《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§9.5解答

习题9.5

9.5.1

定义（函数在一点处收敛到无穷）：设X是 $\mathbb{R}$ 的子集， $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ 是函数，并设E是X的子集， $x_0$ 是E的附着点. 我们说f在 $x_0$ 处沿着E收敛到 $+\infty$ ，记为 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}f(x)=+\infty$ ，当且仅当对每个实数 $\underline{r>0}$ ，都存在实数 $\underline{\delta>0}$ ，使得对一切 $\underline{x\in E}$ 有如果 $\underline{|x-x_0|<\delta}$ 则 $\underline{f(x)>r}$ .

现在考虑函数 $f:\mathbb{R}\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{R}, f(x):=\frac{1}{x}$ . 由于对每个实数 $r>0$ ，存在实数 $\frac{1}{r}>0$ ，使对一切 $x\in(0, +\infty)=(\mathbb{R}\backslash\{0\})\cap(0, +\infty)$ 有如果 $|x-0|<\frac{1}{r}$ ，即 $x<\frac{1}{r}$ 时，有 $f(x)=\frac{1}{x}>\frac{1}{(\frac{1}{r})}=r$ . 由上“函数在一点处收敛到无穷”的定义知有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0; x\in(\mathbb{R}\backslash\{0\})\cap(0, +\infty)}f(x)=+\infty$ ，即 $f(0+)=+\infty$ .

同理我们可以定义：f在 $x_0$ 处沿着E收敛到 $-\infty$ ，记为 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}f(x)=-\infty$ ，当且仅当对每个实数 $\underline{r>0}$ ，都存在实数 $\underline{\delta>0}$ ，使得对一切 $\underline{x\in E}$ 有如果 $\underline{|x-x_0|<\delta}$ 则 $\underline{f(x)<-r}$ . 同理我们可证 $f(0-)=-\infty$ .

联合定义9.3.6我们发现： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}f(x)=L$ (L为某实数)、 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}f(x)=+\infty$ 和 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}f(x)=-\infty$ 三者中至多有一个成立，但可能三者都不成立.

类比命题9.3.9，我们可以叙述：设X是 $\mathbb{R}$ 的子集， $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ 是函数，并设E是X的子集， $x_0$ 是E的附着点. 那么下述两命题是逻辑上等价的：

(a)f在 $x_0$ 处沿着E收敛到 $+\infty(-\infty)$ .

(b)对于每个完全由E的元素组成，并且收敛到 $x_0$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ ，有序列 $(f(a_n))_{n=0}^\infty$ 收敛到 $+\infty(-\infty)$ ，由练习8.2.6知即 $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=\liminf_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=+\infty(-\infty)$ .

证明：如果f在 $x_0$ 处沿着E收敛到 $+\infty$ ，那么对于每个完全由E的元素组成并且收敛到 $x_0$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ ，对任意正自然数M，由于f在 $x_0$ 处沿着E收敛到 $+\infty$ ，则存在实数 $\delta>0$ ，使对一切 $x\in E$ 有如果 $|x-x_0|<\delta$ 则 $f(x)>M$ . 由于 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 收敛到 $x_0$ 且对一切自然数n有 $a_n\in E$ ，则存在自然数N’使对一切自然数 $n\geqslant N'$ 有 $|a_n-x_0|\leqslant\frac{\delta}{2}<\delta$ ，进而 $f(a_n)>M$ . 综上，对任意正自然数M，都存在自然数N’使得对一切自然数 $n\geqslant N'$ 有 $f(a_n)>M$ . 于是对一切自然数N有 $f(a_N)^+:=\sup (f(a_n))_{n=N}^\infty=+\infty$ ，进而我们有 $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=\inf (f(a_N)^+)_{N=0}^\infty=\inf(+\infty)_{N=0}^\infty=+\infty$ . 同时我们有M为 $(f(a_n))_{n=N'}^\infty$ 的一个下界，即有 $f(a_{N'})^-=\inf (f(a_n))_{n=N'}^\infty>M$ ，即对任意正自然数M存在自然数N’使 $f(a_{N'})^->M$ ，故序列 $(f(a_N)^-)_{N=0}^\infty$ 无上界，则 $\displaystyle\liminf_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=\sup(f(a_N)^-)_{N=0}^\infty=+\infty$ . 综上有 $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty} f(a_n)=\liminf_{n\rightarrow\infty} f(a_n)=+\infty$ . 于是序列 $(f(a_n))_{n=0}^\infty$ 收敛到 $+\infty$ . （其实我们可以只证 $\displaystyle\liminf_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=+\infty$ ，再由 $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}f(a_n)\geqslant\liminf_{n\rightarrow\infty}f(a_n)$ 完成证明）

同理可证如果f在 $x_0$ 处沿着E收敛到 $-\infty$ ，那么对于每个完全由E的元素组成，并且收敛到 $x_0$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ ，有序列 $(f(a_n))_{n=0}^\infty$ 收敛到 $-\infty$ .

反过来，若对于每个完全由E的元素组成，并且收敛到 $x_0$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ ，有序列 $(f(a_n))_{n=0}^\infty$ 收敛到 $+\infty$ ，则有 $\displaystyle\liminf_{n\rightarrow\infty} f(a_n)=+\infty$ . 进而对每个实数 $r>0$ ，由于 $\displaystyle\liminf_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=\sup(f(a_N)^-)_{N=0}^\infty=+\infty$ ，则r不是序列 $(f(a_N)^-)_{N=0}^\infty$ 的上界，则存在自然数m使 $f(a_m)^->r$ ，即 $\inf(f(a_n))_{n=m}^\infty>r$ ，即对一切自然数 $n\geqslant m$ 有 $f(a_n)>r$ .

我们假设并非f在 $x_0$ 处沿着E收敛到 $+\infty$ . 则存在实数 $r>0$ ，对每个实数 $\delta>0$ ，都存在 $x\in E$ 使得 $|x-x_0|<\delta$ 且 $f(x)<r$ . 我们定义关于正自然数n的集合 $A_n:=\{x\in E : |x-x_0|<\frac{1}{n}\text{ and }f(x)<r\}$ . 由上陈述知对一切正自然数n有 $A_n$ 非空，进而由可数选择公理知存在序列 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 使得对一切正自然数n有 $a_n\in A_n$ . 而对一切实数 $\varepsilon>0$ ，存在正自然数N使得 $N\varepsilon>1$ ，即 $\varepsilon>\frac{1}{N}$ ，此时对一切自然数 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-x_0|<\frac{1}{n}\leqslant\frac{1}{N}<\varepsilon$ ，即 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=x_0$ . 于是 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 为完全由E的元素组成并且收敛到 $x_0$ 的序列. 但是对一切正自然数n有 $f(a_n)<r$ ，则r为 $(f(a_n))_{n=1}^\infty$ 的一个上界，则 $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}f(a_n)<r<+\infty$ .

由反证法知：如果对于每个完全由E的元素组成，并且收敛到 $x_0$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ ，有序列 $(f(a_n))_{n=0}^\infty$ 收敛到 $+\infty$ ，则f在 $x_0$ 处沿着E收敛到 $+\infty$ . 同理可证关于 $-\infty$ 的类似命题.

文内补充

1.左右极限的定义也是离不开函数的定义域，但函数f不必须在极限处有定义. 但左右极限和函数连续是有关系的，详见命题9.5.3.

2.例9.5.2中“为什么？”.

显然.

3.命题9.5.3上面一段的“你能看出为什么吗？”.

由命题9.4.7(c)知显然；或者由命题9.3.9知显然.

4.命题9.5.3的证明中的“为什么？”.

a.显然由于两值都为正，所以不管取哪个都为正值.

b.第二个“为什么？”显然是简单的分类讨论.

跳跃间断：函数在某处左右极限都存在但不相等.

可去间断点（可去除奇异性）：函数在某处左右极限都存在且相等，但不等于此处的函数值.

渐进间断：函数在间断点处趋于无限，详见习题9.5.1中的定义.

振荡间断：函数在间断处附近保持有界但在间断处无左极限也无右极限.

6.注9.5.4上面一段的“为什么？”.

显然.

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