《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§9.4解答

习题9.4

9.4.1证明：如果f在 $x_0$ 处连续，那么对由X的元素组成的任何收敛到 $x_0$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ ，由命题9.3.9知有 $(f(a_n))_{n=0}^\infty$ 收敛到 $f(x_0)$ ，即 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=f(x_0)$ . 故(a)蕴涵(b).

如果f在 $x_0$ 处连续，那么对任意实数 $\varepsilon>0$ ，有 $\frac{\varepsilon}{2}>0$ ，由定义9.3.6知存在实数 $\delta>0$ ，使当 $x\in X$ 且 $|x-x_0|<\delta$ 时有 $|f(x)-f(x_0)|<\frac{1}{2}\varepsilon<\varepsilon$ . 故(a)蕴涵(c).

同由定义9.3.6知有(c)蕴涵(a).

同由命题9.3.9知有(b)蕴涵(a).

这就完成了证明.

9.4.2证明：对任意 $x_0\in X$ ，有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X}c=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in\mathbb{R}}c=c=f(x_0)$ （第二个等号由注9.3.15最后一段得到）. 同理可证 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X}g(x)=g(x_0)$ .

9.4.3证明：我们将给出两个证明.

证明一：我们还没有办法直接用命题9.4.7中的(c)，因为我们还没有对数函数这一工具.

对任意实数 $x_0\in\mathbb{R}$ ，其中 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 是任意收敛到 $x_0$ 的实数序列. 由本书6.7节实的指数运算以及引理8.4.5的启发，我们有如下思路——找到两比例数序列 $(p_n)_{n=1}^\infty$ 和 $(q_n)_{n=1}^\infty$ 使对一切自然数 $n\geqslant 1$ 满足 $p_n\leqslant a_n\leqslant q_n$ 并且 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}p_n=\lim_{n\rightarrow\infty}q_n=x_0$ ，进而借助命题6.7.3和命题6.4.14可以证明 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a^{a_n}=a^{x_0}$ ，再由命题9.4.7(b)我们就可以完成证明. 证明的细节如下：

对每个正自然数n，让 $X_n$ 代表集合 $X_n:=\{x\in\mathbb{R} : a_n-\frac{1}{n}<x<a_n\text{ and x is rational number}\}$ . 由命题5.4.14知存在比例数q使得 $a_n-\frac{1}{n}<q<a_n$ ，进而有 $q\in X_n$ ，进而 $X_n$ 非空（事实上，我们回顾命题5.4.14的证明，这个比例数q是构造性的，故选择公理可以绕过）. 由可数选择公理知存在一个序列 $(p_n)_{n=1}^\infty$ 使得对一切自然数 $n\geqslant 1$ 有 $p_n\in X_n$ ，进而 $(p_n)_{n=1}^\infty$ 为比例数序列且对一切正自然数n有 $a_n-\frac{1}{n}<p_n<a_n$ ，再由挤压判别法知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}p_n=x_0$ .

同理我们可找到另一个比例数序列 $(q_n)_{n=1}^\infty$ 使得对一切自然数 $n\geqslant 1$ 有 $a_n<q_n<a_n+\frac{1}{n}$ 并且 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}q_n=x_0$ . 综上，我们找到两比例数序列 $(p_n)_{n=1}^\infty$ 和 $(q_n)_{n=1}^\infty$ 使对一切自然数 $n\geqslant 1$ 满足 $a_n-\frac{1}{n}<p_n<a_n<q_n<a_n+\frac{1}{n}$ 并且 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}p_n=\lim_{n\rightarrow\infty}q_n=x_0$ .

当 $a>1$ 时，由命题6.7.3(e)知对一切正自然数n有 $a^{p_n}<a^{a_n}<a^{q_n}$ . 再由引理6.7.1和定义6.7.2知有 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a^{p_n}=a^{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}p_n}=a^{x_0}=a^{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}q_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}a^{q_n}$ . 再由挤压判别法知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a^{a_n}=a^{x_0}$ . 最后由命题9.4.7(b)以及收敛到 $x_0$ 的序列 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 的任意性知：此时 $f(x)=a^x$ 在 $x_0$ 是连续的. 再由 $x_0$ 的任意性知当 $a>1$ 时 $f(x)=a^x$ 在整个定义域上是连续的.

同理可证当 $0<a<1$ 和a=1时 $f(x)=a^x$ 在整个定义域上是连续的. 这就完成了证明.

证明二：大多数教材都采用此思路，先证明指数函数在 $x=0$ 处连续，进而证明在整个实直线上连续.

首先回顾引理6.5.3：有 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a^{\frac{1}{n}}=1(a>0)$ ，进而也有 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a^{-\frac{1}{n}}=1(a>0)$ . 进而对任意实数 $\varepsilon>0$ ，可以找到存在正整数N使得 $1-\varepsilon<a^{-\frac{1}{N}}<a^{\frac{1}{N}}<1+\varepsilon(a>1)$ 或者 $1-\varepsilon<a^{\frac{1}{N}}\leqslant a^{-\frac{1}{N}}<1+\varepsilon(0<a\leqslant 1)$ .

当 $a>1$ 时，对任意实数 $\varepsilon>0$ ，由上知存在实数 $\delta:=\frac{1}{N}>0$ ，使得当 $x\in\mathbb{R}$ 且 $|x-0|=|x|<\delta$ 时有 $1-\varepsilon<a^{-\delta}<a^\delta<1+\varepsilon$ ，由于 $|x|<\delta$ ，进而有 $-\delta<x<\delta$ ，由于 $a>1$ 进而由命题6.7.3有 $a^{-\delta}<a^x<a^\delta$ ，进而有 $1-\varepsilon<a^{-\delta}<a^x<a^\delta<1+\varepsilon$ ，即 $1-\varepsilon<a^x<1+\varepsilon$ ，即 $|a^x-a^0|<\varepsilon$ . 再由命题9.4.7(c)知此时指数函数在0处连续.

当 $0<a\leqslant 1$ 时同理可证指数函数在0处连续.

综上，指数函数在0处连续.

现在对任意实数 $x_0\in\mathbb{R}$ ，对于每个实数 $\varepsilon>0$ ，有 $\frac{\varepsilon}{a^{x_0}}>0$ ，由于指数函数在0处连续，由命题9.4.7(c)知存在实数 $\delta>0$ 使得当 $x\in\mathbb{R}$ 且 $|x|<\delta$ 有 $|a^x-a^0|<\frac{\varepsilon}{a^{x_0}}$ ，进而对一切 $x\in\mathbb{R}$ 且 $|x-x_0|<\delta$ ，有 $(x-x_0)\in\mathbb{R}$ 且 $|x-x_0|<\delta$ ，进而有 $|a^{x-x_0}-a^0|<\frac{\varepsilon}{a^{x_0}}$ ，进而 $|a^x-a^{x_0}|<\varepsilon$ . 再由命题9.4.7知指数函数在 $x_0$ 处连续.

下面习题9.4.4也是采用此思路.

9.4.4证明：由习题9.4.2我们知 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1; x\in\mathbb{R}}x^0=\lim_{x\rightarrow 1; x\in\mathbb{R}}1=1$ 并且 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1; x\in\mathbb{R}}x^1=\lim_{x\rightarrow 1; x\in\mathbb{R}}x=1$ . 由极限算律以及归纳法易证对一切自然数n有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1; x\in\mathbb{R}}x^n=1^n=1$ . 由注9.3.15可知 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1; x\in (0, +\infty)}x^n=\lim_{x\rightarrow 1; x\in\mathbb{R}}x^n=1$ .

同理由极限算律知 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1; x\in (0, +\infty)}x^{-n}=\lim_{x\rightarrow 1; x\in (0, +\infty)}\frac{1}{x^{n}}=\frac{\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1; x\in (0, +\infty)}1}{\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1; x\in (0, +\infty)}x^n}=\frac{1}{1}=1$ .

综上，对于一切整数n有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1; x\in (0, +\infty)}x^n=1$ .

对于一切实数p，由习题5.4.3知存在整数N使 $N\leqslant p<N+1$ . 当 $x>1$ 时由命题6.7.3知有 $x^N\leqslant x^p<x^{N+1}$ . 而我们已经知道 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1; x\in(1, +\infty)}x^N=\lim_{x\rightarrow 1; x\in(0, +\infty)}x^N=1$ 和 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1; x\in(1, +\infty)}x^{N+1}=\lim_{x\rightarrow 1; x\in(0, +\infty)}x^{N+1}=1$ . 进而对任意由集合 $(1, +\infty)$ 中的元素构成并且收敛到1的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ ，有对一切自然数n有 $(a_n)^N\leqslant (a_n)^p<(a_n)^{N+1}$ ，再由 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1; x\in(1, +\infty)}x^N=\lim_{x\rightarrow 1; x\in(1, +\infty)}x^{N+1}=1$ 和命题9.3.9知有 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n)^N=\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n)^{N+1}=1$ ，由挤压判别法可知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n)^p=1$ ，再由命题9.3.9知 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1; x\in (1, +\infty)}x^p=1$ .

同理我们可证 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1; x\in (0, 1)}x^p=1$ . 显然地，由引理5.6.6(e)知 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1; x\in\{1\}}x^p=1$ .

综上，由 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1; x\in (1, +\infty)}x^p=\lim_{x\rightarrow 1; x\in (0, 1)}x^p=\lim_{x\rightarrow 1; x\in\{1\}}x^p=1$ 以及定义9.3.6知：对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在实数 $\delta_1, \delta_2, \delta_3>0$ ，对一切 $x\in(1, +\infty)$ 如果 $|x-1|<\delta_1$ 则 $|x^p-1|\leqslant\varepsilon$ 并且对一切 $x\in(0, 1)$ 如果 $|x-1|<\delta_2$ 则 $|x^p-1|\leqslant\varepsilon$ 并且对一切 $x\in\{1\}$ 如果 $|x-1|<\delta_3$ 则 $|x^p-1|\leqslant\varepsilon$ . 我们取 $\delta:=min\{\delta_1, \delta_2, \delta_3\}$ ，进而对一切 $x\in(0, +\infty)=(0, 1)\cup\{1\}\cup(1, +\infty)$ ，如果 $|x-1|<\delta$ ，分类讨论可知总有 $|x^p-1|\leqslant\varepsilon$ . 再由定义9.3.6知有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1; x\in (0, +\infty)}x^p=1$ . 由引理5.6.6(e)知 $1^p=1$ ，进而函数 $f:(0, +\infty)\rightarrow\mathbb{R}, f(x):=x^p$ 在 $x=1$ 处连续. 由命题9.4.7知对于每个实数 $\varepsilon>0$ ，都存在实数 $\delta>0$ 使得当 $x\in (0, +\infty)$ 且 $|x-1|<\delta$ 时有 $|x^p-1|<\varepsilon$ .

对任意实数 $x_0\in(0, +\infty)$ ，对任意实数 $\varepsilon>0$ ，有实数 $\frac{\varepsilon}{{x_0}^p}>0$ ，由上讨论知存在实数 $\delta>0$ 使得当 $x\in (0, +\infty)$ 且 $|x-1|<\delta$ 时有 $|x^p-1|<\frac{\varepsilon}{{x_0}^p}$ ，而我们有 $|x^p-{x_0}^p|={x_0}^p|(\frac{x}{x_0})^p-1|$ ，故我们只需要 $|\frac{x}{x_0}-1|<\delta$ 则有 $|(\frac{x}{x_0})^p-1|<\frac{\varepsilon}{{x_0}^p}$ ，由 $|\frac{x}{x_0}-1|<\delta$ 解得 $|x-x_0|<x_0\delta$ . 综上，对每个实数 $\varepsilon>0$ 都存在实数 $x_0\delta>0$ 使得当 $x\in (0, +\infty)$ 且 $|x-x_0|<x_0\delta$ 时有 $|x^p-{x_0}^p|={x_0}^p|(\frac{x}{x_0})^p-1|<{x_0}^p\frac{\varepsilon}{{x_0}^p}=\varepsilon$ . 再由命题9.4.7知有函数在 $x_0$ 处连续. 这就证明了幂函数是连续的.

9.4.6证明：由命题9.4.7(b)知这是显然的.

9.4.7证明：当n=0时， $P(x)=c_0$ ，由习题9.4.2知P此时是连续的. 归纳假设当 $n=n_0$ ( $n_0$ 为某自然数)时P为连续的. 那么对自然数 $n_0+1$ 时，有 $\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^{n_0+1}c_ix^i=\sum_{i=0}^{n_0}c_ix^i+c_{n_0+1}x^{n_0+1}$ ，由归纳假设和命题9.4.9知此时P也是连续的. 这就完成了归纳.

当n为负整数时，P(x)=0，则P(x)也为连续的. 这就完成了证明.

文内补充

1.连续函数的概念离不开定义域，函数连不连续是在其整个定义域上看的，不能是定义域的子集. 作为例子，定义域为单元素集的函数永远是连续的.

2.例9.4.5的“为什么？”.

显然，同样的思路，构造序列 $(\frac{1}{n}+x_0)_{n=1}^\infty$ 和序列 $(\frac{\sqrt{2}}{n}+x_0)_{n=1}^\infty$ .

3.例9.4.6的“为什么？”.

当 $x_0>0$ 时，由命题9.3.18有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in\mathbb{R}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in(\frac{1}{2}x_0, \frac{3}{2}x_0)}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0; x\in(\frac{1}{2}x_0, \frac{3}{2}x_0)}1=1$ . 当 $x<0$ 时同理可证 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in\mathbb{R}}f(x)=0$ .

4.命题9.4.9的一些说明.

连续函数的商运算保持连续. 注意到其只需“g在X上不取零值”，这是因为：由于 $x_0\in X$ ，由于g在 $x_0$ 处连续，那么 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X}g(x)=g(x_0)\neq 0$ . 所以条件“ $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in X}g(x)\neq 0$ ”已经隐含.

5.命题9.4.10中说的指数函数底数是正的. 我们需要引进复数后才可以讨论底数为负数的指数函数.

6.命题9.4.11的一点说明.

如果限制指数p>0，那么指数函数 $f:[0, +\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ 也是连续的. 我们只需要证此时函数在0处也连续，然而这是命题9.4.7和命题6.7.3(d)所保证的.

7.例9.4.14中的“为什么？”.

由命题9.4.9、习题9.4.4以及命题9.4.13可知.

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