《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§7.5解答

习题7.5

7.5.1证明：令 $\displaystyle L:=\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n}$ . 如果 $L=-\infty$ 时，不等式显然成立，但是由前面的引理7.5.2的部分证明我们知道 $\displaystyle L=\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n}\geqslant \inf\frac{c_{n+1}}{c_n}\geqslant 0>-\infty$ ，所以这种情况是不可能出现的.

当L为有限的实数时，由于 $\frac{c_{n+1}}{c_n}$ 总是正的，从而 $L\geqslant 0$ . （这里要分类讨论，使得 $\varepsilon$ 存在）如果 $L>0$ ，设 $-L<\varepsilon<0$ ，由命题6.4.12(a)知存在 $N\geqslant m$ 使得对于一切 $n\geqslant N$ 有 $L+\varepsilon<\frac{c_{n+1}}{c_n}$ ，进而 $c_{n+1}>(L+\varepsilon)c_n$ . 用归纳法知对一切 $n\geqslant N$ 有 $c_n\geqslant c_N(L+\varepsilon)^{n-N}$ . 令 $A:=(L+\varepsilon)^{-N}$ ，则 $c_n\geqslant A(L+\varepsilon)^{n}$ ，从而 $c_n^{\frac{1}{n}}\geqslant A^{\frac{1}{n}}(L+\varepsilon)$ 对于一切 $n\geqslant N$ 成立. 由定理6.1.19以及引理6.5.3有 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}A^{\frac{1}{n}}(L+\varepsilon)=L+\varepsilon$ . 由引理6.4.13知 $\displaystyle\liminf_{n\rightarrow\infty}c_n^{\frac{1}{n}}\geqslant L+\varepsilon$ 对一切 $-L<\varepsilon<0$ 成立，由于对于一切 $n\geqslant m$ 有 $c^{\frac{1}{n}}$ 恒大于0，故有 $\displaystyle\liminf_{n\rightarrow\infty}c_n^{\frac{1}{n}}\geqslant 0$ . 进而对一切 $\varepsilon<0$ 有 $\displaystyle\liminf_{n\rightarrow\infty}c_n^{\frac{1}{n}}\geqslant L+\varepsilon$ . 故 $\displaystyle\liminf_{n\rightarrow\infty}c_n^{\frac{1}{n}}\geqslant L$ . 如果 $L=0$ ，由于对于一切 $n\geqslant m$ 有 $c^{\frac{1}{n}}$ 恒大于0故 $\displaystyle\liminf_{n\rightarrow\infty}c_n^{\frac{1}{n}}\geqslant 0=L$ . 所以当L为有限的实数时也有 $\displaystyle\liminf_{n\rightarrow\infty}c_n^{\frac{1}{n}}\geqslant L$ .

若 $L=+\infty$ ，由命题6.4.12(a)知：对每个实数 $M>0$ ，存在整数 $N\geqslant m$ ，使对一切整数 $n\geqslant N$ 有 $\frac{c_{n+1}}{c_n}>M$ ，即 $c_{n+1}>Mc_n$ . 对N+0，有 $c_{N+0}=c_N\geqslant M^{(N+0)-N}c_N$ . 归纳假设对N+k( $k\in\mathbb{N}$ )有 $c_{N+k}=c_N\geqslant M^{(N+k)-N}c_N$ ，那么对N+(k+1)有 $c_{N+(k+1)}>Mc_{N+k}\geqslant M\times M^{(N+k)-N}c_N=M^{(N+(k+1))-N}c_N$ ，这就完成了归纳，故对任意 $k\in\mathbb{N}$ 有 $c_{N+k}=c_N\geqslant M^{(N+k)-N}c_N$ . 由于 $n\geqslant N$ ，则有 $n=N+k_n$ ，进而 $c_n=c_{N+k_n}\geqslant M^{(N+k_n)-N}c_N=M^{k_n}c_N=M^{n-N}c_N$ . 即对一切整数 $n\geqslant N$ 有 $c_n\geqslant M^{n-N}c_N=M^n\frac{c_N}{M^N}$ ，进而 $c_n^\frac{1}{n}\geqslant M(\frac{c_N}{M^N})^\frac{1}{n}$ . 由引理6.5.2知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}M(\frac{c_N}{M^N})^\frac{1}{n}=M$ ，进而再由比较原理引理6.4.13知 $\displaystyle\liminf_{n\rightarrow\infty}c_n^\frac{1}{n}\geqslant\liminf_{n\rightarrow\infty}M(\frac{c_N}{M^N})^\frac{1}{n}=M$ . 至此我们得到对每个实数 $M>0$ 存在整数 $N\geqslant m$ 对 $(c_n^\frac{1}{n})_{n=N}^{\infty}$ 有 $\displaystyle\liminf_{n\rightarrow\infty}c_n^\frac{1}{n}\geqslant M$ . 由注6.4.11（习题6.4.2解答）知 $(c_n^\frac{1}{n})_{n=m}^{\infty}$ 和 $(c_n^\frac{1}{n})_{n=N}^{\infty}$ 的下极限一样. 故 $\displaystyle\liminf_{n\rightarrow\infty}c_n^\frac{1}{n}=+\infty$ ，此时也有 $\displaystyle L\leqslant\liminf_{n\rightarrow\infty}c_n^\frac{1}{n}$ .

这样我们就完成了证明：对正数序列 $(c_n)_{n=m}^\infty$ 恒有 $\displaystyle\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n}\leqslant\liminf_{n\rightarrow\infty}c_n^\frac{1}{n}$ .

7.5.2证明：我们可以用方根判别法或比例判别法.

由于 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}|n^qx^n|^\frac{1}{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}(n^q)^\frac{1}{n}|x|^{n\times \frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}(n^\frac{1}{n})^q|x|=|x|<1$ . 由方根判别法知 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n^qx^n$ 是绝对收敛的，进而 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}n^qx^n=0$ .

由于 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{|(n+1)^qx^{n+1}|}{|n^qx^n|}=\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{n+1}{n})^q|x|=|x|<1$ ，由比例判别法知 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n^qx^n$ 是绝对收敛的，进而 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}n^qx^n=0$ .

此题也启示我们可以从序列级数是否收敛的角度考虑序列的极限是否收敛到0.

7.5.3证明： $(a_n)_{n=m}^\infty$ 为 $(1)_{n=m}^\infty$ ； $(b_n)_{n=m}^\infty$ 为 $(\frac{1}{n^2})_{n=m}^\infty$ .

文内补充

1.引理7.5.2证明中第一个“为什么：L不可能是 $-\infty$ ”.

由于 $(c_n)_{n=m}^\infty$ 是正数序列，故对一切 $n\geqslant m$ 有 $\frac{c_{n+1}}{c_n}>0$ ，即0是序列 $(\frac{c_{n+1}}{c_n})_{n=m}^\infty$ 的一个下界，再由命题6.4.12(c)知 $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n}\geqslant\inf(\frac{c_{n+1}}{c_n})_{n=m}^\infty\geqslant 0>-\infty$ .

2.引理7.5.2证明中第二个“为什么”.

详见习题7.5.1解答中最后一部分的归纳部分.

3.引理7.5.2证明中第三个“为什么：‘对于一切 $\varepsilon>0$ 有 $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}c_n^\frac{1}{n}\leqslant L+\varepsilon$ ’蕴涵‘ $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}c_n^\frac{1}{n}\leqslant L$ ’”.

证明：反证法，假设有 $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}c_n^\frac{1}{n}>L$ ，我们令 $\displaystyle\varepsilon_0:=\frac{1}{2}(\limsup_{n\rightarrow\infty}c_n^\frac{1}{n}-L)>0$ ，此时有 $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}c_n^\frac{1}{n}>L+\varepsilon_0$ ，与“对于一切 $\varepsilon>0$ 有 $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}c_n^\frac{1}{n}\leqslant L+\varepsilon$ ”相矛盾，故假设不成立.

4.推论7.5.3.

证明：(a)由定理7.5.1(a)和引理7.5.2即可得；

(c)由习题7.5.3即可知；

(b)由于 $\displaystyle\limsup\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}>1$ ，由命题6.4.12(b)知对每个整数 $N\geqslant m$ ，都存在整数 $n\geqslant N$ 使得 $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}>1$ ，即 $|a_{n+1}|>|a_n|$ . 用反证法容易证明此时序列 $(|a_n|)_{n=m}^\infty$ 不收敛到0，进而序列 $(a_n)_{n=m}^\infty$ 不收敛到0，由零判别法知 $\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty} a_n$ 是条件发散的.

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