《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§9.6解答

习题9.6

9.6.1证明：(a) $f:(1, 2)\rightarrow\mathbb{R}, f(x):=(x-\frac{3}{2})^2$ . 因为函数定义域不是闭的有界区间.

(b) $f:[0, +\infty)\rightarrow\mathbb{R}, f(x):=e^{-x}$ . 因为函数定义域不是闭的有界区间.

(c) $f:[-1, 1]\rightarrow\mathbb{R}$ ，当 $\frac{1}{x}$ 为正自然数时 $f(x):=1-x$ ；当 $\frac{1}{x}$ 为负自然数时 $f(x):=-1-x$ ；其余情况 $f(x):=0$ . 因为f不连续.

(d) $f:[-1, 1]\rightarrow\mathbb{R}$ ，当 $x\in[-1, 0]$ 时 $f(x):=0$ ；当 $x\in(0, 1]$ 时 $f(x):=-e^{\frac{1}{x}}$ . 因为f不连续.

文内补充

1.注9.6.2中的四个“为什么？”.

显然.

2.引理9.6.3的证明中的“为什么？用归纳法”.

显然.

3.注9.6.6中的“为什么？”.

显然.

4.P194的注脚进一步说明.

其中缺少的细节如下：我们已经定义 $x_n:=\sup\{x\in [a, b] : |f(x)|\geqslant n\}$ . 我们首先证明 $x_n\in[a, b]$ ，假设不然，由集合 $\{x\in [a, b] : |f(x)|\geqslant n\}$ 有上界b我们知道 $x_n$ 是实数，进而有 $x_n<a$ 或者 $x_n>b$ . 由于集合 $\{x\in [a, b] : |f(x)|\geqslant n\}$ 非空和a是集合 $\{x\in [a, b] : |f(x)|\geqslant n\}$ 的下界，我们知道 $x_n\geqslant a$ ，进而只能 $x_n>b$ ，我们取 $M:=\frac{x_n+b}{2}$ ，进而有 $x_n>M>b$ ，进而M也是集合 $\{x\in [a, b] : |f(x)|\geqslant n\}$ 的上界，这与 $x_n$ 是集合 $\{x\in [a, b] : |f(x)|\geqslant n\}$ 的最小上界相矛盾. 最终由反证法我们知道有 $x_n\in[a, b]$ . 由于 $x_n\in [a, b]$ ，则f在 $x_n$ 处连续. 进而对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在实数 $\delta>0$ ，对一切 $x\in[a, b]$ ，如果 $|x-x_n|<\delta$ 则有 $|f(x)-f(x_n)|\leqslant\varepsilon$ . 进而对此实数 $\delta$ ，由于 $x_n$ 为集合 $\{x\in [a, b] : |f(x)|\geqslant n\}$ 的附着点，则存在 $x'\in\{x\in [a, b] : |f(x)|\geqslant n\}$ 使 $|x'-x_n|<\delta$ ，进而我们有 $|f(x')-f(x_n)|\leqslant\varepsilon$ ，进而有 $|f(x')|-|f(x_n)|\leqslant\varepsilon$ ，即 $|f(x_n)|\geqslant|f(x')|-\varepsilon$ . 综上，对任意实数 $\varepsilon>0$ ，都存在 $x'\in\{x\in [a, b] : |f(x)|\geqslant n\}$ 使得 $|f(x_n)|\geqslant|f(x')|-\varepsilon\geqslant n-\varepsilon$ . 于是有 $f(x_n)\geqslant n$ .