《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§11.5解答

习题11.5

11.5.1证明：由于f是逐段连续的，即存在一个I的分法 $\mathbb{P}$ 使得对一切 $J\in\mathbb{P}$ 有 $f|_J$ 在J上连续，再由f在I上有界知 $f|_J$ 也有界. 综上，对一切 $J\in\mathbb{P}$ 有 $f|_J$ 有界且连续，故 $f|_J$ 是Riemann可积的. 故对一切实数 $\varepsilon>0$ ，对一切 $J\in\mathbb{P}$ 可以找到 $f|_J$ 的上方控制并且是逐段连续的函数 $h_J$ 使得 $\displaystyle\int_J h_J\leqslant\int_J f|_J+\varepsilon$ . 我们定义函数 $H:I\rightarrow\mathbb{R}$ ，对一切 $x\in I$ ，由于 $\mathbb{P}$ 为I的分法，故恰存在一个 $J\in\mathbb{P}$ 使得 $x\in J$ ，于是我们定义 $H(x):=h_J(x)$ . 我们容易验证H为f的上方控制并且是逐段常值函数，于是H是Riemann可积的，再由习题11.4.3我们有 $\displaystyle\overline{\int}_I f\leqslant\int_I H=\sum_{J\in\mathbb{P}}\int_J H=\sum_{J\in\mathbb{P}}\int_J h_J\leqslant\sum_{J\in\mathbb{P}}(\int_J f|_J+\varepsilon)=\sum_{J\in\mathbb{P}}\int_J f|_J+\#(\mathbb{P})\varepsilon$ .

同理我们可证 $\displaystyle\underline{\int}_I f\geqslant\sum_{J\in\mathbb{P}}\int_J f|_J-\#(\mathbb{P})\varepsilon$ .

综上我们有 $\displaystyle\overline{\int}_I f-\underline{\int}_I f\leqslant\#(\mathbb{P})(2\varepsilon)$ . 由于正数 $\varepsilon$ 的任意性，故我们有 $\displaystyle\overline{\int}_I f=\underline{\int}_I f$ . 故f为Riemann可积的，进而由习题11.4.3有 $\displaystyle\int_I f=\sum_{J\in\mathbb{P}}\int_J f|_J=\sum_{J\in\mathbb{P}}\int_J f$ .

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