《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§9.7解答

习题9.7

9.7.1证明：由命题9.6.7知存在 $x_{max}\in[a, b]$ 使得 $f(x_{max})=M$ 和存在 $x_{min}\in[a, b]$ 使得 $f(x_{min})=m$ . 如果有 $m\leqslant y\leqslant M$ ，即 $f(x_{min})\leqslant y\leqslant f(x_{max})$ ，由定理9.7.1知存在 $c\in[a, b]$ 使 $f(c)=y$ . 于是对任意 $y\in[m, M]$ 有 $y\in f([a, b])$ . 而对任意 $y\in f([a, b])$ ，有对某 $x\in[a, b]$ 有 $f(x)=y$ ，则有 $m\leqslant y\leqslant M$ ，则 $y\in[m, M]$ . 综上有 $f([a, b])=[m, M]$ .

9.7.2证明：我们假设对每个 $x\in X$ 有 $f(x)>x$ ，则有 $f(1)>1$ ，即 $f(1)\notin[0, 1]$ . 这个矛盾帮助我们得到存在 $x_1\in X$ 使 $f(x_1)\leqslant x_1$ ；同理考虑f在0处的函数值可证存在 $x_2\in X$ 使 $f(x_2)\geqslant x_2$ . 定义新函数 $g:[0, 1]\rightarrow\mathbb{R}, g(x):=f(x)-x$ ，由上知存在 $x_1,x_2\in X$ 使 $g(x_1)\leqslant 0\leqslant g(x_2)$ ，由于g为连续函数，由中值定理知存在 $x\in X$ 使得 $g(x)=0$ ，即存在 $x\in X$ 使得 $f(x)=x$ . 命题得证.