《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§11.3解答

习题11.3

11.3.1证明：如果f上方控制g，g上方控制h，那么对一切 $x\in I$ 有 $f(x)\geqslant g(x)$ 并且 $g(x)\geqslant h(x)$ . 故f上方控制h.

如果f、g彼此互相上方控制，那么对一切 $x\in I$ 有 $f(x)\geqslant g(x)$ 并且 $g(x)\geqslant f(x)$ . 故它们必定相等.

11.3.2证明：如果f上方控制g，那么对一切 $x\in I$ 有 $f(x)\geqslant g(x)$ ，进而有 $f(x)+h(x)\geqslant g(x)+h(x)$ ，即 $(f+h)(x)\geqslant (g+h)(x)$ . 故f+h上方控制g+h. 同理我们可证如果f+h上方控制g+h那么f上方控制g. 综上f上方控制g当且仅当f+h上方控制g+h.

如果对一切 $x\in I$ 有 $h(x)\geqslant 0$ ，那么对一切 $x\in I$ 有 $(fh)(x)=f(x)h(x)\geqslant g(x)h(x)=(gh)(x)$ . 故fh上方控制gh. 如果fh上方控制gh，我们假设存在 $x_0\in I$ 使得 $h(x_0)<0$ ，进而有 $(fh)(x_0)=f(x_0)h(x_0)\leqslant g(x_0)h(x_0)=(gh)(x_0)$ ，于是fh不是上方控制gh，这个矛盾说明我们的假设不成立，故对一切 $x\in I$ 有 $h(x)\geqslant 0$ . 综上，对一切 $x\in I$ 有 $h(x)\geqslant 0$ 当且仅当fh上方控制gh.

同此题第二段的论述我们可以证明： $c\geqslant 0$ 当且仅当cf上方控制cg.

11.3.3证明：由于f是I上的逐段常值函数，故存在I的分法 $\mathbb{P}$ 使得f关于 $\mathbb{P}$ 是逐段常值的.

而对任何是f的上方控制并且是逐段常值的函数g，存在I分法 $\mathbb{P}'$ 使得g关于 $\mathbb{P}'$ 是逐段常值的. 由引理11.1.18和引理11.2.7知f、g均为关于 $\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 是逐段常值的. 而对一切 $J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ ，如果J为空集，对g在J上的常数值 ${C\_g}_J$ 显然有 ${C\_g}_J|J|=0$ 并且f在J上的常数值 ${C\_f}_J$ 显然有 ${C\_f}_J|J|=0$ ，于是有 ${C\_g}_J|J|={C\_f}_J|J|$ ；如果J非空，即存在 $x\in J$ ，进而有 ${C\_g}_J|J|=g(x)|J|\geqslant f(x)|J|={C\_f}_J|J|$ . 综上，对任意 $J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'$ 有 ${C\_g}_J|J|\geqslant {C\_f}_J|J|$ . 此时 $\displaystyle p.c.\int_I g=p.c.\int_{[\mathbb{P}\#\mathbb{P}']} g=\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}{C\_g}_J|J|\geqslant\sum_{J\in\mathbb{P}\#\mathbb{P}'}{C\_f}_J|J|=p.c.\int_{[\mathbb{P}\#\mathbb{P}']} f=p.c.\int_I f$ . 于是 $\displaystyle p.c.\int_I f$ 为集合 $\displaystyle \{p.c.\int_I g : \text{g is a p.c. function on I which majorizes f}\}$ 的下界，进而 $\displaystyle p.c. \int_I f\leqslant \overline{\int}_I f$ . 再由于 $\displaystyle p.c. \int_I f\in\{p.c.\int_I g : \text{g is a p.c. function on I which majorizes f}\}$ ，故 $\displaystyle p.c.\int_I f$ 为集合 $\displaystyle \{p.c.\int_I g : \text{g is a p.c. function on I which majorizes f}\}$ 的下确界，即 $\displaystyle p.c. \int_I f=\overline{\int}_I f$ .

同理我们可证 $\displaystyle \underline{\int}_I f=p.c. \int_I f$ .

综上我们有 $\displaystyle p.c. \int_I f=\overline{\int}_I f=\underline{\int}_I f$ ，由定义11.3.4知有 $\displaystyle \int_I f=p.c. \int_I f$ .

11.3.4证明：我们有 $\displaystyle p.c.\int_I g=p.c.\int_{[\mathbb{P}]} g=\sum_{J\in\mathbb{P}}C_J|J|=\sum_{J\in\mathbb{P}\backslash\{\emptyset\}}C_J|J|\geqslant\sum_{J\in\mathbb{P}\backslash\{\emptyset\}}(\sup_{x\in J}f(x))|J|=U(f, \mathbb{P})$ .

同理我们可证 $\displaystyle p.c.\int_I h\leqslant L(f, \mathbb{P})$ .

11.3.5证明：对任意 $x\in \{U(f, \mathbb{P}) : \mathbb{P}\text{ is a partition of }I\}$ ，有对某I的分法 $\mathbb{P}$ 有 $x=U(f, \mathbb{P})$ ，由定义11.3.9进一步知 $\displaystyle x=\sum_{J\in\mathbb{P}; J\neq\emptyset}(\sup_{x\in J}f(x))|J|$ . 我们定义函数 $g:I\rightarrow\mathbb{R}$ ，对一切 $x\in I$ ，恰存在一个 $J\in\mathbb{P}$ 使得 $x\in J$ ，此时有 $J\neq\emptyset$ ，否则就有 $x\notin J$ . 我们定义 $\displaystyle g(x):=\sup_{x\in J}f(x)$ .

进而对一切 $J\in\mathbb{P}$ ，如果 $J=\emptyset$ ，那么陈述“对一切 $x\in J$ 有 $g(x)=0$ ”是空洞的但是真的，故此时g在J上常值；如果 $J\neq\emptyset$ ，进而对一切 $x\in J$ ，有 $g(x)=\sup_{x\in J}f(x)$ ，故g在J上常值 $\sup_{x\in J}f(x)$ . 综上，g是关于 $\mathbb{P}$ 逐段常值的. 而对一切 $x\in I$ ，恰存在一个 $J\in\mathbb{P}$ 使 $x\in J$ ，进而 $J\neq\emptyset$ ，故 $\displaystyle g(x)=\sup_{x\in J}f(x)\geqslant f(x)$ . 故g是上方控制f的函数. 综上，g是f的上方控制并且是逐段常值函数.

此时 $\displaystyle p.c.\int_I g=p.c.\int_{[\mathbb{P}]} g=\sum_{J\in\mathbb{P}}C_J|J|=\sum_{J\in\mathbb{P}\backslash\{\emptyset\}}C_J|J|=\sum_{J\in\mathbb{P}\backslash\{\emptyset\}}\sup_{x\in J}f(x)|J|=x$ . 于是有 $\displaystyle x\in\{p.c.\int_I g : \text{g is a p.c. function on I which majorizes f}\}$ ，进而有 $\displaystyle\{U(f, \mathbb{P}) : \mathbb{P}\text{ is a partition of }I\}\subseteq\{p.c.\int_I g : \text{g is a p.c. function on I which majorizes f}\}$ ，进而 $\displaystyle\overline{\int}_I f\leqslant\inf\{U(f, \mathbb{P}) : \mathbb{P}\text{ is a partition of }I\}$ .

同理对任意 $\displaystyle x\in\{p.c.\int_I g : \text{g is a p.c. function on I which majorizes f}\}$ ，存在函数g使得对某I的分法 $\mathbb{P}$ 有g是关于 $\mathbb{P}$ 逐段常值的并且是上方控制f，使得 $\displaystyle x=p.c.\int_I g$ . 由引理11.3.11知有 $x\geqslant U(f, \mathbb{P})\geqslant\inf\{U(f, \mathbb{P}) : \mathbb{P}\text{ is a partition of }I\}$ .

综上有 $\displaystyle\overline{\int}_I f=\inf\{U(f, \mathbb{P}) : \mathbb{P}\text{ is a partition of }I\}$ .

同理可证 $\displaystyle\underline{\int}_I f=\sup\{L(f, \mathbb{P}) : \mathbb{P}\text{ is a partition of }I\}$ .

文内补充

1.定义11.3.2中陈述“g是f的上方控制并且是逐段常值函数”确实构成一个集合. 其严格的集合表示是 $\{g\in\mathbb{R}^I : \text{g is a p.c. function on I which majorizes f}\}$ .

2.有界函数不一定Riemann可积，详见书的§11.7. 而我们可以证明对于定义在有界区间上的无界函数f不能同时存在上方控制f并且为逐段常值的函数g_1和下方控制f并且为逐段常值的函数g_2，故此时我们发现 $\displaystyle\overline{\int}_I f, \underline{\int}_I f$ 不可能相等，故从定义11.3.4我们知道无法定义f的Riemann积分值.

3.命题11.3.12中陈述“ $\mathbb{P}$ 是I的分法”确实构成一个集合. 其严格的集合表示是：记I的子集全体构成的集合为A，记A的子集全体构成的集合为B，那么陈述“ $\mathbb{P}$ 是I的分法”表示的集合为 $\{x\in B : \text{x is a partion of } I\}$ .

4.从本节我们终于知道一般微积分教材对Riemann积分定义：分割 $\rightarrow$ 取值 $\rightarrow$ 求和 $\rightarrow$ 取极限这个过程总是能随着I分法中区间元素长度越来越小(进而区间定义域I的分法 $\mathbb{P}$ 的基数越来越大)Riemann和( $L(f, \mathbb{P})\leqslant$ Riemann和 $\leqslant U(f, \mathbb{P})$ )收敛到某数是如何成功的了，这就是命题11.3.12所保证的，总的来说是由实数集的确界定理所保证. （其实我们还要证明随着I分法中区间元素长度越来越小上(下)黎曼和与此极限的差的绝对值越来越小，这个细节留给读者解决——详见“《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§11.7解答”）

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