《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§6.5解答

习题6.5

6.5.1 证明：由于比例数 $q>0$ ，则有 $q=\frac{a}{b}$ (a,b均为正整数). 由推论6.5.1知有 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{b}}}=0$ ，由定理6.1.19(b)以及归纳法知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n^{\frac{1}{b}}})^a=(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{b}}})^a=0^a=0$ ，即 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{\frac{a}{b}}}=0$ ，即 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^q}=0$ .

我们知道序列 $(n^q)_{n=1}^\infty$ 是比例数序列，由引理5.6.9(d)知对一切整数 $n\geqslant 1$ 有 $n^q\geqslant 1$ ，故序列 $(n^q)_{n=1}^\infty$ 有下界1. 假设 $(n^q)_{n=1}^\infty$ 有实数极限c，即 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}n^q=c$ ，由命题6.4.12知有 $c=L^-\geqslant\inf(n^q)_{n=1}^\infty\geqslant 1$ ，故 $c\neq 0$ ，由定理6.1.19(e)知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^q}=c^{-1}=0$ ，则得到 $\frac{1}{c}=0$ ，则有 $1=0$ ，这个矛盾说明假设不成立，即 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}n^q$ 不存在.

6.5.2 证明：当 $|x|=0$ 时，用归纳法可证明对一切整数 $n\geqslant 1$ 有 $|x|^n=0$ . 故序列 $(|x|^n)_{n=1}^\infty$ 就是序列 $(0)_{n=1}^\infty$ ，其为常序列. 所以当 $|x|=0$ 时， $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}|x|^n=\lim_{n\rightarrow\infty}0=0$ . 当 $0<|x|<1$ 时，由命题6.3.10知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}|x|^n=0$ . 综上，当 $|x|<1$ 时，有 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}|x|^n=0$ . 由推论6.4.17知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^n=0$ . 或者因为当 $|x|<1$ 时有 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}|x|^n=0$ ，所以 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}-|x|^n=-0=0$ . 又因为对一切整数 $n\geqslant 1$ 有 $-|x|\leqslant x\leqslant|x|$ ，由推论6.4.14知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^n=0$ .

当 $x=1$ 时，用归纳法可证明对一切整数 $n\geqslant 1$ 有 $x^n=1$ . 故序列 $(x^n)_{n=1}^\infty$ 就是序列 $(1)_{n=1}^\infty$ ，其为常序列. 所以当 $x=1$ 时， $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^n=\lim_{n\rightarrow\infty}1=1$ .

当 $x=-1$ 时，对序列 $((-1)^n)_{n=1}^\infty$ ，对任何实数 $\varepsilon>0$ ，对每个整数 $N\geqslant 1$ ，可以找到整数 $2N\geqslant N$ ，使 $|(-1)^2N-1|=0\leqslant\varepsilon$ ，故1为 $((-1)^n)_{n=1}^\infty$ 的极限点，同理我们可证-1也是 $((-1)^n)_{n=1}^\infty$ 的极限点. 由命题6.4.12(d)我们知 $L^-\leqslant -1<1\leqslant L^+$ ，故 $L^-\neq L^+$ ，再由命题6.4.12(f)知 $((-1)^n)_{n=1}^\infty$ 不收敛，即 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(-1)^n$ 发散.

当 $x>1$ 时，由习题6.3.4知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^n$ 不存在. 我们假设如果 $x<-1$ 那么 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^n$ 存在. 当 $-x>1$ 时，有 $x<-1$ . 由假设和习题6.4.7知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}|x^n|=\lim_{n\rightarrow\infty}|x|^n=\lim_{n\rightarrow\infty}(-x)^n$ 是存在的，即当 $-x>1$ 时 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(-x)^n$ 是存在的，这与上面“当 $x>1$ 时 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^n$ 不存在”相矛盾，故假设不成立，故有“ $x<-1$ 并且 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^n$ 不存在”. 所以当 $x<-1$ 时那么 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^n$ 不存在. 综上，当 $|x|>1$ 时 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^n$ 不存在.

6.5.3 证明：对每个实数 $\varepsilon>0$ ，对每个整数 $n\geqslant 1$ 有 $(1+\varepsilon)^{n+1}=(1+\varepsilon)^n(1+\varepsilon)>(1+\varepsilon)^n>0$ ，由习题6.1.1知 $((1+\varepsilon)^n)_{n=1}^\infty$ 是增序列. 我们假设存在实数 $M>0$ ，对一切整数 $n\geqslant 1$ 有 $(1+\varepsilon)^n\leqslant M$ . 此时M为 $((1+\varepsilon)^n)_{n=1}^\infty$ 的上界，由命题6.3.8知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\varepsilon)^n$ 存在，这与引理6.5.2“当 $|x|>1$ 时 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^n$ 发散”相矛盾，故假设不成立，即对任何实数 $M>0$ ，存在整数 $n\geqslant 1$ 使 $(1+\varepsilon)^n>M$ . 综上，对每个实数 $\varepsilon>0$ ，对任何实数 $M>0$ ，存在整数 $n\geqslant 1$ 使 $(1+\varepsilon)^n>M>0$ ，由引理5.6.6(d)知有 $M^\frac{1}{n}<1+\varepsilon$ . 这就证明了预备性结果.

当 $x=1$ 时，对每个整数 $n\geqslant 1$ ，有 $1^\frac{1}{n}=\sup\{y\in\mathbb{R} : y\geqslant 0\text{ and }y^n\leqslant 1\}=1$ ，则 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^\frac{1}{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}1^\frac{1}{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}1=1$ .

当 $x>1$ 时，由引理5.6.6(e)知 $(x^\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$ 是减序列，再由引理5.6.6(d)知对每个整数 $n\geqslant 1$ 有 $x^\frac{1}{n}>1^\frac{1}{n}=1$ ，故1为 $(x^\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$ 的下界. 由命题6.3.8知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^\frac{1}{n}$ 存在. 由预备性结果知对每个实数 $\varepsilon>0$ ， $1+\varepsilon$ 都不是 $(x^\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$ 的下界，即不存在实数 $\varepsilon>0$ 使 $1+\varepsilon$ 是 $(x^\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$ 的下界，所以如果M是 $(x^\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$ 的下界，那么对每个实数 $\varepsilon>0$ 有 $1+\varepsilon>M$ . 我们设M是 $(x^\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$ 的下界，并假设 $M>1$ ，则有 $M-1>0$ ，我们令 $\varepsilon:=M-1>0$ ，则有 $M=1+\varepsilon$ . 由“如果M是 $(x^\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$ 的下界那么对每个实数 $\varepsilon>0$ 有 $1+\varepsilon>M$ ”知 $M=1+\varepsilon>M$ ，这是个矛盾，所以假设不成立，故当M为 $(x^\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$ 的下界时有 $M\leqslant 1$ ，再由定义5.5.5最大下界版本知 $(x^\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$ 的最大下界为1，由命题6.3.8知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^\frac{1}{n}=\inf(x^\frac{1}{n})_{n=1}^\infty=1$ .

当 $0<x<1$ 时，由引理5.6.6(e)知 $(x^\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$ 是增序列，再由引理5.6.6(d)知对每个整数 $n\geqslant 1$ 有 $x^\frac{1}{n}<1^\frac{1}{n}=1$ ，故1为 $(x^\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$ 的上界. 由命题6.3.8知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^\frac{1}{n}$ 存在. 我们假设存在实数 $0<M<1$ 是 $(x^\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$ 的上界，则对一切整数 $n\geqslant 1$ 有 $x^\frac{1}{n}\leqslant M$ ，即 $M^n\geqslant x$ . 所以x为 $(M^n)_{n=1}^\infty$ 的一个下界. 而容易证明此时 $(M^n)_{n=1}^\infty$ 为减序列并且由引理6.5.2知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}M^n=0$ ，再由命题6.3.8知 $\inf(M^n)_{n=1}^\infty=0$ . 这明显与命题6.3.6相矛盾. 所以每个实数 $0<M<1$ 都不是 $(x^\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$ 的上界，进而每个实数 $M<1$ 都不是 $(x^\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$ 的上界，再由定义5.5.5知 $(x^\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$ 的最小上界为1，由命题6.3.8知 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^\frac{1}{n}=\sup(x^\frac{1}{n})_{n=1}^\infty=1$ .