《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§9.3解答

习题9.3

9.3.1证明：已知f在 $x_0$ 处沿着E收敛到L，那么对任意完全由E的元素组成，并且收敛到 $x_0$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ ，对任意实数 $\varepsilon>0$ ，由于f在 $x_0$ 处沿着E收敛到L，则存在实数 $\delta>0$ 使得对于一切 $x\in E$ 如果有 $|x-x_0|<\delta$ 则 $|f(x)-L|\leqslant\varepsilon$ . 再由序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 收敛到 $x_0$ 知对实数 $\frac{\delta}{2}$ 存在自然数N使得对一切自然数 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-x_0|\leqslant\frac{\delta}{2}<\delta$ ，进而有 $|f(a_n)-L|\leqslant\varepsilon$ . 综上，对任意实数 $\varepsilon>0$ ，总可以找到自然数N使得对一切自然数 $n\geqslant N$ 有 $|f(a_n)-L|\leqslant\varepsilon$ . 故序列 $(f(a_n))_{n=0}^\infty$ 收敛到L.

如果并非f在 $x_0$ 处沿着E收敛到L，则存在实数 $\varepsilon>0$ ，对一切实数 $\delta>0$ 存在 $x\in E$ 使得 $|x-x_0|<\delta$ 且 $|f(x)-L|>\varepsilon$ . 我们定义关于正自然数n的集合 $A_n:=\{x\in E : |x-x_0|<\frac{1}{n}\text{ and }|f(x)-L|>\varepsilon\}$ . 由上讨论知对一切正自然数n有 $A_n$ 非空，由选择公理知存在一个序列 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 使得对一切自然数 $n\geqslant 1$ 有 $a_n\in A_n$ . 在考虑对一切实数 $\varepsilon'>0$ ，由实数的阿基米德性质知有正自然数N使得 $N\varepsilon'>1$ ，即 $\frac{1}{N}<\varepsilon'$ ，进而对一切自然数 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-x_0|<\frac{1}{n}\leqslant\frac{1}{N}<\varepsilon'$ ，即证明了 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 收敛到 $x_0$ . 但是由于存在实数 $\varepsilon>0$ 对一切自然数 $n\geqslant 1$ 有 $|f(a_n)-L|>\varepsilon$ ，于是序列 $(f(a_n))_{n=1}^\infty$ 不收敛到L. 至此，我们由选择公理找到了一个完全由E的元素组成并且收敛到 $x_0$ 的序列 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 使得序列 $(f(a_n))_{n=1}^\infty$ 不收敛到L. 由反证法证明了 $(b)\Longrightarrow (a)$ .

综上，两命题等价.

需要提示的是，命题9.3.9中的序列的起始下标的选择是无关紧要的.

9.3.2证明：对于每个完全由E的元素组成，并且收敛到 $x_0$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^\infty$ ，由于f在 $x_0$ 处沿着E收敛到L，所以根据命题9.3.9有 $(f(a_n))_{n=0}^\infty$ 收敛到L. 同理有 $(g(a_n))_{n=0}^\infty$ 收敛到M. 根据定理6.1.19知有 $((f-g)(a_n))_{n=0}^\infty$ 收敛到L-M. 再次根据命题9.3.9知f-g在 $x_0$ 处沿着E有极限L-M. 综上有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}(f-g)(x)=L-M$ .

同理可证 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}max(f, g)(x)=max(L, M)$ .

同理可证 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}min(f, g)(x)=min(L, M)$ .

同理可证 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}(fg)(x)=LM$ .

同理可证 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}(cf)(x)=cL$ ( $x\in\mathbb{R}$ ).

同理可证 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}(\frac{f}{g})(x)=\frac{L}{M}$ .

9.3.3证明：如果有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}f(x)=L$ ，即对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在实数 $\delta>0$ ，对一切 $x\in E$ 有如果 $|x-x_0|<\delta$ 则 $|f(x)-L|\leqslant\varepsilon$ . 进而对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在实数 $\delta>0$ ，对一切 $x\in E\cap(x_0-\delta, x_0+\delta)$ ，如果 $|x-x_0|<\delta$ ，进而有 $x\in E$ 且 $|x-x_0|<\delta$ ，由上讨论知有 $|f(x)-L|\leqslant\varepsilon$ . 故 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E\cap(x_0-\delta, x_0+\delta)}f(x)=L$ .

如果有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E\cap(x_0-\delta, x_0+\delta)}f(x)=L$ ，即对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在实数 $\delta'>0$ ，对一切 $x\in E\cap(x_0-\delta, x_0+\delta)$ 有如果 $|x-x_0|<\delta'$ 则 $|f(x)-L|\leqslant\varepsilon$ . 进而对任意实数 $\varepsilon>0$ ，存在实数 $\delta'':=min\{\delta, \delta'\}$ ，对一切实数 $x\in E$ ，如果 $|x-x_0|<\delta''$ ，进而有 $|x-x_0|<\delta$ 且 $|x-x_0|<\delta'$ ，进而有 $x\in E\cap(x_0-\delta, x_0+\delta)$ 且 $|x-x_0|<\delta'$ ，进而有 $|f(x)-L|\leqslant\varepsilon$ ，故 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}f(x)=L$ .

综上，命题得证.

文内补充

1.例9.3.5的“为什么？”.

显然有 $\{x\in [1, 3] : |x-3|<0.01\}=[1, 3]\cap(2.99, 3.01)=(2.99, 3]$ .

2.定义9.3.6的“为什么此定义与上面给出的定义等价？”.

定义的展开，显然.

3.注9.3.7对“有些作者…所说的 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E\backslash\{x_0\}}f(x)$ ”的说明：

即此时我们只对E的极限点考察是否存在极限 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}f(x)$ ，此时极限 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}f(x)$ 表示的是定义9.3.6定义的极限 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E\backslash\{x_0\}}f(x)$ . 换句话说，有些作者考虑的极限 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}f(x)$ ，按照定义9.3.6的形式写出来就是：（函数在一点处的收敛）设X是 $\mathbb{R}$ 的子集合， $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ 是函数. 并设E是X的子集合， $\underline{x_0}$ 是E的极限点（即 $\underline{x_0}$ 是 $\underline{E\backslash\{x_0\}}$ 的附着点），而L是实数. 我们说f在 $x_0$ 处沿着E收敛到L，写作 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}f(x)=L$ ，当且仅当对于每个 $\varepsilon>0$ ， $\underline{f|_{E\backslash\{x_0\}}}$ 都是在 $x_0$ 附近 $\varepsilon$ -接近于L的. …(省略部分照抄) 换句话说，我们有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}f(x)=L$ ，当且仅当对于每个 $\varepsilon>0$ 都存在 $\delta>0$ ，使得对于一切 $\underline{x\in E\backslash\{x_0\}}$ ，当 $|x-x_0|<\delta$ 时 $|f(x)-L|\leqslant\varepsilon$ . （下划线部分是与原定义9.3.6有区别的标记）

4.定义9.3.6（函数在一点处的收敛）中 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}f(x)$ 的值与E是有关的. 详见注9.3.7、命题9.3.9、例9.3.16上面一段、例9.3.16、例9.3.17、命题9.3.18.

5.注9.3.11“你能看到为什么会出现问题吗？”说明.

当 $x_0$ 不是E的附着点时，我们知存在实数 $\delta>0$ 使得对一切 $x\in E$ 有 $|x-x_0|>\delta$ . 此时可以发现对每个实数L有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}f(x)=L$ 都是空洞地成立的. 所以说此时“不值得定义极限概念”.

6.注9.3.12“为什么？”的说明.

这是显然的，可以展开极限定义而得到一阶逻辑语句，再由一阶逻辑的语义语法（主要参考逻辑书籍“置换”部分的知识）可知这是合理的.

7.注9.3.15说明.

第一个“为什么？”.

对常值函数 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x):=1$ ，我们容易从定义9.3.6知有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in\mathbb{R}}1=1$ . 再由命题9.3.14我们知对任意实数c有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in\mathbb{R}}c=c$ . 而由命题9.3.9知有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in\mathbb{R}}x=x_0$ .

第二个“为什么？”.

由定义9.3.6或命题9.3.9显然，更精确的关系详见命题9.3.18. 反过来不对的例子详见注9.3.7中的例子.

8.例9.3.16中的“为什么？”.

前三个“为什么？”：由定义9.3.6或命题9.3.9我们容易知 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0; x\in(0, +\infty)}sgn(x)=1$ 和 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0; x\in(-\infty, 0)}sgn(x)=-1$ . 由于 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0; x\in(0, +\infty)}sgn(x)=1\neq -1=\lim_{x\rightarrow 0; x\in(-\infty, 0)}sgn(x)$ ，所以 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0; x\in\mathbb{R}}sgn(x)$ 无定义.

最后一个“为什么？”：由例9.3.16上面一段可知. 由此我们知道：极限 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in\mathbb{R}}f(x)$ 总是可以简写成 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 而不会引起任何歧义. 当然这不是表达式 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}f(x)$ 可以合理省略掉集合E的唯一情形.

9.例9.3.17“为什么？”.

理由同例9.3.16前三个“为什么？”.

10.命题9.3.18的一些说明.

a.如果 $x_0$ 是E的附着点，那么通过简单的分类讨论容易证明此时 $x_0$ 也是 $E\cap(x_0-\delta, x_0+\delta)$ 的附着点.

b.如果 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E\cap(x_0-\delta, x_0+\delta)}f(x)=L$ ，由定义9.3.6我们知对于每个 $\varepsilon>0$ ， $f|_{E\cap(x_0-\delta, x_0+\delta)}$ 都是在 $x_0$ 附近 $\varepsilon$ -接近于L的. 即对于每个 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta'>0$ ， $f|_{E\cap(x_0-\delta, x_0+\delta)}$ 限制在 $\{x\in E\cap(x_0-\delta, x_0+\delta) : |x-x_0|<\delta'\}$ 上时是 $\varepsilon$ -接近于L的. 即对于每个 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta'>0$ ，当f限制在 $\{x\in E\cap(x_0-\delta, x_0+\delta) : |x-x_0|<\delta'\}\cap(E\cap(x_0-\delta, x_0+\delta))=\underline{E\cap((x_0-\delta, x_0+\delta)\cap(x_0-\delta', x_0+\delta'))}$ 上时是 $\varepsilon$ -接近于L的. 进而对于每个 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta'':=min\{\delta, \delta'\}$ ，当f限制在 $\underline{E\cap(x_0-\delta'', x_0+\delta'')=E\cap((x_0-\delta, x_0+\delta)\cap(x_0-\delta', x_0+\delta'))}$ 上时是 $\varepsilon$ -接近于L的. 再由定义9.3.6知有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0; x\in E}f(x)=L$ . 这就是命题9.3.18的证明思路.

11.1显然是 $\mathbb{R}\backslash\{1\}$ 的附着点.

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