《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§7.1解答

习题7.1

7.1.1证明：(a)对自然数1，当 $p=m+1$ 时，由 $m\leqslant n<p$ 是整数知 $n=m$ ，此时 $\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i+\sum_{i=n+1}^{p}a_i=\sum_{i=m}^{m}a_i+\sum_{i=m+1}^{m+1}a_i=a_m+a_{m+1}$ . 而 $\displaystyle\sum_{i=m}^{p}a_i=\sum_{i=m}^{m+1}a_i=\sum_{i=m}^{m}a_i+a_{m+1}=a_m+a_{m+1}$ . 故有 $\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i+\sum_{i=n+1}^{p}a_i=\sum_{i=m}^{p}a_i$ . 这就完成了归纳基始. 归纳假设对自然数 $k\geqslant 1$ ，当 $p=m+k$ 时有 $\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i+\sum_{i=n+1}^{p}a_i=\sum_{i=m}^{p}a_i$ ，那么对自然数 $k+1>1$ ，当 $p=m+k+1$ 时，当 $n<p-1=m+k$ 时(保证归纳假设可用)，有 $\displaystyle\sum_{i=m}^{p}a_i=\sum_{i=m}^{p-1}a_i+a_p=(\sum_{i=m}^{n}a_i+\sum_{i=n+1}^{p-1}a_i)+a_p=\sum_{i=m}^{n}a_i+\sum_{i=n+1}^{p}a_i$ . 再来考虑当 $n=m+k<p=m+k+1$ 时， $\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i+\sum_{i=n+1}^{p}a_i=\sum_{i=m}^{m+k}a_i+\sum_{i=m+k+1}^{m+k+1}a_i=\sum_{i=m}^{m+k}a_i+a_{m+k+1}=\sum_{i=m}^{m+k+1}a_i=\sum_{i=m}^{p}a_i$ . 综上，对任意 $m\leqslant n<p$ 的n等式成立，这就证明了当 $p=m+k+1$ 时的情形，也就完成了归纳. 由于 $p>n\geqslant m$ ，则总是存在自然数 $k\geqslant 1$ 使得 $p=m+k$ ，故对任何 $p>n\geqslant m$ 的p，命题总是成立的.

补充：1.命题题设中的条件“设 $m\leqslant n<p$ 是整数”可以改为“设 $m\leqslant n\leqslant p$ 是整数”. 我们当然可以再用归纳法证一遍，但在已证原先命题成立后我们可以直接验证当 $n=p$ 时命题是否成立. 此时 $\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i+\sum_{i=n+1}^{p}a_i=\sum_{i=m}^{p}a_i+\sum_{i=p+1}^{p}a_i=\sum_{i=m}^{p}a_i+0=\sum_{i=m}^{p}a_i$ ，这就完成了验证.

2.由补充1我们知道整数n可取范围为 $m\leqslant n\leqslant p$ ，我们容易举例子发现当n不在这个范围时等式是不成立的，但有一个例外：如果已知n取值范围为 $m\leqslant n\leqslant p$ 时，我们也可以取n的值为m-1，此时等式仍然成立，这是很容易验证的. 这个特例出现在此版本书中P129从上往下数第6行的等式的推导中.

由此引理7.1.4(a)中的前提条件可改为：设 $m\leqslant p$ 是整数，整数n取值范围为 $m-1\leqslant n\leqslant p$ ，并设实数 $a_i$ 对应于每个整数 $m\leqslant i\leqslant p$ ，那么我们有 $\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i+\sum_{i=n+1}^{p}a_i=\sum_{i=m}^{p}a_i$ .

(b)对自然数0，当 $n=m+0=m$ 时，有 $\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i=\sum_{i=m}^{m}a_i=a_m$ ，而 $\displaystyle\sum_{j=m+k}^{n+k}a_{j-k}=\sum_{j=m+k}^{m+k}a_{j-k}=a_{(m+k)-k}=a_m$ ，故 $\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i=\sum_{j=m+k}^{n+k}a_{j-k}$ ，这就完成了归纳基始. 归纳假设对自然数p，当 $n=m+p$ 时有 $\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i=\sum_{j=m+k}^{n+k}a_{j-k}$ . 那么对自然数p+1，当 $n=m+(p+1)$ 时， $\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i=\sum_{i=m}^{m+(p+1)}a_i=\sum_{i=m}^{m+p}a_i+a_{m+(p+1)}=\sum_{j=m+k}^{(m+p)+k}a_{j-k}+a_{(m+p+k+1)-k}\\=\sum_{j=m+k}^{(m+p)+k}a_{j-k}+\sum_{j=m+p+k+1}^{m+p+k+1}a_{j-k}=\sum_{j=m+k}^{m+p+k+1}a_{j-k}=\sum_{j=m+k}^{n+k}a_{j-k}$ .

这就完成了归纳，故对所有自然数p，只要有 $n=m+p$ 等式就成立，然而由于 $n\geqslant m$ 是整数知道这是肯定的.

(c)首先要注意到实数的有限级数也是一个数(可用归纳法说明)，那么其也遵从实数的算律.

对自然数0，我们有 $\displaystyle (\sum_{i=m}^{m+0}a_i)+(\sum_{i=m}^{m+0}b_i)=(\sum_{i=m}^{m}a_i)+(\sum_{i=m}^{m}b_i)=a_m+b_m$ ，而 $\displaystyle\sum_{i=m}^{m+0}(a_i+b_i)=\sum_{i=m}^{m}(a_i+b_i)=a_m+b_m$ . 故有 $\displaystyle (\sum_{i=m}^{m+0}a_i)+(\sum_{i=m}^{m+0}b_i)=\sum_{i=m}^{m+0}(a_i+b_i)$ . 归纳假设对自然数k有 $\displaystyle (\sum_{i=m}^{m+k}a_i)+(\sum_{i=m}^{m+k}b_i)=\sum_{i=m}^{m+k}(a_i+b_i)$ ，那么对k+1有 $\displaystyle (\sum_{i=m}^{m+k+1}a_i)+(\sum_{i=m}^{m+k+1}b_i)=(\sum_{i=m}^{m+k}a_i+a_{m+k+1})+(\sum_{i=m}^{m+k}b_i+b_{m+k+1})\\=(\sum_{i=m}^{m+k}a_i+\sum_{i=m}^{m+k}b_i)+(a_{m+k+1}+b_{m+k+1})=\sum_{i=m}^{m+k}(a_i+b_i)+\sum_{i=m+k+1}^{m+k+1}(a_i+b_i)=\sum_{i=m}^{m+k+1}(a_i+b_i)$

这就完成了归纳，故对所有自然数k都有 $\displaystyle (\sum_{i=m}^{m+k}a_i)+(\sum_{i=m}^{m+k}b_i)=\sum_{i=m}^{m+k}(a_i+b_i)$ . 由于 $n\geqslant m$ ，故有 $n=m+k$ (k为某自然数)，进而 $\displaystyle \sum_{i=m}^{n}(a_i+b_i)=\sum_{i=m}^{m+k}(a_i+b_i)=(\sum_{i=m}^{m+k}a_i)+(\sum_{i=m}^{m+k}b_i)=(\sum_{i=m}^{n}a_i)+(\sum_{i=m}^{n}b_i)$ .

(d)对自然数0，我们有 $\displaystyle\sum_{i=m}^{m+0}(ca_i)=\sum_{i=m}^{m}(ca_i)=ca_i$ ，而 $\displaystyle c\sum_{i=m}^{m+0}a_i=c\sum_{i=m}^{m}a_i=ca_i$ . 故有 $\displaystyle\sum_{i=m}^{m+0}(ca_i)=c\sum_{i=m}^{m+0}a_i$ . 归纳假设对自然数k有 $\displaystyle\sum_{i=m}^{m+k}(ca_i)=c\sum_{i=m}^{m+k}a_i$ ，那么对k+1有 $\displaystyle\sum_{i=m}^{m+k+1}(ca_i)=\sum_{i=m}^{m+k}(ca_i)+ca_{m+k+1}=c\sum_{i=m}^{m+k}a_i+ca_{m+k+1}\\=c(\sum_{i=m}^{m+k}a_i+a_{m+k+1})=c\sum_{i=m}^{m+k+1}a_i$

这就完成了归纳，故对所有自然数k都有 $\displaystyle\sum_{i=m}^{m+k}(ca_i)=c\sum_{i=m}^{m+k}a_i$ . 由于 $n\geqslant m$ ，故有 $n=m+k$ (k为某自然数)，进而 $\displaystyle\sum_{i=m}^{n}(ca_i)=\sum_{i=m}^{m+k}(ca_i)=c\sum_{i=m}^{m+k}a_i=c\sum_{i=m}^{n}a_i$ .

(e)对自然数0，我们有 $\displaystyle |\sum_{i=m}^{m+0}a_i|=|\sum_{i=m}^{m}a_i|=|a_i|$ ，而 $\displaystyle\sum_{i=m}^{m+0}|a_i|=\sum_{i=m}^{m}|a_i|=|a_i|$ . 故有 $\displaystyle |\sum_{i=m}^{m+0}a_i|\leqslant\sum_{i=m}^{m+0}|a_i|$ . 归纳假设对自然数k有 $\displaystyle |\sum_{i=m}^{m+k}a_i|\leqslant\sum_{i=m}^{m+k}|a_i|$ ，那么对k+1有 $\displaystyle |\sum_{i=m}^{m+k+1}a_i|=|\sum_{i=m}^{m+k}a_i+a_{m+k+1}|\leqslant |\sum_{i=m}^{m+k}a_i|+|a_{m+k+1}|=\sum_{i=m}^{m+k}|a_i|+|a_{m+k+1}|\\=\sum_{i=m}^{m+k}|a_i|+\sum_{i=m+k+1}^{m+k+1}|a_{m+k+1}|=\sum_{i=m}^{m+k+1}|a_i|$

这就完成了归纳，故对所有自然数k都有 $\displaystyle |\sum_{i=m}^{m+k}a_i|\leqslant\sum_{i=m}^{m+k}|a_i|$ . 由于 $n\geqslant m$ ，故有 $n=m+k$ (k为某自然数)，进而 $\displaystyle |\sum_{i=m}^{n}a_i|=|\sum_{i=m}^{m+k}a_i|\leqslant\sum_{i=m}^{m+k}|a_i|=\sum_{i=m}^{n}|a_i|$ .

(f)对自然数0，我们有 $\displaystyle\sum_{i=m}^{m+0}a_i=\sum_{i=m}^{m}a_i=a_i$ ，而 $\displaystyle\sum_{i=m}^{m+0}b_i=\sum_{i=m}^{m}b_i=b_i$ . 故有 $\displaystyle\sum_{i=m}^{m+0}a_i\leqslant\sum_{i=m}^{m+0}b_i$ . 归纳假设对自然数k有 $\displaystyle\sum_{i=m}^{m+k}a_i\leqslant\sum_{i=m}^{m+k}b_i$ ，那么对k+1有 $\displaystyle\sum_{i=m}^{m+k+1}a_i=\sum_{i=m}^{m+k}a_i+a_{m+k+1}\leqslant\sum_{i=m}^{m+k}b_i+b_{m+k+1}=\sum_{i=m}^{m+k+1}b_i$

这就完成了归纳，故对所有自然数k都有 $\displaystyle\sum_{i=m}^{m+k}a_i\leqslant\sum_{i=m}^{m+k}b_i$ . 由于 $n\geqslant m$ ，故有 $n=m+k$ (k为某自然数)，进而 $\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i=\sum_{i=m}^{m+k}a_i\leqslant \sum_{i=m}^{m+k}b_i=\sum_{i=m}^{n}b_i$ .

7.1.2证明：(a)对空集X，我们知道集合 $\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant 0\}$ 也是空集，并且函数 $g:\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant 0\}\rightarrow X$ 是双射函数，由定义7.1.6知 $\displaystyle\sum_{x\in X}f(x)=\sum_{i=1}^{0}f(g(i))=0$ .

(b)对单元素集 $X=\{x_0\}$ ，存在双射函数 $\{1\}\rightarrow\{x_0\}$ ，由定义7.1.6知 $\displaystyle\sum_{x\in X}f(x)=\sum_{i=1}^{1}f(g(i))=f(g(1))=f(x_0)$ .

(c)由于 $g:Y\rightarrow X$ 是双射并且X是有限集，故Y与X有相同的基数，进而Y也是有限集. 故对某自然数n，存在双射函数 $h:\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}\rightarrow Y$ ，由定义7.1.6知 $\displaystyle\sum_{y\in Y}f(g(y))=\sum_{i=1}^{n}f(g(h(i)))$ . 由习题3.3.7我们知复合函数 $g\circ h:\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}\rightarrow X$ 也是双射，再由定义7.1.6知 $\displaystyle\sum_{x\in X}f(x)=\sum_{i=1}^{n}f(g\circ h(i))=f(g(h(i)))$ . 综上，我们有 $\displaystyle\sum_{x\in X}f(x)=\sum_{y\in Y}f(g(y))$ .

(d)由题意我们知对实数 $a_i$ ，其是X中元素的一个映射结果，即存在一个函数 $f:X\rightarrow\mathbb{R},f(i)=a_i$ . 我们构建一个双射函数 $g:\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m-n+1\}\rightarrow\{i\in\mathbb{Z} : n\leqslant i\leqslant m\},g(i)=i+n-1$ . 现在来证明g的双射性. 对任何 $i_1,i_2\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m-n+1\}$ ，若 $i_1\neq i_2$ ，则有 $i_1+n-1\neq i_2+n-1$ ，即 $g(i_1)\neq g(i_2)$ ，故g为单射. 对任何 $y\in\{i\in\mathbb{Z} : n\leqslant i\leqslant m\}$ ，存在 $y-n+1\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m-n+1\}$ 使得 $g(y-n+1)=y-n+1+n-1=y$ ，故g为满射. 综上，g为双射. 由定义7.1.6知 $\displaystyle\sum_{i\in X}a_i=\sum_{i\in X}f(i)=\sum_{i=1}^{m-n+1}f(g(i))=\sum_{i=1}^{m-n+1}f(i+n-1)=\sum_{i=1}^{m-n+1}a_{i+n-1}\\=\sum_{i=n}^{m}a_{i}$

(e)由于X,Y是不相交的有限集，不妨记 $\#(X)=m,\#(Y)=n$ (其中m,n均为自然数). 由命题3.6.4(b)知 $\#(X\cup Y)=m+n$ ，我们还知道存在双射函数 $g:\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m\}\rightarrow X$ 和双射函数 $h:\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}\rightarrow Y$ . 我们定义一个新函数 $I:\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m+n\}\rightarrow X\cup Y$ 如下：若 $i\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m\}$ ，那么 $I(i):=g(i)$ ；若 $i\in\{i\in\mathbb{N} : m+1\leqslant i\leqslant m+n\}$ ，那么 $I(i):=h(i-m)$ . 由于 $\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m\}\cup\{i\in\mathbb{N} : m+1\leqslant i\leqslant m+n\}=\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m+n\}$ 和 $\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m\}\cap\{i\in\mathbb{N} : m+1\leqslant i\leqslant m+n\}=\emptyset$ ，所以I的定义是成功的，我们来证明其双射性. 对任何 $i_1,i_2\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m+n\}$ ，若 $i_1\neq i_2$ ，我们分四种情形说明：1.若 $i_1,i_2\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m\}$ ，由g的单射性知 $g(i_1)\neq g(i_2)$ ，而此时 $I(i)=g(i)$ ，进而 $I(i_1)\neq I(i_2)$ . 2.若 $i_1,i_2\in\{i\in\mathbb{N} : m+1\leqslant i\leqslant m+n\}$ ，由h的单射性知 $h(i_1-m)\neq h(i_2-m)$ ，此时 $I(i):=h(i-m)$ ，进而 $I(i_1)\neq I(i_2)$ . 3.若 $i_1\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m\}$ 而 $i_2\in\{i\in\mathbb{N} : m+1\leqslant i\leqslant m+n\}$ ，此时 $I(i_1)=g(i_1)\in X$ 而 $I(i_2)=h(i_2-m)\in Y$ ，由于 $X\cap Y=\emptyset$ ，故此时 $I(i_1)\neq I(i_2)$ . 4.若 $i_2\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m\}$ 而 $i_1\in\{i\in\mathbb{N} : m+1\leqslant i\leqslant m+n\}$ ，同理如情形3可证 $I(i_1)\neq I(i_2)$ . 综上，I的单射性得证.

对任何 $z\in X\cup Y$ ，若 $z\in X$ ，由g的满射性知存在 $i\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m\}\subsetneq\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m+n\}$ 使得 $g(i)=z$ ，此时 $I(i)=g(i)$ ，故 $I(i)=z$ ；若 $z\in Y$ ，由h的满射性知存在 $i\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}$ 使得 $h(i)=z$ ，即存在 $i+m\in\{i\in\mathbb{N} : m+1\leqslant i\leqslant m+n\}\subsetneq\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m+n\}$ 使得 $h((i+m)-m)=z$ ，此时 $I(i)=h(i-m)$ ，故 $I(i+m)=z$ . 综上，I的满射性得证.

由定义7.1.6知

$\displaystyle\sum_{z\in X\cup Y}f(z)=\sum_{i=1}^{m+n}f(I(i))=(\sum_{i=1}^{m}f(I(i)))+(\sum_{i=1+m}^{m+n}f(I(i)))=(\sum_{i=1}^{m}f(g(i)))+(\sum_{i=1+m}^{m+n}f(h(i-m)))=(\sum_{i=1}^{m}f(g(i)))+(\sum_{i=1}^{n}f(h(i)))=(\sum_{x\in X}f(x))+(\sum_{y\in Y}f(y))$

(f)记 $\#(X)=m$ (m为自然数). 存在双射函数 $h:\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m\}\rightarrow X$ ，由定义7.1.6知 $\displaystyle (\sum_{x\in X}f(x))+(\sum_{x\in X}g(x))=(\sum_{i=1}^{m}f(h(i)))+(\sum_{i=1}^{m}g(h(i)))=\sum_{i=1}^{m}(f(h(i))+g(h(i)))\\=\sum_{x\in X}(f(x)+g(x))$

(g)记 $\#(X)=m$ (m为自然数). 存在双射函数 $g:\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m\}\rightarrow X$ ，由定义7.1.6知 $\displaystyle \sum_{x\in X}cf(x)=\sum_{i=1}^{m}cf(g(i))=c\sum_{i=1}^{m}f(g(i))=c\sum_{x\in X}f(x)$ .

(h)记 $\#(X)=m$ (m为自然数). 存在双射函数 $h:\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m\}\rightarrow X$ ，由定义7.1.6知 $\displaystyle \sum_{x\in X}f(x)=\sum_{i=1}^{m}f(h(i))\leqslant\sum_{i=1}^{m}g(h(i))=\sum_{x\in X}g(x)$ .

(i)记 $\#(X)=m$ (m为自然数). 存在双射函数 $g:\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m\}\rightarrow X$ ，由定义7.1.6知 $\displaystyle |\sum_{x\in X}f(x)|=|\sum_{i=1}^{m}f(g(i))|\leqslant\sum_{i=1}^{m}|f(g(i))|=\sum_{x\in X}|f(x)|$ .

7.1.3证明：由下面文内补充第1条我们可以定义 $\displaystyle\prod_{i=1(\text{ or }m)}^{n}a_i$ 如下： $\displaystyle\prod_{i=1(\text{ or }m)}^{n}a_i:=1$ ，如果 $n<1(\text{ or }m)$ ； $\displaystyle\prod_{i=1(\text{ or }m)}^{n}a_i:=(\prod_{i=1(\text{ or }m)}^{n-1}a_i)\centerdot a_n$ ，如果 $n\geqslant 1(\text{ or }m)$ . 参照命题7.1.8我们定义 $\displaystyle\prod_{x\in X}f(x)$ 如下：由于X为有限集，则存在双射 $g:\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant\#(X)\}\rightarrow X$ ，我们定义 $\displaystyle\prod_{x\in X}f(x):=\prod_{i=1}^{\#(X)}f(g(i))$ .

对引理7.1.4：(a)就如同上面引理7.1.4(a)证明后的补充1.一样，可以把前提条件中的“ $m\leqslant n<p$ ”改为“ $m\leqslant n\leqslant p$ ”而其他前提条件不变，我们同样有 $\displaystyle (\prod_{i=m}^{n}a_i)\centerdot(\prod_{i=n+1}^{p}a_i)=\prod_{i=m}^{p}a_i$ . 证明过程与引理7.1.4(a)证明类似，都是对p进行归纳，但在归纳步骤时要单独考虑 $n=p+1$ 的情形，因为归纳假设在 $n=p+1$ 不能用. 同时补充2.也同样适用于有限乘积，即已知 $m\leqslant p$ 是整数，那么整数n取值范围为 $m-1\leqslant n\leqslant p$ ，等式同样成立.

(b)在相同的前提条件下有 $\displaystyle\prod_{i=m}^{n}a_i=\prod_{j=m+k}^{n+k}a_{j-k}$ . 证明过程与引理7.1.4(b)证明类似，都是对n进行归纳.

(c)在相同的前提条件下有 $\displaystyle\prod_{i=m}^{n}(a_ib_i)=(\prod_{i=m}^{n}a_i)(\prod_{i=m}^{n}b_i)$ . 证明过程与引理7.1.4(c)证明类似，都是对n进行归纳.

(d)在相同的前提条件下有 $\displaystyle\prod_{i=m}^{n}(ca_i)=c^{n-m+1}(\prod_{i=m}^{n}a_i)$ . 证明过程与引理7.1.4(d)证明类似，都是对n进行归纳；或者运用上面(c) $\displaystyle\prod_{i=m}^{n}(a_ib_i)=(\prod_{i=m}^{n}a_i)(\prod_{i=m}^{n}b_i)$ 推得.

(e)在相同的前提条件下有 $\displaystyle |\prod_{i=m}^{n}a_i|=\prod_{i=m}^{n}|a_i|$ . 证明过程与引理7.1.4(e)证明类似，都是对n进行归纳.

(f)把前提条件中的“ $a_i\leqslant b_i$ ”改为“ $0\leqslant a_i\leqslant b_i$ ”而其他前提条件不变，我们同样有 $\displaystyle 0\leqslant\prod_{i=m}^{n}a_i\leqslant\prod_{i=m}^{n}b_i$ . 证明过程与引理7.1.4(f)证明类似，都是对n进行归纳.

对命题7.1.8：有相似的证明说明在有限集合上的乘积是定义成功的.

对命题7.1.11：(a)在相同的前提条件下有 $\displaystyle\prod_{x\in X}f(x)=1$ ，证明过程与命题7.1.11(a)的证明相似.

(b)在相同的前提条件下有 $\displaystyle\prod_{x\in X}f(x)=f(x_0)$ ，证明过程与命题7.1.11(b)的证明相似.

(c)在相同的前提条件下有 $\displaystyle\prod_{x\in X}f(x)=\prod_{y\in Y}f(g(y))$ ，证明过程与命题7.1.11(c)的证明相似.

(d)在相同的前提条件下有 $\displaystyle\prod_{i=n}^{m}a_i=\prod_{x\in X}a_i$ ，证明过程与命题7.1.11(d)的证明相似.

(e)在相同的前提条件下有 $\displaystyle\prod_{z\in X\cup Y}f(z)=(\prod_{x\in X}f(x))\centerdot(\prod_{y\in Y}f(y))$ ，证明过程与命题7.1.11(e)的证明相似.

(f)在相同的前提条件下有 $\displaystyle\prod_{x\in X}(f(x)g(x))=(\prod_{x\in X}f(x))\centerdot(\prod_{x\in X}g(x))$ ，证明过程与命题7.1.11(f)的证明相似.

(g)在相同的前提条件下有 $\displaystyle\prod_{x\in X}(cf(x))=c^{\#(X)}\centerdot (\prod_{x\in X}f(x))$ ，证明过程与命题7.1.11(g)的证明相似.

(h)前提中“ $f(x)\leqslant g(x)$ ”改为“ $0\leqslant f(x)\leqslant g(x)$ ”，其余前提条件保持不变下有 $\displaystyle 0\leqslant\prod_{x\in X}f(x)\leqslant\prod_{x\in X}g(x)$ ，证明过程与命题7.1.11(h)的证明相似.

(i)在相同的前提条件下有 $\displaystyle |\prod_{x\in X}f(x)|=\prod_{x\in X}|f(x)|$ ，证明过程与命题7.1.11(i)的证明相似.

对注7.1.12有：对于从集合 $\{i\in\mathbb{Z} : n\leqslant i\leqslant m\}$ 到自身的任何双射f都有 $\displaystyle\prod_{i=n}^{m}a_i=\prod_{i=n}^{m}a_{f(i)}$ . 证明过程用到习题7.1.3中“命题7.1.11的有限乘积版本”的(d)、(c)两个小命题，证明过程与下面文内补充部分很相似.

对引理7.1.13：在相同的前提条件下有 $\displaystyle\prod_{x\in X}(\prod_{y\in Y}f(x,y))=\prod_{(x,y)\in X\times Y}f(x,y)$ ，证明过程与引理7.1.13的证明相似，都是用归纳法证明(与自然数有关的命题当无法使用其他算律得到时，不妨考虑归纳法. 比如此引理：右边是一个有限乘积嵌套，而左边不是，用已知的算律我们无法化掉嵌套).

对推论7.1.14：在相同的前提条件下有 $\displaystyle\prod_{x\in X}(\prod_{y\in Y}f(x,y))=\prod_{(x,y)\in X\times Y}f(x,y)=\prod_{(y,x)\in Y\times X}f(x,y)=\prod_{y\in Y}(\prod_{x\in X}f(x,y))$ ，证明过程与推论7.1.14的证明相似.

7.1.4证明：当 $n=0$ 时，有 $(x+y)^0=1$ ， $\displaystyle\sum_{j=0}^{0}\frac{0!}{j!(0-j)!}x^jy^{0-j}=\frac{0!}{0!(0-0)!}x^0y^{0-0}=1$ ，故等式成立. 当 $n=1$ 时，有 $(x+y)^1=x+y$ ， $\displaystyle\sum_{j=0}^{1}\frac{1!}{j!(1-j)!}x^jy^{1-j}=\sum_{j=0}^{0}\frac{1!}{j!(1-j)!}x^jy^{1-j}+\frac{1!}{1!(1-1)!}x^1y^{1-1}=\frac{1!}{0!(1-0)!}x^0y^{1-0}+x=y+x$ ，故等式成立. 我们验证到 $n=1$ 的情形是为了满足使用引理7.1.4(a)的条件. 但如果用引理7.1.4(a)的修正版本其实不用验证 $n=1$ 的情形.

归纳假设对某 $n\geqslant 1$ 等式成立. 那么对 $n+1>1$ ，有 $\displaystyle (x+y)^{n+1}=(x+y)^n(x+y)=\sum_{j=0}^{n}\frac{n!}{j!(n-j)!}x^jy^{n-j}(x+y)\\=\sum_{j=0}^{n}\frac{n!}{j!(n-j)!}x^{j+1}y^{n-j}+\sum_{j=0}^{n}\frac{n!}{j!(n-j)!}x^jy^{n-j+1}\\=(\sum_{j=0}^{n-1}\frac{n!}{j!(n-j)!}x^{j+1}y^{n-j}+\frac{n!}{n!(n-n)!}x^{n+1}y^{n-n})+(\sum_{j=1}^{n}\frac{n!}{j!(n-j)!}x^jy^{n-j+1}+\frac{n!}{0!(n-0)!}x^0y^{n-0+1})\\=(\sum_{j=1}^{n}\frac{n!}{(j-1)!(n+1-j)!}x^{j}y^{n+1-j}+\sum_{j=1}^{n}\frac{n!}{j!(n-j)!}x^jy^{n-j+1})+x^{n+1}+y^{n+1}\\=\sum_{j=1}^{n}(\frac{n!}{(j-1)!(n+1-j)!}+\frac{n!}{j!(n-j)!})x^jy^{n+1-j}+x^{n+1}+y^{n+1}\\=\sum_{j=1}^{n}\frac{(n+1)!}{j!(n+1-j)!}x^jy^{n+1-j}+\sum_{j=n+1}^{n+1}\frac{(n+1)!}{(n+1)!(n+1-(n+1))!}x^{n+1}+\sum_{j=0}^{0}\frac{(n+1)!}{0!(n+1-0)!}y^{n+1}\\=\sum_{j=0}^{n+1}\frac{(n+1)!}{j!(n+1-j)!}x^jy^{n+1-j}$ .

这就完成了归纳. 故二项式定理得证.

7.1.5证明：当 $\#(X)=1$ 时， $\displaystyle\sum_{x\in X}a_n(x)=a_n(x)$ ，故 $\displaystyle(\sum_{x\in X}a_n(x))_{n=m}^{\infty}=(a_n(x))_{n=m}^{\infty}$ ，进而 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{x\in X}a_n(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n(x)$ 是收敛的. 而 $\displaystyle\sum_{x\in X}\lim_{n\rightarrow\infty}a_n(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n(x)$ ，故 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{x\in X}a_n(x)=\sum_{x\in X}\lim_{n\rightarrow\infty}a_n(x)$ ，这就完成了归纳基始. 归纳假设当 $\#(X)=k\geqslant 1$ 时命题成立，那么对 $\#(X)=k+1\neq 0$ ，首先存在对象 $x_0\in X$ ，进而 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{x\in X}a_n(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}(\sum_{x\in X\backslash\{x_0\}}a_n(x)+\sum_{x\in\{x_0\}}a_n(x))\\=(\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{x\in X\backslash\{x_0\}}a_n(x))+(\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{x\in\{x_0\}}a_n(x))$ .

至此我们知道 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{x\in X}a_n(x)$ 是收敛的.

因为根据归纳假设和题设我们知道 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{x\in X\backslash\{x_0\}}a_n(x)$ 和 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{x\in\{x_0\}}a_n(x)$ 都是收敛的.

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{x\in X}a_n(x)=(\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{x\in X\backslash\{x_0\}}a_n(x))+(\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{x\in\{x_0\}}a_n(x))=(\sum_{x\in X\backslash\{x_0\}}\lim_{n\rightarrow\infty}a_n(x))+(\sum_{x\in\{x_0\}}\lim_{n\rightarrow\infty}a_n(x))=\sum_{x\in X}\lim_{n\rightarrow\infty}a_n(x)$

这就完成了归纳.

文内补充

1.有限级数的四种递归定义.

a.即为定义7.1.1.

b. $\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i:=0$ ，如果 $n<m$ ； $\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i:=(\sum_{i=m}^{n-1}a_i)+a_n$ ，如果 $n\geqslant m$ .（其实这种可以看做是对定义7.1.1后一个式子对n做变元代换）

c. $\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i:=0$ ，如果 $n<m$ ；对自然数0，定义 $\displaystyle\sum_{i=m}^{m+0}a_i:=a_m$ . 归纳假设对某自然数 $k\geqslant 0$ 已定义好 $\displaystyle\sum_{i=m}^{m+k}a_i$ ，那么递归定义 $\displaystyle\sum_{i=m}^{m+(p+1)}a_i:=(\sum_{i=m}^{m+p}a_i)+a_{m+(p+1)}$ . 那么对一切自然数k， $\displaystyle\sum_{i=m}^{m+k}a_i$ 是定义的了. 由于对一切整数 $n\geqslant m$ ，存在自然数k使得 $n=m+k$ ，故 $\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i:=\sum_{i=m}^{m+k}a_i$ 是定义了的.

d. $\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i:=0$ ，如果 $n<m$ ；定义 $\displaystyle\sum_{i=m}^{m}a_i:=a_m$ . 归纳假设对某整数数 $n\geqslant m$ 已定义好 $\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i$ ，那么递归定义 $\displaystyle\sum_{i=m}^{n+1}a_i:=(\sum_{i=m}^{n}a_i)+a_{n+1}$ . 那么对一切整数 $n\geqslant m$ ， $\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i$ 是定义的了. 其实此定义就是c定义隐去了在自然数上的归纳过程版本.

我们现在来证明四种定义的等价性. 首先对 $j<m$ ，都有 $\displaystyle\sum_{i=m}^{j}a_i=0$ . 我们再来考虑当 $j\geqslant m$ 时四种定义对 $\displaystyle\sum_{i=m}^{j}a_i$ 给出的结果是否一样. 用归纳法证明. 对 $j=m$ ，由定义a:由于 $j-1=m-1\geqslant m-1$ ，故 $\displaystyle\sum_{i=m}^{j}a_i=\sum_{i=m}^{(j-1)+1}a_i=(\sum_{i=m}^{j-1}a_i)+a_{(j-1)+1}=(\sum_{i=m}^{m-1}a_i)+a_{m}=0+a_m=a_m$ . 由定义b:由于 $j=m\geqslant m$ ，故 $\displaystyle\sum_{i=m}^{j}a_i=(\sum_{i=m}^{j-1}a_i)+a_{j}=(\sum_{i=m}^{m-1}a_i)+a_{m}=0+a_m=a_m$ . 定义c和d直接定义了 $\displaystyle\sum_{i=m}^{j}a_i=\sum_{i=m}^{m}a_i=a_m$ . 综上，对 $j=m$ 四种定义给出的结果是一样的. 归纳假设对某 $j\geqslant m$ 四种定义给出的结果一样，那么对于 $j+1>m$ ，由定义a:由于 $j+1>m$ ，故 $j\geqslant m\geqslant m-1$ ，故 $\displaystyle\sum_{i=m}^{j+1}a_i=(\sum_{i=m}^{j}a_i)+a_{j+1}$ . 由定义b:由于 $j+1>m\geqslant m$ ，故 $\displaystyle\sum_{i=m}^{j+1}a_i=(\sum_{i=m}^{j}a_i)+a_{j+1}$ . 由定义c: $j+1=m+(j+1-m)$ ，故 $\displaystyle\sum_{i=m}^{j+1}a_i=\sum_{i=m}^{m+(j+1-m)}a_i=\sum_{i=m}^{m+((j-m)+1)}a_i$ ，由于 $j\geqslant m$ ，即 $j-m\geqslant 0$ ，故 $\displaystyle\sum_{i=m}^{j+1}a_i=\sum_{i=m}^{m+((j-m)+1)}a_i=(\sum_{i=m}^{m+(j-m)}a_i)+a_{m+((j-m)+1)}=(\sum_{i=m}^{j}a_i)+a_{j+1}$ . 由定义d:由于 $j+1>m$ ，即 $j\geqslant m$ ，故 $\displaystyle\sum_{i=m}^{j+1}a_i=\sum_{i=m}^{j}a_i=a_{j+1}$ . 综上，对 $k+1$ 四种定义给出的结果一样，这就完成了归纳. 故对一切整数 $n\geqslant m$ ，四种定义对 $\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i$ 给出一样的结果，进而对一切 $n\in\mathbb{Z}$ ，四种定义对 $\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i$ 给出一样的结果. 所以哪种定义方便使用时我们就使用哪种定义.

2.我们有恒等式 $\displaystyle\sum_{i=m}^{m-2}a_i=0$ , $\displaystyle\sum_{i=m}^{m-1}a_i=0$ , $\displaystyle\sum_{i=m}^{m}a_i=a_m$ , $\displaystyle\sum_{i=m}^{m+1}a_i=a_m+a_{m+1}$ , $\displaystyle\sum_{i=m}^{m+2}a_i=a_m+a_{m+1}+a_{m+2}$ .

根据定义7.1.1，由于 $m-2<m-1<m$ ，所以 $\displaystyle\sum_{i=m}^{m-2}a_i=\sum_{i=m}^{m-1}a_i=0$ . 由于 $m-1\geqslant m-1$ ，故 $\displaystyle\sum_{i=m}^{m}a_i=(\sum_{i=m}^{m-1}a_i)+a_m=0+a_m=a_m$ . 同理由于 $m+1>m\geqslant m-1$ ，故 $\displaystyle\sum_{i=m}^{m+1}a_i=(\sum_{i=m}^{m}a_i)+a_{m+1}=a_m+a_{m+1}$ . $\displaystyle\sum_{i=m}^{m+2}a_i=(\sum_{i=m}^{m+1}a_i)+a_{m+2}=a_m+a_{m+1}+a_{m+2}$ .

3.粘附变元(傀儡变元).

我们确实可以用归纳法说明级数的值和傀儡变元是没有关系的，我们可以用任何其他的符号来替换傀儡变元.

4.已知 $g:\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n+1\}\rightarrow X$ 为双射函数并且 $g(n+1)=x\in X$ . 当g定义域限制在 $\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}$ 时其变为一个 $\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}\rightarrow X\backslash\{x\}$ 的双射函数.

首先对任意的 $i\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}$ ，有 $i\neq n+1$ ，由g的单射性知 $g(i)\neq g(n+1)=x$ . 又因为 $i\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}\subsetneq\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n+1\}$ ，故有 $g(i)\in X$ . 综合这两点起来就是当 $i\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}$ 时 $g(i)\in X\backslash\{x\}$ . 对任意 $i_1,i_2\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}\subsetneq\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n+1\}$ ，若 $i_1\neq i_2$ ，由g单射性知 $g(i_1)\neq g(i_2)$ ，进而限制到定义域为 $\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}$ 的g也是单射的. 对任意 $y\in X\backslash\{x\}\subseteq X$ ，由g满射性知存在 $i\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n+1\}$ 使得 $g(i)=y$ . 我们假设对某 $y\in X\backslash\{x\}$ 有 $g(n+1)=y=x\in X\backslash\{x\}$ ，这明显是矛盾的，所以对一切 $y\in X\backslash\{x\}\subseteq X$ 都不存在 $g(n+1)=y$ ，综合起来就是对任意 $y\in X\backslash\{x\}\subseteq X$ 存在 $i\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}$ 使得 $g(i)=y$ ，故限制到定义域为 $\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}$ 的g也是满射的，进而是双射的.

命题7.1.8中定义的函数 $\overset{\sim}{h}:\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}\rightarrow X\backslash\{x\}$ 也是双射.

证明：对于任何 $i_1,i_2\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}$ ，若 $i_1\neq i_2$ ，我们分四种情形说明：1.当 $i_1,i_2<j$ 时，由函数h的单射性我们知道 $\overset{\sim}{h}(i_1)\neq\overset{\sim}{h}(i_2)$ ；2.当 $i_1,i_2\geqslant j$ 时，同样由函数h的单射性我们知道 $\overset{\sim}{h}(i_1)\neq\overset{\sim}{h}(i_2)$ ；3.当 $i_1<j$ 而 $i_2\geqslant j$ 时， $\overset{\sim}{h}(i_1)=h(i_1)$ ，而 $\overset{\sim}{h}(i_2)=h(i_2+1)$ ，由于 $i_1<j\leqslant i_2$ ，进而 $i_1<j<i_2+1$ ，同样由函数h的单射性我们知道 $\overset{\sim}{h}(i_1)\neq\overset{\sim}{h}(i_2)$ ；当 $i_2<j$ 而 $i_1\geqslant j$ 时，与3.类似知道 $\overset{\sim}{h}(i_1)\neq\overset{\sim}{h}(i_2)$ . 综上，函数 $\overset{\sim}{h}$ 是单射.

对任意元素 $y\in X\backslash\{x\}\subsetneq X$ ，由函数h的满射性我们知存在 $i\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n+1\}$ 使得 $h(i)=y$ . 我们假设对某元素 $y\in X\backslash\{x\}$ 存在 $j\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n+1\}$ 使得 $h(j)=y=x\in X\backslash\{x\}$ ，这显然是矛盾的，故对所有元素 $y\in X\backslash\{x\}$ 不存在 $h(j)=y$ ，所以我们可以说对任意元素 $y\in X\backslash\{x\}$ 存在 $i\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i<j\text{ or }j<i\leqslant n+1\}$ 使得 $h(i)=y$ . 对于i分两种情形讨论：当 $1\leqslant i<j$ 时有 $\overset{\sim}{h}(i)=h(i)=y$ ；当 $j<i\leqslant n+1$ 时，有 $\overset{\sim}{h}(i-1)=h(i)=y$ . 我们令 $i=i'+1$ ，即当 $j<i'+1\leqslant n+1$ （即 $j\leqslant i'\leqslant n$ ）时，有 $\overset{\sim}{h}(i')=h(i'+1)=y$ . 综上，对任意元素 $y\in X\backslash\{x\}$ 存在 $i\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}$ 使得 $\overset{\sim}{h}(i)=y$ . 所以 $\overset{\sim}{h}$ 是满射. 综上 $\overset{\sim}{h}$ 是双射.

5.注7.1.12中等式推导.

当 $m<n$ ，等式是显然成立的. 我们考虑 $m\geqslant n$ 的情形.

设 $X:=\{i\in\mathbb{Z} : n\leqslant i\leqslant m\},(n\leqslant m)$ ，函数 $f:X\rightarrow X$ 为任意双射，并有函数 $g:X\rightarrow R$ 使得对每个 $i\in X$ 有 $g(i)=a_i$ . 由命题7.1.11(d),(c)知：

$\displaystyle\sum_{i=n}^{m}a_i=\sum_{i\in X}a_i=\sum_{i\in X}g(i)=\sum_{i\in X}g(f(i))=\sum_{i\in X}a_{f(i)}=\sum_{i=n}^{m}a_{f(i)}$ .

我们再提供另一个证明，繁琐了一点.

设 $h:\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m-n+1\}\rightarrow X$ 是任意的双射函数(因为定义域和值域具有相同的基数)，并定义函数 $I:X\rightarrow\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m-n+1\},I(i):=i-n+1$ ，我们容易证明I为双射函数. 那么有：

$\displaystyle\sum_{i=n}^{m}a_i=\sum_{i\in X}a_i=\sum_{i\in X}g(i)=\sum_{i=1}^{m-n+1}g(h(i))=\sum_{i=n}^{m}g(h(i-n+1))=\sum_{i=n}^{m}g(h(I(i)))\\=\sum_{i=n}^{m}a_{h\circ I(i)}$

这个形式和 $\displaystyle\sum_{i=n}^{m}a_{f(i)}$ 的形式很相像，其实两者是等价的. 因为对任意函数 $f:X\rightarrow X$ ，其对每个 $i\in X$ 给出了输出 $f(i)$ . 那么对于每个 $j\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant m-n+1\}$ ，有 $j+n-1\in X$ ，我们定义此时的函数h为 $h(j):=f(j+n-1)$ . 那么此时 $h\circ I(i)=h(I(i))=h(i-n+1)=f((i-n+1)+n-1)=f(i)$ . 简单来说就是每一个 $f:X\rightarrow X$ 的双射函数都可以表示成 $h\circ I$ 的形式，同理我们可以证明每个 $h\circ I$ 双射函数可以表示成一个f双射函数.

这是我们对博文《<陶哲轩实分析>(中文第一版)——§2.2解答》中文内补充第3点“从级数的观点”的证明.

6.引理7.1.13基础情形P(0)成立.

因为当集合X有0个元素时，其是空集，进而笛卡儿乘积 $X\times Y$ 由习题3.5.8知也是空集，再由命题7.1.11(a)知等式两边都为0，进而完成归纳基始.

7.引理7.1.13中 $\displaystyle\sum_{(x,y)\in X'\times Y}f(x,y)+\sum_{(x,y)\in \{x_0\}\times Y}f(x,y)=\sum_{(x,y)\in X\times Y}f(x,y)$ .

用反证法我们容易知道 $(X'\times Y)\cap(\{x_0\}\times Y)=\emptyset$ ，并且由习题3.5.4知 $(X'\times Y)\cup(\{x_0\}\times Y)=X\times Y$ ，并且在有限集合上求和用的函数是同一个函数. 进而由命题7.1.11(e)知 $\displaystyle\sum_{(x,y)\in X'\times Y}f(x,y)+\sum_{(x,y)\in \{x_0\}\times Y}f(x,y)=\sum_{(x,y)\in X\times Y}f(x,y)$ .

8.推论7.1.14有 $\displaystyle\sum_{(x,y)\in X\times Y}f(x,y)=\sum_{(y,x)\in Y\times X}f(x,y)$ .

我们定义函数 $h:X\times Y\rightarrow Y\times X,h(x,y):=(y,x)$ . 对任意 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in X\times Y$ ，若 $(x_1,y_1)\neq (x_2,y_2)$ ，则有“ $x_1\neq x_2$ 或 $y_1\neq y_2$ ”，即“ $y_1\neq y_2$ 或 $x_1\neq x_2$ ”，即 $(y_1,x_1)\neq(y_2,x_2)$ ，即 $h(x_1,y_1)\neq h(x_2,y_2)$ ，故h为单射. 对任何对象 $(y_0,x_0)\in Y\times X$ ，总是有 $(x_0,y_0)\in X\times Y$ 使得 $h(x_0,y_0)=(y_0,x_0)$ ，故h为满射，综上h为双射.

我们把f看作单变量函数. 由命题7.1.11(c)知 $\displaystyle\sum_{(x,y)\in X\times Y}f((x,y))=\sum_{(y,x)\in Y\times X}f(h(y,x))=\sum_{(y,x)\in Y\times X}f((x,y))$ .

《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§7.1解答

习题7.1

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