《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§10.5解答

习题10.5

10.5.1证明：已知 $g'(x_0)\neq 0$ ，进而 $|g'(x_0)|>0$ . 由于g在 $x_0$ 处可微，由命题10.1.7知：对实数 $\frac{1}{2}|g'(x_0)|>0$ ，存在实数 $\delta>0$ ，对一切 $x\in X$ 有如果 $|x-x_0|\leqslant\delta$ 则 $|g(x)-(g(x_0)+g'(x_0)(x-x_0))|=|g(x)-g'(x_0)(x-x_0)|\leqslant\frac{1}{2}|g'(x_0)||x-x_0|$ . 而对一切 $x\in(X\cap(x_0-\delta, x_0+\delta))\backslash\{x_0\}$ 显然有 $x\in X$ 且 $|x-x_0|\leqslant\delta$ 且 $x\neq x_0$ ，进而有 $|g(x)-g'(x_0)(x-x_0)|\leqslant\frac{1}{2}|g'(x_0)||x-x_0|$ 且 $x\neq x_0$ ，进而有 $\frac{1}{2}|g'(x_0)||x-x_0|\leqslant|g(x)|\leqslant\frac{3}{2}|g'(x_0)||x-x_0|$ 且 $x\neq x_0$ ，进而 $|g(x)|\geqslant\frac{1}{2}|g'(x_0)||x-x_0|>0$ ，进而 $g(x)\neq 0$ . 综上，对一切 $x\in(X\cap(x_0-\delta, x_0+\delta))\backslash\{x_0\}$ 有 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 是定义成功的.

由于 $x_0$ 是X的极限点，即 $x_0$ 是 $X\backslash\{x_0\}$ 的附着点. 对每个实数 $\varepsilon>0$ ，我们取 $\varepsilon':=min\{\varepsilon, \frac{\delta}{2}\}>0$ ，由于 $x_0$ 是 $X\backslash\{x_0\}$ 的附着点，故存在 $x'\in X\backslash\{x_0\}$ 使得 $|x'-x_0|\leqslant\varepsilon'\leqslant\frac{\delta}{2}<\delta$ ，进而有 $x'\in(x_0-\delta, x_0+\delta)$ ，故存在 $x'\in(X\backslash\{x_0\})\cap(x_0-\delta, x_0+\delta)=(X\cap(x_0-\delta, x_0+\delta))\backslash\{x_0\}$ 使 $|x'-x_0|\leqslant\varepsilon'\leqslant\varepsilon$ . 综上， $x_0$ 为 $(X\cap(x_0-\delta, x_0+\delta))\backslash\{x_0\}$ 的附着点，于是我们可以考虑函数极限 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in(X\cap(x_0-\delta, x_0+\delta))\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)}{g(x)}$ 是否存在.

由f、g在 $x_0$ 处在X上可微和习题10.1.1知f、g在 $x_0$ 处在 $X\cap(x_0-\delta, x_0+\delta)$ 上可微，即 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in(X\cap(x_0-\delta, x_0+\delta))\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in(X\cap(x_0-\delta, x_0+\delta))\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)}{x-x_0}=f'(x_0)$ 和 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in(X\cap(x_0-\delta, x_0+\delta))\backslash\{x_0\}}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in(X\cap(x_0-\delta, x_0+\delta))\backslash\{x_0\}}\frac{g(x)}{x-x_0}=g'(x_0)$ . 进而由命题9.3.14最后一条法则有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in(X\cap(x_0-\delta, x_0+\delta))\backslash\{x_0\}}\frac{x-x_0}{g(x)-g(x_0)}=\frac{\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in(X\cap(x_0-\delta, x_0+\delta))\backslash\{x_0\}}1}{\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in(X\cap(x_0-\delta, x_0+\delta))\backslash\{x_0\}}\frac{g(x)}{x-x_0}}=\frac{1}{g'(x_0)}$ . 进而 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in(X\cap(x_0-\delta, x_0+\delta))\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in(X\cap(x_0-\delta, x_0+\delta))\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)}{x-x_0}\cdot\frac{x-x_0}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in(X\cap(x_0-\delta, x_0+\delta))\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)}{x-x_0}\cdot\lim_{x\rightarrow x_0; x\in(X\cap(x_0-\delta, x_0+\delta))\backslash\{x_0\}}\frac{x-x_0}{g(x)}=f'(x_0)\cdot\frac{1}{g'(x_0)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$ . 这就完成了证明.

10.5.2解释：定义函数 $f:\mathbb{R}\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{R}, f(x):=x^2\sin(x^{-4})$ 和函数 $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, g(x):=x$ . 由于f在0处无定义，进而在0处不可微，故命题10.5.1不适用. 同理命题10.5.2也不适用.

文内补充

1.命题10.5.1的适用条件.

命题10.5.1使用时看似条件许多，其实就只有三点.

$f(x_0)=g(x_0)=0$ ；
f、g在 $x_0$ 处在X上可微； $\Longrightarrow$ $x_0$ 是X的极限点 $\Longrightarrow$ $x_0$ 是 $(X\cap(x_0-\delta, x_0+\delta))\backslash\{x_0\}$ 的附着点( $\delta>0$ 为任意实数)；
$g'(x_0)\neq 0$ ；+第一点+第二点 $\Longrightarrow$ 存在实数 $\delta'>0$ 使得对一切 $(X\cap(x_0-\delta', x_0+\delta'))\backslash\{x_0\}$ 有 $g(x)\neq 0$ ，进而 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 在此集合上有定义.

值得一提的是，如果我们还知道对一切 $x\in X\backslash\{x_0\}$ 有 $g(x)\neq 0$ ，由命题9.3.18极限是局部的知有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in(X\cap(x_0-\delta', x_0+\delta'))\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)}{g(x)}$ ，这是我们经常见到的情况.

2.注意命题10.5.2与命题10.5.1的区别.

如果对命题10.5.2的前提套用命题10.5.1，我们可以得出结论： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a; x\in(a, min\{b, a+\delta\})}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}(\delta>0)$ . 如果我们还知道对一切 $x\in(a, b]$ 有 $g(x)\neq 0$ ，我们进一步可知 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a; x\in(a, b]}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}$ .

而命题10.5.2的使用条件更苛刻：

函数定义域为非退化实数闭区间；(命题10.5.1没有)
$f(a)=g(a)=0$ ；
f、g在整个闭区间定义域上可微；(命题10.5.1只要求在一点可微)
g的导函数在整个闭区间定义域上不等于0；(命题10.5.1只要求在一点不等于0)
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow a; x\in(a, b]}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在.(命题10.5.1没有)

最后的结论也与命题10.5.2不相同，结论为 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a; x\in(a, b]}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a; x\in(a, b]}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ .

最后，综合命题10.5.1和命题10.5.2我们知道：设 $a<b$ 是实数， $f:[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$ 和 $g:[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$ 都是[a, b]上的可微函数. 假设 $f(a)=g(a)=0$ ，g’在[a, b]上不取0值，并且 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a; x\in(a, b]}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在.

我们有结论—— $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a; x\in(a, b]}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a; x\in(a, b]}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}$ .

于是我们发现函数 $\frac{f'}{g'}:[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$ 在 $x=a$ 处连续.

3.注10.5.3的进一步说明.

命题10.5.2变形一：设 $a<b$ 是实数， $f:[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$ 和 $g:[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$ 都是[a, b]上的可微函数. 假设 $f(b)=g(b)=0$ ，g’在[a, b]上不取0值，并且 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a; x\in[a, b)}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在.

我们有结论—— $\displaystyle\lim_{x\rightarrow b; x\in[a, b)}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow b; x\in[a, b)}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{f'(b)}{g'(b)}$ .

其证明由命题10.5.2类似的证明和命题10.5.1知.

命题10.5.2变形二：设 $a<c<b$ 是实数， $f:[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$ 和 $g:[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$ 都是[a, b]上的可微函数. 假设 $f(c)=g(c)=0$ ，g’在[a, b]上不取0值，并且 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow c; x\in[a, b]\backslash\{c\}}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在(或者等价的 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow c; x\in[a, c)}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 和 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow c; x\in(c, b]}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 都存在且相等).

我们有结论—— $\displaystyle\lim_{x\rightarrow c; x\in[a, b]\backslash\{c\}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow c; x\in[a, b]\backslash\{c\}}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$ .

证明：我们可以从两个闭区间[a, c]、[c, b]入手. 第一个区间使用上面的命题10.5.2变形一并且第二个区间使用命题10.5.2，我们可以得到 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow c; x\in[a, c)}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow c; x\in[a, c)}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\rightarrow c; x\in[a, b]\backslash\{c\}}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$ 和 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow c; x\in(c, b]}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow c; x\in(c, b]}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\rightarrow c; x\in[a, b]\backslash\{c\}}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$ . 再由命题9.5.3类似的论证我们知道 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow c; x\in[a, b]\backslash\{c\}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow c; x\in[a, b]\backslash\{c\}}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$ . 这就完成了证明.

4.命题10.5.2的进一步说明.

回顾命题10.5.2的证明，我们发现其并不要求 $g'(a)\neq 0$ ，只要求 $g'$ 在(a, b]不取零值就可以了. 故命题10.5.2的题干“g’在[a, b]不取零值”可以改为“g’在(a, b]不取零值”. 同时也要注意的是，这样做后命题10.5.1不再适用，就不能得出 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a; x\in(a, b]}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}$ （函数 $\frac{f'}{g'}:[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$ 在 $x=a$ 处连续）.

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