《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§11.4解答

习题11.4

11.4.1证明：(a)我们由习题11.3.1以及定理11.2.16容易证明 $\displaystyle \{p.c.\int_I h_1+p.c.\int_I h_2 : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}, h_2\text{ is a p.c. function on I which majorizes g}\}\subseteq\{p.c.\int_I h : h\text{ is a p.c. function on I which majorizes (f+g)}\}$ ，进而有 $\displaystyle\inf\{p.c.\int_I h_1+p.c.\int_I h_2 : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}, h_2\text{ is a p.c. function on I which majorizes g}\}\geqslant\overline{\int}_I (f+g)$ . 同理我们易证 $\displaystyle \{p.c.\int_I h_3+p.c.\int_I h_4 : h_3\text{ is a p.c. function on I which minorizes f}, h_4\text{ is a p.c. function on I which minorizes g}\}\subseteq\{p.c.\int_I h' : h'\text{ is a p.c. function on I which minorizes (f+g)}\}$ ，进而有 $\displaystyle\sup\{p.c.\int_I h_3+p.c.\int_I h_4 : h_3\text{ is a p.c. function on I which minorizes f}, h_4\text{ is a p.c. function on I which minorizes g}\}\leqslant\underline{\int}_I (f+g)$ .

接下来我们将证明 $\displaystyle\inf\{p.c.\int_I h_1+p.c.\int_I h_2 : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}, h_2\text{ is a p.c. function on I which majorizes g}\}=\sup\{p.c.\int_I h_3+p.c.\int_I h_4 : h_3\text{ is a p.c. function on I which minorizes f}, h_4\text{ is a p.c. function on I which minorizes g}\}=\int_I f+\int_I g$ .

对任何元素 $\displaystyle x\in\{p.c.\int_I h_1+p.c.\int_I h_2 : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}, h_2\text{ is a p.c. function on I which majorizes g}\}$ ，有 $\displaystyle x\geqslant\overline{\int}_I f+\overline{\int}_I g=\int_I f+\int_I g$ . 进而有 $\displaystyle\inf\{p.c.\int_I h_1+p.c.\int_I h_2 : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}, h_2\text{ is a p.c. function on I which majorizes g}\}\geqslant\int_I f+\int_I g$ . 而对任意f的上方控制并且是逐段常值函数 $h_5$ ，对任意g的上方控制并且是逐段常值函数 $h_6$ ，我们有 $\displaystyle\inf\{p.c.\int_I h_1+p.c.\int_I h_2 : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}, h_2\text{ is a p.c. function on I which majorizes g}\}\leqslant p.c.\int_I h_5+p.c.\int_I h_6$ ，即（由f、g是Riemann可积的我们知道两函数是有界函数，进而 $\displaystyle\inf\{p.c.\int_I h_1+p.c.\int_I h_2 : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}, h_2\text{ is a p.c. function on I which majorizes g}\}$ 是实数，故可以进行加减） $\displaystyle\inf\{p.c.\int_I h_1+p.c.\int_I h_2 : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}, h_2\text{ is a p.c. function on I which majorizes g}\}-p.c.\int_I h_5\leqslant p.c.\int_I h_6$ ，对 $h_6$ 取下确界我们就得到结论：对任意f的上方控制并且是逐段常值函数 $h_5$ 我们有 $\displaystyle\inf\{p.c.\int_I h_1+p.c.\int_I h_2 : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}, h_2\text{ is a p.c. function on I which majorizes g}\}-p.c.\int_I h_5\leqslant\overline{\int}_I g=\int_I g$ ，即对任意f的上方控制并且是逐段常值函数 $h_5$ 我们有 $\displaystyle\inf\{p.c.\int_I h_1+p.c.\int_I h_2 : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}, h_2\text{ is a p.c. function on I which majorizes g}\}-\int_I g\leqslant p.c.\int_I h_5$ ，我们再对 $h_5$ 取下确界就有 $\displaystyle\inf\{p.c.\int_I h_1+p.c.\int_I h_2 : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}, h_2\text{ is a p.c. function on I which majorizes g}\}-\int_I g\leqslant\overline{\int}_I f=\int_I f$ . 即有 $\displaystyle\inf\{p.c.\int_I h_1+p.c.\int_I h_2 : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}, h_2\text{ is a p.c. function on I which majorizes g}\}\leqslant\int_I f+\int_I g$ . 综上我们有 $\displaystyle\inf\{p.c.\int_I h_1+p.c.\int_I h_2 : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}, h_2\text{ is a p.c. function on I which majorizes g}\}=\int_I f+\int_I g$ .

同理我们可证 $\displaystyle\sup\{p.c.\int_I h_3+p.c.\int_I h_4 : h_3\text{ is a p.c. function on I which minorizes f}, h_4\text{ is a p.c. function on I which minorizes g}\}=\int_I f+\int_I g$ .

结合第一段的证明我们就有 $\displaystyle\int_I f+\int_I g\geqslant\overline{\int}_I (f+g)$ 和 $\displaystyle\int_I f+\int_I g\leqslant\underline{\int}_I (f+g)$ . 由引理11.3.3我们知有 $\displaystyle\int_I f+\int_I g\leqslant\underline{\int}_I (f+g)\leqslant\overline{\int}_I (f+g)\leqslant\int_I f+\int_I g$ ，进而有 $\displaystyle\underline{\int}_I (f+g)=\overline{\int}_I (f+g)=\int_I f+\int_I g$ ，于是(f+g)是Riemann可积的并且 $\displaystyle\int_I(f+g)=\int_I f+\int_Ig$ .

(b)当c为0时容易验证等式是成立的. 现在考虑 $c\neq 0$ 的情形.

我们先假设 $c>0$ . 我们考虑集合 $\displaystyle\{c(p.c.\int_I h_1) : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}\}$ . 对任意元素 $\displaystyle x\in\{c(p.c.\int_I h_1) : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}\}$ ，有 $\displaystyle x\geqslant c(\overline{\int}_I f)=c(\int_I f)$ . 进而有 $\displaystyle\inf\{c(p.c.\int_I h_1) : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}\}\geqslant c(\int_I f)$ . 而对任意集合 $\displaystyle\{c(p.c.\int_I h_1) : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}\}$ 的下界 $L\in\mathbb{R}$ ，有对任意f的上方控制并且是逐段常值函数 $h_1$ ，有 $\displaystyle c(p.c.\int_I h_1)\geqslant L$ ，即 $\displaystyle p.c.\int_I h_1\geqslant \frac{L}{c}$ . 进而我们对 $h_1$ 取下确界得到 $\displaystyle\overline{\int}_I f\geqslant\frac{L}{c}$ ，即 $\displaystyle c(\overline{\int}_I f)\geqslant L$ ，即 $\displaystyle c(\int_I f)\geqslant L$ . 而当L为 $-\infty$ 亦有 $\displaystyle c(\int_I f)\geqslant L$ . 进而有 $\displaystyle c(\int_I f)\geqslant\inf\{c(p.c.\int_I h_1) : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}\}$ . 综上，我们有 $\displaystyle \inf\{c(p.c.\int_I h_1) : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}\}=c(\int_I f)$ . 同理我们可证有 $\displaystyle \sup\{c(p.c.\int_I h_2) : h_2\text{ is a p.c. function on I which minorizes f}\}=c(\int_I f)$ . 我们容易证明 $\displaystyle\{c(p.c.\int_I h_1) : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}\}\subseteq\{p.c.\int_I h : h\text{ is a p.c. function on I which majorizes (cf)}\}$ 和 $\displaystyle\{c(p.c.\int_I h_2) : h_2\text{ is a p.c. function on I which minorizes f}\}\subseteq\{p.c.\int_I h' : h'\text{ is a p.c. function on I which minorizes (cf)}\}$ . 进而有 $\displaystyle\inf\{c(p.c.\int_I h_1) : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}\}\geqslant\inf\{p.c.\int_I h : h\text{ is a p.c. function on I which majorizes (cf)}\}$ 和 $\displaystyle\sup\{c(p.c.\int_I h_2) : h_2\text{ is a p.c. function on I which minorizes f}\}\leqslant\sup\{p.c.\int_I h' : h'\text{ is a p.c. function on I which minorizes (cf)}\}$ . 由上面一段即 $\displaystyle c(\int_I f)\geqslant\inf\{p.c.\int_I h : h\text{ is a p.c. function on I which majorizes (cf)}\}$ 和 $\displaystyle c(\int_I f)\leqslant\sup\{p.c.\int_I h' : h'\text{ is a p.c. function on I which minorizes (cf)}\}$ . 进而有 $\displaystyle c(\int_I f)\leqslant \underline{\int}_I(cf)\leqslant \overline{\int}_I(cf)\leqslant c(\int_I f)$ ，进而 $\displaystyle \underline{\int}_I(cf)=\overline{\int}_I(cf)=c(\int_I f)$ ，于是此时有(cf)是Riemann可积的并且 $\displaystyle \int_I(cf)=c(\int_I f)$ .

我们再来考虑 $c=-1$ 的情形. 此时我们容易证明 $\displaystyle\{p.c.\int_I h : -h\text{ is a p.c. function on I which majorizes (f)}\}=\{p.c.\int_I h' : h'\text{ is a p.c. function on I which minorizes (-f)}\}$ 和 $\displaystyle\{p.c.\int_I h' : -h'\text{ is a p.c. function on I which minorizes (f)}\}=\{p.c.\int_I h : h\text{ is a p.c. function on I which majorizes (-f)}\}$ . 即 $\displaystyle\{p.c.\int_I -h : h\text{ is a p.c. function on I which majorizes (f)}\}=\{p.c.\int_I h' : h'\text{ is a p.c. function on I which minorizes (-f)}\}$ 和 $\displaystyle\{p.c.\int_I -h' : h'\text{ is a p.c. function on I which minorizes (f)}\}=\{p.c.\int_I h : h\text{ is a p.c. function on I which majorizes (-f)}\}$ . 于是我们有 $\displaystyle\sup\{p.c.\int_I h' : h'\text{ is a p.c. function on I which minorizes (-f)}\}=\sup\{p.c.\int_I -h : h\text{ is a p.c. function on I which majorizes (f)}\}=-\inf\{p.c.\int_I h : h\text{ is a p.c. function on I which majorizes (f)}\}=-\overline{\int}_I f=-\int_I f$ 和 $\displaystyle\inf\{p.c.\int_I h : h\text{ is a p.c. function on I which majorizes (-f)}\}=\inf\{p.c.\int_I -h' : h'\text{ is a p.c. function on I which minorizes (f)}\}=-\sup\{p.c.\int_I h' : h'\text{ is a p.c. function on I which minorizes (f)}\}=-\underline{\int}_I f=-\int_I f$ . 于是我们看到 $\displaystyle\sup\{p.c.\int_I h' : h'\text{ is a p.c. function on I which minorizes (-f)}\}=\inf\{p.c.\int_I h : h\text{ is a p.c. function on I which majorizes (-f)}\}=-\int_I f$ . 于是当 $c=-1$ 时我们有 $(cf)$ 是Riemann可积的，并且 $\displaystyle\int_I(cf)=c(\int_I f)$ .

我们再来考虑 $c<0$ 的情形. 此时 $\displaystyle c(\int_I f)=((-1)\cdot(-c))\cdot(\int_I f)=(-1)\cdot((-c)\cdot(\int_I f))=(-1)\cdot(\int_I ((-c)\cdot f))=(\int_I ((-1)\cdot(-c)\cdot f))=\int_I(cf)$ . 这就完成了证明.

下面这一段论述是正确的，但不能证明这一问. 所以不用看.

我们再来考虑的情形.
此时我们容易证明和.
进而我们有和，即和.
进而我们有.

(c)由上面(a)与(b)的结论我们有 $\displaystyle\int_If-\int_Ig=\int_If+(-\int_Ig)=\int_If+\int_I(-g)=\int_I(f+(-g))=\int_I(f-g)$ .

(d)我们知道 $\displaystyle\int_I f=\overline{\int}_I f=\inf\{p.c.\int_I h : h\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}\}$ . 而对一切元素 $\displaystyle x\in\{p.c.\int_I h : h\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}\}$ ，由“对一切 $x\in I$ 有 $f(x)\geqslant 0$ ”以及定理11.2.16(d)我们知 $x\geqslant 0$ ，故 $\displaystyle\int_I f\geqslant 0$ .

值得补充的是，如果条件“对一切 $x\in I$ 有 $f(x)\geqslant 0$ ”改为“对一切 $x\in I$ 有 $f(x)>0$ ”，我们有：如果I为空集或单点集那么有 $\displaystyle\int_I f=0$ ；如果I为非退化区间那么 $\displaystyle\int_I f>0$ . 这个证明要用到套区间定理、或者使用函数黎曼可积的充要条件（结合习题11.4.2）、或者使用测度理论中的勒贝格积分，所以我们这里不做证明，以后有机会再补上.

(e)由“对一切 $x\in I$ 有 $f(x)\geqslant g(x)$ ”知对一切 $x\in I$ 有 $(f-g)(x)=f(x)-g(x)\geqslant 0$ ，进而由上面(d)的证明知 $\displaystyle\int_I(f-g)\geqslant 0$ ，由上面(c)的证明知有 $\displaystyle\int_I f-\int_I g\geqslant 0$ ，即 $\displaystyle\int_I f\geqslant\int_I g$ .

由(d)中补充知如果条件“对一切 $x\in I$ 有 $f(x)\geqslant g(x)$ ”改为“对一切 $x\in I$ 有 $f(x)>g(x)$ ”，那么我们有——如果I为空集或单元素集那么 $\displaystyle\int_I f=\int_I g=0$ ；如果I为非退化区间那么 $\displaystyle\int_I f>\int_I g$ .

(f)由引理11.3.7知 $\displaystyle\int_I f=p.c.\int_If=c|I|$ .

(g)对任意上方控制f并且逐段常值的函数 $h_1$ ，我们定义函数 $H_1:J\rightarrow\mathbb{R}$ ，如果 $x\in I$ 则 $H_1(x):=h_1(x)$ ；如果 $x\notin I$ 则 $H_1(x):=0$ . 由定理11.2.16(g)知 $H_1$ 在区间J上逐段常值并且 $\displaystyle p.c.\int_J H_1=p.c.\int_I h_1$ ，而我们容易验证此时 $H_1$ 是函数F的上方控制. 于是我们看到 $\displaystyle\{p.c.\int_I h_1 : h_1\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}\}\subseteq\{p.c.\int_J H_1 : H_1\text{ is a p.c. function on J which majorizes F}\}$ ，进而有 $\displaystyle\overline{\int}_I f\geqslant\overline{\int}_J F$ .

同理我们可证 $\displaystyle\underline{\int}_I f\leqslant\underline{\int}_J F$ .

再结合引理11.3.3我们就有 $\displaystyle\overline{\int}_I f\geqslant\overline{\int}_J F\geqslant\underline{\int}_J F\geqslant\underline{\int}_I f$ . 由于f是Riemann可积的，即有 $\displaystyle\overline{\int}_I f=\underline{\int}_I f=\int_I f$ . 故我们有 $\displaystyle\overline{\int}_J F=\underline{\int}_J F=\int_I f$ .

综上，F在J上Riemann可积并且 $\displaystyle\int_J F=\int_I f$ .

(h)我们定义函数 $F_J:I\rightarrow\mathbb{R}$ ，如果 $x\in J$ 则 $F_J(x):=f(x)$ ；如果 $x\notin J$ 则 $F_J(x):=0$ . 定义函数 $F_K:I\rightarrow\mathbb{R}$ ，如果 $x\in K$ 则 $F_K(x):=f(x)$ ；如果 $x\notin K$ 则 $F_K(x):=0$ .

而对一切 $x\in I$ 有 $x\in J, x\in K$ 恰有一个成立，进而有 $f(x)=F_J(x)+F_K(x)$ . 于是我们由上面(c)的结论知 $F_J, F_K$ 只能为都黎曼可积或都不黎曼可积.

由于f是Riemann可积的，于是我们有 $\displaystyle\int_I f=\overline{\int}_I f=\inf\{p.c.\int_I h : h\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}\}=\inf\{p.c.\int_J h+p.c.\int_K h : h\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}\}$ .

而对任意上方控制f并且逐段常值的函数h，当把函数 $h, F_J$ 的定义域都限制到J上时，我们容易验证此时 $h|_J$ 是 $F_J|_J$ 的上方控制. 于是我们有 $\displaystyle p.c.\int_J h|_J\in\{p.c.\int_J h_1 : h_1\text{ is a p.c. function on J which majorizes }F_J|_J\}$ ，即 $\displaystyle p.c.\int_J h\in\{p.c.\int_J h_1 : h_1\text{ is a p.c. function on J which majorizes }F_J|_J\}$ . 同理我们可证 $\displaystyle p.c.\int_K h\in\{p.c.\int_K h_2 : h_2\text{ is a p.c. function on K which majorizes }F_K|_K\}$ . 综上，对任意上方控制f并且逐段常值的函数h，我们有 $\displaystyle p.c.\int_J h\geqslant\inf\{p.c.\int_J h_1 : h_1\text{ is a p.c. function on J which majorizes }F_J|_J\}$ 和 $\displaystyle p.c.\int_K h\geqslant\inf\{p.c.\int_K h_2 : h_2\text{ is a p.c. function on K which majorizes }F_K|_K\}$ . 进而对一切上方控制f并且逐段常值的函数h，我们有 $\displaystyle p.c.\int_J h+p.c.\int_K h\geqslant\inf\{p.c.\int_J h_1 : h_1\text{ is a p.c. function on J which majorizes }F_J|_J\}+\inf\{p.c.\int_K h_2 : h_2\text{ is a p.c. function on K which majorizes }F_K|_K\}$ . 我们再对h取下确界，就有 $\displaystyle\int_I f=\overline{\int}_I f=\inf\{p.c.\int_I h : h\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}\}=\inf\{p.c.\int_J h+p.c.\int_K h : h\text{ is a p.c. function on I which majorizes f}\}\geqslant\inf\{p.c.\int_J h_1 : h_1\text{ is a p.c. function on J which majorizes }F_J|_J\}+\inf\{p.c.\int_K h_2 : h_2\text{ is a p.c. function on K which majorizes }F_K|_K\}$ . 综上，我们证明了 $\displaystyle\overline{\int}_I f\geqslant\overline{\int}_J F_J|_J+\overline{\int}_K F_K|_K$ .

类似的论证我们可以证明 $\displaystyle\underline{\int}_I f\leqslant\underline{\int}_J F_J|_J+\underline{\int}_K F_K|_K$ .

而由于有 $\displaystyle\overline{\int}_J F_J|_J\geqslant\underline{\int}_J F_J|_J$ 和 $\displaystyle\overline{\int}_K F_K|_K\geqslant\underline{\int}_K F_K|_K$ . 进而有 $\displaystyle\overline{\int}_J F_J|_J+\overline{\int}_K F_K|_K\geqslant\underline{\int}_J F_J|_J+\underline{\int}_K F_K|_K$ ，结合上面已证我们知道有 $\displaystyle\overline{\int}_I f\geqslant\overline{\int}_J F_J|_J+\overline{\int}_K F_K|_K\geqslant\underline{\int}_J F_J|_J+\underline{\int}_K F_K|_K\geqslant\underline{\int}_I f$ ，进而可以得到 $\displaystyle\int_I f=\overline{\int}_J F_J|_J+\overline{\int}_K F_K|_K=\underline{\int}_J F_J|_J+\underline{\int}_K F_K|_K$ . 由于在区间J上函数f和函数 $F_J|_J$ 给出相同的函数值并且在区间K上函数f和函数 $F_K|_K$ 给出相同的函数值，于是上述结论可以改写成 $\displaystyle\int_I f=\overline{\int}_J f|_J+\overline{\int}_K f|_K=\underline{\int}_J f|_J+\underline{\int}_K f|_K$ ，也即 $\displaystyle\int_I f=\overline{\int}_J f+\overline{\int}_K f=\underline{\int}_J f+\underline{\int}_K f$ .

我们假设 $F_J, F_K$ 均不是Riemann可积的，由上面(g)的结论的逆否命题我们知道 $f|_J, f|_K$ 均不是Riemann可积的，于是我们有 $\displaystyle\overline{\int}_J f|_J>\underline{\int}_J f|_J$ 和 $\displaystyle\overline{\int}_K f|_K>\underline{\int}_K f|_K$ . 进而有 $\displaystyle\overline{\int}_J f|_J+\overline{\int}_K f|_K>\underline{\int}_J f|_J+\underline{\int}_K f|_K$ . 这明显与我们证明的 $\displaystyle\int_I f=\overline{\int}_J f|_J+\overline{\int}_K f|_K=\underline{\int}_J f|_J+\underline{\int}_K f|_K$ 相矛盾. 故假设不成立.

综上，只可能是 $F_J, F_K$ 只能为都黎曼可积. 由此，由上面(g)的结论我们知有 $\displaystyle\int_I F_J=\int_J F_J|_J=\int_J f|_J=\int_J f$ 以及 $\displaystyle\int_I F_K=\int_K F_K|_K=\int_J f|_K=\int_K f$ .

再由(a)证明的结论我们知 $\displaystyle \int_I f=\int_I(F_J+F_K)=\int_I F_J+\int_I F_K=\int_J F_J|_J+\int_K F_K|_K=\int_J f|_J+\int_K f|_K=\int_J f+\int_K f$ . 这就完成了证明.

11.4.2证明：我们假设存在 $x_0\in[a, b]$ 使得 $f(x_0)\neq 0$ ，由于f非负，则 $f(x_0)>0$ . 由于f在[a, b]上连续，进而也在 $x_0$ 处连续，故对实数 $\frac{1}{2}f(x_0)>0$ ，存在实数 $\delta>0$ ，使得对一切 $x\in[a, b]$ 有如果 $|x-x_0|<\delta$ 则 $|f(x)-f(x_0)|\leqslant\frac{1}{2}f(x_0)$ （也即 $0<\frac{1}{2}f(x_0)\leqslant f(x)\leqslant\frac{3}{2}f(x_0)$ ）. 于是我们找到了区间 $(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]$ 使得对一切 $x\in(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]$ 有 $f(x)\geqslant\frac{1}{2}f(x_0)>0$ . 由于 $x_0\in(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]$ ，所以 $x_0\in(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]$ 非空. 下面我们将证明 $x_0\in(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]$ 不是单元素集.

我们容易知道 $(max(x_0-\delta, a), min(x_0+\delta, b))\subseteq(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]\subseteq[max(x_0-\delta, a), min(x_0+\delta, b)]$ ，而对于两区间 $(max(x_0-\delta, a), min(x_0+\delta, b)), [max(x_0-\delta, a), min(x_0+\delta, b)]$ 的差别只在于后者至多比前者多包含端点 $max(x_0-\delta, a), min(x_0+\delta, b)$ ，于是我们得到如果 $[max(x_0-\delta, a), min(x_0+\delta, b)]$ 非退化那么 $(max(x_0-\delta, a), min(x_0+\delta, b))$ 也非退化. 现在我们假设 $(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]$ 为单点集，由上面 $(max(x_0-\delta, a), min(x_0+\delta, b))\subseteq(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]\subseteq[max(x_0-\delta, a), min(x_0+\delta, b)]$ 我们知道 $(max(x_0-\delta, a), min(x_0+\delta, b))$ 为退化的，进而 $[max(x_0-\delta, a), min(x_0+\delta, b)]$ 也为退化的. 但是我们有 $x_0\in(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]\subseteq[max(x_0-\delta, a), min(x_0+\delta, b)]$ ，所以此时 $[max(x_0-\delta, a), min(x_0+\delta, b)]$ 退化为单点集，进而有 $max(x_0-\delta, a)=min(x_0+\delta, b)$ ，简单的分类讨论后知只可能为 $x_0-\delta>a$ 且 $x_0+\delta>b$ ，或者为 $x_0-\delta<a$ 且 $x_0+\delta<b$ 这两种情况. 对于前一种情形有 $(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]=(x_0-\delta, b]$ ；对于后一种情形有 $(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]=[a, x_0+\delta)$ ，但无论如何此时 $(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]$ 均不为单点集. 综上我们证明了“如果 $(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]$ 为单点集那么 $(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]$ 不为单点集”，进而 $(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]$ 不为单点集.

综上，我们知道 $(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]$ 不为空集或单点集，于是 $(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]$ 不是退化的区间，进而其长度 $|(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]|>0$ .

由于 $(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]\subseteq[a, b]$ ，我们定义函数 $h:[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$ ，如果 $x\in(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]$ 则 $h(x):=\frac{1}{2}f(x_0)$ ；否则 $h(x):=0<f(x)$ . 容易验证h为f的下方控制，并且仿照定理11.2.16(g)的证明知h在[a, b]上关于分法 $\mathbb{P}=\{(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b], \{x\in[a, b] : x\notin(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]\text{ and }x\leqslant\inf((x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b])\}, \{x\in[a, b] : x\notin(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]\text{ and }x\geqslant\sup((x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b])\}\}$ 逐段常值. 进而我们有 $\displaystyle\int_{[a, b]}f=\underline{\int}_{[a, b]}f\geqslant p.c.\int_{[a, b]}h=p.c.\int_{[\mathbb{P}]}h=0+\frac{1}{2}f(x_0)|(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]|+0=\frac{1}{2}f(x_0)|(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap[a, b]|>0$ . 这个矛盾说明我们的假设不成立，故对于一切 $x\in[a, b]$ 有 $f(x)=0$ .

11.4.3证明：我们对 $\mathbb{P}$ 的基数进行归纳. 当 $\#(\mathbb{P})=0$ 时，此时 $I=\emptyset$ ，由注11.3.8以及命题7.1.11知有 $\displaystyle\int_I f=0=\sum_{J\in\mathbb{P}}\int_J f$ . 当 $\#(\mathbb{P})=1$ 时，此时 $\mathbb{P}=\{I\}$ ，进而 $\displaystyle\int_I f=\sum_{J\in\{I\}}\int_J f=\sum_{J\in\mathbb{P}}\int_J f$ . 当 $\#(\mathbb{P})=2$ 时， $\displaystyle\int_I f=\sum_{J\in\mathbb{P}}\int_J f$ 由定理11.4.1(h)保证.

现在归纳假设对某自然数 $n\geqslant 2$ ，对一切自然数 $k\leqslant n$ 有：当 $\#(\mathbb{P})=k$ 时有 $\displaystyle\int_I f=\sum_{J\in\mathbb{P}}\int_J f$ .

下面我们来证明对自然数n+1亦有：当 $\mathbb{P}=n+1$ 时有 $\displaystyle\int_I f=\sum_{J\in\mathbb{P}}\int_J f$ .

由于 $\mathbb{P}=n+1\geqslant 2+1=3$ ，于是I不可能是空集（因为空集的只有唯二的分法 $\emptyset$ 和 $\{\emptyset\}$ ）.

我们作一个假设：对一切 $P\in\mathbb{P}$ 均有 $\sup(P)\neq\sup(I)$ . 由于对一切 $P\in\mathbb{P}$ 均有 $P\subseteq I$ ，进而有 $\sup(P)\leqslant\sup(I)$ . 进而对一切 $P\in\mathbb{P}$ 均有 $\sup(P)<\sup(I)$ . 我们取 $S:=max\{\sup(P) : P\in\mathbb{P}\}<\sup(I)$ ，再取 $x_0:=\frac{S+\sup(I)}{2}$ . 此时 $\inf(I)\leqslant min\{\inf(P) : P\in\mathbb{P}\}\leqslant max\{\inf(P) : P\in\mathbb{P}\}\leqslant max\{\sup(P) : P\in\mathbb{P}\}=S<x_0<\sup(I)$ ，即 $\inf(I)<x_0<\sup(I)$ ，由于I为区间，进而有 $x_0\in I$ . 再由 $x_0>S$ 知对一切 $P\in\mathbb{P}$ 有 $x_0\notin P$ . 这与 $\mathbb{P}$ 为I的一个分法相矛盾，故假设不成立，故存在 $P\in\mathbb{P}$ 使得 $\sup(P)=\sup(I)$ （同理我们也可证存在一个 $P'\in\mathbb{P}$ 使得 $\inf(P')=\inf(I)$ ）.

而对任意 $P\in\mathbb{P}$ ，如果 $\sup(P)=\sup(I)$ ，那么P为非空有界区间，进而P为单元素集或非退化区间. 当P为单元素集时，由 $\sup(P)=\sup(I)$ 知 $P=\{\sup(I)\}$ ；当P为非退化区间时，我们进一步假设存在非退化区间 $P''\in\mathbb{P}$ 使得 $P''\neq P$ 且 $\sup(P'')=\sup(I)$ . 由于 $P,P''\subseteq I$ 均为非退化有界区间，进而存在实数 $a_1,a_2$ 使得 $(a_1, \sup(I))\subseteq P\subseteq [a_1, \sup(I)]$ 和 $(a_2, \sup(I))\subseteq P''\subseteq [a_2, \sup(I)]$ . 而我们发现此时有 $max(a_1, a_2)<\sup(I)$ ，进而有 $(max(a_1, a_2), \sup(I))\subseteq(a_1, \sup(I))$ 和 $(max(a_1, a_2), \sup(I))\subseteq(a_2, \sup(I))$ ，进而有 $\emptyset\neq(max(a_1, a_2), \sup(I))\subseteq P,P''$ ，进而 $P\cap P''\neq\emptyset$ . 这与“ $P,P''\in\mathbb{P}$ 并且 $P\neq P''$ ”相矛盾，故假设不成立，即对所有非退化区间 $P''\in\mathbb{P}$ 有 $P''=P$ 或 $\sup(P'')\neq\sup(I)$ . 综上，对任意 $P\in\mathbb{P}$ ，如果 $\sup(P)=\sup(I)$ ，如果当P为非退化区间时，此退化区间也是唯一的.

综上，对任意 $P\in\mathbb{P}$ ，如果 $\sup(P)=\sup(I)$ ，那么P为唯一的单元素集 $\{\sup(I)\}$ 或唯一右端点为sup(I)的非退化区间. 再结合已证的“存在 $P\in\mathbb{P}$ 使得 $\sup(P)=\sup(I)$ ”这个结论我们知道集合 $\bigcup\{P\in\mathbb{P} : \sup(P)=\sup(I)\}$ 为上确界为sup(I)的非空区间. 我们不妨记 $K:=\bigcup\{P\in\mathbb{P} : \sup(P)=\sup(I)\}$ ，于是有 $\sup(K)=\sup(I)$ .

我们考虑集合 $\mathbb{P}':=\{\bigcup\{P\in\mathbb{P} : \sup(P)=\sup(I)\}, \bigcup(\mathbb{P}\backslash\{P\in\mathbb{P} : \sup(P)=\sup(I)\})\}$ . 我们在上面已证明 $K=\bigcup\{P\in\mathbb{P} : \sup(P)=\sup(I)\}$ 是区间，进而我们容易验证 $\{P\in\mathbb{P} : \sup(P)=\sup(I)\}$ 为 $K=\bigcup\{P\in\mathbb{P} : \sup(P)=\sup(I)\}$ 的分法. 下面将证明 $\mathbb{P}\backslash\{P\in\mathbb{P} : \sup(P)=\sup(I)\}$ 为 $\bigcup(\mathbb{P}\backslash\{P\in\mathbb{P} : \sup(P)=\sup(I)\})$ 的一个分法，并且 $\mathbb{P}'$ 为I的分法.

我们先证明 $\bigcup(\mathbb{P}\backslash\{P\in\mathbb{P} : \sup(P)=\sup(I)\})$ 是区间. 我们易证明 $\bigcup(\mathbb{P}\backslash\{P\in\mathbb{P} : \sup(P)=\sup(I)\})=(\bigcup\mathbb{P})\backslash(\bigcup\{P\in\mathbb{P} : \sup(P)=\sup(I)\})=I\backslash K=\{x\in I : x\notin K\text{ and }x\leqslant\sup(I)\}$ ，即 $\bigcup(\mathbb{P}\backslash\{P\in\mathbb{P} : \sup(P)=\sup(I)\})=\{x\in I : x\notin K\text{ and }x\leqslant\sup(I)\}$ ，再由I、K均为区间并且 $K\subseteq I$ 并且通过定理11.2.16(g)证明过程知 $\{x\in I : x\notin K\text{ and }x\leqslant\sup(I)\}$ 为区间，即 $I\backslash K=\bigcup(\mathbb{P}\backslash\{P\in\mathbb{P} : \sup(P)=\sup(I)\})$ 为区间. 由此我们易验证 $\mathbb{P}\backslash\{P\in\mathbb{P} : \sup(P)=\sup(I)\}$ 为 $\bigcup(\mathbb{P}\backslash\{P\in\mathbb{P} : \sup(P)=\sup(I)\})$ 的一个分法. 同理我们容易验证 $\mathbb{P}'$ 为I的分法.

综上，由定理11.4.1(h)和归纳假设我们知 $\displaystyle\int_I f=\sum_{J\in\mathbb{P}'}\int_J f=\int_{\bigcup\{P\in\mathbb{P} : \sup(P)=\sup(I)\}}f+\int_{\bigcup(\mathbb{P}\backslash\{P\in\mathbb{P} : \sup(P)=\sup(I)\})}f=\sum_{J\in\{P\in\mathbb{P} : \sup(P)=\sup(I)\}}\int_J f+\sum_{J\in\mathbb{P}\backslash\{P\in\mathbb{P} : \sup(P)=\sup(I)\}}\int_J f=\sum_{J\in\mathbb{P}}\int_J f$ . 这就完成了证明.

11.4.4解释：对于定理11.4.3剩下的情形来说，是因为我们有min(f, g)=-max(-f, -g).

对于定理11.4.5剩下的情况来说，是因为我们有 $f_+g_-=f_+(g_+-|g|)=f_+g_+-f_+|g|$ ，而|g|也为非负函数. 同理知 $f_-g_+$ 以及 $f_-g_-$ 的情形.

文内补充

1.定理11.4.3证明中“为什么？”.

第一个“为什么？”：由引理11.2.8知；第二个“为什么？”：由对一切 $x\in I$ 有 $f(x)\geqslant\underline{f}(x), g(x)\geqslant\underline{g}(x)$ 可推得.

2.定理11.4.5证明中“为什么？”.

第一个“为什么？”：显然；第二个“为什么？”：由定理11.4.1(e)可知 $\displaystyle\int_I max(\underline{f}_+(x), 0)\geqslant\int_I \underline{f}_+(x)$ 可推得.

《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§11.4解答

习题11.4

文内补充

发布者：iknetfomi

留下评论取消回复

习题11.4

文内补充

共享此文章：

相关

发布者：iknetfomi

留下评论 取消回复

留下评论取消回复