理8.2.3，“X是至多可数的”最好改为“X是可数的”. 因为有限集上的求和肯定是收敛的.
P157:引理8.2.3中不等式右边的无穷“ $\infty$ ”改为正无穷“ $+\infty$ ”比较好，因为这是从广义实数考虑的，这个不等式是要表达：右边的集合上确界是实数. 我们通常用无穷“ $\infty$ ”表达潜无穷这个过程，比如序列的极限 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n$ . 本书后面关于级数绝对收敛类似的不等式都有此问题. 从第九章开始，书中就经常用 $\infty$ 代表广义实数 $+\infty$ ，比如引理9.1.12、例9.3.16等. 以后不再勘误此错误（实在太多了），读者只需要记住本书在该用广义实数 $+\infty$ 的地方会用 $\infty$ 代替.
P158:引理8.2.5，添加“(此引理的证明可能会用到选择公理，这取决于具体的证明思路.)”.
P158:引理8.2.5下面一段，“可数集 $\{x\in X : f(x)\neq 0\}$ ”应为“至多可数集 $\{x\in X : f(x)\neq 0\}$ ”.
P158:应该说明——命题8.2.6中X不可数的情况也需要选择公理.
P159:引理8.2.7，最后一句话应该理解为“ $\displaystyle\sum_{n\in A_+}a_n, \sum_{n\in A_-}a_n$ 均不是绝对收敛的.”，这是定理8.2.8的证明所需要的.
P159:定理8.2.8证明，两处“绝对发散”改为“不绝对收敛”比较好.
P160:“我们有 $\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty}\sum_{0\leqslant i<j}a_{n_i}=L$ ”也可以改为 $\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty}\sum_{0\leqslant i\leqslant j}a_{n_i}=L$ ”(不变也可以).
P161:从上往下数第3行中的“1837”改为“1873”.
P162:“Paul Cohen (1934-)”应该为“Paul Cohen (1934-2007)”.:-(
P163:习题8.3.2中“ $g(x):=f(x)$ ”应改为“ $g(x):=f^{-1}(x)$ ”；两处“ $\bigcup_{n=0}^\infty D_n$ ”可以用“ $\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ ”代替，因为两个表达都是等价的，不会影响结果. 更具体来说是我们可以根据 $D_0:=B\backslash A$ 进而证明 $A\cap(\bigcup_{n=0}^\infty D_n)=A\cap(\bigcup_{n=1}^\infty D_n)$ ，以及根据 $A\backslash D_0=A\backslash(B\backslash A)=(A\backslash B)\cup A=A$ 来证明 $A\backslash(\bigcup_{n=0}^\infty D_n)=A\backslash(\bigcup_{n=1}^\infty D_n)$ . 但为了证明论述更加简洁直观，最好将两处“ $\bigcup_{n=0}^\infty D_n$ ”代替成“ $\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ ”，除了论述 $g:A\rightarrow B$ 的单射性时无需代替. 以及为了习题8.3.3利用上习题8.3.2，最好将题干条件“双射 $f:C\rightarrow A$ ”替换成更弱的条件“单射 $f:C\rightarrow A$ ”，此时 $f^{-1}$ 的涵义发生变化，原证明稍加修改也可以证明想要的结论，具体请详见博文《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§8.3解答.
P163:习题8.3.3中“Ernst Schröder”后面补上“(1841-1902)”.
P163:章节8.4中第一行，“Zermelo-Fraenkel 选择”应改为“Zermelo-Fraenkel-Choice”，即ZFC集合公理系统.
P163:章节8.4第一段最后一个括号里面的——“可解决(decidable)”问题的应用应该说明是指在ZF集合论框架内可解决.
P164:例8.4.2，在“同一个集合”之后，加上“(或更准确地说，是一对一对应的.)”. 详见《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§8.4解答文内补充最后一点的说明.
P166:习题8.4.3，“存在一个单射 $f:A\rightarrow B$ . 换句话说，依习题3.6.7的意义，A具有小于或等于B的基数.”应改为“存在一个单射 $f:A\rightarrow B$ 使得 $g\circ f:A\rightarrow A$ 是恒等映射. 特别地，依习题3.6.7的意义，A具有小于或等于B的基数.”(这样的修改是必要的当我们要证明其反面(即习题3.6.8)时.)；习题8.4.3的第一个括号中的提示，“ $g^{-1}(\{a\})$ ”应改为“ $g^{-1}(\{\alpha\})$ ”.
P166:例8.5.2中第一行“自然数集 $\mathbb{R}$ ”应为“自然数集 $\mathbb{N}$ ”.
P168:定义8.5.12中“X是子集合”应为“X的子集合”.
P168:引理8.5.14的证明第一行，“尽力施实”应为“尽力实施”.
P168:倒数第五行，“至少有一个不空”应为“至少有一个为空”.
P169:“每个好集合 $Y'$ 都成立（为什么？）”应改为“每个使得 $A\cap Y'$ 非空的好集合 $Y'$ 都成立（为什么？）”.
P170:习题8.5.5第二行“ $f(x)\leqslant_Y f(x')$ ”应改为“ $f(x)<_Y f(x')$ 或 $x=x'$ ”.
P170:习题8.5.6中“ $(x):=\{y\in X : y\leqslant x\}$ ”应为“ $(x):=\{y\in X : y\leqslant_X x\}$ ”.
P170:习题8.5.12中第三行“如果 $x\leqslant_X x'$ ”应为“如果 $x<_X x'$ ”.
P171:习题8.5.15，为了不引起歧义，最好把“不小于或等于”改为“ $\nleqslant$ ”.
P171:习题8.5.20中第一句“并设 $\Omega\subset 2^X$ 是X的一个子集族”应为“并设 $\Omega\subseteq 2^X$ 是X的一个不含空集 $\emptyset$ 的子集族”.
P176:引理9.1.21最好说明前提“a<b”，因为当 $a\geqslant b$ 时结论是平凡的.
P176:定义9.1.22中 $X\subset [-M, M]$ 可以改成 $X\subseteq [-M, M]$ .
P177:我们应该先证明习题9.1.6再证明习题9.1.1，因为习题9.1.1的证明用到习题9.1.6，详见本节的博文解答.
P177:练习9.1.8，应该显式的说明集合I是非空的（虽然从表达式 $\bigcap_{\alpha\in I}X_\alpha$ 知I肯定非空）.
P177:习题9.1.15，应该声明E为非空子集.
P181:注9.3.7，表达式 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in\mathbb{R}\backslash\{0\}}f(x)=0$ 应为 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0; x\in\mathbb{R}\backslash\{0\}}f(x)=0$ .
P185:例9.3.17最后一句，“在教材中”应为“在某些教材中”.
P187:习题9.3.3，“引理9.3.18”应为“命题9.3.18”.
P188:命题9.4.7，“三命题”改为“四命题”，增加的一命题为:(d)对于每个实数 $\varepsilon>0$ ，存在实数 $\delta>0$ ，对一切 $x\in X$ 有如果 $|x-x_0|<(\leqslant)\delta$ 则 $|f(x)-f(x_0)|\leqslant\varepsilon$ .（选择<或者 $\leqslant$ 均无关系，实际上是等价的表达.）
P190:习题9.4.1，“六个等价关系”应为“六个蕴含关系”.
P192:命题9.5.3的证明，“从(9.1)和命题9.4.7”改为“从(9.1)和命题9.3.9”才正确，因为我们要证明的就是函数在某点处的连续性.
P194:引理9.6.3的证明，“其中 $n_0<n_1<n_2<...$ ”应为“其中 $1\leqslant n_0<n_1<n_2<...$ ”.
P194:定义9.6.5，应该说明X是实直线的子集.
P204:注9.9.17，命题9.9.15和定理9.9.16结合可推出引理9.6.3.
P205:定义9.10.3，应该说明M、L为实数.
P206:“ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty; n\in\mathbb{N}}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n$ ”改为“ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty; n\in\mathbb{N}}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n$ ”较好，就如我们在上面对P157的勘误一样.
P209:命题10.1.7，题干“ $x_0$ 是X的极限点”应改为“ $x_0$ 是X的极限点并且 $x_0\in X$ ”.
P209:命题10.1.10，题干“ $x_0$ 是X的极限点”应改为“ $x_0$ 是X的极限点并且 $x_0\in X$ ”.
P209:定义10.1.11，“每个 $x_0\in X$ ”应为“每个 $x_0\in X$ 有 $x_0$ 是X的极限点”. 因为 $x_0$ 不是X的极限点时“函数f在 $x_0$ 处可微”代表的命题是空真的成立的，我们并不考虑此情形，详见注10.1.2.
P209:命题10.1.13，题干“ $x_0$ 是X的极限点”应改为“ $x_0$ 是X的极限点并且 $x_0\in X$ ”.
P210:注10.1.14，出现的“Leibnitz”应为“Leibniz”.
P211:习题10.1.1，题干“ $x_0$ 是X的极限点”应改为“ $x_0$ 是X的极限点并且 $x_0\in X$ ”；同样的“ $x_0$ 是Y的极限点”应改为“ $x_0$ 是Y的极限点并且 $x_0\in Y$ ”. 要注意可微只对属于函数定义域并且为定义域的极限点的元素进行考虑.
P212:习题10.1.5，“n是自然数”应改为“n为正自然数”. 或者约定“若 $n=0$ 则 $nx^{n-1}=0$ ”.
P212:习题10.1.7，“Newton逼近和命题10.1.7”应改为“Newton逼近即命题10.1.7”.
P212:定义10.2.1：“并设 $x\in X$ ”应为“ $x_0 \in X$ ”.
P214:习题10.2.6的题设应该说明a、b是实数并且 $a<b$ .
P214:命题10.3.1，条件“ $x_0$ 是X的极限点”应改为“ $x_0$ 是X的极限点并且 $x_0\in X$ ”更好.
P217:习题10.4.2(b)，“ $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1;x\in(0, \infty)}\frac{x^q-1}{x-1}=q$ ”应为“ $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1;x\in(0, +\infty)\backslash\{1\}}\frac{x^q-1}{x-1}=q$ ”.
P217:习题10.4.3(a)，“ $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1;x\in(0, \infty)}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\alpha$ ”应为“ $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1;x\in(0, +\infty)\backslash\{1\}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\alpha$ ”.
P217:倒数第二段，“异于 $x_0$ 的点处消失”应为“异于 $x_0$ 的点处等于0”.
P218:命题10.5.2的证明，“g在(a, b]上不取零值”应为“g’在(a, b]上不取零值”.
P218:命题10.5.2的证明，“取值于(a, b]收敛于x的序列”应为“取值于(a, b]收敛于a的序列”.
P221:定义11.1.10，“每个元x”应为“每个元素x”.
P240:习题11.6.5，添加提示“(对于此练习，你可以使用微积分第二基本定理(定理11.9.4)；这不是循环论证，因为推论11.6.5没有被用来证明此定理.)”.
P243:第7行，“不曾对 $\alpha$ 作任何假定”具体的意思是 $\alpha:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 可以是任意选取的.
P244:习题11.8.1，应该证明的是引理11.8.4.
P244:习题11.8.5，积分结果应该从 $f(0)$ 改成 $2f(0)$ .
P248:习题11.9.1，“函数f在q处”应为“函数 $\displaystyle F(x):=\int_{[0,x]} f$ 在q处”.