《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§10.1解答

习题10.1

10.1.1证明：习题10.1.1的题干需要进行勘误：“ $x_0$ 是X的极限点”应改为“ $x_0$ 是X的极限点并且 $x_0\in X$ ”；同样的“ $x_0$ 是Y的极限点”应改为“ $x_0$ 是Y的极限点并且 $x_0\in Y$ ”. 要注意可微只对属于函数定义域并且为定义域的极限点的元素进行考虑.

我们已知 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 存在(从此函数极限存在我们也可以知道 $x_0$ 为 $X\backslash\{x_0\}$ 的附着点，即 $x_0$ 为X的极限点；并且函数f在 $x_0$ 处有定义，即 $x_0\in X$ )，由命题9.3.9知存在实数L，对任意由 $X\backslash\{x_0\}$ 的元素组成并且收敛到 $x_0$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 有序列 $(\frac{f(a_n)-f(x_0)}{a_n-x_0})_{n=0}^\infty$ 收敛到L. 进而对任意由集合 $Y\backslash\{x_0\}$ 的元素组成并且收敛到 $x_0$ 的序列 $(b_n)_{n=0}^\infty$ ，其也是由 $X\backslash\{x_0\}$ 的元素组成并且收敛到 $x_0$ 的序列，进而序列 $(\frac{f(b_n)-f(x_0)}{b_n-x_0})_{n=0}^\infty$ 也收敛到L. 再由命题9.3.9知有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in Y\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ .

这显然与注10.1.2不矛盾. 因为上面讨论成立的前提是：

$x_0$ 是X的极限点并且 $x_0\in X$ ；
$x_0$ 是Y的极限点并且 $x_0\in Y$ .

对注10.1.2中的例子，当把函数 $f\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},f(x):=x^2$ 限制在定义域 $X:=[1, 2]\cup\{3\}$ 上时，3不再是 $X=[1, 2]\cup\{3\}$ 的极限点，上述论证不再成立(或者说上述论证是正确的，但未传达出任何有价值信息，是空洞正确的废话. 因为不存在由[1, 2]中元素组成且收敛到3的实数列).

10.1.2证明：命题10.1.7的题干需要进行勘误：“ $x_0$ 是X的极限点”应改为“ $x_0$ 是X的极限点并且 $x_0\in X$ ”.

如果f在 $x_0$ 处在X上可微、导数为L，由定义9.3.6知对每个实数 $\varepsilon>0$ ，都存在实数 $\delta>0$ ，使得只要 $x\in X\backslash\{x_0\}$ 是 $\delta$ -接近于 $x_0$ 的就有 $|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-L|\leqslant\varepsilon$ ，即有 $|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|\leqslant\varepsilon|x-x_0|$ ；当 $x=x_0$ 时， $|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|=0\leqslant 0=\varepsilon|x-x_0|$ . 综上，对每个实数 $\varepsilon>0$ ，都存在实数 $\delta>0$ ，使得只要 $x\in X$ 并且 $|x-x_0|\leqslant\delta$ 就有 $|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|\leqslant\varepsilon|x-x_0|$ .

如果对每个实数 $\varepsilon>0$ ，都存在实数 $\delta>0$ ，只要 $x\in X$ 并且 $|x-x_0|\leqslant\delta$ 就有 $|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|\leqslant\varepsilon|x-x_0|$ ，进而有对每个实数 $\varepsilon>0$ 都存在实数 $\delta>0$ 使得只要 $x\in X\backslash\{x_0\}$ 并且 $|x-x_0|\leqslant\delta$ 就有 $|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|\leqslant\varepsilon|x-x_0|$ ，即有 $\frac{|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|}{|x-x_0|}=|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-L|\leqslant\varepsilon$ . 由定义9.3.6知 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L$ .

综上，命题得证.

10.1.3证明：命题10.1.10的题干需要进行勘误：“ $x_0$ 是X的极限点”应改为“ $x_0$ 是X的极限点并且 $x_0\in X$ ”.

我们将给出两个证明.

证明一：由命题9.3.14和例9.4.2以及例9.4.3知有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}x-x_0=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}x-\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}x_0=0$ . 再由极限算律（命题9.3.14）知有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}f(x)-f(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}x-x_0=0$ ，进而有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}f(x)-f(x_0)+\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}f(x_0)=f(x_0)$ .这与定义9.4.1所要求的十分相似了，由 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}f(x)=f(x_0)$ 我们容易用“ $\varepsilon-\delta$ ”型表述分类讨论说明此时也有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X}f(x)=f(x_0)$ ，故f在 $x_0$ 处连续.

证明二：我们用命题10.1.7来证明它. 若f在 $x_0$ 处可微，由命题10.1.7知对每个实数 $\varepsilon>0$ ，都存在实数 $\delta>0$ ，使得只要 $x\in X$ 且 $|x-x_0|\leqslant\delta$ 就有 $|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|\leqslant\varepsilon|x-x_0|$ ，进而有 $|f(x)-f(x_0)|\leqslant(|L|+\varepsilon)|x-x_0|$ . 于是对每个实数 $\varepsilon>0$ ，存在实数 $\delta>0$ ，存在实数 $min\{\delta, \frac{\varepsilon}{|L|+\varepsilon}\}$ ，使得只要 $x\in X$ 并且 $|x-x_0|\leqslant min\{\delta, \frac{\varepsilon}{|L|+\varepsilon}\}\leqslant\delta$ 就有 $|f(x)-f(x_0)|\leqslant(|L|+\varepsilon)|x-x_0|\leqslant(|L|+\varepsilon)\cdot min\{\delta, \frac{\varepsilon}{|L|+\varepsilon}\}\leqslant(|L|+\varepsilon)\cdot\frac{\varepsilon}{|L|+\varepsilon}=\varepsilon$ . 于是有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X}f(x)=f(x_0)$ ，于是f在 $x_0$ 处连续.

10.1.4证明：命题10.1.13的题干需要进行勘误：“ $x_0$ 是X的极限点”应改为“ $x_0$ 是X的极限点并且 $x_0\in X$ ”.

(a) $\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{c-c}{x-x_0}\\=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}0=0$ .

(b) $\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{x-x_0}{x-x_0}\\=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}1=1$ .

(c) $\displaystyle (f+g)'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{(f(x)+g(x))-(f(x_0)+g(x_0))}{x-x_0}\\=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0})\\=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)+g'(x_0)$ .

(d) $\displaystyle (fg)'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{(fg)(x)-(fg)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)g(x)-f(x)g(x_0)+f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}\\=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)(g(x)-g(x_0))+g(x_0)(f(x)-f(x_0))}{x-x_0}\\=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}(f(x)\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}+g(x_0)\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0})\\=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}f(x)\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}+\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}g(x_0)\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}f(x)\cdot\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}+\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}g(x_0)\cdot\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\=f(x_0)g'(x_0)+g(x_0)f'(x_0)$ .

(e) $\displaystyle (cf)'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{cf(x)-cf(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}c\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}c\cdot\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=cf'(x_0)$ .

(f) $\displaystyle (f-g)'(x_0)=(f+((-1)\cdot g))'(x_0)=f'(x_0)+((-1)\cdot g)'(x_0)\\=f'(x_0)+(-1)\cdot g'(x_0)=f'(x_0)-g'(x_0)$ .

(g) $\displaystyle (\frac{1}{g})'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{\frac{1}{g}(x)-\frac{1}{g}(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(x_0)}}{x-x_0}\\=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}(\frac{1}{g(x)g(x_0)}\cdot\frac{g(x_0)-g(x)}{x-x_0})\\=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{1}{g(x)g(x_0)}\cdot\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}-\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\\=\frac{1}{g(x_0)g(x_0)}\cdot(-g'(x_0))=-\frac{g'(x_0)}{g^2(x_0)}$ .

(h)我们可以使用定义和中间人把戏得出结论，但还有更快捷的办法如下：

$\displaystyle (\frac{f}{g})'(x_0)=(\frac{1}{g}\cdot f)'(x_0)=(\frac{1}{g})'(x_0)f(x_0)+(\frac{1}{g})(x_0)f'(x_0)\\=-\frac{g'(x_0)}{g^2(x_0)}f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{g(x_0)}=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}$ .

10.1.5证明：勘误，题设“n是自然数”应为“n是正自然数”.

对自然数1，有 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=x^1=x$ ，此时有 $f'(x)=1=1\cdot x^{1-1}$ ，这就完成了归纳假设. 归纳假设对某自然数 $n\geqslant 1$ 有若 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=x^n$ 则 $f'(x)=nx^{n-1}$ . 那么对自然数n+1，若 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=x^{n+1}=x\cdot x^n$ ，则由积法则和归纳假设有 $f'(x)=1\cdot x^n+x\cdot(nx^{n-1})=(n+1)x^n=(n+1)\cdot x^{(n+1)-1}$ ，这就完成了归纳. 故对一切正自然数n有若 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=x^n$ 则 $f'(x)=nx^{n-1}$ .

对自然数0，若 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=x^0=1$ ，则此时有 $f'(x)=0$ . 对一切 $x\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ ，有 $f'(x)=0=0\cdot x^{0-1}=0\cdot\frac{1}{x}=0$ ，但是在 $x=0$ 处，f'(x)无法写成 $0\cdot x^{0-1}$ 的形式.

10.1.6证明：对一切 $x\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ ，我们有 $f(x)=x^n=\frac{1}{x^{-n}}$ . 记函数 $g:\mathbb{R}\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{R}, g(x)=x^{-n}$ ，那么 $f'(x)=(\frac{1}{g})'(x)=-\frac{g'(x)}{g^2(x)}=-\frac{-n\cdot x^{-n-1}}{x^{-2n}}=nx^{n-1}$ .

10.1.7证明：

证明一：我们当然可以把此问题转化成关于序列的极限问题. 我们先假设 $f'(x_0)\neq 0$ 的情形. 对任意由 $X\backslash\{x_0\}$ 的元素组成并且收敛到 $x_0$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ ，由命题9.3.9知有 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(a_n)-f(x_0)}{a_n-x_0}=f'(x_0)\neq 0$ ，不失一般性，我们进一步假设 $f'(x_0)>0$ ，进而 $\frac{1}{2}f'(x_0)>0$ ，由 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(a_n)-f(x_0)}{a_n-x_0}=f'(x_0)\neq 0$ 知存在自然数N使对一切自然数 $n\geqslant N$ 有 $\frac{f(a_n)-f(x_0)}{a_n-x_0}\geqslant\frac{1}{2}f'(x_0)>0$ ，于是有 $f(a_n)\neq f(x_0)$ ，即序列 $(f(a_n)-f(x_0))_{n=N}^\infty$ 不含0项. 由f在 $x_0$ 处可微和命题10.1.10知f在 $x_0$ 处连续，于是序列 $(f(a_n))_{n=N}^\infty$ 收敛到 $f(x_0)$ . 由g在 $y_0$ 处可微和命题9.3.9知任意由 $Y\backslash\{y_0\}$ 元素组成并且收敛到 $y_0$ 的序列 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 有序列 $(\frac{g(b_n)-g(y_0)}{b_n-y_0})_{n=0}^\infty$ 收敛到 $g'(y_0)$ . 由于上面我们已证对一切 $n\geqslant N$ 有 $f(a_n)\neq f(x_0)$ ，进而此时 $f(a_n)\in Y\backslash\{y_0\}$ ，并且我们已知 $(f(a_n))_{n=N}^\infty$ 收敛到 $f(x_0)=y_0$ ，于是序列 $(\frac{g(f(a_n))-g(f(x_0))}{f(a_n)-f(x_0)})_{n=N}^\infty$ 收敛到 $g'(y_0)$ . 而序列 $(\frac{f(a_n)-f(x_0)}{a_n-x_0})_{n=N}^\infty$ 收敛到 $f'(x_0)$ ，由序列极限算律知两序列乘积 $(\frac{g(f(a_n))-g(f(x_0))}{a_n-x_0})_{n=N}^\infty$ 收敛到 $g'(y_0)\cdot f'(x_0)$ . 于是序列 $(\frac{g(f(a_n))-g(f(x_0))}{a_n-x_0})_{n=0}^\infty$ 收敛到 $g'(y_0)\cdot f'(x_0)$ . 再由命题9.3.9知 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{g\circ f(x)-g\circ f(x_0)}{x-x_0}=g'(y_0)f'(x_0)$ . 对 $f'(x_0)<0$ 的情形有类似的论证证明同样的结论.

再来考虑 $f'(x_0)=0$ 的情形. 注意上述对 $f'(x_0)\neq 0$ 情形的论证不再对 $f'(x_0)=0$ 适用. 我们使用命题10.1.7来证明. 由于g在 $y_0=f(x_0)$ 处可微，由命题10.1.7知对每个实数 $\varepsilon>0$ ，都存在实数 $\delta>0$ ，对任意 $y\in Y$ 有如果 $|y-y_0|\leqslant\delta$ 则 $|g(y)-g(y_0)-g'(y_0)(y-y_0)|\leqslant\sqrt{\varepsilon}|y-y_0|$ ，由f在 $x_0$ 处可微以及命题10.1.10知f在 $x_0$ 处连续，故存在实数 $\delta'>0$ 使得对一切 $x\in X$ 有若 $|x-x_0|\leqslant\delta'$ 则 $|f(x)-f(x_0)|\leqslant\delta$ ；同时存在实数 $\delta''>0$ 使得对一切 $x\in X$ 有如果 $|x-x_0|\leqslant\delta''$ 则 $|f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)|=|f(x)-f(x_0)|\leqslant\sqrt{\varepsilon}|x-x_0|$ . 我们取 $\delta_2:=\{\delta', \delta''\}$ ，综上，对每个实数 $\varepsilon>0$ ，存在实数 $\delta, \delta_2>0$ ，对任意 $y\in Y$ 有如果 $|y-y_0|\leqslant\delta$ 则 $|g(y)-g(y_0)-g'(y_0)(y-y_0)|\leqslant\sqrt{\varepsilon}|y-y_0|$ ，并且对任意 $x\in X$ 有若 $|x-x_0|\leqslant\delta_2$ 则 $|f(x)-f(x_0)|\leqslant\delta$ 和 $|f(x)-f(x_0)|\leqslant\sqrt{\varepsilon}|x-x_0|$ ，进而对任意 $x\in X$ 有若 $|x-x_0|\leqslant\delta_2$ 则 $|g(f(x))-g(f(x_0))-g'(f(x_0))(f(x)-f(x_0))|\leqslant\sqrt{\varepsilon}|f(x)-f(x_0)|\leqslant\sqrt{\varepsilon}\cdot\sqrt{\varepsilon}|x-x_0|=\varepsilon|x-x_0|$ . 综上，对每个实数 $\varepsilon>0$ ，存在实数 $\delta_2>0$ ，对一切 $x\in X\backslash\{x_0\}$ 有如果 $|x-x_0|\leqslant\delta_2$ 则 $|g(f(x))-g(f(x_0))-g'(f(x_0))(f(x)-f(x_0))|\leqslant\varepsilon|x-x_0|$ ，进而 $|\frac{g(f(x))-g(f(x_0))-g'(f(x_0))(f(x)-f(x_0))}{x-x_0}|\leqslant\varepsilon$ ，故 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))-g'(f(x_0))(f(x)-f(x_0))}{x-x_0}=0$ . 而我们已经知道 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0$ ，进而 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{g'(f(x_0))(f(x)-f(x_0))}{x-x_0}=0$ ，进而 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))-g'(f(x_0))(f(x)-f(x_0))}{x-x_0}+\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{g'(f(x_0))(f(x)-f(x_0))}{x-x_0}=0+0=0$ . 综上，我们总有 $(g\circ f)'(x_0)=g'(y_0)f'(x_0)$ .

证明二：受到上面证明一对 $f'(x_0)=0$ 情形论证的启发，我们可以写一个更一般的证明：

由于g在 $y_0=f(x_0)$ 处可微，f在 $x_0$ 处可微，类似于证明一的论证我们知：对每个实数 $\varepsilon>0$ ，都存在实数 $\delta>0$ 使得对一切 $x\in X\backslash\{x_0\}$ 有如果 $|x-x_0|\leqslant\delta$ 则 $|g(f(x))-g(f(x_0))-g'(y_0)(f(x)-f(x_0))|\leqslant\frac{\varepsilon}{\varepsilon+|f'(x_0)|}|f(x)-f(x_0)|$ 并且存在实数 $\delta'>0$ 使对一切 $x\in X$ 如果 $|x-x_0|\leqslant\delta'$ 则 $|f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)|\leqslant\varepsilon|x-x_0|$ ，进而 $|f(x)-f(x_0)|\leqslant(\varepsilon+|f'(x_0)|)|x-x_0|$ . 我们取实数 $min\{\delta, \delta'\}$ ，进而对一切 $x\in X\backslash\{x_0\}$ 有如果 $|x-x_0|\leqslant min\{\delta, \delta'\}$ 则 $|g(f(x))-g(f(x_0))-g'(y_0)(f(x)-f(x_0))|\leqslant\frac{\varepsilon}{\varepsilon+|f'(x_0)|}|f(x)-f(x_0)|\leqslant\varepsilon|x-x_0|$ ，即有 $|\frac{g(f(x))-g(f(x_0))-g'(y_0)(f(x)-f(x_0))}{x-x_0}|\leqslant\varepsilon$ . 于是我们有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))-g'(y_0)(f(x)-f(x_0))}{x-x_0}=0$ . 由极限算律知 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))-g'(y_0)(f(x)-f(x_0))}{x-x_0}+\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X\backslash\{x_0\}}\frac{g'(y_0)(f(x)-f(x_0))}{x-x_0}=0+g'(y_0)f'(x_0)=g'(y_0)f'(x_0)$ .