《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§1.2解答

文内补充

例1.2.2解释：我们考虑级数 $S=1+2+4+8+16+...$ ，显然其部分和序列无上界，从极限上来说其收敛到无穷大 $+\infty$ . 对于无穷我们的实数运算法则大部分是失效的，特别是减法. 于是推理不正确.

我们给无穷级数的形式定义（无穷级数的严格定义是部分和的极限，形式定义是可数个项的形式相加）合理地加括号（合理是指1.我们只能给相邻的项（相邻的项数可以是两个或者两个以上，但每个括号里面只有有限个实数项；括号里面的项相加次序(按§2.2文内补充第3点说明)是不重要的，因为不影响下面要说的结论，进而我们可以默认是按括号左优先级依次相加的）2.在省略了按左优先级依次相加的括号后，每个项数最多只包含在一个括号里面. 进而有每个最外层括号里面的项数只能是按从左到右依次相加的，也避免了某些病态的加括号形式比如 $(1+(2)+3)$ ）. 此时得到的新的无穷级数的形式定义的部分和序列可以看做是原无穷级数部分和序列的子序列. 一个具体例子是《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§7.4解答中文内补充第6点中的第3点. 当然如果严格证明上面这一句话我们需要花费许多口舌，故这里省略. 我们有结论命题6.6.5，故从 $S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=0+0+0+...=0$ 和 $S=1+(1-1)+(1-1)+...=1+0+0+...=1$ 我们知道 $S=1-1+1-1+1-1+...$ 其实是不收敛的.

进一步地，我们考虑推理 $S=1-(1-1+1-1+...)$ ，由于 $S=1-1+1-1+1-1+...$ 不收敛，其不是实数，甚至其不是广义实数，即表达式 $(1-1+1-1+...)$ 不是实数. 进而不能直接套用实数运算法则，因为我们知道收敛序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 和不收敛序列 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 形成的新序列 $(a_n+b_n)_{n=0}^\infty$ ， $(a_n-b_n)_{n=0}^\infty$ 是不收敛的. 也即是说，当我们做极限运算时极限必须存在运算才有意义.

一个很容易观察到的事实是：对于无穷级数的形式定义合理地加括号，几乎（除了一些平凡特例）必定导致新的无穷级数的形式定义不能看作是按原级数项相加的（即新的无穷级数的形式定义不可以看作原无穷级数的一个重排）.

对于一个无穷级数：如果原无穷级数是绝对收敛的，那么重排后收敛值不变；如果原无穷级数为条件收敛的，我们有一个结果“黎曼重排定理”，我们改进黎曼重排定理的证明（具体来说是使得部分和加入一定非负项后大于一个固定的正数，再加入一定负项后小于一个固定的负数，如此反复. 呈现的部分和序列像坐上了过山车.）容易构造性证明的另一个结果是条件收敛的无穷级数重排后可以不收敛；如果原无穷级数为发散的（不收敛或收敛到无穷），重排后新的无穷级数的敛散性比较复杂，我们详细讨论如下：

设 $\displaystyle\sum_{n=m}^\infty a_n$ 是不收敛到实数的无穷级数.

显然， $\displaystyle\sum_{n=m}^\infty a_n$ 重排后可以是不收敛的，比如我们只对有限项进行顺序改变.

有可能重排后收敛到广义实数吗？我们考虑 $\displaystyle\sum_{n=m}^\infty a_n$ 中的项，分三种情况：

非负项有限而负数项无穷. 此时负数项的和（这里的和可以从集合确界理解，也可以从级数极限定义理解. 下同.）必定无下界，我们可以证明此时 $\displaystyle\sum_{n=m}^\infty a_n$ 收敛到负无穷. 进而可以证明无论怎么重排新级数都是收敛到负无穷的.
非负项无限而负数项有限. 由 $\displaystyle\sum_{n=m}^\infty a_n$ 是不收敛我们可以证明正数项无限，此时类似第1.种情况的思路我们可以证明无论怎么重排新级数都是收敛到正无穷的.
非负项无限并且负数项也无限. 我们可以证明如果非负项之和与负数项之和均为实数，那么 $\displaystyle\sum_{n=m}^\infty a_n$ 绝对收敛. 于是我们知道有非负项之和无穷大或者负数项之和无穷小. 进而又可以分成三种情形：

非负项之和无穷大且负数项之和收敛. 改进黎曼重排定理的证明思路可以构造一个收敛到无穷大的重排新级数. 实际上可以证明其必定收敛到无穷大.
非负项之和收敛且负数项之和无穷小. 改进黎曼重排定理的证明思路可以构造一个收敛到无穷小的重排新级数. 实际上可以证明其必定收敛到无穷小.
非负项之和无穷大且负数项之和无穷小. 注意到只要非负项按原级数中顺序排列形成的定义域为自然数集的双射f使得 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}f(n)=0$ 以及负数项按原级数中顺序排列形成的定义域为自然数集的双射g使得 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}g(n)=0$ ，我们就可以直接使用黎曼重排定理使得 $\displaystyle\sum_{n=m}^\infty a_n$ 重排后收敛到任何实数.

综上，其实我们有这样的一个命题：一个级数重排后条件收敛，当且仅当其非负项之和无穷大且负数项之和无穷小且非负项按原级数中顺序排列形成的定义域为自然数集的双射f使得 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}f(n)=0$ 以及负数项按原级数中顺序排列形成的定义域为自然数集的双射g使得 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}g(n)=0$ . 证明留给读者了，关键是补上我们加的条件“只要非负项按原级数中顺序排列形成的定义域为自然数集的双射f使得 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}f(n)=0$ 以及负数项按原级数中顺序排列形成的定义域为自然数集的双射g使得 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}g(n)=0$ ”可以由“一个级数重排后条件收敛”推出，具体思路可参考此链接，或者根据命题“设 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 收敛到实数r，即 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=r$ ，设函数 $f:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是双射函数. 那么我们有序列 $(a_{f(n)})_{n=m}^\infty$ 收敛到实数r，即 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{f(n)}=r$ .”得出.

其实命题“设 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 收敛到实数r，即 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=r$ ，设函数 $f:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是双射函数. 那么我们有序列 $(a_{f(n)})_{n=m}^\infty$ 收敛到实数r，即 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{f(n)}=r$ .”说的是：只要一个序列收敛到实数那么其重排仍然收敛到同一实数值. 此命题的证明十分容易，只要依极限的定义一步步来进行即可. 如果按习题8.2.6的意义将序列的收敛扩展到广义实数 $-\infty, +\infty$ ，我们有同样的结论：只要一个序列收敛到广义实数那么其重排仍然收敛到同一广义实数值.(证明：只需要进一步考虑序列收敛到无穷大或无穷小的情形. 不妨先考虑序列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 有 $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n=\liminf_{n\rightarrow\infty}a_n=-\infty$ (即 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=-\infty$ )，设函数 $f:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是双射函数. 由命题6.4.12(c)知我们只需证明 $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{f(n)}=-\infty$ . 反证法. 假设一： $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{f(n)}=+\infty$ . 从习题6.4.8中的论述这意味着 $\{a_{f(n)} : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ 无上界. 由于f是定义域和值域相同的双射，故容易证明 $\{a_{f(n)} : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}=\{a_n : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ ，进而 $\{a_n : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ 也是无上界的，于是依习题6.4.8有 $+\infty$ 为 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 一个极限点，这与其最大极限点 $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n=-\infty$ 相矛盾，故假设一不成立；假设二： $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{f(n)}=R(R\in\mathbb{R})$ . 由命题6.4.12(e)知 $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{f(n)}=R(R\in\mathbb{R})$ 是 $(a_{f(n)})_{n=m}^\infty$ 的极限点，由命题6.6.6(的推广)知存在 $(a_{f(n)})_{n=m}^\infty$ 的子序列 $(a_{f(g(n))})_{n=m}^\infty$ ( $g:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是严格增函数)使得 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{f(g(n))}=R$ . 而根据下面一段“序列重排和取子序列的相对独立性.”的说明我们知道 $(a_{f(g(n))})_{n=m}^\infty$ 可以重新写成 $(a_{g_1(f_1(n))})_{n=m}^\infty$ 的形式(其中 $g_1:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是严格增函数； $f_1:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是双射函数.)，进而由 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{f(g(n))}=R$ 可知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{g_1(f_1(n))}=R$ . 现在我们来证明 $(a_{g_1(f_1(n))})_{n=m}^\infty$ 可以看作 $(a_{g_1(n)})_{n=m}^\infty$ 的一个重排. 已知 $f_1:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是双射函数. 故我们只需要证明 $\{a_{g_1(n)} : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}=\{a_{g_1(f_1(n))} : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ ，而这是由 $f_1:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是双射函数已经能够保证成立的了. 故 $(a_{g_1(f_1(n))})_{n=m}^\infty$ 可以看作 $(a_{g_1(n)})_{n=m}^\infty$ 的一个重排. 其实我们还有一个更快的花招来证明“ $(a_{g_1(f_1(n))})_{n=m}^\infty$ 可以看作 $(a_{g_1(n)})_{n=m}^\infty$ 的一个重排.”，我们记 $b_n:=a_{g_1(n)}(n\geqslant m, n\in\mathbb{Z})$ ，于是 $(a_{g_1(n)})_{n=m}^\infty$ 表示的就是序列 $(b_n)_{n=m}^\infty$ 同时 $(a_{g_1(f_1(n))})_{n=m}^\infty$ 表示的就是序列 $(b_{f_1(n)})_{n=m}^\infty$ ，而明显的是 $(b_{f_1(n)})_{n=m}^\infty$ 是 $(b_n)_{n=m}^\infty$ 的一个重排，这样就说明了“ $(a_{g_1(f_1(n))})_{n=m}^\infty$ 可以看作 $(a_{g_1(n)})_{n=m}^\infty$ 的一个重排.”. 由于已知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{g_1(f_1(n))}=R$ 以及“ $(a_{g_1(f_1(n))})_{n=m}^\infty$ 可以看作 $(a_{g_1(n)})_{n=m}^\infty$ 的一个重排.”以及证明了的“只要一个序列收敛到实数那么其重排仍然收敛到同一实数值.”，我们将看到 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{g_1(n)}=R$ ，这说明R是 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的极限点，这与其最大极限点 $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n=-\infty$ 相矛盾，故假设二不成立. 综上，假设一和假设二均不成立，故我们有 $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{f(n)}=-\infty$ . 这就证明了“设函数 $f:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是双射函数. 如果 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=-\infty$ 那么 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{f(n)}=-\infty$ .”.

如果为序列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 有 $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n=\liminf_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty$ (即 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty$ )，设函数 $f:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是双射函数. 根据定义6.2.6仔细论证(直观为注6.4.11下面一段的说明)我们可以证明 $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}(-a_n)=\liminf_{n\rightarrow\infty}(-a_n)=-\infty$ ，进而根据前面的证明可得 $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}(-a_{f(n)})=\liminf_{n\rightarrow\infty}(-a_{f(n)})=-\infty$ ，再根据定义6.2.6仔细论证我们可以证明 $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{f(n)}=\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{f(n)}=+\infty$ . 这就完成了全部的证明.)

序列重排和取子序列的相对独立性.

设 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 是无穷序列，设函数 $f:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是双射函数，设 $g:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是严格增函数.

对 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 依函数 $f$ 重排我们将得到 $(a_{f(n)})_{n=m}^\infty$ ，对 $(a_{f(n)})_{n=m}^\infty$ 依函数 $g$ 取子序列我们将得到 $(a_{f(g(n))})_{n=m}^\infty$ .

也就是说序列 $(a_{f(g(n))})_{n=m}^\infty$ 是“先重排后取子列”得到的. 下面我们将证明 $(a_{f(g(n))})_{n=m}^\infty$ 也可以看成“先取子列后重排”得到的，换句话说我们要找到一个严格增函数 $g_1$ 以及一个双射函数 $f_1$ 使得 $a_{f(g(n))}=a_{g_1(f_1(n))}(n\geqslant m, n\in\mathbb{Z})$ .

我们考虑序列 $(a_{f(g(n))})_{n=m}^\infty$ 各项下标收集起来形成的集合 $\{f(g(n)) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ . 容易知道函数 $f\circ g:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是单射，并且 $\{f(g(n)) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}\subseteq\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ . 也即 $\{f(g(n)) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ 是有下界的整数集非空子集. 于是我们可以证明集合 $\{f(g(n)) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ 有最小元K(证明详见《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§6.6解答的文内补充第6点)，于是我们看到对一切 $x\in\{f(g(n)) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ 有 $x-K\geqslant 0$ 是自然数. 于是我们看到集合 $\{f(g(n))-K : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ 是自然数集的子集，根据命题8.1.5我们知道存在严格增双射 $f':\mathbb{N}\rightarrow\{f(g(n))-K : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ . 而我们容易证明函数 $h:\{f(g(n))-K : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}\rightarrow\{f(g(n)) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}, h(x):=x+K$ 也是严格增双射，以及函数 $f'':\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\mathbb{N}, f''(x):=x-m$ 是严格增双射. 于是我们找到了严格增双射 $h\circ f'\circ f'':\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{f(g(n)) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ . 为了方便，我们记严格增双射函数 $h\circ f'\circ f''$ 为函数 $g_1:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{f(g(n)) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}, g_1(x):=h\circ f'\circ f''(x)$ .

前面我们已经说明“函数 $f\circ g:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是单射.”，于是我们看到函数 $f\circ g:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{f(g(n)) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ 是双射. 进而结合“ $g_1:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{f(g(n)) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}, g_1(x):=h\circ f'\circ f''(x)$ 是双射.”我们知道函数 $g_1^{-1}\circ(f\circ g)$ 是从 $\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 到 $\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 的双射.

至此，我们看到 $a_{g_1([g_1^{-1}\circ(f\circ g)](n))}=a_{f\circ g(n)}(n\geqslant m, n\in\mathbb{Z})$ . 这就完成了证明，于是我们可以说： $(a_{f(g(n))})_{n=m}^\infty$ 也可以看成“先取子列后重排”得到的.

反过来，对 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 依函数 $g$ 取子序列我们将得到 $(a_{g(n)})_{n=m}^\infty$ ，对 $(a_{g(n)})_{n=m}^\infty$ 依函数 $f$ 重排我们将得到 $(a_{g(f(n))})_{n=m}^\infty$ . 我们也可以证明 $(a_{g(f(n))})_{n=m}^\infty$ 也可以看成“先重排后取子列”得到的，换句话说我们要找到一个严格增函数 $g_1$ 以及一个双射函数 $f_1$ 使得 $a_{g(f(n))}=a_{f_1(g_1(n))}(n\geqslant m, n\in\mathbb{Z})$ . 具体的思路是：函数 $f$ 其实是对 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的子序列 $(a_{g(n)})_{n=m}^\infty$ 进行重排，我们将此重排过程放到序列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 中观察，就可以知道我们需要的函数 $f_1$ 是怎样构造的. 然后我们需要的严格增函数 $g_1$ 就是容易找到的了. 现在就来严格做此事.

我们定义函数 $f_1:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 如下：如果 $x\in\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\backslash\{g(n) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ 则 $f_1(x):=x$ ；如果 $x\in\{g(n) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ 则 $f_1(x):=g(f(n_x))(x=g(n_x))$ . 由于 $g:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是严格增函数，故可以证明对一切 $x\in\{g(n) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ 恰存在一个 $n_x\in\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 使得 $x=g(n_x)$ ，于是我们很容易就能验证函数 $f_1$ 是定义成功的.

由于 $g:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是严格增函数，于是我们限制其值域后 $g:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{g(n) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ 是严格增双射函数. 进而我们可以重写函数 $f_1$ 的定义—— $f_1:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 定义如下：如果 $x\in\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\backslash\{g(n) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ 则 $f_1(x):=x$ ；如果 $x\in\{g(n) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ 则 $f_1(x):=g(f(n_x))=g(f(g^{-1}(x)))(x=g(n_x))$ .

现在我们来证明函数 $f_1$ 确实是双射.

单射性——设 $x_1, x_2\in\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 且 $x_1\neq x_2$ . 1.当 $x_1, x_2\in\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\backslash\{g(n) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ 时显然有 $f_1(x_1)=x_1\neq x_2=f_1(x_2)$ ； 2.当 $x_1, x_2\in\{g(n) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ 时有 $f_1(x_1)=g(f(n_{x_1}))(x_1=g(n_{x_1})), f_1(x_2)=g(f(n_{x_2}))(x_2=g(n_{x_2}))$ . 我们假设有 $f_1(x_1)=f_1(x_2)$ ，即 $g(f(n_{x_1}))=g(f(n_{x_2}))$ ，由函数 $g$ 单射性知 $f(n_{x_1})=f(n_{x_2})$ . 由于 $f$ 为双射，于是我们看到 $n_{x_1}=n_{x_2}$ ，进而我们看到 $x_1=g(n_{x_1})=g(n_{x_2})=x_2$ . 至此我们看到在“ $x_1\neq x_2$ ”前提下假设“ $f_1(x_1)=f_1(x_2)$ ”不可能成立，也即在“ $x_1\neq x_2$ ”前提下有 $f_1(x_1)\neq f_1(x_2)$ ； 3.当 $x_1\in\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\backslash\{g(n) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ 且 $x_2\in\{g(n) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ 时，此时 $f_1(x_1)=x_1, f_1(x_2)=g(f(g^{-1}(x_2)))(x_2=g(n_{x_2}))$ . 我们假设有 $f_1(x_1)=f_1(x_2)$ ，即 $x_1=g(f(g^{-1}(x_2)))$ ，于是我们看到 $x_1\in\{g(n) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ (因为我们有 $f(g^{-1}(x_2))\in\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ ). 这个矛盾说明我们的假设不成立，故有 $f_1(x_1)\neq f_1(x_2)$ .

这就完成了 $f_1$ 单射性的验证.

满射性——设 $y\in\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ . 1.当 $y\in\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\backslash\{g(n) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ 显然有 $y\in\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 使得 $f_1(y)=y$ ； 2.当 $y\in\{g(n) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ 时显然有 $g(f^{-1}(g^{-1}(y)))\in\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 使得 $f_1(g(f^{-1}(g^{-1}(y))))=g(f(g^{-1}(g(f^{-1}(g^{-1}(y))))))=y$ .

这就完成了 $f_1$ 满射性的验证.

于是我们可以说我们找到了所需要的函数 $f_1$ . 现在就来验证 $a_{g(f(n))}=a_{f_1(g(n))}(n\geqslant m, n\in\mathbb{Z})$ . 设 $n\in\mathbb{Z}$ 且 $n\geqslant m$ . 于是我们看到 $g(n)\in\{g(n) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ ，进而从函数 $f_1$ 的定义看到 $f_1(g(n))=g(f(g^{-1}(g(n))))=g(f(n))$ . 进而看到 $a_{g(f(n))}=a_{f_1(g(n))}(n\geqslant m, n\in\mathbb{Z})$ .

至此，我们完成了“序列重排和取子序列的相对独立性”的全部证明.

重排不改变序列的极限点.

设 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 为实数列，设c为 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的广义极限点(详见习题6.4.8)，设函数 $f:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是双射函数. 那么我们有结论：c仍为 $(a_{f(n)})_{n=m}^\infty$ 的广义极限点.

证明：首先考虑 $c=+\infty$ 的情形. 从习题6.4.8知这意味着 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 无上界. 而由于 $f:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是双射函数我们可以证明 $\{a_n : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}=\{a_{f(n)} : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ ，进而 $(a_{f(n)})_{n=m}^\infty$ 也无上界，故 $+\infty$ 也是 $(a_{f(n)})_{n=m}^\infty$ 的极限点. 这就证明了 $c=+\infty$ 时命题成立. 同理我们可以证明 $c=-\infty$ 的情形命题成立.

于是我们只需再考虑c为实数的情形. 设 $\varepsilon>0$ 是实数.

由于c为 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的极限点，也即：对前面提到的实数 $\varepsilon>0$ ，对一切整数 $N\geqslant m$ ，都存在 $n\geqslant N$ 使得 $|a_n-c|\leqslant\varepsilon$ . 故集合 $\{n\in\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\} : |a_n-c|\leqslant\varepsilon\}$ 是无限集. 由于 $f:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是双射函数，我们看到集合 $\{n\in\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\} : |a_{f(f^{-1}(n))}-c|\leqslant\varepsilon\}$ 是无限集. 再由 $f:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是双射函数我们知道集合 $f^{-1}(\{n\in\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\} : |a_{f(f^{-1}(n))}-c|\leqslant\varepsilon\})$ 是无限集. 而显然的是我们容易证明有 $f^{-1}(\{n\in\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\} : |a_{f(f^{-1}(n))}-c|\leqslant\varepsilon\})\subseteq\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 以及对一切 $x\in f^{-1}(\{n\in\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\} : |a_{f(f^{-1}(n))}-c|\leqslant\varepsilon\})$ 有 $|a_{f(x)}-c|\leqslant\varepsilon$ ，故 $f^{-1}(\{n\in\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\} : |a_{f(f^{-1}(n))}-c|\leqslant\varepsilon\})\subseteq\{n\in\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\} : |a_{f(n)}-c|\leqslant\varepsilon\}$ ，这就说明了集合 $\{n\in\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\} : |a_{f(n)}-c|\leqslant\varepsilon\}$ 是无限集.

综上，我们证明了：对任意实数 $\varepsilon>0$ 有集合 $\{n\in\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\} : |a_{f(n)}-c|\leqslant\varepsilon\}$ 是无限集. 进而使用反证法就可以证明：对任意实数 $\varepsilon>0$ ，对一切整数 $N\geqslant m$ ，都存在 $n\geqslant N$ 使得 $|a_{f(n)}-c|\leqslant\varepsilon$ .

这就说明了实数c仍为 $(a_{f(n)})_{n=m}^\infty$ 的极限点.

至此我们完成了证明.

有了结论“重排不改变序列的极限点.”，我们可以看到“只要一个序列收敛到广义实数那么其重排仍然收敛到同一广义实数值.”的证明可以化简：从R是 $(a_{f(n)})_{n=m}^\infty$ 的极限点马上就可以得到R是 $(a_{n})_{n=m}^\infty$ 的极限点，而不需要借助“序列重排和取子序列的相对独立性.”来证明.

一点说明，可以使用结论“序列重排和取子序列的相对独立性.”来证明“某些重排不改变序列的极限点.”.

沿用前提：设 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 为实数列，设c为 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的广义极限点(详见习题6.4.8)，设函数 $f:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是双射函数. 重排 $f$ 要求的特殊性质： $f:\{g(n) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}\rightarrow\{g(n) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ 也是双射函数.

对c为广义实数时我们沿用原证明论述.

现在只需要考虑c为实数的情形. 由于c为 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 的极限点，由命题6.6.6知存在严格增函数 $g:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 使得 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{g(n)}=c$ . 现在我们需要证明的是：存在严格增函数 $g_1:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 使得 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{f(g_1(n))}=c$ .

由于已知结论“只要一个序列收敛到实数那么其重排仍然收敛到同一实数值.”，于是对任意双射函数 $f':\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 我们都从 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{g(n)}=c$ 知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{g(f'(n))}=c$ . 由于序列 $(a_{f(g_1(n))})_{n=m}^\infty$ 可以看作是从 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 按 $f$ 重排后再按 $g_1$ 取子列，序列 $(a_{f(g_1(n))})_{n=m}^\infty$ 可以看作是按结论“序列重排和取子序列的相对独立性.”从序列 $(a_{g(f_2(n))})$ 变换而来( $f_2:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ 是双射函数.). 根据结论“序列重排和取子序列的相对独立性.”的具体证明过程我们看到其实有 $g_1=g$ . 于是问题就变成了根据 $(a_{f(g(n))})_{n=m}^\infty$ 中的函数 $f$ 找到 $(a_{g(f_2(n))})$ 的函数 $f_2$ ，这与“序列重排和取子序列的相对独立性.”第二部分“取子列再重排变为重排再取子列”从 $f_2$ 得到 $f$ 的证明正好相反，但是正是借助于从 $f_2$ 得到 $f$ 的证明，我们知道双射函数 $f$ 剔除掉不属于 $\{g(n) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ 的自变量后得到的双射对 $(a_{g(n)})_{n=m}^\infty$ 的“重排”与双射函数 $f_2$ 对 $(a_{g(n)})_{n=m}^\infty$ 的重排其实是完全一样的，换句话说：对双射函数 $f:\{g(n) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}\rightarrow\{g(n) : n\geqslant m, n\in\mathbb{Z}\}$ ，对双射函数 $f_2:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ ，有 $a_{f(g(n))}=a_{g(f_2(n))}(n\geqslant m, n\in\mathbb{Z})$ .

至此，我们知道我们应该定义函数 $f_2:\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}\rightarrow\{z\in\mathbb{Z} : z\geqslant m\}$ ，有 $f_2(n):=g^{-1}(f(g(n)))$ . 容易验证函数 $f_2$ 是定义成功的且为双射.

此时我们看到： $g(f_2(n))=g(g^{-1}(f(g(n))))=f(g(n))(n\geqslant m, n\in\mathbb{Z})$ ，进而 $a_{g(f_2(n))}=a_{f(g(n))}(n\geqslant m, n\in\mathbb{Z})$ .

于是从 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{g(f_2(n))}=c$ 看到 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{f(g(n))}=c$ ，故c为 $(a_{f(n)})_{n=m}^\infty$ 的极限点.

例1.2.3解释：我们不对“换元”的严格定义做出阐述，这里深究的话涉及到形式逻辑，或者说符号逻辑；具体的定义可以参考讲一阶逻辑教材.

我们只说明换元的过程和结果.

我们来考虑例1.2.3中的表达式：

$\displaystyle L=\lim_{n\rightarrow\infty}x^n$ , $\displaystyle (x^n)_{n=a}^\infty$ 是序列.

其翻译成一阶逻辑命题1后是：对任意实数 $\varepsilon>0$ ，都存在整数 $N\geqslant a$ 使得对任意整数 $n\geqslant N$ 有 $|x^n-L|\leqslant\varepsilon$ .

我们做一次换元，不太严格地直观描述就是用一个公式（或者说表达式）把命题中的某个变元全部替换掉.

于是我们如果改换变元 $n=m+1$ ，那么将得到命题2：对任意实数 $\varepsilon>0$ ，都存在整数 $N\geqslant a$ 使得对任意整数 $m+1\geqslant N$ 有 $|x^{(m+1)}-L|\leqslant\varepsilon$ .

如何保证换元是合乎逻辑的，我们就需要“命题1 $\rightarrow$ 命题2”是真的. 我们确实可以证明命题1 $\Longrightarrow$ 命题2. 于是推理“ $\displaystyle L=\lim_{n\rightarrow\infty}x^n=\lim_{m+1\rightarrow\infty}x^{(m+1)}$ ”是正确的.

接着，我们容易知道推理“ $\displaystyle \lim_{m+1\rightarrow\infty}x^{(m+1)}=\lim_{m+1\rightarrow\infty}x\cdot x^{m}$ ”是正确的.

问题出在推理“ $\displaystyle \lim_{m+1\rightarrow\infty}x\cdot x^{m}=x\lim_{m+1\rightarrow\infty}x^{m}$ ”. 这个推理成立的前提是极限 $\displaystyle \lim_{m+1\rightarrow\infty}x, \lim_{m+1\rightarrow\infty}x^{m}$ 都存在. 我们容易知道极限 $\displaystyle \lim_{m+1\rightarrow\infty}x$ 是存在的. 问题就出现在极限 $\displaystyle\lim_{m+1\rightarrow\infty}x^{m}$ 存在性上，我们并不能从命题1+命题2推出极限 $\displaystyle\lim_{m+1\rightarrow\infty}x^{m}$ 存在对应的一阶逻辑命题. 于是推理不正确.

关于“不能从命题1+命题2推出极限 $\displaystyle\lim_{m+1\rightarrow\infty}x^{m}$ 存在对应的一阶逻辑命题”的证明，我在这里详细说明一下. 我们假设断论不正确，即“可以从命题1+命题2推出极限 $\displaystyle\lim_{m+1\rightarrow\infty}x^{m}$ 存在对应的一阶逻辑命题”，由于可以证明命题1和命题2是等价的，这说明命题2蕴涵极限 $\displaystyle\lim_{m+1\rightarrow\infty}x^{m}$ 存在. 于是我们看到

对任意实数 $\varepsilon>0$ ，都存在整数 $N\geqslant a$ 使得对任意整数 $m+1\geqslant N$ 有 $|x^{(m+1)}-L|\leqslant\varepsilon$ .
对任意实数 $\varepsilon>0$ ，都存在整数 $N\geqslant a$ 使得对任意整数 $m+1\geqslant N$ 有 $|x^{m}-L|\leqslant\varepsilon$ .

两者结合起来我们将看到：对任意实数 $\varepsilon>0$ ，都存在整数 $N\geqslant a$ 使得对任意整数 $m+1\geqslant N$ 有 $|x^m-x^{m+1}|=|x^m-L+L-x^{m+1}|\leqslant|x^m-L|+|L-x^{m+1}|=\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ . 即对任意实数 $\varepsilon>0$ ，都存在整数 $N\geqslant a$ 使得对任意整数 $m+1\geqslant N$ 有 $|x^m|\cdot |1-x|\leqslant\varepsilon$ . 进而我们有 $x=1$ 或者对任意实数 $\varepsilon>0$ ，都存在整数 $N\geqslant a$ 使得对任意整数 $m+1\geqslant N$ 有 $|x|^m\leqslant\varepsilon$ . 进而推得 $x=1$ 或 $0\leqslant |x|<1$ .

于是我们知道了 $x=1$ 或 $0\leqslant |x|<1$ 时例1.2.3的推理“ $\displaystyle \lim_{m+1\rightarrow\infty}x\cdot x^{m}=x\lim_{m+1\rightarrow\infty}x^{m}$ ”才可能(因为我们还没有证明“ $x=1$ 或 $0\leqslant |x|<1$ ”蕴涵 $\displaystyle\lim_{m+1\rightarrow\infty}x^{m}$ 存在，实际上确实是正确的)是正确的；但x取其他值时推理“ $\displaystyle \lim_{m+1\rightarrow\infty}x\cdot x^{m}=x\lim_{m+1\rightarrow\infty}x^{m}$ ”肯定不正确.（实际上x取其他值时容易证明此时 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}x^n$ 不存在，进而也可以看出推理“ $\displaystyle \lim_{m+1\rightarrow\infty}x\cdot x^{m}=x\lim_{m+1\rightarrow\infty}x^{m}$ ”不正确.）

进一步地，我们在假设推理“ $\displaystyle \lim_{m+1\rightarrow\infty}x\cdot x^{m}=x\lim_{m+1\rightarrow\infty}x^{m}$ ”成立的前提下知道 $x=1$ 或 $0\leqslant |x|<1$ ，进而我们由引理6.5.2或者从极限运算容易证明“ $\displaystyle\lim_{m+1\rightarrow\infty}x^m=\lim_{m\rightarrow\infty}x^m$ ”将成立. 更一般的，形如“ $\displaystyle\lim_{m+1\rightarrow\infty} a_n=\lim_{m\rightarrow\infty} a_n$ ”的推理总是正确的，也即我们要为“若 $m+1\rightarrow\infty$ ，则 $m\rightarrow\infty$ ，故 $\displaystyle\lim_{m+1\rightarrow\infty} x^m=\lim_{m\rightarrow\infty} x^m$ ”这样的操作提供辩护，理由是：推理“ $\displaystyle\lim_{m+1\rightarrow\infty} x^m=\lim_{m\rightarrow\infty} x^m$ ”可以看作是推理“ $\displaystyle\lim_{m+1\rightarrow\infty} x^m=\lim_{m+1\rightarrow\infty} x^{m+1}=\lim_{m\rightarrow\infty} x^{m}$ ”的省略，而后者第一步的正确性由习题6.1.4所保证且第二步就是简单的换元.

实际上，我们假设 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n$ 存在(作为等式变换的推理起点)，根据换元以及习题6.1.4，我们总有 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n-p\rightarrow\infty}a_{n-p}=\lim_{n-p\rightarrow\infty}a_{n+q}(p, q\in\mathbb{N})$ ，也就是说我们总是可以：“增大”项的下标，同时“减小”lim下的变元(这两项操作是相互独立的). 反过来，其余情况只能是项的下标与lim下的变元因换元“同增同减”.

例1.2.4解释：对于函数在无限处的极限，我们在§9.10已经给出了. 于是我们容易从序列观点证明 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\sin x$ 以及 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\cos x$ 不存在，进而极限运算律不适用. 具体详见§9.10的博文解答.

例1.2.5解释：详见定理8.2.2.

例1.2.6解释：

例1.2.7解释：

例1.2.8解释：

例1.2.9解释：

例1.2.10解释：

例1.2.11解释：

例1.2.12解释：详见§10.5的博文解答，特别是文内补充第1点. 由于 $f(x)=x^2\sin(x^{-4})$ 在0处无定义，进而在0处不可微.

例1.2.13解释：我们这样做只是将两直边进行了分割，取极限的过程并不是逼近斜边长，而是逼近直角三角形的面积.

《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§1.2解答

文内补充

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