《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§9.10解答

习题9.10

9.10.1证明：如果 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty; n\in\mathbb{N}}a_n$ 存在，由定义9.10.3知存在实数L，对每个实数 $\varepsilon>0$ ，都存在实数M，对一切 $n\in\mathbb{N}$ 有如果 $n>M$ 则 $|f(n)-L|\leqslant\varepsilon$ . 进而存在实数L，对每个实数 $\varepsilon>0$ ，都存在实数M，由习题5.4.3知存在整数N+1>M，对一切自然数 $n\geqslant N+1$ 有 $n\in\mathbb{N}$ 且 $n>M$ ，进而 $|f(n)-L|\leqslant\varepsilon$ . 由定义6.1.8和定义6.1.5知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L$ . 综上，若 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty; n\in\mathbb{N}}a_n$ 存在则 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow +\infty; n\in\mathbb{N}}a_n$ .

如果 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L$ 存在，由定义6.1.8和定义6.1.5知存在实数L，对每个实数 $\varepsilon>0$ ，都存在自然数N，也为实数N，对一切 $n\in\mathbb{N}$ ，当 $n>N$ 时有 $|f(n)-L|\leqslant\varepsilon$ . 由定义9.10.3知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty; n\in\mathbb{N}}a_n=L$ . 综上，若 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty; n\in\mathbb{N}}a_n$ 存在则 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty; n\in\mathbb{N}}a_n$ .

文内补充

1.例9.10.4中的“为什么？”.

显然.

2.对定义9.10.1和定义9.10.3的补充.

定义9.1.8：定义9.10.1为定义9.1.8的补充.
新定义9.1.10：由此定义9.1.10（闭包）需要改变，使其也包含无限附着点.
引理9.1.11：引理9.1.11的结论对考虑无限附着点后仍全部成立，只需要单独考虑无限附着点的情形，证明几乎完全一样.
新引理9.1.12：引理9.1.12只需小修改，考虑进无限附着点.
新引理9.1.13：引理9.1.13只需小修改，自然数集、整数集、比例数集和实数集都有无穷大和无穷小附着点. 空集的闭包仍是空集.
引理9.1.14补充：引理9.1.14也有对应的对无限附着点的版本，只要注意到了一个序列收敛到无穷大（无穷小）是什么意思（详见习题8.2.6（即序列上极限和下极限为无穷大（或无穷小））. 可能还要看看习题6.4.8）. 具体来说即：设X是 $\mathbb{R}$ 的子集合，那么 $+\infty(-\infty)$ 是X的附着点（详见定义9.10.1）当且仅当存在一个全由X的元素组成的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 其收敛到 $+\infty(-\infty)$ （即 $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty} a_n=\liminf_{n\rightarrow\infty} a_n=+\infty(-\infty)$ ）. 证明很容易，就不写了.
新定义9.1.15：定义9.1.15需要改变，把实数集的无限附着点也考虑进去，即：一个子集 $E\subset\mathbb{R}$ 叫作是闭的，当且仅当 $\overline{E}=E$ ，或者换句话说，E包含它的一切附着点（包括无限附着点）. 但是这样的改变与原定义不是完全相容的，因为新的定义9.1.15下如果实数集是闭的那么其不含无限附着点，进而可以看作“不考虑无限附着点只考虑实数附着点”，进而是在旧定义9.1.15下闭的；但是在旧定义9.1.15下闭的实数集在新的定义9.1.15下不一定是闭的，比如非负实数集.
新例9.1.16：例9.1.16的结论需要修改，需要考虑无限附着点.
新推论9.1.17：在实数集是闭的的定义如上进行了改变后，推论9.1.17的前半部分照样成立，因为实数集在新定义9.1.15是闭的蕴涵在旧定义9.1.15是闭的；后半部分需要进行修改成：反过来，如果每个由X的元素组成的收敛序列(包括收敛到无穷大和无穷小)极限都在X中，那么X必定是闭的(新定义9.1.15意义下).
定义9.1.18：定义9.1.18无影响，因为其考虑的就是实数附着点.
新注9.1.20：注9.1.20最后一句话需要修改：实数附着点的集合分成极限点的集合与孤立点的集合两部分.
引理9.1.21照样适用.
新定理9.1.24：定理9.1.24需要进行改变：设X是 $\mathbb{R}$ 的子集，那么下述两命题等价——(a)X是闭的（考虑进无限附着点后的意义下）(b)任给取值于X中的实数序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ ，存在它的一个子序列其收敛到X中的某实数. 证明很简单：只需要注意到“X是考虑进无限附着点后的意义下为闭的”当且仅当“X是只考虑实数附着点意义下为闭的且是有界的”.
习题9.1.1：习题9.1.1对考虑进无限附着点后仍成立. 证明很容易，因为习题9.1.1的解答已经证明只考虑X的实数附着点时成立，故我们只需再考虑 $\overline{X}$ 包含广义实数附着点时是否成立. 不失一般性，假设 $+\infty\in\overline{X}$ ，进而X无上界，由于X是Y的子集，进而Y无上界，进而 $+\infty\in\overline{Y}$ . 这就完成了证明.
习题9.1.4：对考虑进无限附着点的“闭的”的定义，习题9.1.4的原解答仍适用.
习题9.1.6没有对应于“新定义9.1.10”的版本，因为我们只定义了实直线的子集的附着点，没有定义 $\mathbb{R}^*$ 的子集的附着点. 具体可以看书中定义9.1.8和定义定义9.10.1中都有一个前提：“设X是 $\mathbb{R}$ 的子集合”.
习题9.1.7：对考虑进无限附着点的“闭的”的定义（即新定义9.1.10），习题9.1.7的原解答仍适用. 只要注意到“X是考虑进无限附着点后的意义下为闭的”当且仅当“X是只考虑实数附着点意义下为闭的且是有界的”. 同样地，如同在“《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§9.1解答”中的习题9.1.7解答的注意中，结论不可以推广到无限并.
习题9.1.8：对考虑进无限附着点的“闭的”的定义（即新定义9.1.10），习题9.1.8的原解答仍适用. 只要注意到“X是考虑进无限附着点后的意义下为闭的”当且仅当“X是只考虑实数附着点意义下为闭的且是有界的”.
习题9.1.9：对考虑进无限附着点的“闭的”的定义（即新定义9.1.10），需要限定讨论的附着点为实数，不考虑无限附着点.
习题9.1.11：对考虑进无限附着点的“闭的”的定义（即新定义9.1.10），习题9.1.11的原解答仍适用. 只要注意到“X是考虑进无限附着点后的意义下为闭的”当且仅当“X是只考虑实数附着点意义下为闭的且是有界的”.
习题9.1.14：对考虑进无限附着点的“闭的”的定义（即新定义9.1.10），习题9.1.11的结论应改为： $\mathbb{R}$ 的任何有限子集都是闭的（新定义9.1.10意义下）. 只要注意到“X是考虑进无限附着点后的意义下为闭的”当且仅当“X是只考虑实数附着点意义下为闭的且是有界的”.
定义9.10.3的注9.3.7：对于定义9.10.3，也有类似说明. 即函数在无限处的极限与集合的选取是有关系的.
定义9.10.3的命题9.3.9：我们同样可以证明——设X是 $\mathbb{R}$ 的子集合， $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ 是函数，并设E是X的子集合， $+\infty(-\infty)$ 是E的附着点. 而L是实数. 那么下述两命题是逻辑上等价的：(a)f在 $+\infty(-\infty)$ 处沿着E收敛到L；(b)对于每个完全由E的元素组成并且收敛到 $+\infty(-\infty)$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ ，序列 $(f(a_n))_{n=0}^\infty$ 收敛到L. 证明如下：如果f在 $+\infty$ 处沿着E收敛到L，进而对于每个完全由E的元素组成并且收敛到 $+\infty$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ ，对于任意实数 $\varepsilon>0$ ，由于f在 $+\infty$ 处沿着E收敛到L知存在实数 $M_\varepsilon$ ，对任意元素 $x\in E$ ，如果 $x>M_\varepsilon$ 则 $|f(x)-L|\leqslant\varepsilon$ . 又由于 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 收敛到 $+\infty$ ，进而有 $\displaystyle\liminf_{n\rightarrow\infty} a_n=+\infty$ ，即 $(a_N^-)_{N=0}^\infty$ 无上界，进而对实数 $M_\varepsilon$ 存在整数 $N_{M_\varepsilon}$ 使得对一切整数 $N\geqslant N_{M_\varepsilon}$ 有 $a_N^->M_\varepsilon$ （因为我们已经在“《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§6.4解答”的习题6.4.3中证明“ $(a_N^+)_{N=0}^\infty$ 是一个减序列”，类似的论证可以说明 $(a_N^-)_{N=0}^\infty$ 是增序列.），即有 $\inf(a_n)_{n=N_{M_\varepsilon}}^\infty>M_\varepsilon$ ，进而对一切 $n\geqslant N_{M_\varepsilon}$ 有 $|f(a_n)-L|\leqslant$ . 综上，序列 $(f(a_n))_{n=0}^\infty$ 收敛到L. 同理我们可以证明对于“ $-\infty$ ”的情形. 综上，我们证明了(a) $\Longrightarrow$ (b). 现在来证明(b) $\Longrightarrow$ (a). 我们假设(a)不成立，即并非f在 $+\infty(-\infty)$ 处沿着E收敛到L，我们先考虑“ $+\infty$ ”的情形，这说明存在实数 $\varepsilon_+>0$ ，对任意实数M，存在元素 $x\in E$ 使得 $x>M$ 且 $|f(x)-L|>\varepsilon_+$ . 由选择公理我们知存在序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 满足对一切自然数n有 $a_n\in E$ 且 $a_n>n$ 且 $|f(a_n)-L|>\varepsilon_+$ . 进而我们可以证明 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 严格增且无上界且 $f((a_n))_{n=0}^\infty$ 不收敛到L，进而可以证明 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 收敛到 $+\infty$ 且 $f((a_n))_{n=0}^\infty$ 不收敛到L，由此序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 与(b)相矛盾. 同理可以证明对于“ $-\infty$ ”的情形. 由反证法我们知道(b)蕴涵(a). 综上，我们证明了(b) $\Longrightarrow$ (a). 这就完成了证明.
定义9.10.3的注9.3.11：同样的有类似的说明——我们只考虑当 $+\infty(-\infty)$ 是E的附着点时，函数f在 $+\infty(-\infty)$ 处的极限. 当 $+\infty(-\infty)$ 不是E的附着点时，对于任何实数L，陈述 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty(-\infty)}f(x)=L$ 是空真的成立的.
定义9.10.3的注9.3.12：对于函数在无限处的极限有类似说明.
新推论9.3.13：函数在无限处的极限也是唯一的，由上面“引理9.1.14补充”和“定义9.10.3的命题9.3.9”知显然.
定义9.10.3的命题9.3.14：类似的由上面“引理9.1.14补充”和“定义9.10.3的命题9.3.9”我们可以证明“函数在无限处的极限算律”. 也即例9.10.4中说的“一切极限算律保持成立”.
定义9.10.3的注9.3.15：对于最后一段话也有类似的陈述——如果f在 $+\infty(-\infty)$ 处沿着X收敛到L，而Y是X的子集使得 $+\infty(-\infty)$ 仍然是Y的附着点，那么f在 $+\infty(-\infty)$ 处沿着Y收敛到L，但反过来不对. 由“定义9.10.3”或者上面的“定义9.10.3的命题9.3.9”知显然.
定义9.10.3的命题9.3.18：设X是 $\mathbb{R}$ 的子集合，E是X的子集合，而 $+\infty(-\infty)$ 是E的附着点. 并设 $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ 是函数，L是实数. 设M是实数. 那么我们有: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty(-\infty); x\in E}f(x)=L$ 当且仅当 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty(-\infty); x\in E\cap(M, +\infty)(E\cap(-\infty, M))}f(x)=L$ . 证明如下：先考虑 $+\infty$ 是E的附着点的情形. 如果有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty; x\in E}f(x)=L$ ，由于 $+\infty$ 是E的附着点，进而E无上界，进而 $E\cap(M, +\infty)$ 无上界，于是 $+\infty$ 也是 $E\cap(M, +\infty)$ 的附着点. 进而再由上面“定义9.10.3的注9.3.15”知有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty; x\in E\cap(M, +\infty)}f(x)=L$ . 如果 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty; x\in E\cap(M, +\infty)}f(x)=L$ ，即对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在实数 $M_\varepsilon$ ，对一切 $x\in E\cap(M, +\infty)$ ，如果 $x>M_\varepsilon$ 则 $|f(x)-L|\leqslant\varepsilon$ . 而对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在实数M+1，对一切 $x\in E\cap(-\infty, M]$ ，如果 $x>M+1$ 则 $|f(x)-L|\leqslant\varepsilon$ （此语句是空洞的没有告诉我们任何事情，却是真的. 详见上面“定义9.10.3的注9.3.11”）. 综上，我们有对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在实数 $max\{M+1, M_\varepsilon\}$ ，对一切 $x\in E$ ，如果 $x>max\{M+1, M_\varepsilon\}$ 则 $|f(x)-L|\leqslant\varepsilon$ . 故 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty; x\in E}f(x)=L$ . 综上我们证明了 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty; x\in E}f(x)=L$ 当且仅当 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty; x\in E\cap(M, +\infty)}f(x)=L$ . 同理我们可以证明 $-\infty$ 是E的附着点的情形. 综上我们完成了证明.