《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§7.3解答

习题7.3

7.3.1证明：已知 $\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}a_n$ 和 $\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}b_n$ 是两个实数的形式级数，并且对一切 $n\geqslant m$ 有 $|a_n|\leqslant b_n$ . 如果 $\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}b_n$ 是收敛的，由于对一切 $n\geqslant m$ 有 $|a_n|\leqslant b_n$ ，所以级数 $\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}b_n$ 各项非负，由命题7.3.1知存在实数M使得对一切 $N\geqslant m$ 有 $\displaystyle\sum_{n=m}^{N}b_n\leqslant M$ ，进而对一切 $N\geqslant m$ 有 $\displaystyle\sum_{n=m}^{N}|a_n|\leqslant\sum_{n=m}^{N}b_n\leqslant M$ ，再由命题7.3.1知 $\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}|a_n|$ 收敛，即 $\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}a_n$ 绝对收敛. 再由命题7.2.9知 $\displaystyle|\sum_{n=m}^{\infty}a_n|\leqslant \sum_{n=m}^{\infty}|a_n|$ . 又由于对一切 $N\geqslant m$ 有 $\displaystyle\sum_{n=m}^{N}|a_n|\leqslant\sum_{n=m}^{N}b_n$ ，由比较原理（引理6.4.13）知有 $\displaystyle\limsup_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=m}^{N}|a_n|\leqslant\limsup_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=m}^{N}b_n$ ，又因为两级数收敛，则有 $\displaystyle\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=m}^{N}|a_n|\leqslant\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=m}^{N}b_n$ ，即 $\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}|a_n|\leqslant\sum_{n=m}^{\infty}b_n$ . 综上，有 $\displaystyle|\sum_{n=m}^{\infty}a_n|\leqslant \sum_{n=m}^{\infty}|a_n|\leqslant\sum_{n=m}^{\infty}b_n$ .

7.3.2证明：引理7.3.3（几何级数）中两个“如果-那么”可以改成“当且仅当”.

由引理6.5.2知当 $x=1$ 时 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^n=1$ 并且当 $x=-1$ 或 $|x|>1$ 时 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^n$ 不存在. 综上，当 $|x|\geqslant 1$ 时 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^n\neq 0$ ，由零判别法知 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ 不存在.

所以现在我们考虑 $|x|<1$ 的情形. 当 $N=0$ 时级数部分和为 $\displaystyle\sum_{n=0}^{0}x^n=x^0=1$ . 归纳假设对某 $N\geqslant 0$ 有 $S_N=\frac{1-x^{N+1}}{1-x}$ ，那么对 $N+1$ ，有 $S_{N+1}=S_N+x^{N+1}=\frac{1-x^{N+1}}{1-x}+x^{N+1}=\frac{1-x^{(N+1)+1}}{1-x}$ ，这就完成了归纳. 所以当 $|x|<1$ 时，由引理6.5.2知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^n=0$ ，进而 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^{n+1}=0$ ，故 $\displaystyle\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=0}^{N}x^n=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1-x^{N+1}}{1-x}=\frac{1}{1-x}$ ，故 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}$ .

当 $0\leqslant x<1$ 时，由上讨论知 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ 显然是决对收敛的；当 $-1<x<0$ 时，有 $0<|x|<1$ ，由上讨论知 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|x|^n$ 是收敛的，即 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|x^n|$ 是收敛的. 综上，当 $-1<x<0$ 时 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|x^n|$ 是收敛的，进而 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ 是绝对收敛的，由此，对 $|x|<1$ ，有级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ 是决对收敛的.

7.3.3证明：由于对一切自然数 $n\geqslant 0$ 有 $|a_n|\geqslant 0$ ，则级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|$ 是项为非负的级数. 由此我们知级数的部分和 $\displaystyle S_N=\sum_{n=0}^{N}|a_n|$ 是递增的. 又因为 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|=0$ ，即 $\displaystyle\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=0}^{N}|a_n|=0$ ，所以 $\displaystyle(\sum_{n=0}^{N}|a_n|)_{N=0}^{\infty}$ 是有界的，进而是有上界的，由命题6.3.8知 $\displaystyle\sup(\sum_{n=0}^{N}|a_n|)_{N=0}^{\infty}=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=0}^{N}|a_n|=0$ ，即0为序列 $\displaystyle(\sum_{n=0}^{N}|a_n|)_{N=0}^{\infty}$ 的最小上界. 故对一切自然数 $N\geqslant 0$ 有 $\displaystyle\sum_{n=0}^{N}|a_n|\leqslant 0$ . 故对自然数 $N=0$ 有 $\displaystyle\sum_{n=0}^{0}|a_n|=|a_0|\leqslant 0$ ，所以 $|a_0|=0$ . 归纳假设对一切自然数 $0\leqslant k\leqslant N$ 已证 $|a_k|=0$ ，那么对自然数N+1，有 $\displaystyle\sum_{n=0}^{N+1}|a_n|=\sum_{n=0}^{N}|a_n|+|a_{N+1}|=|a_{N+1}|\leqslant 0$ ，故 $|a_{N+1}|=0$ . 这就完成了归纳，故对一切自然数 $N\geqslant 0$ 有 $|a_N|=0$ ，进而 $a_N=0$ .