《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§9.2解答

习题9.2

9.2.1证明：a.对任何 $x\in\mathbb{R}$ ，有 $(f+g)\circ h(x)=(f+g)(h(x))=f(h(x))+g(h(x))=f\circ h(x)+g\circ h(x)$ . 故我们有恒等式 $(f+g)\circ h=(f\circ h)+(g\circ h)$ .

b. $f\circ(g+h)\neq(f\circ g)+(f\circ h)$ . 如： $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ，如果 $x=1$ 则 $f(x):=0$ ；否则 $f(x):=1$ . $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, g(x):=1$ . $h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, h(x):=0$ . 此时对任意 $x\in\mathbb{R}$ 有 $f\circ(g+h)(x)=f(g(x)+h(x))=f(1+0)=0$ ；而 $(f\circ g)(x)+(f\circ h)(x)=f(g(x))+f(h(x))=f(1)+f(0)=0+1=1$ . 所以有 $f\circ(g+h)\neq(f\circ g)+(f\circ h)$ .

c.对任意 $x\in\mathbb{R}$ 有 $(f+g)h(x)=(f+g)(x)\cdot h(x)=(f(x)+g(x))\cdot h(x)=f(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h(x)=f\cdot h(x)+g\cdot h(x)$ . 故有恒等式 $(f+g)h=(fh)+(gh)$ .

d.对任意 $x\in\mathbb{R}$ ，有 $f(g+h)(x)=f(x)\cdot (g+h)(x)=f(x)\cdot(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)=(fg)(x)+(fh)(x)$ . 故我们有恒等式 $f(g+h)=(fg)+(fh)$ .

文内补充

1.f在X上的限制 $f|_X$ 只是限制定义域，值域不变.

2.例9.2.2的“为什么？”.

显然.

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