《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§9.9解答

习题9.9

9.9.1证明：如果实数列 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 和 $(b_n)_{n=1}^\infty$ 是等价的，那么由定义9.9.5知对任意实数 $\varepsilon>0$ ，都存在正自然数N，对一切自然数 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-b_n|\leqslant\varepsilon$ ，即 $|(a_n-b_n)-0|\leqslant\varepsilon$ . 故 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n-b_n)=0$ .

如果 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n-b_n)=0$ ，即对任意实数 $\varepsilon>0$ ，都存在正自然数N，对一切自然数 $n\geqslant N$ 有 $|(a_n-b_n)-0|\leqslant\varepsilon$ ，即 $|a_n-b_n|\leqslant\varepsilon$ . 故 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 和 $(b_n)_{n=1}^\infty$ 是等价的.

9.9.2证明：如果f在X上一致连续，那么对由X的元素组成的等价序列 $(x_n)_{n=0}^\infty$ 和 $(y_n)_{n=0}^\infty$ ，对任意实数 $\varepsilon>0$ ，由f在X上一致连续知存在实数 $\delta>0$ ，对任意 $x_1, x_2\in X$ ，如果 $|x_1-x_2|<\delta$ 就有 $|f(x_1)-f(x_2)|\leqslant\varepsilon$ . 由于 $(x_n)_{n=0}^\infty$ 和 $(y_n)_{n=0}^\infty$ 等价，故对上面的实数 $\delta$ 存在自然数N，对一切自然数 $n\geqslant N$ 有 $|x_n-y_n|<\delta$ ，进而有 $|f(x_n)-f(y_n)|\leqslant\varepsilon$ . 综上，对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在自然数N，对一切自然数 $n\geqslant N$ 有 $|f(x_n)-f(y_n)|\leqslant\varepsilon$ . 于是序列 $(f(x_n))_{n=0}^\infty$ 和 $(f(y_n))_{n=0}^\infty$ 也是等价的.

大假设设：只要序列 $(x_n)_{n=0}^\infty$ 和序列 $(y_n)_{n=0}^\infty$ 是由X的元素组成的等价序列那么序列 $(f(x_n))_{n=0}^\infty$ 和 $(f(y_n))_{n=0}^\infty$ 也是等价的. 我们假设f在X上不是一致连续的，即存在实数 $\varepsilon_0>0$ ，对一切实数 $\delta>0$ ，存在 $x_1, x_2\in X$ 使 $|x_1-x_2|<\delta$ 且 $|f(x_1)-f(x_2)|>\varepsilon_0$ . 进而对每个正自然数n，对正实数 $\frac{1}{n}$ ，存在 $x_1, x_2\in X$ 使 $|x_1-x_2|<\frac{1}{n}$ 且 $|f(x_1)-f(x_2)|>\varepsilon_0$ . 我们记集合 $A_n:=\{(x_1, x_2)\in X\times X : |x_1-x_2|<\frac{1}{n}\text{ and }|f(x_1)-f(x_2)|>\varepsilon_0\}$ . 由上讨论知对每个正整数n有 $A_n$ 非空，由选择公理知存在序列 $((a, b)_n)_{n=1}^\infty$ 使对一切正整数n有 $(a, b)_n\in A_n$ . 进而存在序列 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 和序列 $(b_n)_{n=1}^\infty$ 使对一切正整数n有 $a_n$ 为 $(a, b)_n$ 的第一分量且 $b_n$ 为 $(a, b)_n$ 的第二分量，于是 $|a_n-b_n|<\frac{1}{n}$ 且 $|f(a_n)-f(b_n)|>\varepsilon_0$ . 我们容易证明序列 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 和序列 $(b_n)_{n=1}^\infty$ 为等价的而 $(f(a_n))_{n=1}^\infty$ 和 $(f(b_n))_{n=1}^\infty$ 是不等价的. 这与我们的大假设相矛盾，故小假设不成立，即f在X上是一致连续的.

9.9.3证明：我们当然可以直接使用定义9.9.2来证明此命题. 对任意实数 $\varepsilon>0$ ，由于f在X上一致连续，则存在实数 $\delta>0$ ，对任意 $x_1, x_2\in X$ 有如果 $|x_1-x_2|<\delta$ 则 $|f(x_1)-f(x_2)|\leqslant\varepsilon$ . 对上面的实数 $\delta$ ，由于 $(x_n)_{n=0}^\infty$ 为由X的元素组成的Cauchy序列，则存在自然数N使对一切自然数 $n, m\geqslant N$ 有 $|x_n-x_m|<\delta$ ，进而 $|f(x_n)-f(x_m)|\leqslant\varepsilon$ . 综上，对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在自然数N，使对一切自然数 $n, m\geqslant N$ 有 $|f(x_n)-f(x_m)|\leqslant\varepsilon$ . 故序列 $(f(x_n))_{n=0}^\infty$ 为Cauchy序列.

例举两个错误的证明如下.

错误证明一：如果 $(x_n)_{n=0}^\infty$ 为由X的元素组成的Cauchy序列，则其收敛到某实数 $x_*$ ，由定义9.9.5知序列 $(x_n)_{n=0}^\infty$ 和序列 $(x_*)_{n=0}^\infty$ 等价，再由命题9.9.8知序列 $(f(x_n))_{n=0}^\infty$ 和序列 $(f(x_*))_{n=0}^\infty$ 等价. 由引理9.9.7知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(f(x_n)-f(x_*))=0$ ，进而有 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(f(x_n)-f(x_*))+\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_*)=\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_*)=f(x_*)$ ，则序列 $(f(x_n))_{n=0}^\infty$ 为Cauchy序列.

错误证明二：如果 $(x_n)_{n=0}^\infty$ 为由X的元素组成的Cauchy序列，则其收敛到某实数 $x_*$ ，由于f在X上是一致连续的，进而f在X上也是连续的，进而在 $x_*$ 也是连续的，再由命题9.4.7知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(x_*)$ ，故 $(f(x_n))_{n=0}^\infty$ 为Cauchy序列.

以上错误的原因是 $x_*$ 不一定属于X（或者X不为闭的）.

9.9.4证明：对于每个完全由X的元素组成并且收敛到 $x_0$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ ，由实数集的完全性（定理6.4.18）知 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 是Cauchy序列，再由命题9.9.12知 $(f(a_n))_{n=0}^\infty$ 是Cauchy序列，再由定理6.4.18知 $(f(a_n))_{n=0}^\infty$ 收敛. 而对任意两个完全由X的元素组成并且收敛到 $x_0$ 的序列 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 和 $(c_n)_{n=0}^\infty$ ，由引理9.9.7知两者等价，由命题9.9.8知 $(f(b_n))_{n=0}^\infty$ 和 $(f(c_n))_{n=0}^\infty$ 为等价的. 所以 $(f(a_n))_{n=0}^\infty$ 都收敛到同一值. 再由命题9.3.9知f在 $x_0$ 处沿着X收敛到某一值，即 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X}f(x)$ 存在.

实际上，当 $x_0\in X$ 时，由f一致连续知f连续，则此时 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X}f(x)=f(x_0)$ . 对于 $x_0\in\overline{X}\backslash X$ ，我们只需要从X中取一个收敛到 $x_0$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ ，则有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X}f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}f(a_n)$ .

9.9.5证明：如果E是空集，显然f(E)也是空集，故f(E)是有界的，命题显然成立.

若E非空，我们可以选取一个元素 $x_0\in E$ . 由于E为有界集，于是存在实数M使 $E\subseteq [-M, M]$ ，进而有 $M\geqslant x_0$ . 由于f在X上一致连续，进而f在E上也一致连续，故对实数1，存在实数 $\delta>0$ ，对任意 $x_1, x_2\in X$ 有如果 $|x_1-x_2|<\delta$ 则 $|f(x_1)-f(x_2)|\leqslant 1$ . 我们知存在一个自然数N使 $N+1>\frac{M-x_0}{(\frac{\delta}{2})}\geqslant N$ ，进而对一切自然数 $n\geqslant N+1$ 有 $x_0+n\frac{\delta}{2}\geqslant x_0+(N+1)\frac{\delta}{2}>M$ . 我们记关于自然数n的集合 $A_n:=E\cap[x_0+\frac{n\delta}{2}, x_0+\frac{(n+1)\delta}{2}]$ . 由上讨论我们知：当 $n\geqslant N+1$ 时 $A_n$ 为空集，于是使 $A_n$ 不为空集的自然数n是有限的，即集合 $B:=\{n\in\mathbb{N} : A_n \text{ is not empty}\}$ 为有限集. 对任意 $n_0\in B$ ，有 $A_{n_0}$ 非空，则存在 $x_{n_0}\in A_{n_0}$ ，由上讨论知对任意 $x_1\in A_{n_0}$ ，有如果 $|x_1-x_{n_0}|<\delta$ 则 $|f(x_1)-f(x_{n_0})|\leqslant 1$ . 由于 $x_1, x_{n_0}\in A_{n_0}$ ，即两实数都在区间 $[x_0+\frac{n_0\delta}{2}, x_0+\frac{(n_0+1)\delta}{2}]$ 中，进而显然有 $|x_1-x_{n_0}|<\delta$ 成立，故上述结论可改为对任意 $x_1\in A_{n_0}$ 有 $|f(x_1)-f(x_{n_0})|\leqslant 1$ ，即 $f(x_{n_0})-1\leqslant f(x_1)\leqslant f(x_{n_0})+1$ . 综上，对每个 $n\in B$ ，有 $f(A_n)$ 为有界的，记其上下界（或确界）分别为 $M_n$ 和 $m_n$ . 于是我们可以取 $M':=max\{M_n : n\in B\}$ 和 $m':=min\{m_n : n\in B\}$ . 进而对每个 $n\in B$ ， $f(A_n)$ 有上界M’和下界m’. 现在对任意 $x\in E\cap[x_0, +\infty)$ ，有 $x\in E\cap[x_0, x_0+\frac{(N+1)\delta}{2}]$ ，进而对某 $n'\leqslant N$ 有 $x\in E\cap[x_0+\frac{n'\delta}{2}, x_0+\frac{(n'+1)\delta}{2}]=A_n$ ，于是 $m'\leqslant f(x)\leqslant M'$ .

类似的论证可证明存在实数m、M使当 $x\in E\cap(-\infty, x_0]$ 时有 $m\leqslant f(x)\leqslant M$ .

综上，对任意 $x\in E$ ，有 $min\{m, m'\}\leqslant f(x)\leqslant max\{M, M'\}$ . 这就证明了f(E)是有界的.

文内补充

1.函数的一致连续性是一个整体性质，考虑的是函数的整个定义域.

2.实数列 $(x_n)_{n=0}^\infty$ 收敛到实数 $x_*$ 当且仅当实数列 $(x_n)_{n=0}^\infty$ 和实数列 $(x_*)_{n=0}^\infty$ 是等价的.

证明：从定义9.9.5知实数列 $(x_n)_{n=0}^\infty$ 收敛到实数 $x_*$ 蕴含实数列 $(x_n)_{n=0}^\infty$ 和实数列 $(x_*)_{n=0}^\infty$ 是等价的，从引理9.9.7知实数列 $(x_n)_{n=0}^\infty$ 和实数列 $(x_*)_{n=0}^\infty$ 是等价的蕴含实数列 $(x_n)_{n=0}^\infty$ 收敛到实数 $x_*$ .

由注9.9.9我们也可以推出：每个一致连续的函数都是连续的.

3.例9.9.10中的“为什么？”.

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(f(\frac{1}{2n})-f(\frac{1}{n}))=\lim_{n\rightarrow\infty}n$ 为发散的，由引理9.9.7知两序列不等价.

4.例9.9.13中的“为什么？”.

因为Cauchy序列是有界的.

5.定理9.9.16中的“为什么？”.

显然.

6.注9.9.17应该修改，命题9.9.15+定理9.9.16 $\Longrightarrow$ 引理9.6.3.

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