《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§11.10解答

习题11.10

11.10.1证明：命题11.10.1题设中两实数要求是 $a\leqslant b$ ，当 $a>b$ 时命题表达式 $\displaystyle\int_{[a, b]}FG'=F(b)G(b)-F(a)F(a)-\int_{[a, b]}F'G$ 是毫无意义的，因为空函数是没有输入的.

当 $a=b$ 时，“F以及G在 $[a, b]$ 是可微的”是空真地成立的；在此基础上F’和G’确实是在 $I=[a, b]$ 上Riemann可积的，由于F’和G’定义域均为单元素集故积分值为0. 并且我们容易验证表达式 $\displaystyle\int_{[a, b]}FG'=F(b)G(b)-F(a)F(a)-\int_{[a, b]}F'G$ 确实成立.

当 $a<b$ 时，由于F以及G在定义域 $[a, b]$ 是可微的，于是F以及G在定义域 $[a, b]$ 上连续，由于 $[a, b]$ 是闭区间，故F以及G在 $[a, b]$ 上一致连续，进而F以及G在 $[a, b]$ 上Riemann可积.

而我们有 $(FG)'=F'G+FG'$ . 由于F、F’、G、G’均Riemann可积，于是F’G与FG’均Riemann可积，进而F’G+FG’是Riemann可积的，于是我们看到(FG)’是Riemann可积的.

由微积分第二基本定理我们知： $\displaystyle\int_{[a, b]}(FG)'=F(b)G(b)-F(a)G(a)$ ，即 $\displaystyle\int_{[a, b]}(F'G+FG')=F(b)G(b)-F(a)G(a)$ ，简单运算得到 $\displaystyle\int_{[a, b]}FG'=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{[a, b]}F'G$ .

11.10.2补充引理11.10.5中证明细节：

<1>第一个为什么：对每个区间 $J\in\mathbb{P}$ ，对任意 $x_1, x_2\in\varphi^{-1}(J)$ 由 $\varphi^{-1}(J)$ 的定义我们知有 $x_1, x_2\in[a, b]$ 以及 $\varphi(x_1), \varphi(x_2)\in J$ . 如果 $x_1<x_2$ ，进而对任意的 $x\in[x_1, x_2]$ ，我们知有 $x_1\leqslant x\leqslant x_2$ ，由 $\varphi$ 单调增我们知 $\varphi(x_1)\leqslant\varphi(x)\leqslant\varphi(x_2)$ . 由于J是有界区间，故其是有界连通的，于是从前面已证“ $\varphi(x_1), \varphi(x_2)\in J$ 和 $\varphi(x_1)\leqslant\varphi(x)\leqslant\varphi(x_2)$ ”我们知 $\varphi(x)\in J$ . 综上我们有 $x\in\varphi^{-1}(J)$ . 最后由定义11.1.1知 $\varphi^{-1}(J)$ 是连通的.

<2>第二个为什么：对任意 $J\in\mathbb{P}$ ，对任意 $x\in\varphi^{-1}(J)$ ，我们有 $\varphi(x)\in J$ ，进而 $f(\varphi(x))=C_J$ ，故 $f\circ\varphi(x)=f(\varphi(x))=C_J$ . 所以 $C_J$ 是 $f\circ\varphi$ 在 $\varphi^{-1}(J)$ 上的常数值.

<3>第三个为什么：a.显然 $\mathrm{Q}$ 是有限集；b. $\mathrm{Q}$ 中元素我们在第一个为什么中已证是区间；c.对任意 $x\in[a, b]$ ，由 $\mathbb{P}$ 是 $[\varphi(a), \varphi(b)]$ 的分法以及 $\varphi$ 单调增我们知恰存在一个 $J\in\mathbb{P}$ 使得 $\varphi(x)\in J$ . 进而我们看到 $x\in\varphi^{-1}(J)$ .

综上于是我们发现存在 $\varphi^{-1}(J)\in\mathrm{Q}$ 使得 $x\in\varphi^{-1}(J)$ . 我们假设对 $x$ 仍存在一个 $q\in\mathrm{Q}$ 使得 $x\in q$ ，进而是存在一个 $J'\in\mathbb{P}$ 使 $x\in\varphi^{-1}(J')=q$ . 于是我们发现有 $\varphi(x)\in J, \varphi(x)\in J'$ . 由 $\mathbb{P}$ 是 $[\varphi(a), \varphi(b)]$ 的分法我们知有 $J=J'$ .

综上我们知 $\mathrm{Q}$ 是 $[a, b]$ 的分法.

<4>第四个为什么：对任意 $q\in \mathrm{Q}$ 知有存在 $J\in\mathbb{P}$ 使 $\varphi^{-1}(J)=q$ ，进而对任意 $x\in q=\varphi^{-1}(J)$ 知有 $x\in[a, b]$ 且 $\varphi(x)\in J$ ，进而由第二个为什么知有 $f(\varphi(x))=C_J$ . 故 $f\circ\varphi$ 关于 $\mathrm{Q}$ 是逐段常值的.

<5>第五个为什么：此小问证明的篇幅有点长. 设 $J\in\mathbb{P}$ .

首先我们容易观察到 $\sup\{\varphi(x) : x\in\varphi^{-1}(J)\}\leqslant\sup(J)$ . 这是因为对任意 $x\in\varphi^{-1}(J)$ 均有 $\varphi(x)\in J$ ，故对任意 $x\in\varphi^{-1}(J)$ 有 $\varphi(x)\leqslant\sup(J)$ ，进而有 $\sup\{\varphi(x) : x\in\varphi^{-1}(J)\}\leqslant\sup(J)$ .

但这并不足够，我们要证明 $\varphi[\varphi^{-1}(J)]=|J|$ ，难点在于寻找区间 $\varphi^{-1}(J)$ 的右(左)端点与J的右(左)端点的关系. 上一段我们已经得到了 $\sup\{\varphi(x) : x\in\varphi^{-1}(J)\}\leqslant\sup(J)$ ，而由f是连续单调增的我们直觉上有理由相信有

$\sup\{\varphi(x) : x\in\varphi^{-1}(J)\}=\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))$

我们现在就来证明上面这个等式.

首先我们易知 $\sup(\varphi^{-1}(J))\in[a, b]$ ，故考虑 $\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))$ 是合理的.

由于 $\varphi$ 是单调增的，故我们容易知有 $\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))\geqslant\sup\{\varphi(x) : x\in\varphi^{-1}(J)\}$ . 现在我们我们再来证明 $\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))\leqslant\sup\{\varphi(x) : x\in\varphi^{-1}(J)\}$ .

由于前面已说明 $\mathbb{P}$ 不含空集，于是由f是连续以及介值定理我们看到 $\varphi^{-1}(J)$ 不是空集. 进一步地，如果 $\varphi^{-1}(J)$ 为单元素集时等式 $\sup\{\varphi(x) : x\in\varphi^{-1}(J)\}=\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))$ 明显成立；故我们再考虑 $\varphi^{-1}(J)$ 至少含有两个不同元素，此时由第一个为什么我们知道 $\varphi^{-1}(J)$ 是无限集. 至此由习题9.1.15以及引理9.1.14我们知可以取到一个全由 $\varphi^{-1}(J)$ 中元素组成并且收敛到 $\sup(\varphi^{-1}(J))$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ . 显然的我们有 $\sup(\varphi(a_n))_{n=0}^\infty\leqslant\sup\{\varphi(x) : x\in\varphi^{-1}(J)\}$ . 但是再由 $\varphi$ 在 $\sup(\varphi^{-1}(J))$ 处连续我们知有 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\varphi(a_n)=\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))$ . 由命题6.4.12我们知有 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\varphi(a_n)\leqslant\sup(\varphi(a_n))_{n=0}^\infty$ . 综上我们看到 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\varphi(a_n)=\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))\leqslant\sup(\varphi(a_n))_{n=0}^\infty\leqslant\sup\{\varphi(x) : x\in\varphi^{-1}(J)\}$ . 这就证明了 $\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))\leqslant\sup\{\varphi(x) : x\in\varphi^{-1}(J)\}$ .

综上 $\sup\{\varphi(x) : x\in\varphi^{-1}(J)\}=\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))$ 得证.

$\sup\{\varphi(x) : x\in\varphi^{-1}(J)\}=\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))$ 结合 $\sup\{\varphi(x) : x\in\varphi^{-1}(J)\}\leqslant\sup(J)$ 我们就可以得到 $\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))\leqslant\sup(J)$ . 我们朝证明 $\varphi[\varphi^{-1}(J)]=|J|$ 又迈进了一步. 显然，只要我们再证明 $\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))\geqslant\sup(J)$ 就可以进一步得到我们想要的结果. 接下来我们就来证明 $\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))\geqslant\sup(J)$ .

对实数 $\sup(\varphi^{-1}(J))$ 来说，我们分类讨论：如果 $\sup(\varphi^{-1}(J))\in\varphi^{-1}(J)$ ，由 $\varphi$ 单调增以及连续和介值定理我们知对任意 $y\in J$ 有 $\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))\geqslant y$ ，进而有 $\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))\geqslant\sup(J)$ . 这就完成了一种情形的讨论. 接下来如果 $\sup(\varphi^{-1}(J))\notin\varphi^{-1}(J)$ ，进而我们看到 $\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))\notin J$ . 由于J是区间，我们得到“ $\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))\leqslant\inf(J)$ 或者 $\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))\geqslant\sup(J)$ ”. 由于J非空，前面我们已经证明 $\varphi^{-1}(J)$ 不是空集. 进一步地，如果J是单元素集，进而知 $\varphi^{-1}(J)$ 也是单元素集，进而我们显然有 $\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))=\sup(J)$ ；再考虑J不是退化区间的情形，此时容易知 $\varphi^{-1}(J)$ 也为非退化区间，于是我们可以从 $\varphi^{-1}(J)$ 中取出一个元素 $x_0\in\varphi^{-1}(J)$ 使得 $\varphi(x_0)$ 严格大于 $\inf(J)$ ，即 $\varphi(x_0)>\inf(J)$ . 于是我们看到 $\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))\geqslant\varphi(x_0)>\inf(J)$ . 于是 $\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))\leqslant\inf(J)$ 不成立. 结合已证的“ $\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))\leqslant\inf(J)$ 或者 $\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))\geqslant\sup(J)$ ”我们得到 $\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))\geqslant\sup(J)$ . 至此全部情形均讨论完毕.

综上我们总是有 $\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))\geqslant\sup(J)$ . 结合已证 $\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))\leqslant\sup(J)$ 我们就证明了 $\varphi(\sup(\varphi^{-1}(J)))=\sup(J)$ .

同理我们可证 $\varphi(\inf(\varphi^{-1}(J)))=\inf(J)$ .

综上我们就证明了 $\varphi[\varphi^{-1}(J)]=|J|$ .

11.10.3证明：我们来考虑两个集合 $\displaystyle A:=\{p.c.\int_{[a, b]}h_1 : h_1 \text{ is p.c. function on [a, b] which majorizes } f\}, \\B:=\{p.c.\int_{[-b, -a]}h_2 : h_2 \text{ is p.c. function on [-b, -a] which majorizes } g\}$ . 我们将证明 $A=B$ .

对任意 $s\in A$ ，我们知存在函数 $h$ 是逐段常值的并且上方控制f使得 $\displaystyle s=p.c.\int_{[a, b]}h$ .

我们定义函数 $h':[-b, -a]\rightarrow\mathbb{R}, h'(x):=h(-x)$ . 接下来我们将证明 $h'$ 是上方控制g并且是逐段常值的函数.

对任意 $x\in[-b, -a]$ ，我们有 $(-x)\in[a, b]$ ，由于 $h$ 上方控制f我们知 $h(-x)\geqslant f(-x)$ ，即 $h'(x)\geqslant g(x)$ ，故 $h'$ 上方控制g.

根据区间的性质以及“本书博文§11.1解答中文内补充第9点中还容易证明中第1.点”对分法性质的说明我们知我们当然可以取到一个[a, b]的分法 $\mathbb{P}$ 使得 $h$ 关于 $\mathbb{P}$ 是逐段常值的，并且 $\mathbb{P}$ 中的非退化区间均为开区间. 我们定义一个函数 $T:\mathbb{P}\rightarrow 2^{\mathbb{R}}$ ，如果 $P=\emptyset$ 则 $T(P):=\emptyset$ ; 如果P为单元素集则定义 $T(P):=\{-y\}(y\in P)$ ;如果P为非退化开区间，说明存在 $l_1, l_2\in\mathbb{R}$ 使得 $l_1<l_2$ 且 $P=(l_1, l_2)$ ，则我们定义 $T(P):=(-l_2, -l_1)$ .

接下来我们将证明 $\{T(P) : P\in\mathbb{P}\}$ 是 $[-b, -a]$ 的一个分法. 1.首先，由于 $\mathbb{P}$ 是有限集进而 $\{T(P) : P\in\mathbb{P}\}$ 也是有限集； 2.其次，由函数T的定义我们知 $\{T(P) : P\in\mathbb{P}\}$ 中元素均为区间； 3.最后，对任意 $x\in[-b, -a]$ ，有 $(-x)\in[a, b]$ ，由于 $\mathbb{P}$ 为 $[a, b]$ 的分法，故恰存在一个 $P\in\mathbb{P}$ 使得 $(-x)\in P$ ，进而我们容易证明 $x\in T(P)$ . 我们假设 $\{T(P) : P\in\mathbb{P}\}$ 中元素不是两两不相交，即存在 $P_1, P_2\in\{T(P) : P\in\mathbb{P}\}$ 使得 $P_1\cap P_2\neq\emptyset, P_1\neq P_2$ . 于是我们可以取到一个元素 $t\in P_1\cap P_2$ . 由“存在 $P_1, P_2\in\{T(P) : P\in\mathbb{P}\}$ 使得 $P_1\cap P_2\neq\emptyset, P_1\neq P_2$ ”进一步的，我们知存在 $P_1', P_2'\in\mathbb{P}$ 使得 $P_1'\neq P_2'$ 且 $P_1=T(P_1'), P_2=T(P_2')$ . 于是我们可以证明 $(-t)\in P_1'\cap P_2'$ . “ $(-t)\in P_1'\cap P_2'$ ”这个结果与 $\mathbb{P}$ 是 $[a, b]$ 的分法相矛盾，故我们的假设不成立，于是得到 $\{T(P) : P\in\mathbb{P}\}$ 中元素是两两不相交的. 综上，我们证明了 $\{T(P) : P\in\mathbb{P}\}$ 是 $[-b, -a]$ 的一个分法.

而对任意 $P'\in\{T(P) : P\in\mathbb{P}\}$ ，我们知道存在一个 $P\in\mathbb{P}$ 使 $P'=T(P)$ . 对任意的 $x\in P'$ ，由 $P'=T(P)$ 我们易证 $(-x)\in P$ . 但是已经我们知道 $h$ 在P上常值以及 $h'(x)=h(-x)$ ，进而可以得到 $h'$ 在 $P'$ 上常值，并且常值数值即为 $h$ 在P上常值的数值. 综上，我们知道 $h'$ 是关于 $\{T(P) : P\in\mathbb{P}\}$ 逐段常值的.

综上，我们完成了 $h'$ 是上方控制g并且是逐段常值的函数的证明.

我们再来考虑函数T的值域限制到 $\{T(P) : P\in\mathbb{P}\}$ 后的情况. 我们定义新函数 $T_{NEW}:\mathbb{P}\rightarrow\{T(P) : P\in\mathbb{P}\}, T_{NEW}(P):=T(P)$ . 显然此时T是满射. 对于任意 $P_1, P_2\in\mathbb{P}$ ，如果 $P_1\neq P_2$ ，用反证法容易知 $T_{NEW}(P_1)\neq T_{NEW}(P_2)$ . 于是 $T_{NEW}$ 是单射. 综上 $T_{NEW}$ 是双射.

对于双射 $T_{NEW}:\mathbb{P}\rightarrow\{T(P) : P\in\mathbb{P}\}$ ，我们容易发现对任意 $P\in\mathbb{P}$ 有 $|P|=|T_{NEW}(P)|$ . 并且由前面证明过程我们知函数 $h$ 在P上的常值数值 $C_P$ 等于函数 $h'$ 在 $T_{NEW}(P)$ 上的常值数值 $C_{T_{NEW}(P)}$ .

于是我们看到 $\displaystyle p.c.\int_{[-b, -a]}h'=p.c.\int_{[\{T(P) : P\in\mathbb{P}\}]}h'=\sum_{K\in\{T(P) : P\in\mathbb{P}\}}C_K|K|=\sum_{J\in\mathbb{P}}C_{T_{NEW}(J)}|T_{NEW}(J)|=\sum_{J\in\mathbb{P}}C_J|J|=p.c.\int_{[\mathbb{P}]}h=p.c.\int_{[a, b]}h$ .

综上我们有 $s\in B$ ，进而有 $A\subseteq B$ .

同理可证 $B\subseteq A$ .

故我们有 $A=B$ . 于是我们有 $\displaystyle\overline{\int}_{[-b, -a]}g=\overline{\int}_{[a, b]}f=\int_{[a, b]}f$ .

同理我们可证 $\displaystyle\underline{\int}_{[-b, -a]}g=\underline{\int}_{[a, b]}f=\int_{[a, b]}f$ .

综上，我们有 $\displaystyle\overline{\int}_{[-b, -a]}g=\underline{\int}_{[-b, -a]}g=\int_{[a, b]}f$ .

至此，我们可以说g在 $[-b, -a]$ 上可积并且有 $\int_{[-b, -a]}g=\int_{[a, b]}f$ .

在完成了习题11.10.3的证明后，我们可以进一步根据定理11.4.1(g)证明习题11.10.3中题设闭区间” $[a, b], [-b, -a]$ “可以放宽为其余类型的区间(开区间，半开半闭区间)，而习题11.10.3的结论仍然不变.

其实习题11.10.3的主要目的是学会使用§11.10各个定理命题的证明思路，我们先考虑对于逐段常值函数的简单情形，然后再推广到更一般的Riemann可积函数的情形.

值得一提的是，这个结果不可以不加其他假定条件而推广到Riemann-Stieltjes积分.

11.10.4类似命题陈述如下：设 $a\leqslant b$ . 设 $[a, b]$ 是闭区间，并设 $\varphi:[a, b]\rightarrow[\varphi(b), \varphi(a)]$ 是可微的单调减函数，而且 $\varphi'$ 是Riemann可积的. 设 $f:[\varphi(b), \varphi(a)]\rightarrow\mathbb{R}$ 是在 $[\varphi(b), \varphi(a)]$ 上Riemann可积的函数. 那么我们有 $\displaystyle-\int_{[\varphi(b), \varphi(a)]}f=\int_{[a, b]}(f\circ\varphi)\cdot\varphi'$ .

证明：此命题的证明用到了我们刚刚证明的习题11.10.3.

我们已知 $a\leqslant b$ ， $[a, b]$ 是闭区间， $\varphi:[a, b]\rightarrow[\varphi(b), \varphi(a)]$ 是可微的单调减函数，而且 $\varphi'$ 是Riemann可积的， $f:[\varphi(b), \varphi(a)]\rightarrow\mathbb{R}$ 是在 $[\varphi(b), \varphi(a)]$ 上Riemann可积的函数.

我们当然不能直接用命题11.10.7，但是我们由习题11.10.3我们观察到有 $\displaystyle\int_{[a, b]}(f\circ\varphi)\varphi'=\int_{[-b, -a]}(f(\varphi(-x)))\varphi'(-x)dx$ . 而 $\varphi(-x)$ 就是增函数，就可以利用命题11.10.7. 现在就来做此事.

我们定义 $\varphi_0:[-b, -a]\rightarrow[\varphi(b), \varphi(a)], \varphi_0(x):=\varphi(-x)$ . 由函数 $\varphi$ 已知性质我们容易证明 $\varphi_0:[-b, -a]\rightarrow[\varphi(b), \varphi(a)]$ 在 $[-b, -a]$ 可微且单调增和 $\varphi_0'$ 是Riemann可积的.

于是由命题11.10.7我们知道有 $\displaystyle\int_{[-b, -a]}(f\circ\varphi_0)\varphi_0'=\int_{[\varphi(b), \varphi(a)]}f$ ，也即 $\displaystyle\int_{[-b, -a]}(f(\varphi(-x)))[\varphi(-x)]'dx=\int_{[\varphi(b), \varphi(a)]}f$ ，进而由 $[\varphi(-x)]'=-\varphi'(-x)$ 知 $\displaystyle\int_{[-b, -a]}(f(\varphi(-x)))\varphi'(-x)dx=-\int_{[\varphi(b), \varphi(a)]}f$ .再由习题11.10.3我们知道 $\displaystyle-\int_{[\varphi(b), \varphi(a)]}f=\int_{[a, b]}(f\circ\varphi)\cdot\varphi'$ .

这就完成了证明.

证明二：对于一个减函数来说，其关于Y轴对称的函数变成了增函数，前面的证明就是利用了这一点. 同样地，我们注意到减函数关于X轴对称的函数也是增函数，这为我们指明了另一条证明路径，现在叙述如下.

已知“设 $a\leqslant b$ . 设 $[a, b]$ 是闭区间，并设 $\varphi:[a, b]\rightarrow[\varphi(b), \varphi(a)]$ 是可微的单调减函数，而且 $\varphi'$ 是Riemann可积的. 设 $f:[\varphi(b), \varphi(a)]\rightarrow\mathbb{R}$ 是在 $[\varphi(b), \varphi(a)]$ 上Riemann可积的函数.”.

于是容易看到 $-\varphi:[a, b]\rightarrow[-\varphi(a), -\varphi(b)]$ 是可微的单调增函数且 $(-\varphi)'$ 是Riemann可积的. 由习题11.10.3我们知道函数 $f:[\varphi(b), \varphi(a)]\rightarrow\mathbb{R}$ 关于Y轴的对称 $f_2(x):=f(-x)$ 是在 $[-\varphi(a), -\varphi(b)]$ 上Riemann可积的并且两者积分值相同 $\displaystyle\int_{[-\varphi(a), -\varphi(b)]}f_2=\int_{[\varphi(b), \varphi(a)]}f$ .

直接应用命题11.10.7我们将得到 $\displaystyle\int_{[-\varphi(a), -\varphi(b)]}f_2=\int_{[a, b]}(f_2\circ(-\varphi))(-\varphi)'=-\int_{[a, b]}(f_2\circ(-\varphi))\varphi'$ .

将 $\displaystyle\int_{[-\varphi(a), -\varphi(b)]}f_2=-\int_{[a, b]}(f_2\circ(-\varphi))\varphi'$ 改写成 $\displaystyle\int_{[\varphi(b), \varphi(a)]}f=-\int_{[a, b]}(f\circ\varphi)\varphi'$ ，只需要注意到 $f_2\circ(-\varphi)=f\circ\varphi$ .

文内补充

定理11.10.2对应的减函数版本：设 $\alpha:[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$ 是单调减函数，并设 $\alpha$ 在 $[a, b]$ 上还是可微的而且 $\alpha'$ 是Riemann可积的. 设 $f:[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$ 是 $[a, b]$ 上的逐段常值函数，那么 $f\alpha'$ 在 $[a, b]$ 上Riemann可积，并且有 $\displaystyle\int_{[a, b]}f\alpha'=-\int_{[a, b]}fd(-\alpha)$ . 证明很容易，只需注意到函数 $-\alpha$ 是增函数并且运用定理11.10.2.
推论11.10.3对应的减函数版本：设 $\alpha:[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$ 是单调减函数，并设 $\alpha$ 在 $[a, b]$ 上还是可微的而且 $\alpha'$ 是Riemann可积的. 设 $f:[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$ 是关于 $-\alpha$ 在 $[a, b]$ 上Riemann-Stieltjes可积，那么 $f\alpha'$ 在 $[a, b]$ 上Riemann可积，并且有 $\displaystyle\int_{[a, b]}f\alpha'=-\int_{[a, b]}fd(-\alpha)$ . 证明很容易，只需注意到函数 $-\alpha$ 是增函数并且运用推论11.10.3.
引理11.10.5对应的减函数版本：设 $[a, b]$ 是闭区间，并设 $\varphi:[a, b]\rightarrow[\varphi(b), \varphi(a)]$ 是连续的单调减函数. 设 $f:[-\varphi(a), -\varphi(b)]\rightarrow\mathbb{R}$ 是在 $[-\varphi(a), -\varphi(b)]$ 上逐段常值函数. 那么有 $f\circ(-\varphi):[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$ 也是逐段常值函数，并且 $\displaystyle\int_{[-\varphi(a), -\varphi(b)]}f=\int_{[a, b]}(f\circ(-\varphi))d(-\varphi)$ . 证明很容易，只需注意到函数 $-\varphi$ 是增函数并且运用引理11.10.5.
命题11.10.6对应的减函数版本：设 $[a, b]$ 是闭区间，并设 $\varphi:[a, b]\rightarrow[\varphi(b), \varphi(a)]$ 是连续的单调减函数. 设 $f:[-\varphi(a), -\varphi(b)]\rightarrow\mathbb{R}$ 是在 $[-\varphi(a), -\varphi(b)]$ 上Riemann可积. 那么有 $f\circ(-\varphi):[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$ 是关于 $(-\varphi)$ 在 $[a, b]$ 上Riemann-Stieltjes可积，并且 $\displaystyle\int_{[-\varphi(a), -\varphi(b)]}f=\int_{[a, b]}(f\circ(-\varphi))d(-\varphi)$ . 证明很容易，只需注意到函数 $-\varphi$ 是增函数并且运用命题11.10.6.
结合“推论11.10.3对应的减函数版本”和“命题11.10.6对应的减函数版本”我们可以得到如下结论P：设 $a\leqslant b$ . 设 $[a, b]$ 是闭区间，并设 $-\varphi:[a, b]\rightarrow[-\varphi(a), -\varphi(b)]$ 是可微的单调增函数，而且 $(-\varphi)'$ 是Riemann可积的. 设 $f:[-\varphi(a), -\varphi(b)]\rightarrow\mathbb{R}$ 是在 $[-\varphi(a), -\varphi(b)]$ 上Riemann可积的函数. 那么 $(f\circ(-\varphi))\varphi':[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$ 是在 $[a, b]$ 上Riemann可积的函数，并且有 $\displaystyle\int_{[-\varphi(a), -\varphi(b)]}f=-\int_{[a, b]}(f\circ(-\varphi))\cdot\varphi'$ . 此结论也可以从命题11.10.7直接推出，或者从习题11.10.4的结论结合将习题11.10.3的结论应用到函数 $f:[-\varphi(a), -\varphi(b)]\rightarrow\mathbb{R}$ 上推出.

2.命题11.10.1、引理11.10.5、命题11.10.6、命题11.10.7中闭区间 $[a, b]$ 应满足 $a\leqslant b$ ，并且 $a=b$ 时它们是极其平凡的.

定理11.10.2以及推论11.10.3中闭区间 $[a, b]$ 有 $a, b\in\mathbb{R}$ ，但是当 $a\geqslant b$ 时它们是极其平凡的.

3.定理11.10.2中“将其推广到任意基数的分法——为什么这个推广成立？”——详见习题11.4.3.

4.在推论11.10.3中f不一定是Riemann可积的.

5.在推论11.10.3中的“(为什么？)”.

其实可以提炼为一个这样的问题：已知A、B均为 $\mathbb{R}$ 的子集. 而对任意 $b\in B$ 均存在 $a\in A$ 使得 $b\geqslant a$ . 简单的推理我们就发现有 $\inf(B)\geqslant\inf(A)$ .

6.命题11.10.6中的“(为什么？)”. 显然.

7.命题11.10.6证明中用到了引理11.3.3关于Riemann-Stieltjes积分的推广.

8.有了命题11.10.7，我们可以选取 $\varphi(x):=x+C(C\in\mathbb{R})$ 来证明函数平移不改变函数积分值；

同样的我们可以选取 $\varphi(x):=kx(k\in\mathbb{R}, k>0)$ 来证明函数伸缩不改变函数积分值.

而习题11.10.3是告诉我们关于直线 $x=0$ 左右对称的两函数具有相同的积分值.

9.除了命题11.10.1必须要求I为闭区间外，定理11.10.2、推论11.10.3、引理11.10.5、命题11.10.6、命题11.10.7中闭区间 $[a, b]$ 或许可以改为其他类型区间后有类似的结论.