《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§6.2解答

习题6.2

6.2.1 证明：

我们先来看一下广义实数系是什么，用集合来表示它就是 $\mathbb{R}^*:=\mathbb{R}\cup\{+\infty\}\cup\{-\infty\}$ .

并且定义对任何元素 $x\in\mathbb{R}^*$ :

$x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow$ x是有限的； $x\in\{+\infty\}\cup\{-\infty\}\Leftrightarrow$ x是无限的.

还说明了广义实数系中两个新元素的某些性质(这个性质可由广义实数的相等推出)：

$\forall x\in\mathbb{R}^*\backslash\{+\infty\}\Rightarrow x\neq +\infty$ ； $\forall x\in\mathbb{R}^*\backslash\{-\infty\}\Rightarrow x\neq -\infty$ .

这样我们就看到广义实数不是有限的就是无限的，只能有一个成立.

我们来看一下广义实数的相等.

对 $x,y\in\mathbb{R}^*$ ，我们说 $x=y$

iff $(x,y\in\mathbb{R}\land\text{(x=y as real number)})\lor(\text{x,y are both } +\infty)\lor(\text{x,y are both } -\infty)$ .

容易验证此相等定义满足自反性、对称性和传递性. 并且容易看到实数在定义5.3.1下的相等与在广义实数下的相等是相容的.

我们在来验证一下广义实数的负运算满足代入公理：已知 $x,y\in\mathbb{R}^*$ .

如果 $x=y$ ，由广义实数相等的定义我们知有：1.x,y均为实数并且在定义5.3.1下是相等的，即在定义5.3.1下 $x=y$ ；2.x,y均为 $+\infty$ ；3.x,y均为 $-\infty$ .

但无论哪种情况都有 $-x=-y$ ，这就得证.

现在我们来看命题6.2.5.

(a)对任意 $x\in\mathbb{R}^*$ ，有 $x\in\mathbb{R}\cup\{+\infty\}\cup\{-\infty\}$ ，即有 $x\in\mathbb{R}$ 或 $x\in\{+\infty\}$ 或 $x\in\{-\infty\}$ .

当 $x\in\mathbb{R}$ 时，即x为实数，由命题5.3.3有 $x=x$ ，由定义5.4.6知 $x\leqslant x$ ，进一步在定义6.2.3下有 $x\leqslant x$ .

当 $x\in\{+\infty\}$ 时，由公理3.3单元素集知 $x=+\infty$ ，由定义6.2.3知有 $x\leqslant x$ .

当 $x\in\{-\infty\}$ 时，由公理3.3单元素集知 $x=-\infty$ ，由定义6.2.3知有 $x\leqslant x$ .

综上对于任意 $x\in\mathbb{R}^*$ 都有 $x\leqslant x$ .

(b)当x和y都为实数时，由命题5.4.7知命题 $x<y,x=y,x>y$ 中恰有一个成立. 所以只需证明当 $x\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 或 $y\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 时命题 $x<y,x=y,x>y$ 中也恰有一个成立. $\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}=\{+\infty\}\cup\{-\infty\}$ .

若 $x\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ ，即 $x\in\{+\infty\}\cup\{-\infty\}$ ，即 $x\in\{+\infty\}$ 或 $x\in\{-\infty\}$ ，由公理3.3单元素集知 $x=+\infty$ 或 $x=-\infty$ . 当 $x=+\infty$ ，由定义6.2.3知 $y\leqslant x$ . 此时若 $x\neq y$ ，由定义6.2.3知 $y<x$ ，即 $x>y$ ；若 $x=y$ ，则显然有 $x=y$ . 这样当 $x=+\infty$ 时 $x<y,x=y,x>y$ 中至少有一个成立. 同理可知当 $x=-\infty$ 时 $x<y,x=y,x>y$ 中至少有一个成立. 这就说明了若 $x\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 那么 $x<y,x=y,x>y$ 中至少有一个成立.

同理可证若 $y\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 那么 $x<y,x=y,x>y$ 中至少有一个成立.

综上，当 $x\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 或 $y\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 时命题 $x<y,x=y,x>y$ 中至少有一个成立.

现在来证明当 $x\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 或 $y\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 时 $x<y,x=y,x>y$ 中至多有一个成立. 由定义6.2.3知 $x<y$ 和 $x=y$ 不能同时成立. 以及 $x>y$ 和 $x=y$ 不能同时成立. 当 $x\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 或 $y\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 时，我们知道此时 $x,y$ 不都是实数. 假设 $x<y$ 且 $x>y$ ，由定义6.2.3知 $x\leqslant y$ 且 $y\leqslant x$ . 若 $x\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ ，则 $x=+\infty$ 或 $x=-\infty$ . 若 $x=+\infty$ ，由定义6.2.3以及 $x\leqslant y$ 且 $y\leqslant x$ 我们知道 $x=y=+\infty$ ，这与 $x<y$ 是相矛盾的，故此时 $x\neq +\infty$ ；同理当 $x=-\infty$ 时我们也可以导出矛盾，故此时 $x\neq -\infty$ . 所以 $x\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 不成立. 同理可证 $y\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 时也可以导出矛盾. 所以当我们承认 $x\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 或 $y\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 时就不能承认 $x<y$ 且 $x>y$ . 故当 $x\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 或 $y\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 时 $x<y$ 且 $x>y$ 不成立. 综上当 $x\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 或 $y\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 时 $x<y,x=y,x>y$ 中至多有一个成立. 综上当 $x\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 或 $y\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 时 $x<y,x=y,x>y$ 中恰有一个成立.

综上，对广义实数x和y有 $x<y,x=y,x>y$ 中恰有一个成立.

(c)当x和y都为实数时，由命题5.4.7和博文§5.4解答中习题5.4.2的解答我们很容易证明：如果 $x\leqslant y$ 且 $y\leqslant z$ 那么 $x\leqslant z$ . 所以只需证明当 $x\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 或 $y\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 时也有如果 $x\leqslant y$ 且 $y\leqslant z$ 那么 $x\leqslant z$ . 若 $x\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ ，则有 $x=+\infty$ 或 $x=-\infty$ . 若 $x=+\infty$ ，由 $x\leqslant y$ 且 $y\leqslant z$ 和定义6.2.3我们容易推得 $y=z=+\infty$ ，再由定义6.2.3有 $x\leqslant z$ ；若 $x=-\infty$ ，由定义6.2.3显然有 $x\leqslant z$ . 故若 $x\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ ，那么有如果 $x\leqslant y$ 且 $y\leqslant z$ 那么 $x\leqslant z$ . 同理可证当 $y\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 时也有如果 $x\leqslant y$ 且 $y\leqslant z$ 那么 $x\leqslant z$ . 综上，当 $x\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 或 $y\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 时，有如果 $x\leqslant y$ 且 $y\leqslant z$ 那么 $x\leqslant z$ .

综上对 $x,y,z\in\mathbb{R}^*$ ，如果 $x\leqslant y$ 且 $y\leqslant z$ 那么 $x\leqslant z$ .

(d)当x和y都为实数时，由命题5.4.7很容易证明：如果 $x\leqslant y$ 那么 $-y\leqslant -x$ . 所以只需证明当 $x\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 或 $y\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 时也有如果 $x\leqslant y$ 那么 $-y\leqslant -x$ . 若 $x\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ ，则有 $x=+\infty$ 或 $x=-\infty$ . 若 $x=+\infty$ ，由 $x\leqslant y$ 和定义6.2.3我们容易推得 $y=+\infty$ ，由定义6.2.2知 $-y=-\infty$ ，再由定义6.2.3有 $-y\leqslant -x$ ；若 $x=-\infty$ ，由定义6.2.2知 $-x=+\infty$ ，由定义6.2.3显然有 $-y\leqslant -x$ . 故若 $x\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ ，那么有如果 $x\leqslant y$ 那么 $-y\leqslant -x$ . 同理可证当 $y\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 时也有如果 $x\leqslant y$ 那么 $-y\leqslant -x$ . 综上，当 $x\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 或 $y\in\mathbb{R}^*\backslash\mathbb{R}$ 时，有如果 $x\leqslant y$ 那么 $-y\leqslant -x$ .

综上对 $x,y\in\mathbb{R}^*$ ，如果 $x\leqslant y$ 那么 $-y\leqslant -x$ .

6.2.2 证明：

(a)若 $(+\infty)\in E$ ，由定义6.2.6知 $\sup(E)=+\infty$ ，再由定义6.2.3知显然对每个 $x\in E\subseteq\mathbb{R}^*$ ，有 $x\leqslant\sup(E)$ .

若 $(+\infty)\notin E$ ，我们再分两种情况考虑. 首先，如果 $(-\infty)\notin E$ ，即有 $(+\infty)\notin E$ 和 $(-\infty)\notin E$ . 对任何对象 $x\in E$ ，由 $E\subseteq\mathbb{R}^*$ 知 $x\in\mathbb{R}^*$ ，即 $x\in\mathbb{R}\cup\{+\infty\}\cup\{-\infty\}$ ，所以有 $x\in\mathbb{R}$ 或 $x\in\{+\infty\}$ 或 $x\in\{-\infty\}$ . 而 $(+\infty)\notin E$ 和 $(-\infty)\notin E$ 说明只能有 $x\in\mathbb{R}$ ，否则将导致矛盾. 由定义6.2.6知知此时 $\sup(E)$ 由定义5.5.10确定. 在 $(+\infty)\notin E$ 且 $(-\infty)\notin E$ 基础上(即 $E\subseteq\mathbb{R}$ )，我们再分三种情况讨论：1.如果E是空集，由定义5.5.10知 $sup(E)=-\infty$ ，显然对每个 $x\in E=\emptyset$ ，有 $x\leqslant\sup(E)$ (这个蕴涵关系是空真的成立的)；2.如果E不是空集，如果E无上界，即E不是空集且E无上界，由定义5.5.10知 $sup(E)=+\infty$ ，由定义6.2.3知有对每个 $x\in E\subseteq\mathbb{R}^*$ ，有 $x\leqslant\sup(E)$ . 3.如果E不是空集，如果E有上界，由定义5.5.10和定理5.5.9知 $\sup(E)$ 为集合E的最小上界，由定义5.5.5和定义5.5.1知此时对每个 $x\in E\subseteq\mathbb{R}$ ，有 $x\leqslant\sup(E)$ . 综合情况2和情况3，我们知道如果E不是空集那么有对每个 $x\in E\subseteq\mathbb{R}$ ，有 $x\leqslant\sup(E)$ . 再综合1我们知道如果 $(+\infty)\notin E$ 且 $(-\infty)\notin E$ ，那么对每个 $x\in E\subseteq\mathbb{R}$ ，有 $x\leqslant\sup(E)$ . 综上，我们有如果 $(+\infty)\notin E$ ，如果 $(-\infty)\notin E$ ，那么有对每个 $x\in E$ ，有 $x\leqslant\sup(E)$ .

再来考虑另一种情况，如果 $(-\infty)\in E$ ，即有 $(+\infty)\notin E$ 和 $(-\infty)\in E$ . 我们令 $M:=E\backslash\{-\infty\}$ ，容易验证此时 $E=M\cup\{-\infty\}$ ，由定义6.2.6知此时对每个 $x\in M$ ，有 $x\leqslant\sup(M)=\sup(E)$ . 而对 $x\in\{-\infty\}$ ，显然有 $x\leqslant\sup(E)$ . 综上，如果 $(+\infty)\notin E$ ，如果 $(-\infty)\in E$ ，那么有对每个 $x\in E$ ，有 $x\leqslant\sup(E)$ .

综上，如果 $(+\infty)\notin E$ ，那么有对每个 $x\in E$ ，有 $x\leqslant\sup(E)$ .

综上，我们有对每个 $x\in E\subseteq\mathbb{R}^*$ ，有 $x\leqslant\sup(E)$ .

对每个 $x\in E$ ，容易证明此时 $-x\in -E$ ，由上论证知有 $-x\leqslant \sup(-E)$ ，则有 $x\geqslant\sup(-E)$ ，由定义6.2.6即有 $x\geqslant\inf(E)$ .

综上，如果 $E\subseteq\mathbb{R}^*$ ，则对每个 $x\in E$ ，我们有 $\inf(E)\leqslant x\leqslant\sup(E)$ .

(b)要说明 $M\in\mathbb{R}^*$ ，中文第一版漏了.

若 $(+\infty)\in E$ ，则有 $+\infty\leqslant M$ ，再由定义6.2.3知 $M=+\infty$ . 而由定义6.2.6知 $\sup(E)=+\infty=M$ ，再由定义6.2.3知 $\sup(E)\leqslant M$ .

若 $(+\infty)\notin E$ ，我们再分两种情况考虑. 首先，如果 $(-\infty)\notin E$ ，即有 $(+\infty)\notin E$ 和 $(-\infty)\notin E$ . 故有 $x\in\mathbb{R}$ . 由定义6.2.6知知此时 $\sup(E)$ 由定义5.5.10确定. 在 $(+\infty)\notin E$ 且 $(-\infty)\notin E$ 基础上(即 $E\subseteq\mathbb{R}$ )，我们再分三种情况讨论：1.如果E是空集，由定义5.5.10知 $sup(E)=-\infty$ ，由定义6.2.3显然有 $\sup(E)\leqslant M$ ；2.如果E不是空集，如果E无上界，即E不是空集且E无上界，由定义5.5.10知 $sup(E)=+\infty$ . 由于E无上界，说明 $\forall M'\in\mathbb{R}$ ， $\exists x\in E$ ，使得 $x>M'$ . 又因为对一切 $x\in E$ 有 $x\leqslant M$ . 所以 $\forall M'\in\mathbb{R}$ ， $\exists x\in E$ ，使得 $M\geqslant x>M'$ . 由命题6.2.5知 $M\geqslant M'$ ，即M大于等于任何实数. 故由定义6.2.3知此时 $M=+\infty$ . 再由定义6.2.3知 $\sup(E)\leqslant M$ . 3.如果E不是空集，如果E有上界，由定义5.5.10和定理5.5.9知 $\sup(E)$ 为集合E的最小上界. 如果 $M\in\mathbb{R}$ ，由定义5.5.5和定义5.5.1知此时 $\sup(E)\leqslant M$ ；若 $M\notin\mathbb{R}$ ，容易知此时 $M=+\infty$ ，故亦有 $\sup(E)\leqslant M$ . 综合情况2和情况3，我们知道如果E不是空集那么有 $\sup(E)\leqslant M$ . 再综合1我们知道如果 $(+\infty)\notin E$ 且 $(-\infty)\notin E$ ，那么有 $\sup(E)\leqslant M$ . 综上，我们有如果 $(+\infty)\notin E$ ，如果 $(-\infty)\notin E$ ，那么有 $\sup(E)\leqslant M$ .

再来考虑另一种情况，如果 $(-\infty)\in E$ ，即有 $(+\infty)\notin E$ 和 $(-\infty)\in E$ . 我们令 $S:=E\backslash\{-\infty\}$ ，由定义6.2.6知此时 $\sup(S)=\sup(E)$ . 故我们只需证明 $sup(S)\leqslant M$ . 而此时S即为上面讨论的 $(+\infty)\notin S$ 和 $(-\infty)\notin S$ 的情况，故显然有 $sup(S)\leqslant M$ ，这样我们就完成了这种情况的证明. 综上，如果 $(+\infty)\notin E$ ，如果 $(-\infty)\in E$ ，那么有 $\sup(E)\leqslant M$ .

综上，如果 $(+\infty)\notin E$ ，那么有 $\sup(E)\leqslant M$ .

综上有对每个 $x\in E\subseteq\mathbb{R}^*$ ，有 $\sup(E)\leqslant M$ .

(c)要说明 $M\in\mathbb{R}^*$ ，中文第一版漏了.

由于M是E的下界，即对一切 $x\in E$ ，有 $x\geqslant M$ . 对任何 $y\in\{-x : x\in E\}$ ，则存在 $x\in E$ 使得 $y=-x$ ，即 $-y=x$ . 再由“对一切 $x\in E$ ，有 $x\geqslant M$ ”知此时 $-y=x\geqslant M$ ，由命题6.2.5知即有 $y\leqslant -M$ ，所以M是集合 $\{-x : x\in E\}$ 的一个上界，由上面(b)的证明我们知道有 $\sup(-E)\leqslant -M$ ，由命题6.2.5即 $-\sup(-E)\geqslant M$ ，即 $\inf(E)\geqslant M$ . 命题得证.

文内补充

1.定义6.2.3广义实数的序和定义5.4.6实数的序是相容的.

我们要验证两者的相容性，即要验证当x,y均为实数时，下列命题成立：

(i)在定义5.4.6下 $x\leqslant y$ 当且仅当在定义6.2.3下 $x\leqslant y$ ；

(ii)在定义5.4.6下 $x\geqslant y$ 当且仅当在定义6.2.3下 $x\geqslant y$ ；

(iii)在定义5.4.6下 $x<y$ 当且仅当在定义6.2.3下 $x<y$ ；

(iiii)在定义5.4.6下 $x>y$ 当且仅当在定义6.2.3下 $x>y$ ；

证明：(i)由定义6.2.3知：在定义5.4.6下 $x\leqslant y$ 当且仅当在定义6.2.3下 $x\leqslant y$ 是显然的.

(ii)如果在定义5.4.6下 $x\geqslant y$ ，由命题5.4.7容易证明此时在定义5.4.6下有 $y\leqslant x$ ，故由(i)进一步在定义6.2.3下 $y\leqslant x$ ，再由定义6.2.3知在定义6.2.3下有 $x\geqslant y$ .

如果在定义6.2.3下有 $x\geqslant y$ ，再由定义6.2.3知在定义6.2.3下有 $y\leqslant x$ ，由(i)知在定义5.4.6下有 $y\leqslant x$ ，再由命题5.4.7知在定义5.4.6下有 $x\geqslant y$ .

综上，在定义5.4.6下 $x\geqslant y$ 当且仅当在定义6.2.3下 $x\geqslant y$ .

(iii)如果在定义5.4.6下 $x<y$ ，那么由定义5.4.6知 $x-y$ 为负实数并且在定义5.4.6下有 $x\leqslant y$ ，由命题5.4.4(实数的三歧性)进一步知 $x-y\neq 0$ 并且在定义5.4.6下有 $x\leqslant y$ ，即 $x\neq y$ 并且在定义5.4.6下有 $x\leqslant y$ ，注意此时 $x\neq y$ 是在定义5.3.1中实数相等的意义下的不相等. 但上面的广义实数相等定义部分我们已经验证了广义实数相等和实数相等是相容的，所以在定义5.3.1下 $x\neq y$ 就有在广义实数相等定义下的 $x\neq y$ ，由(i)知我们有在广义实数相等定义下的 $x\neq y$ 并且在定义6.2.3下 $x\leqslant y$ ，再由定义6.2.3知有在定义6.2.3下 $x<y$ .

如果在定义6.2.3下 $x<y$ ，由定义6.2.3知有在广义实数相等定义下的 $x\neq y$ 并且在定义6.2.3下 $x\leqslant y$ ，由广义实数相等和实数相等是相容的和(i)知在定义5.3.1实数相等定义下 $x\neq y$ 并且在定义5.4.6下 $x\leqslant y$ ，再由定义5.4.6我们知道在定义5.4.6下 $x<y$ .

综上，在定义5.4.6下 $x<y$ 当且仅当在定义6.2.3下 $x<y$ .

(iiii)如果在定义5.4.6下 $x>y$ ，由命题5.4.7知有在定义5.4.6下 $x<y$ ，由(iii)知此时有在定义6.2.3下 $x<y$ ，再由定义6.2.3知有在定义6.2.3下 $x>y$ .

如果在定义6.2.3下 $x>y$ ，由定义6.2.3知有在定义6.2.3下 $x<y$ ，由(iii)知此时有在定义5.4.6下 $x<y$ ，由命题5.4.7知有在定义5.4.6下 $x>y$ .

综上，在定义5.4.6下 $x>y$ 当且仅当在定义6.2.3下 $x>y$ .

到这，我们就证明了定义6.2.3广义实数的序和定义5.4.6实数的序是相容的.

2.定义6.2.6广义实数集的上确界和定义5.5.10是相容的.

从定义6.2.6我们容易看到对于实数集 $\mathbb{R}$ 的子集S，定义5.5.10确定的S的上确界和定义6.2.6确定的S的上确界是一样的.

3.实数集下确界的定义 $\inf(E):=-\sup(-E)$ 的合理性.

实数集的下界和下确界的定义我们很容易按定义5.5.1和定义5.5.5给出，同样的我们可以证明集合 $\mathbb{R}^-:=\{x\in\mathbb{R} : x<0\}$ 根本没有下界、并且每一个实数都是空集的下界、空集没有最大下界、并且可以证明实数集最大下界的唯一性、和定理5.5.9对应最大下界的版本、并且仿照定义5.5.10给出对于最大下界的版本(注意对于非空但没有下界的实数集我们定义其最大下界为 $-\infty$ ;而空集的最大下界为 $+\infty$ ，至于这样定义的原因可以参考中文第一版P109说的倒数13行开始关于确定上确界的直观方法).

现在我们来看：对于实数集E定义 $\inf(E):=-\sup(-E)$ 的合理性.

我们把实数集-E分几种情况讨论：(a)实数集-E非空并且有上界；(b)实数集-E非空但没有上界；(c)实数集-E为空集.( $-E:=\{-x : x\in E\}$ )

(a)由习题5.5.1知此时确有 $\inf(E):=-\sup(-E)$ .

(b)由定义5.5.10知此时 $\sup(-E)=+\infty$ ，我们容易证明此时实数集E非空但没有下界，由上关于定义5.5.10的最大下界的版本讨论知此时 $\inf(E)=-\infty$ ，所以确实也有 $\inf(E):=-\sup(-E)$ .

(c)由定义5.5.10知此时 $\sup(-E)=-\infty$ ，由上关于定义5.5.10的最大下界的版本讨论知此时 $\inf(E)=+\infty$ ，所以确实也有 $\inf(E):=-\sup(-E)$ .

综合，对于实数集我们定义 $\inf(E):=-\sup(-E)$ 是合理的.

4.广义实数集下确界的定义 $\inf(E):=-\sup(-E)$ 的合理性.

我们可以仿照定义6.2.6给出广义实数集的下确界的定义.

广义实数集的下确界的定义：设E是 $\mathbb{R}^*$ 的子集合，我们用下面的法则来定义E的下确界或最大下界 $\inf(E)$ .

(a)如果E包含于 $\mathbb{R}$ (即 $+\infty$ 和 $-\infty$ 不是E的元素)，那么我们令 $\inf(E)$ 由定义5.5.10的最大下界版本确定，由上面“3.实数集下确界的定义 $\inf(E):=-\sup(-E)$ 的合理性.”的讨论我们知此时就有 $\inf(E):=-\sup(-E)$ .

(b)如果E含有 $-\infty$ ，那么我们令 $\inf(E):=-\infty$ . 由定义6.2.6我们知道此时也有 $\inf(E):=-\sup(-E)$ .

(c)如果E不含有 $-\infty$ 但含有 $+\infty$ ，那么我们令 $\inf(E):=\inf(E\backslash\{+\infty\})$ . 因为此时 $E\backslash\{+\infty\}$ 是 $\mathbb{R}$ 的子集，所以此时有

$\inf(E)=\inf(E\backslash\{+\infty\})=-\sup(-E\backslash\{-\infty\})=\sup(-E)$ .

综上，对广义实数集下确界的定义 $\inf(E):=-\sup(-E)$ 是合理的.

5.设E是空集，那么 $\sup(E)=-\infty$ 并且 $\inf(E)=+\infty$ ；对集合E来说， $\sup(E)<\inf(E)$ 当且仅当E为空集.

证明：如果E是空集，那么由定义5.5.10知 $\sup(E)=-\infty$ ，再由定义6.2.6知 $\inf(E)=-\sup(-E)=-\sup(E)=+\infty$ .

如果E为空集，由上证明显然有 $\sup(E)=-\infty<+\infty=\inf(E)$ ；如果 $\sup(E)<\inf(E)$ ，假设E不空，由定理6.2.11知对每个 $x\in E$ 有 $\inf(E)\leqslant x\leqslant\sup(E)$ . 由引理3.1.6知存在 $x_0\in E$ ，故 $\inf(E)\leqslant x_0\leqslant\sup(E)$ . 再由命题6.2.5知 $\inf(E)\leqslant\sup(E)$ ，这与 $\sup(E)<\inf(E)$ 相矛盾，故假设肯定不成立，所以如果 $\sup(E)<\inf(E)$ 那么E为空集. 注意，此时我们不能说E就是空集，即如果条件“ $\sup(E)<\inf(E)$ ”本身就是不可能的，矛盾的，我们不能说明E为空集. 而确幸地是E为空集时条件“ $\sup(E)<\inf(E)$ ”成立，所以我们可以肯定E为空集.