《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§3.5解答

习题3.5

3.5.1 证明：由公理3.3知 $(x,y):=\{\{x\},\{x,y\}\}$ 是定义成功的，现假设 $(x,y)=(x',y')$ ，即 $\{\{x\},\{x,y\}\}=\{\{x'\},\{x',y'\}\}$ . 现在考虑x和y以及x’和y’的关系.

1.若 $x=y$ 且 $x'=y'$ ，由定义3.1.4知 $\{\{x\},\{x,y\}\}=\{\{x'\},\{x',y'\}\}$ 可化为 $\{\{x\}\}=\{\{x'\}\}$ ，用两次单元素集可得 $x=x'$ . 故有 $y=x=x'=y'$ ，即有 $x=x'$ 且 $y=y'$ .

2.若 $x=y$ 且 $x'\neq y'$ ，由定义3.1.4知 $\{\{x\},\{x,y\}\}=\{\{x'\},\{x',y'\}\}$ 可化为 $\{\{x\}\}=\{\{x'\},\{x',y'\}\}$ ，由定义3.1.4以及公理3.3知 $\{x'\}=\{x\}$ 且 $\{x',y'\}=\{x\}$ ，进一步再由公理3.3知 $x'=x$ 且 $y'=x$ . 故得到 $y=x=x'=y'$ ，但这与条件 $x'\neq y'$ 相矛盾，故“ $x=y$ 且 $x'\neq y'$ ”这种情况在 $\{\{x\},\{x,y\}\}=\{\{x'\},\{x',y'\}\}$ 之下是不可能出现的. 即已知 $\{\{x\},\{x,y\}\}=\{\{x'\},\{x',y'\}\}$ ，那么我们有 $x\neq y$ 或 $x'=y'$ .

3.若 $x\neq y$ 且 $x'=y'$ . 类似地论述知在 $\{\{x\},\{x,y\}\}=\{\{x'\},\{x',y'\}\}$ 前提下不会出现 $x\neq y$ 或 $x'=y'$ . 故只能 $x=y$ 或 $x'\neq y'$ .

4.若 $x\neq y$ 且 $x'\neq y'$ . 由 $\{\{x\},\{x,y\}\}=\{\{x'\},\{x',y'\}\}$ 和公理3.3知 $\{x\}=\{x'\}$ 且 $\{x,y\}=\{x',y'\}$ ，在由公理3.3知 $x=x'$ 且 $y=y'$ .

综上，若 $(x,y)=(x',y')$ ，则有( $x\neq y$ 或 $x'=y'$ )且( $x=y$ 或 $x'\neq y'$ )，进一步有( $x=y$ 且 $x'=y'$ )或( $x\neq y$ 且 $x'\neq y'$ )，但两种情况下都有 $x=x'$ 且 $y=y'$ . 即 $(x,y)=(x',y')$ $\Longrightarrow$ $x=x'$ 且 $y=y'$ .

若 $x=x'$ 且 $y=y'$ ，由公理3.3知 $\{x\}=\{x'\}$ 且 $\{x,y\}=\{x',y'\}$ ，再由公理3.3知 $\{\{x\},\{x,y\}\}=\{\{x'\},\{x',y'\}\}$ ，即 $x=x'$ 且 $y=y'$ $\Longrightarrow$ $(x,y)=(x',y')$ .

综上， $(x,y)=(x',y')$ $\Longleftrightarrow$ $x=x'$ 且 $y=y'$ . 定义符合性质(3.5).

用集合论除公理3.8外的其他公理我们可以构造出集合 $\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in X\} : y\in Y\}}$ . 对任意元素 $w\in \bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in X\} : y\in Y\}}$ ，由公理3.11知对某 $S\in \{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in X\} : y\in Y\}$ 有 $w\in S$ ；由替换公理知对某 $y\in Y$ 有 $S=\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in X\}$ ，有 $w\in S$ ；即对某 $y\in Y$ 有 $w\in \{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in X\}$ ；再由替换公理知对某 $y\in Y$ ，对某 $x\in X$ 有 $w=\{\{x\},\{x,y\}\}$ . 进而 $w\in X\times Y$ ，故 $\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in X\} : y\in Y\}}\subseteq X\times Y$ . 对任意 $w\in X\times Y$ ，有对某 $x_0\in X$ 对某 $y_0\in Y$ 有 $w=\{\{x_0\},\{x_0,y_0\}\}$ ，由替换公理知对某 $y_0\in Y$ 有 $w\in \{\{\{x\},\{x,y_0\}\} : x\in X\}$ ，再由替换公理和公理3.11知 $w\in \bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in X\} : y\in Y\}}$ ，故 $X\times Y\subseteq\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in X\} : y\in Y\}}$ . 综上， $\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in X\} : y\in Y\}}=X\times Y$ . 所以笛卡尔乘积是定义成功的.

现在来讨论定义 $(x,y)=\{x,\{x,y\}\}$ 是否符合性质(3.5). 现假设 $(x,y)=(x',y')$ ，即 $\{x,\{x,y\}\}=\{x',\{x',y'\}\}$ . 还是考虑x和y以及x’和y’的关系.

1.若 $x=y$ 且 $x'=y'$ ，由定义3.1.4知 $\{x,\{x,y\}\}=\{x',\{x',y'\}\}$ 可化为 $\{x,\{x\}\}=\{x',\{x'\}\}$ . 若x不是集合，则由公理3.3知 $x=x'$ 且 $\{x\}=\{x'\}$ ，故 $y=x=x'=y'$ ，进而有 $x=x'$ 且 $y=y'$ . 若x是集合，由 $\{x,\{x\}\}=\{x',\{x'\}\}$ 知 $x\in \{x',\{x'\}\}$ ，我们接下来分为 $x=x'$ 和 $x=\{x'\}$ 两种情形讨论. 若 $x=x'$ ，由 $x=y$ 且 $x'=y'$ 知 $y=x=x'=y'$ ，即有 $x=x'$ 且 $y=y'$ . 若 $x=\{x'\}$ ，即x是只含有唯一元素x’的单元素集，再由 $\{x,\{x\}\}=\{x',\{x'\}\}$ 可知 $\{\{x'\},\{x\}\}=\{x',\{x'\}\}$ ，进而 $x'=\{x\}$ ，同理x’是只含有唯一元素x的单元素集. 综上，我们有 $x=\{x'\}$ 和 $x'=\{x\}$ 和 $\{\{x'\},\{x\}\}=\{\{x\},\{x'\}\}$ . 而 $\{x\}\cap\{\{x'\},\{x\}\}=\{x'\}$ ， $\{x'\}\cap\{\{x'\},\{x\}\}=\{x\}$ . 这是与正则性公理相矛盾的，故集合 $\{\{x'\},\{x\}\}$ 不存在，所以假设 $x=\{x'\}$ 不成立，不会出现这种情况. 综上，当 $\{x,\{x,y\}\}=\{x',\{x',y'\}\}$ 并且 $x=y$ 且 $x'=y'$ 时，有 $x=x'$ 且 $y=y'$ .

2.若 $x=y$ 且 $x'\neq y'$ ，由定义3.1.4知 $\{x,\{x,y\}\}=\{x',\{x',y'\}\}$ 可化为 $\{x,\{x\}\}=\{x',\{x',y'\}\}$ ，若x不是集合，由公理3.3容易知道 $x=x'$ 和 $\{x\}=\{x',y'\}$ ，进而有 $x=x'=y'$ ，这与前提 $x'\neq y'$ 是相矛盾的，故假设不成立，即x是集合. 再由公理3.3和 $\{x,\{x\}\}=\{x',\{x',y'\}\}$ 我们分两种情况讨论， $x=x'$ 或者 $x=\{x',y'\}$ . 若 $x=x'$ ，由公理3.3和 $\{x,\{x\}\}=\{x',\{x',y'\}\}$ 知 $\{x\}=\{x',y'\}$ ，再由公理3.3知 $x=y'$ . 综上有 $x'=y'$ ，这明显与前提 $x'\neq y'$ 相矛盾，故只能 $x=\{x',y'\}$ ，即x为双元素集，再由公理3.3和 $\{x,\{x\}\}=\{x',\{x',y'\}\}$ 知 $x'=\{x\}$ . 综上，有 $x=\{x',y'\}\in\{\{x\},\{x',y'\}\}$ 和 $x'=\{x\}\in\{\{x\},\{x',y'\}\}$ . 故有 $\{x\}\cap\{\{x\},\{x',y'\}\}=\{x',y'\}$ 和 $\{x\}\subseteq \{x',y'\}\cap\{\{x\},\{x',y'\}\}\neq\emptyset$ ，这与正则性公理相矛盾，所以集合 $\{\{x\},\{x',y'\}\}$ 不存在. 进而假设 $x=\{x',y'\}$ 不成立. 所以在 $\{x,\{x,y\}\}=\{x',\{x',y'\}\}$ 的前提下不会出现 $x=y$ 且 $x'\neq y'$ ，故只能为 $x\neq y$ 或 $x'=y'$ .

3.若 $x\neq y$ 且 $x'=y'$ . 类似地论述知在 $\{x,\{x,y\}\}=\{x',\{x',y'\}\}$ 前提下会出现矛盾. 故只能 $x=y$ 或 $x'\neq y'$ .

4.若 $x\neq y$ 且 $x'\neq y'$ . 已知 $\{x,\{x,y\}\}=\{x',\{x',y'\}\}$ . 若x不是集合，则 $x=x'$ 和 $\{x,y\}=\{x',y'\}$ ，由 $x'\neq y'$ 进一步有 $y=y'$ . 综上，已知 $\{x,\{x,y\}\}=\{x',\{x',y'\}\}$ ，若 $x\neq y$ 且 $x'\neq y'$ ，若x不是集合则 $x=x'$ 且 $y=y'$ . 若x为集合，我们分 $x=x'$ 或 $x=\{x',y'\}$ 两种情况讨论. 若 $x=x'$ ，若 $\{x,y\}=x'$ ，即 $\{x,y\}=x$ ，于是我们有 $x\in x$ ，由习题3.2.2知这是不可能的，所以假设 $\{x,y\}=x'$ 不成立，进而应有 $\{x,y\}=\{x',y'\}$ ，再由 $x\neq y$ 和 $x=x'$ 知 $y=y'$ . 综上，已知 $\{x,\{x,y\}\}=\{x',\{x',y'\}\}$ ，若 $x\neq y$ 且 $x'\neq y'$ ，若x是集合，若 $x=x'$ ，则 $x=x'$ 且 $y=y'$ . 若 $x=\{x',y'\}$ ，我们再分两种情况讨论. 若 $\{x,y\}=x'$ ，结合 $x=\{x',y'\}$ 我们知 $x=\{\{x,y\},y'\}$ ，进而我们有 $\{x,y\}\in x$ ，而 $x\in\{x,y\}$ ，由习题3.2.2知这是不可能的，故假设 $\{x,y\}=x'$ 不成立，故只能 $\{x,y\}=\{x',y'\}$ ，再结合 $x=\{x',y'\}$ 知 $\{x,y\}=x$ ，进而有 $x\in x$ ，同理这是不可能的. 综上，假设 $x=\{x',y'\}$ 不成立，即当 $\{x,\{x,y\}\}=\{x',\{x',y'\}\}$ 和 $x\neq y$ 且 $x'\neq y'$ 且x为集合时不会出现 $x=\{x',y'\}$ 情况.

综合1~4我们知道若 $\{x,\{x,y\}\}=\{x',\{x',y'\}\}$ 那么 $x=x'$ 且 $y=y'$ .

或者说，若 $(x,y)=(x',y')$ ，则有( $x\neq y$ 或 $x'=y'$ )且( $x=y$ 或 $x'\neq y'$ )，进一步有( $x'=y'$ 且 $x=y$ )或( $x\neq y$ 且 $x'\neq y'$ )，但两种情况下都有 $x=x'$ 且 $y=y'$ . 即 $(x,y)=(x',y')$ $\Longrightarrow$ $x=x'$ 且 $y=y'$ .

若 $x=x'$ 且 $y=y'$ ，由公理3.3知 $\{x,y\}=\{x',y'\}$ ，再由公理3.3知 $\{x,\{x,y\}\}=\{x',\{x',y'\}\}$ ，即 $x=x'$ 且 $y=y'$ $\Longrightarrow$ $(x,y)=(x',y')$ .

综上， $(x,y)=(x',y')$ $\Longleftrightarrow$ $x=x'$ 且 $y=y'$ . 定义符合性质(3.5).

3.5.2 证明：设有两个有序n元组x和y，分别为 $\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}\rightarrow X$ 和 $\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}\rightarrow Y$ 的满射函数. 若 $x=y$ ，即 $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}=(y_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ ，由定义3.3.7函数相等定义知 $X=Y$ ，且对一切 $i\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}$ 有 $x(i)=y(i)$ ，即 $x_i=y_i$ . 综上， $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}=(y_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\Longrightarrow \forall 1\leqslant i\leqslant n,x_i=y_i$ .

若 $\forall 1\leqslant i\leqslant n,x_i=y_i$ ，即 $x(i)=y(i)$ . 由于x为满射函数，则对于一切 $a\in X$ ，存在一个 $i\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}$ 使得 $x(i)=a=y(i)\in Y$ ，故 $X\subseteq Y$ . 同理可证 $Y\subseteq X$ . 综上，即有 $X=Y$ . 进而 $x=y$ ，即 $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}=(y_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ . 综上有 $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}=(y_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\Longleftrightarrow \forall 1\leqslant i\leqslant n,x_i=y_i$ .

若 $(X_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ 是集合的有序n元组，即其为一个 $F:\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}\rightarrow Y$ 的满射函数，其中集合Y中元素均为集合，即有 $F(i)=X_i\in Y$ .

由幂集公理知存在集合 $\displaystyle(\bigcup_{1\leqslant i\leqslant n}{X_i})^{ \{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}}$ ，其由定义域为 $\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}$ 而值域为 $\displaystyle(\bigcup_{1\leqslant i\leqslant n}{X_i})$ 的全体函数构成，记其为集合A.

由分类公理知存在集合 $\{x\in A : \forall 1\leqslant i\leqslant n,x(i)\in X_i\}$ . 但存在一个问题是这个集合的元素极可能不是满射函数，因为其值域为 $\displaystyle(\bigcup_{1\leqslant i\leqslant n}{X_i})$ . 由此也就不满足有序n元组是一个满射函数，故注3.5.8的定义不是严格的，而习题3.4.7提示我们只选择出那些满射函数.

由习题3.4.7知从集合 $\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}$ 到集合 $\displaystyle(\bigcup_{1\leqslant i\leqslant n}{X_i})$ 的全体部分函数构成一个集合，我们记此集合为B. 由分类公理知存在集合 $\{x\in B : \text{the domain of x is }\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}\text{ and x is onto and for all }1\leqslant i\leqslant n\text{ that is }x(i)\in X_i\}$ 此集合中前两个条件保证其元素为有序n元组.现在我们来证明：

$\{x\in B : \text{the domain of x is }\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}\text{ and x is onto and for all }1\leqslant i\leqslant n\text{ that is }x(i)\in X_i\}=\displaystyle \prod_{1\leqslant i\leqslant n}{X_i}$

对任意元素 $x\in\{x\in B : \text{the domain of x is }\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}\text{ and x is onto and for all }1\leqslant i\leqslant n\text{ that is }x(i)\in X_i\}$ ，由分类公理知 $x\in B$ 且x的定义域为 $\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}$ 且x为满射函数且对一切 $i\in\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}$ 有 $x(i)\in X_i$ . 其中x的定义域为 $\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}$ 且x为满射函数两个条件保证了x是一个有序n元组，再结合最后一个条件说明这个有序n元组x属于 $\displaystyle \prod_{1\leqslant i\leqslant n}{X_i}$ . 同理我们可以知道 $\displaystyle \prod_{1\leqslant i\leqslant n}{X_i}$ 中元素都属于集合 $\{x\in B : \text{the domain of x is }\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}\text{ and x is onto and for all }1\leqslant i\leqslant n\text{ that is }x(i)\in X_i\}$

综上， $\displaystyle \prod_{1\leqslant i\leqslant n}{X_i}=\{x\in B : \text{the domain of x is }\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}\text{ and x is onto and for all }1\leqslant i\leqslant n\text{ that is }x(i)\in X_i\}$

我们考虑0元组，由定义3.5.7知其没有分量，所以其仅仅是一个这样的记号 $()$ . 容易证明空组是唯一的，因为对一切 $1\leqslant i\leqslant 0$ 有 $x_i=y_i$ 是空真的成立的.

再考虑空的笛卡尔乘积.

$\displaystyle \prod_{1\leqslant i\leqslant 0}{X_i}=\{(x_i)_{1\leqslant i\leqslant 0} : \text{for all }1\leqslant i\leqslant 0\text{ that is }x_i\in X_i\}$ . 很明显空组是属于此集合的，并且所有非零元组都不属于 $\displaystyle \prod_{1\leqslant i\leqslant 0}{X_i}=\{(x_i)_{1\leqslant i\leqslant 0} : \text{for all }1\leqslant i\leqslant 0\text{ that is }x_i\in X_i\}$ . 所以空的笛卡尔乘积只含有0元组一个元素，即其等于单元素集 $\{()\}$ .

我们再从习题3.5.2严格的考虑此事，由把有序n元组定义成一个满射函数知空组就是 $\emptyset\rightarrow\emptyset$ ，所以我们可以说 $():=\emptyset\rightarrow\emptyset$ .并且此空函数是唯一的.

再考虑空的笛卡尔乘积 $\{x\in B : \text{the domain of x is }\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant 0\}\text{ and x is onto and for all }1\leqslant i\leqslant 0\text{ that is }x(i)\in X_i\}$ 很显然， $\emptyset\rightarrow\emptyset$ 属于此集合，而其他不同于满射的空函数都不是空的笛卡尔乘积的元素.

3.5.3 证明：反身性：

由于 $x=x,y=y$ ，故 $(x,y)=(x,y)$ .

由于对于一切 $1\leqslant i\leqslant n$ 有 $x_i=x_i$ ，故 $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}= (x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ .

对称性：

设 $(x,y)=(x',y')$ . 由于 $(x,y)=(x',y')$ ，则有 $x=x'$ 且 $y=y'$ ，即有 $x'=x$ 且 $y'=y$ ，故 $(x',y')=(x,y)$ .

设 $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}=(y_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ . 由于 $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}= (y_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ ，则对于一切 $1\leqslant i\leqslant n$ 有 $x_i=y_i$ ，进而对于一切 $1\leqslant i\leqslant n$ 有 $y_i=x_i$ ，故 $(y_i)_{1\leqslant i\leqslant n}= (x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ .

传递性：

设 $(x,y)=(x_1,y_1),(x_1,y_1)=(x_2,y_2)$ . 由 $(x,y)=(x_1,y_1),(x_1,y_1)=(x_2,y_2)$ 知 $x=x_1$ 且 $y=y_1$ 和 $x_1=x_2$ 且 $y_1=y_2$ ，进一步有 $x=x_1=x_2$ 和 $y=y_1=y_2$ . 所以 $(x,y)=(x_2,y_2)$ .

设 $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}=(y_i)_{1\leqslant i\leqslant n},(y_i)_{1\leqslant i\leqslant n}=(z_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ . 故有对于一切 $1\leqslant i\leqslant n$ 有 $x_i=y_i$ 和对于一切 $1\leqslant i\leqslant n$ 有 $y_i=z_i$ ，进而对于一切 $1\leqslant i\leqslant n$ 有 $x_i=z_i$ ，故 $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}=(z_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ .

3.5.4 证明： $A\times(B\cup C)=\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in B\cup C\}}$ .

$A\times B=\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in B\}}$ . $A\times C=\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in C\}}$ . 对任意元素 $a\in A\times(B\cup C)=\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in B\cup C\}}$ ，由并公理知对某 $S\in\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in B\cup C\}$ 有 $a\in S$ . 再由替换公理知对某 $y\in B\cup C$ 有 $S=\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\}$ ，有 $a\in S$ . 即对某 $y\in B\cup C$ 有 $a\in \{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\}$ . 再由替换公理知对某 $y\in B\cup C$ ，对某 $x\in A$ 有 $a=\{\{x\},\{x,y\}\}$ . 由于 $y\in B\cup C$ ，我们分两种情形讨论. 若为 $y\in B$ ，对某 $x\in A$ 有 $a=\{\{x\},\{x,y\}\}$ . 由替换公理知对某 $y\in B$ 有 $a\in \{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\}$ . 即对某 $y\in B$ 有 $S=\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\}$ 有 $a\in S$ . 由替换公理知有 $S\in\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in B\}$ 有 $a\in S$ ，再由并公理知 $a\in\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in B\}}$ . 同理可知当 $y\in C$ 时，也有 $a\in\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in C\}}$ . 综上，我们有 $a\in \bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in B\}}\cup\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in C\}}$ ，即 $a\in(A\times B)\cup(A\times C)$ ，所以 $A\times(B\cup C)\subseteq(A\times B)\cup(A\times C)$ .

对任意元素 $a\in(A\times B)\cup(A\times C)$ ，由公理3.4知 $a\in(A\times B)$ 或者 $a\in(A\times C)$ . 若 $a\in(A\times B)$ ，同上相似论述我们知对某 $y\in B$ 对某 $x\in A$ 有 $a=\{\{x\},\{x,y\}\}$ ，进而对某 $y\in B\cup C$ ，对某 $x\in A$ 有 $a=\{\{x\},\{x,y\}\}$ . 相似的论述我们知道 $a\in A\times(B\cup C)$ . 同理可证当 $a\in(A\times C)$ 时亦有 $a\in A\times(B\cup C)$ . 所以 $(A\times B)\cup(A\times C)\subseteq A\times(B\cup C)$ . 所以 $A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C)$ .

$A\times(B\cap C)=\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in B\cap C\}}$ .

$A\times B=\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in B\}}$ . $A\times C=\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in C\}}$ . 对任意元素 $a\in A\times(B\cap C)=\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in B\cap C\}}$ ，由相似论述知对某 $y\in B\cap C$ ，对某 $x\in A$ 有 $a=\{\{x\},\{x,y\}\}$ . 进而对某 $y\in B$ ，对某 $x\in A$ 有 $a=\{\{x\},\{x,y\}\}$ . 由相似论述我们知 $a\in A\times B$ . 同理我们知 $a\in A\times C$ . 综上，我们有 $a\in \bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in B\}}\cap\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in C\}}$ ，即 $a\in(A\times B)\cap(A\times C)$ ，所以 $A\times(B\cap C)\subseteq(A\times B)\cap(A\times C)$ .

对任意元素 $a\in(A\times B)\cap(A\times C)$ ，由并集知 $a\in(A\times B)$ 且 $a\in(A\times C)$ . 同上相似论述我们知对某 $y_b\in B$ 对某 $x_0\in A$ 有 $a=\{\{x_0\},\{x_0,y_b\}\}$ 并且对某 $y_c\in C$ 对某 $x_1\in A$ 有 $a=\{\{x_1\},\{x_1,y_c\}\}$ ，由此有 $a=\{\{x_0\},\{x_0,y_b\}\}=\{\{x_1\},\{x_1,y_c\}\}$ ，由习题3.5.1我们知 $x_0=x_1$ 并且 $y_b=y_c$ . 故 $y_b\in C$ . 进而对某 $y_b\in B\cap C$ ，对某 $x_0\in A$ 有 $a=\{\{x_0\},\{x_0,y_b\}\}$ . 相似的论述我们知道 $a\in A\times(B\cap C)$ . 所以 $(A\times B)\cap(A\times C)\subseteq A\times(B\cap C)$ . 所以 $A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)$ .

$A\times (B\backslash C)=\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in B\backslash C\}}$

$A\times B=\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in B\}}$ . $A\times C=\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in C\}}$ . 对任意元素 $a\in(A\times B)\backslash(A\times C)$ ，由差集定义知 $a\in A\times B$ 且 $a\notin A\times C$ . 由与上面相似的论述知对某个 $y_b\in B$ 有 $a\in\{\{\{x\},\{x,y_b\}\} : x\in A\}$ 且对一切 $y_c\in C$ 有 $a\notin\{\{\{x\},\{x,y_c\}\} : x\in A\}$ . 故对某个 $y_b\in B$ 且 $y_b\notin C$ 有 $a\in\{\{\{x\},\{x,y_b\}\} : x\in A\}$ ，即对某个 $y_b\in B\backslash C$ 有 $a\in\{\{\{x\},\{x,y_b\}\} : x\in A\}$ ，相同的论述知 $a\in\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in B\backslash C\}}$ ，故有 $(A\times B)\backslash(A\times C)\subseteq A\times (B\backslash C)$ .

假若 $A\times (B\backslash C)\neq (A\times B)\backslash(A\times C)$ ，我们已证 $(A\times B)\backslash(A\times C)\subseteq A\times (B\backslash C)$ ，说明存在一个元素a有 $a\in A\times (B\backslash C)$ 并且 $a\notin (A\times B)\backslash(A\times C)$ ，即有 $a\in A\times (B\backslash C)$ 并且( $a\notin A\times B$ 或 $a\in A\times C$ )，即( $a\in A\times (B\backslash C)$ 并且 $a\notin A\times B$ )或( $a\in A\times (B\backslash C)$ 并且 $a\in A\times C$ )，由于 $B=(B\backslash C)\cup(B\cap C)$ ，故 $A\times B=A\times(B\backslash C)\cup(B\cap C)=A\times(B\backslash C)\cup A\times(B\cap C)\supseteq A\times (B\backslash C)$ ，所以“( $a\in A\times (B\backslash C)$ 并且 $a\notin A\times B$ )”不成立. 所以这时只能是“( $a\in A\times (B\backslash C)$ 并且 $a\in A\times C$ )”. 和上面相似地论述展开我们得到：对某 $y_0\in B\backslash C$ 对某 $x_0\in A$ 有 $a=\{\{x_0\},\{x_0,y_0\}\}$ 并且对某 $y_1\in C$ 对某 $x_1\in A$ 有 $a=\{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}$ . 综上，我们有 $a=\{\{x_0\},\{x_0,y_0\}\}=\{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}$ ，进而 $x_0=x_1$ 并且 $y_0=y_1$ . 而 $y_0\in B\backslash C$ ，则也有 $y_1\in B\backslash C$ ，但是 $y_1\in C$ ，这是一个矛盾，所以“( $a\in A\times (B\backslash C)$ 并且 $a\in A\times C$ )”也是不成立的，故不存在这样的元素a有 $a\in A\times (B\backslash C)$ 并且 $a\notin (A\times B)\backslash(A\times C)$ . 综上 $(A\times B)\backslash(A\times C)=A\times (B\backslash C)$ .

3.5.5 证明： $A\times B=\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in B\}}$ . $C\times D=\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in C\} : y\in D\}}$ . $(A\cap C)\times(B\cap D)=\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\cap C\} : y\in B\cap D\}}$ .

对任意元素 $a\in(A\cap C)\times(B\cap D)=\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\cap C\} : y\in B\cap D\}}$ ，由并公理知对某 $S\in\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\cap C\} : y\in B\cap D\}$ 有 $a\in S$ . 由替换公理知对某 $y\in B\cap D$ 有 $S=\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\cap C\}$ ，有 $a\in S$ . 即对某 $y\in B\cap D$ 有 $a\in\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\cap C\}$ . 再由替换公理知对某 $y\in B\cap D$ 对某 $x\in A\cap C$ 有 $a=\{\{x\},\{x,y\}\}$ . 由此有“对某 $y\in B$ 对某 $x\in A$ 有 $a=\{\{x\},\{x,y\}\}$ ”并且“对某 $y\in D$ 对某 $x\in C$ 有 $a=\{\{x\},\{x,y\}\}$ ”，类似地论述我们知道 $a\in A\times B$ 并且 $a\in C\times D$ ，进而 $a\in (A\times B)\cap(C\times D)$ . 故 $(A\cap C)\times(B\cap D)\subseteq(A\times B)\cap(C\times D)$ . 对任意元素 $a\in(A\times B)\cap(C\times D)$ ，有 $a\in A\times B$ 并且 $a\in C\times D$ ，即 $a\in\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\} : y\in B\}}$ 并且 $a\in\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in C\} : y\in D\}}$ ，与上相似地论述我们知对某 $y_b\in B$ 对某 $x_a\in A$ 有 $a=\{\{x_a\},\{x_a,y_b\}\}$ 并且对某 $y_d\in D$ 对某 $x_c\in C$ 有 $a=\{\{x_c\},\{x_a,y_d\}\}$ . 由此有 $a=\{\{x_a\},\{x_a,y_b\}\}=\{\{x_c\},\{x_a,y_d\}\}$ ，进而 $x_a=x_c\in A\cap C$ 并且 $y_b=y_d\in B\cap D$ . 所以对某 $y_b\in B\cap D$ 对某 $x_a\in A\cap C$ 有 $a=\{\{x_a\},\{x_a,y_b\}\}$ . 再由相似地论述知 $a\in(A\cap C)\times(B\cap D)$ . 综上， $(A\times B)\cap(C\times D)\subseteq(A\cap C)\times(B\cap D)$ . 故 $(A\cap C)\times(B\cap D)=(A\times B)\cap(C\times D)$ .

$(A\cup C)\times(B\cup D)=\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\cup C\} : y\in B\cup D\}}$ . 对任意元素 $x\in(A\times B)\cup(C\times D)$ ，有 $x\in A\times B$ 或者 $x\in C\times D$ . 若 $x\in A\times B$ ，与上相似地论述知对某 $b\in B$ 对某 $a\in A$ 有 $x=\{\{a\},\{a,b\}\}$ ，进而有对某 $b\in B\cup D$ 对某 $a\in A\cup C$ 有 $x=\{\{a\},\{a,b\}\}$ ，与上相似地论述知此时 $x\in(A\cup C)\times(B\cup D)$ ，综上有 $A\times B\subseteq(A\cup C)\times(B\cup D)$ . 同理可得 $C\times D\subseteq(A\cup C)\times(B\cup D)$ ，故 $(A\times B)\cup(C\times D)\subseteq(A\cup C)\times(B\cup D)$ . 而对任意元素 $a\in(A\cup C)\times(B\cup D)$ ，由相似论述知对某 $y\in B\cup D$ 对某 $x\in A\cup C$ 有 $a=\{\{x\},\{x,y\}\}$ . 到此我们知道有四种情况，分别为 $a\in A\times B$ ， $a\in C\times D$ ， $a\in C\times B$ 和 $a\in A\times D$ . 而后两种情况不能保证有 $a\in(A\times B)\cup(C\times D)$ . 故等号不成立. 但是我们有 $(A\cup C)\times(B\cup D)=(A\times B)\cup(C\times D)\cup(C\times B)\cup(A\times D)$ .

$(A\backslash C)\times(B\backslash D)=\bigcup{\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in A\backslash C\} : y\in B\backslash D\}}$ . 对任意元素 $a\in(A\backslash C)\times(B\backslash D)$ ，有对某个 $y_0\in B\backslash D$ 对某个 $x_0\in A\backslash C$ 有 $a=\{\{x_0\},\{x_0,y_0\}\}$ ，故 $a\in A\times B$ . 假若 $a\in C\times D$ ，则对某个 $y_1\in D$ 对某个 $x_1\in C$ 有 $a=\{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}$ . 由此有 $a=\{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}=\{\{x_0\},\{x_0,y_0\}\}$ ，进而 $x_0=x_1$ 和 $y_0=y_1$ . 但是 $x_0\in A\backslash C$ 而 $x_1\in C$ ，故这是不可能的，则假设不成立，即 $a\notin C\times D$ ，综上， $a\in (A\times B)\backslash(C\times D)$ . 故 $(A\backslash C)\times(B\backslash D)\subseteq(A\times B)\backslash(C\times D)$ .

对任意元素 $a\in (A\times B)\backslash(C\times D)$ ，即 $a\in A\times B$ 且 $a\notin C\times D$ ，即对某个 $y_1\in B$ 对某个 $x_1\in A$ 有 $a=\{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}$ 并且对一切 $y_2\in D$ 对一切 $x_2\in C$ 有 $a\neq\{\{x_2\},\{x_2,y_2\}\}$ . 易证 $B=(B\backslash D)\cup(B\cap D)$ 和 $A=(A\backslash C)\cup(A\cap C)$ . 进而有对某个 $y_1\in (B\backslash D)\cup(B\cap D)$ 对某个 $x_1\in (A\backslash C)\cup(A\cap C)$ 有 $a=\{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}$ ，于是可以分为以下四种情况讨论：1.对某个 $y_1\in (B\backslash D)$ 对某个 $x_1\in (A\backslash C)$ 有 $a=\{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}$ ，此时 $a\in (A\backslash C)\times(B\backslash D)$ . 2.对某个 $y_1\in (B\backslash D)$ 对某个 $x_1\in (A\cap C)$ 有 $a=\{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}$ ，此时 $a\in (A\cap C)\times(B\backslash D)$ . 3.对某个 $y_1\in (B\cap D)$ 对某个 $x_1\in (A\backslash C)$ 有 $a=\{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}$ ，此时 $a\in (A\backslash C)\times(B\cap D)$ . 4.对某个 $y_1\in (B\cap D)$ 对某个 $x_1\in (A\cap C)$ 有 $a=\{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}$ ，此时 $a\in (A\cap C)\times(B\cap D)$ ，由于对一切 $y_2\in D$ 对一切 $x_2\in C$ 有 $a\neq\{\{x_2\},\{x_2,y_2\}\}$ ，所以排除第四种情况. 第一种情况可以确定 $a\in (A\backslash C)\times(B\backslash D)$ . 我们再来考虑第二和第三种情况时是否有 $a\in C\times D$ . 第二种情况为：对某个 $y_1\in (B\backslash D)$ 对某个 $x_1\in (A\cap C)$ 有 $a=\{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}$ ；若此时有 $a\in C\times D$ ，则对某个 $y_2\in D$ 对某个 $x_2\in C$ 有 $a=\{\{x_2\},\{x_2,y_2\}\}$ ，进一步有 $a=\{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}=\{\{x_2\},\{x_2,y_2\}\}$ ，进而有 $x_1=x_2$ 和 $y_1=y_2$ ，而我们知道 $y_1\in (B\backslash D)$ 并且 $y_2\in D$ ，这是个矛盾，所以 $a\notin C\times D$ ，进而第二种情况有 $(A\cap C)\times(B\backslash D)\subseteq(A\times B)\backslash(C\times D)$ . 第三种情况为：对某个 $y_1\in (B\cap D)$ 对某个 $x_1\in (A\backslash C)$ 有 $a=\{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}$ ；若此时有 $a\in C\times D$ ，则对某个 $y_2\in D$ 对某个 $x_2\in C$ 有 $a=\{\{x_2\},\{x_2,y_2\}\}$ ，进一步有 $a=\{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}=\{\{x_2\},\{x_2,y_2\}\}$ ，进而有 $x_1=x_2$ 和 $y_1=y_2$ ，而我们知道 $x_1\in (A\backslash C)$ 并且 $x_2\in C$ ，这是个矛盾，所以 $a\notin C\times D$ ，进而第三种情况有 $(A\backslash C)\times(B\cap D)\subseteq(A\times B)\backslash(C\times D)$ . 综上，我们有对任意任意元素 $a\in (A\times B)\backslash(C\times D)$ ，我们有 $a\in((A\backslash C)\times(B\backslash D))\cup((A\cap C)\times(B\backslash D))\cup((A\backslash C)\times(B\cap D))$ ，进一步验证我们容易知 $(A\times B)\backslash(C\times D)=((A\backslash C)\times(B\backslash D))\cup((A\cap C)\times(B\backslash D))\cup((A\backslash C)\times(B\cap D))$ ，故 $(A\backslash C)\times(B\backslash D)\subseteq (A\times B)\backslash(C\times D)$ .

或者这样看 $(A\times B)\backslash(C\times D)=(((A\backslash C)\cup(A\cap C))\times ((B\backslash D)\cup(B\cap D)))\backslash(C\times D)=(((A\backslash C)\times (B\backslash D))\cup((A\cap C)\times (B\cap D))\cup((A\cap C)\times (B\backslash D))\cup((A\backslash C)\times (B\cap D)))\backslash(C\times D)=((A\backslash C)\times (B\backslash D))\cup((A\cap C)\times (B\backslash D))\cup((A\backslash C)\times (B\cap D)$

3.5.6 证明：已知A,B,C,D均为不空集合. 对任意 $x\in A\times B$ ，有对某 $a\in A$ 某 $b\in B$ 有 $x=(a,b)$ . 由于 $A\subseteq C$ 并且 $B\subseteq D$ ，故对某 $a\in C$ 某 $b\in D$ 有 $x=(a,b)$ ，故 $x\in C\times D$ . 故我们有 $A\times B\subseteq C\times D$ . 即有 $A\subseteq C$ 并且 $B\subseteq D$ $\Longrightarrow$ $A\times B\subseteq C\times D$ . 对任意 $a\in A$ ，由于B不空，故对某 $b\in B$ ，我们有 $(a,b)\in A\times B$ ，由于 $A\times B\subseteq C\times D$ ，所以 $(a,b)\in C\times D$ ，进而对某 $c\in C$ 对某 $d\in D$ 有 $(a,b)=(c,d)$ ，进而有 $a=c\in C$ ，故 $A\subseteq C$ . 同理可证 $B\subseteq D$ . 综上，即有 $A\times B\subseteq C\times D$ $\Longrightarrow$ $A\subseteq C$ 并且 $B\subseteq D$ . 综上有 $A\subseteq C$ 并且 $B\subseteq D$ $\Longleftrightarrow$ $A\times B\subseteq C\times D$ .

已知 $A\subseteq C$ 并且 $B\subseteq D$ $\Longleftrightarrow$ $A\times B\subseteq C\times D$ . 如果 $A=C$ 并且 $B=D$ ，则有“ $A\subseteq C$ 并且 $B\subseteq D$ ”和“ $C\subseteq A$ 并且 $D\subseteq B$ ”，由“ $A\subseteq C$ 并且 $B\subseteq D$ $\Longleftrightarrow$ $A\times B\subseteq C\times D$ ”我们知 $A\times B\subseteq C\times D$ 和 $C\times D\subseteq A\times B$ ，进而 $A\times B=C\times D$ . 综上， $A=C$ 并且 $B=D$ $\Longrightarrow$ $A\times B=C\times D$ . 同理我们可证 $A\times B=C\times D$ $\Longrightarrow$ $A=C$ 并且 $B=D$ . 综上有 $A=C$ 并且 $B=D$ $\Longleftrightarrow$ $A\times B=C\times D$ .

如果把“A,B,C,D均为不空集合”这一条件去掉，我们的论证变成了空洞的论证，但还有一部分是成立的. 比如我们仍可以证明无论A,B,C,D是否空集都有 $A\subseteq C$ 并且 $B\subseteq D$ $\Longrightarrow$ $A\times B\subseteq C\times D$ ，但是 $A\times B\subseteq C\times D$ $\nRightarrow$ $A\subseteq C$ 并且 $B\subseteq D$ . 进而有 $A=C$ 并且 $B=D$ $\Longrightarrow$ $A\times B=C\times D$ ，但 $A\times B=C\times D$ $\nRightarrow$ $A=C$ 并且 $B=D$ .

而 $A\times B\subseteq C\times D$ $\nRightarrow$ $A\subseteq C$ 并且 $B\subseteq D$ 和 $A\times B=C\times D$ $\nRightarrow$ $A=C$ 并且 $B=D$ ，是因为在这部分的论证中要求某些集合不空，当条件不再是“A,B,C,D均为不空集合”时，论证失去意义，因为前提不成立. $A\times B\subseteq C\times D$ $\nRightarrow$ $A\subseteq C$ 并且 $B\subseteq D$ 的一个特例是A是空集； $A\times B=C\times D$ $\nRightarrow$ $A=C$ 的一个特例是A,D是空集.

由此题我们知笛卡儿乘积满足代入公理.

3.5.7 证明：由函数 $f:Z\rightarrow X$ 以及 $g:Z\rightarrow Y$ 知：对一切 $z\in Z$ ，有 $f(z)\in X$ 并且 $g(z)\in Y$ ，故 $(f(z),g(z))\in X\times Y$ . 我们定义 $h:Z\rightarrow X\times Y$ 为 $h(z):=(f(z),g(z))$ .

对一切 $z\in Z$ ，有 $\pi_{X\times Y\rightarrow X}\circ h(z)=\pi_{X\times Y\rightarrow X}(h(z))=\pi_{X\times Y\rightarrow X}((f(z),g(z)))=f(z)$ ，而 $\pi_{X\times Y\rightarrow X}\circ h$ 与 $f$ 具有相同的定义域和值域，故 $\pi_{X\times Y\rightarrow X}\circ h=f$ . 同理可证， $\pi_{X\times Y\rightarrow Y}\circ h=g$ . 综上，函数 $h:Z\rightarrow X\times Y$ 的存在性得证.

现在我们来证 $h:Z\rightarrow X\times Y$ 的唯一性，我们设 $h':Z\rightarrow X\times Y$ 也满足 $\pi_{X\times Y\rightarrow X}\circ h'=f$ 和 $\pi_{X\times Y\rightarrow Y}\circ h'=g$ . 对任意 $z\in Z$ ，我们记 $h(z):=(x,y),h'(z):=(x',y')$ . 由于 $\pi_{X\times Y\rightarrow X}\circ h=f$ 和 $\pi_{X\times Y\rightarrow X}\circ h'=f$ ，故 $\pi_{X\times Y\rightarrow X}\circ h=\pi_{X\times Y\rightarrow X}\circ h'$ ，故 $\pi_{X\times Y\rightarrow X}\circ h(z)=\pi_{X\times Y\rightarrow X}\circ h'(z)$ ，即故 $\pi_{X\times Y\rightarrow X}(h(z))=\pi_{X\times Y\rightarrow X}(h'(z))$ ，即 $\pi_{X\times Y\rightarrow X}((x,y))=\pi_{X\times Y\rightarrow X}((x',y'))$ ，即 $x=x'$ . 同理可证有 $y=y'$ . 综上，对任意 $z\in Z$ 我们有 $h(z)=h'(z)$ ，故唯一性得证.

3.5.8 证明：若 $X_1,...,X_n$ 均为不空的集合，由引理3.5.12有限选择我们知道 $\prod\nolimits_{i=1}^{n}{X_i}$ 非空. 故如果 $\prod\nolimits_{i=1}^{n}{X_i}$ 为空，那么 $X_1,...,X_n$ 中至少有一个为空集. 若 $X_1,...,X_n$ 中至少有一个为空集，我们考虑笛卡尔乘积 $\{x\in B : \text{the domain of x is }\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}\text{ and x is onto and for all }1\leqslant i\leqslant n\text{ that is }x(i)\in X_i\}$ ，其中集合B为从集合 $\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}$ 到集合 $\displaystyle(\bigcup_{1\leqslant i\leqslant n}{X_i})$ 的全体部分函数构成. 我们注意到若 $X_1,...,X_n$ 中至少有一个为空集，那么条件“对于一切 $1\leqslant i\leqslant n$ 有 $x(i)\in X_i$ ”就永远不能满足，所以集合 $\{x\in B : \text{the domain of x is }\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant n\}\text{ and x is onto and for all }1\leqslant i\leqslant n\text{ that is }x(i)\in X_i\}$ 为空集，即笛卡尔乘积为空集.

综上，笛卡尔乘积 $\prod\nolimits_{i=1}^{n}{X_i}$ 为空当且仅当至少有一个 $X_i$ 为空.

3.5.9 证明：对任意元素 $\displaystyle x\in(\bigcup_{\alpha\in I}{A_\alpha})\cap(\bigcup_{\beta\in J}{B_\beta})$ ，有 $\displaystyle x\in\bigcup_{\alpha\in I}{A_\alpha}$ 且 $\displaystyle x\in\bigcup_{\beta\in J}{B_\beta}$ . 则“对某个 $\alpha\in I$ 有 $x\in A_\alpha$ ”并且“对某个 $\beta\in J$ 有 $x\in B_\beta$ ”，即对某个 $\alpha\in I$ 对某个 $\beta\in J$ 有 $x\in A_\alpha\cap B_\beta$ . 即对某个 $(\alpha,\beta)\in I\times J$ 有 $x\in A_\alpha\cap B_\beta$ ，故 $\displaystyle x\in\bigcup_{(\alpha,\beta)\in I\times J}{A_\alpha\cap B_\beta}$ . 故 $\displaystyle (\bigcup_{\alpha\in I}{A_\alpha})\cap(\bigcup_{\beta\in J}{B_\beta})\subseteq \bigcup_{(\alpha,\beta)\in I\times J}{A_\alpha\cap B_\beta}$ .

对任意元素 $\displaystyle x\in\bigcup_{(\alpha,\beta)\in I\times J}{A_\alpha\cap B_\beta}$ ，有对某个 $(\alpha,\beta)\in I\times J$ 有 $x\in A_\alpha\cap B_\beta$ ，即对某个 $\alpha\in I$ 对某个 $\beta\in J$ 有 $x\in A_\alpha\cap B_\beta$ ，即“对某个 $\alpha\in I$ 有 $x\in A_\alpha$ ”并且“对某个 $\beta\in J$ 有 $x\in B_\beta$ ”，进而 $\displaystyle x\in\bigcup_{\alpha\in I}{A_\alpha}$ 且 $\displaystyle x\in\bigcup_{\beta\in J}{B_\beta}$ ， $\displaystyle x\in(\bigcup_{\alpha\in I}{A_\alpha})\cap(\bigcup_{\beta\in J}{B_\beta})$ ，所以 $\displaystyle \bigcup_{(\alpha,\beta)\in I\times J}{A_\alpha\cap B_\beta}\subseteq (\bigcup_{\alpha\in I}{A_\alpha})\cap(\bigcup_{\beta\in J}{B_\beta})$ . 综上 $\displaystyle (\bigcup_{\alpha\in I}{A_\alpha})\cap(\bigcup_{\beta\in J}{B_\beta})=\bigcup_{(\alpha,\beta)\in I\times J}{A_\alpha\cap B_\beta}$ .

3.5.10 证明：若 $f=\overset{\sim}{f}$ ，则对一切 $x\in X$ 有 $f(x)=\overset{\sim}{f}(x)$ ，故对一切 $x\in X$ 有 $(x,f(x))=(x,\overset{\sim}{f}(x))$ . 对任意元素 $a\in\{(x,f(x)) : x\in X\}$ ，有对某 $x_a\in X$ 有 $a=(x_a,f(x_a))$ ，即对某 $x_a\in X$ 有 $a=(x_a,\overset{\sim}{f}(x_a))$ ，故 $a\in\{(x,\overset{\sim}{f}(x)) : x\in X\}$ ，所以 $\{(x,f(x)) : x\in X\}\subseteq\{(x,\overset{\sim}{f}(x)) : x\in X\}$ . 同理可证 $\{(x,\overset{\sim}{f}(x)) : x\in X\}\subseteq\{(x,f(x)) : x\in X\}$ . 综上， $\{(x,f(x)) : x\in X\}=\{(x,\overset{\sim}{f}(x)) : x\in X\}$ .

若 $\{(x,f(x)) : x\in X\}=\{(x,\overset{\sim}{f}(x)) : x\in X\}$ ，我们假设 $f\neq\overset{\sim}{f}$ ，则存在 $x_0\in X$ 使得 $f(x_0)\neq\overset{\sim}{f}(x_0)$ ，即存在 $x_0\in X$ 使得 $(x_0,f(x_0))\neq(x_0,\overset{\sim}{f}(x_0))$ . 而 $(x_0,f(x_0))\in\{(x,f(x)) : x\in X\}$ ，再由 $\{(x,f(x)) : x\in X\}=\{(x,\overset{\sim}{f}(x)) : x\in X\}$ 知 $(x_0,f(x_0))\in\{(x,\overset{\sim}{f}(x)) : x\in X\}$ ，则对某 $x_1\in X$ 有 $(x_0,f(x_0))=(x_1,\overset{\sim}{f}(x_1))$ ，进而 $x_0=x_1$ 且 $f(x_0)=\overset{\sim}{f}(x_1)$ ，故有 $\overset{\sim}{f}(x_0)=\overset{\sim}{f}(x_1)$ ，进而有 $(x_0,f(x_0))=(x_0,\overset{\sim}{f}(x_0))$ ，这是一个矛盾，故假设不成立，则 $f=\overset{\sim}{f}$ . 综上若 $\{(x,f(x)) : x\in X\}=\{(x,\overset{\sim}{f}(x)) : x\in X\}$ 则 $f=\overset{\sim}{f}$ .

综上， $\{(x,f(x)) : x\in X\}=\{(x,\overset{\sim}{f}(x)) : x\in X\}$ 当且仅当 $f=\overset{\sim}{f}$ .

已知G是 $X\times Y$ 的一个子集且具有性质：对每个 $x\in X$ ，集合 $\{y\in Y : (x,y)\in G\}$ 恰有一个元素.

若X为空集，进而G为空集，而且性质是“空真”地成立的而没有提供任何信息. 此时函数 $f:X\rightarrow Y$ 是一个空函数，容易证明其是唯一的，并且空函数的图像 $\{(x,f(x)) : x\in X\}$ 也是空集，故此时 $G=\{(x,f(x)) : x\in X\}$ . 综上，当X为空集时，恰存在一个空函数，其图像为满足性质(空真地满足)的G.

若X不是空集而Y是空集，此时G是空集，由性质知对每个 $x\in X$ 恰有一个 $y\in Y$ 使得 $(x,y)\in G$ ，这与Y是空集和G是空集都是矛盾的，所以在G具有题设条件下不会出现“X不是空集而Y是空集”的情况.

若X和Y都不空，已知G是 $X\times Y$ 的子集. 由性质知：对每个 $x\in X$ ，集合Y中恰有一个元素 $y\in Y$ 使得 $(x,y)\in G$ . 即对每个 $x\in X$ ，恰有一个 $y\in Y$ 使得 $(x,y)\in G$ . 由定义3.3.1知存在从X到Y的函数f，其由性质“ $(x,y)\in G$ ”确定，对每个输入 $x\in X$ ，给出的输出 $f(x)$ 恰使 $(x,f(x))\in G$ 成立，即 $f(x)=y$ . 而f的图像为 $\{(x,f(x)) : x\in X\}$ . 对任意元素 $a\in \{(x,f(x)) : x\in X\}$ ，有对某 $x\in X$ 有 $a=(x,f(x))$ ，再由性质知恰有一个 $y\in Y$ 使 $(x,y)\in G$ ，由于 $f(x)=y$ ，则 $a=(x,f(x))=(x,y)\in G$ ，故 $\{(x,f(x)) : x\in X\}\subseteq G$ . 对任意元素 $a\in G$ ，由于 $G$ 是 $X\times Y$ 的子集，我们可以记 $a:=(x_a,y_a)$ ，再由G具有的性质知对 $x_a\in X$ ，恰有一个 $y_a\in Y$ 使得 $(x_a,y_a)\in G$ ，故我们有 $f(x_a)=y_a$ ，进而 $a=(x_a,y_a)=(x_a,f(x_a))\in\{(x,f(x)) : x\in X\}$ . 综上， $\{(x,f(x)) : x\in X\}=G$ .

我们假设还有一个函数 $f':X\rightarrow Y$ 其图像为G，由上论证知有 $f'=f$ .

综上，如果G是 $X\times Y$ 的子集并且具有性质：对每个 $x\in X$ 集合 $\{y\in Y : (x,y)\in G\}$ 恰有一个元素，那么恰存在一个函数 $f:X\rightarrow Y$ ，其图像为G.

3.5.11 证明：我们不能使用习题3.5.2中笛卡尔乘积的定义，因为其构造使用了公理3.10，若再用此证明公理3.10，就是循环论证了. 我们对笛卡尔乘积 $X\times Y$ 用的定义为习题3.5.1中证明了的 $\bigcup\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in X\} : y\in Y\}$ . 其构造用到了公理3.1、3.3、3.6，并未用到公理3.10. 即我们有 $X\times Y=\bigcup\{\{\{\{x\},\{x,y\}\} : x\in X\} : y\in Y\}$ .

由引理3.4.9知存在集合 $\{a : a \text{ is a subset of }X\times Y\}$ ，即 $X\times Y$ 的所有子集构成的集合，我们记为集合A.

再由分类公理构作集合 $\{b\in A : b\text{ obeys the vertical line test}\}$ .

对任意元素 $G\in\{b\in A : b\text{ obeys the vertical line test}\}$ ，由习题3.5.10知恰存在一个函数 $f_G:X\rightarrow Y$ ，其图像就为G. 进而用替换公理知存在集合 $\{f_G : G\in\{b\in A : b\text{ obeys the vertical line test}\}\}$ .

现在我们来证明 $\{f : f \text{ is a function with domain X and range Y}\}$ 等于 $\{f_G : G\in\{b\in A : b\text{ obeys the vertical line test}\}\}$ .

对任意元素 $f\in\{f_G : G\in\{b\in A : b\text{ obeys the vertical line test}\}\}$ ，由上论述知f为一个从X到Y的函数，故 $f\in\{f : f \text{ is a function with domain X and range Y}\}$ ，进而有 $\{f_G : G\in\{b\in A : b\text{ obeys the vertical line test}\}\}\subseteq\{f : f \text{ is a function with domain X and range Y}\}$ .

对任意元素 $f\in\{f : f \text{ is a function with domain X and range Y}\}$ ，知f为从X到Y的函数，进而其图像 $\{(x,f(x)) : x\in X\}$ 为 $X\times Y$ 的子集；且对每个 $x\in X$ ，恰有一个 $y\in Y$ 使得某性质P(x,y)成立，我们记 $f(x)=y$ . 即对每个 $x\in X$ ，恰有一个 $f(x)\in Y$ 使某性质P(x,f(x))成立. 即对每个 $x\in X$ ，恰有一个 $(x,f(x))\in\{(x,f(x)) : x\in X\}$ . 即对每个 $x\in X$ ，恰有一个 $y=f(x)\in Y$ 使得 $(x,y)=(x,f(x))\in\{(x,f(x)) : x\in X\}$ . 即对每个 $x\in X$ ，集合 $\{y\in Y : (x,y)\in\{(x,f(x)) : x\in X\}\}$ 恰有一个元素. 故 $\{(x,f(x)) : x\in X\}$ 遵从垂线判别法. 进而 $\{(x,f(x)) : x\in X\}\in\{b\in A : b\text{ obeys the vertical line test}\}$ ，故存在函数 $f_G$ 其图像为 $\{(x,f(x)) : x\in X\}$ ，再由习题3.5.10知图像一致的函数是相等的，即有 $f=f_G$ ，进而 $f\in\{f_G : G\in\{b\in A : b\text{ obeys the vertical line test}\}\}$ . 故 $\{f : f \text{ is a function with domain X and range Y}\}\subseteq\{f_G : G\in\{b\in A : b\text{ obeys the vertical line test}\}\}$ .

综上，有 $\{f : f \text{ is a function with domain X and range Y}\}=\{f_G : G\in\{b\in A : b\text{ obeys the vertical line test}\}\}$ . 故幂集公理得证.

3.5.12 证明：

3.5.13 证明：

文内补充

1.设 $X_1$ 是一个任意的集合，则笛卡尔乘积 $\prod_{1\leqslant i\leqslant 1}{X_i}$ 恰就是 $X_1$ .

$\displaystyle \prod_{1\leqslant i\leqslant 1}{X_i}=\{x\in B : \text{the domain of x is }\{1\}\text{ and x is onto and }x(1)\in X_1\}$ ，其中集合B为 $\bigcup{\{\{Y'^{X'} : Y'\in 2^{X_1}\} : X'\in 2^{\{1\}}\}}$ . 即B为集合 $\{1\}$ 到集合 $X_1$ 的全体部分函数构成的.

对任意对象 $x\in X_1$ ，我们把x看作一元组 $(x):=x\in X_1$ ，由习题3.5.2把其看作一个满射函数 $(x):\{1\}\rightarrow \{x\}$ . 很显然 $(x)\in B$ 并且(x)定义域为 $\{1\}$ 并且为满射并且 $(x)(1)=x\in X_1$ ，所以 $x=(x)\in \displaystyle \prod_{1\leqslant i\leqslant 1}{X_i}$ . 同理我们知如果 $f\in \displaystyle \prod_{1\leqslant i\leqslant 1}{X_i}$ ，那么有 $f\in B$ 并且f定义域为 $\{1\}$ 并且为满射并且 $f(1)\in X_1$ ，故 $f:\{1\}\rightarrow \{f(1)\}$ ，即f为一个满射函数，其为一元组(f(1))，并且 $f(1)\in X_1$ . 综上， $\displaystyle X_1=\prod_{1\leqslant i\leqslant 1}{X_i}$ .

简单来说就是

$\prod_{1\leqslant i\leqslant 1}{X_i}=\{(x_i)_{1\leqslant i\leqslant 1} : \forall 1\leqslant i\leqslant 1,x_i\in X_i\}=\{(x_1) : x_1\in X_1\}\\=\{x_1 : x_1\in X_1\}=X_1$

2.集合 $X^0$ 是单元素集{()}.

$\displaystyle X^0=\prod_{1\leqslant i\leqslant 0}{X_i}=\{x\in B : \text{the domain of x is }\{i\in\mathbb{N} : 1\leqslant i\leqslant 0\}\text{ and x is onto and for all }1\leqslant i\leqslant 0\text{ that is }x(i)\in X_i\}$

若 $x\in X^0$ ，则有 $x\in B$ 并且其定义域为空集并且其为满射，故 $x=\emptyset\rightarrow\emptyset$ . 故 $X^0$ 是单元素集，其唯一的元素为().

3.元素只为为有序n元组的集合都可以表示成笛卡儿乘积的形式吗？

答案是否定的. 我们考虑集合 $\{(1,3),(2,4)\}$ . 我们假设其可以表示成笛卡儿乘积的形式，则存在非空集合A,B使得 $A\times B=\{(1,3),(2,4)\}$ . 由于 $(1,3)\in A\times B$ ，则存在 $y_0\in B$ 某 $x_0\in A$ 使得 $(x_0,y_0)=(1,3)$ ，进而 $1\in A$ 且 $3\in B$ . 同理可证 $2\in A$ 且 $4\in B$ . 进而 $A=\{1,2\},B=\{3,4\}$ . 若此时还有其他不同于1和2的元素a属于A，我们可知 $(a,3)$ 也属于 $A\times B$ ，但 $A\times B=\{(1,3),(2,4)\}$ 说明这不可能，故A集合只有两个元素，B集合同理. 但此时 $A\times B\neq\{(1,3),(2,4)\}$ ，所以 $\{(1,3),(2,4)\}$ 不能表示成笛卡儿乘积的形式.

4.作为引理3.5.12有限选择的补充，特别地，对 $n\in\mathbb{N}^+$ ， $\displaystyle\prod_{1\leqslant i\leqslant n}{X_i}$ 非空当且仅当对一切 $1\leqslant i\leqslant n$ 有 $X_i$ 非空.（无论 $\displaystyle\prod_{1\leqslant i\leqslant n}{X_i}$ 的表示是从严格形式(使用分类公理，详见习题3.5.2)理解，还是从常见形式(使用万有分类公理，详见定义3.5.7)理解.）