《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§5.4解答

习题5.4

5.4.1 证明：由于x是实数，则其为某Cauchy序列 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 的形式极限，即 $x:=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n$ .

对于Cauchy序列 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 和Cauchy序列 $(0)_{n=1}^{\infty}$ ，两者要么是等价的，要么是不等价的，但不可能是两者都是或两者都不是. 即 $x=0$ 与 $x\neq 0$ 恰有一个成立.

对 $x\neq 0$ ，即非零实数，由引理5.3.14知存在一个限制离开零的Cauchy序列 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 使得 $x=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}b_n$ . 即存在一个比例数 $c>0$ 使对一切 $i\geqslant 1$ 有 $|b_i|\geqslant c$ .

由于 $c>0$ ，则 $\frac{c}{2}>0$ ，由 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 是Cauchy序列知存在整数 $N\geqslant 1$ 使得对于一切 $n,m\geqslant N$ 有 $|b_n-b_m|\leqslant\frac{c}{2}$ . 取定 $m:=m_0\geqslant N$ ，则一切 $n\geqslant N$ 有 $|b_n-b_{m_0}|\leqslant\frac{c}{2}$ ，即 $b_{m_0}-\frac{c}{2}\leqslant b_n\leqslant b_{m_0}+\frac{c}{2}$ .

由 $m_0\geqslant N\geqslant 1$ 知 $|b_{m_0}|\geqslant c>0$ . 由命题4.3.3(a)则有 $b_{m_0}$ 是正比例数或负比例数.

当 $b_{m_0}$ 是正比例数时，由 $|b_{m_0}|\geqslant c$ 知 $b_{m_0}\geqslant c$ ，则 $b_n\geqslant b_{m_0}-\frac{c}{2}\geqslant\frac{c}{2}>0$ . 即对一切 $n\geqslant N$ 有 $b_n\geqslant\frac{c}{2}>0$ ，即 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 是终极正限制离开零的. 定义新序列 $(b'_n)_{n=1}^{\infty}$ :当 $1\leqslant n<N$ 时令 $b'_n:=\frac{c}{2}>0$ ；当 $n\geqslant N$ 时令 $b'_n:=b_n$ ，此时对一切 $i\geqslant 1$ 有 $|b'_i|\geqslant\frac{c}{2}$ ，即序列 $(b'_n)_{n=1}^{\infty}$ 是正限制离开零的. 容易证明 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(b'_n)_{n=1}^{\infty}$ 是等价的(因为它们的项最终一样)，由习题5.2.1知 $(b'_n)_{n=1}^{\infty}$ 也是Cauchy序列. 故 $x=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}b_n=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}b'_n$ . 所以此时x是正的.

当 $b_{m_0}$ 是负比例数时，由 $|b_{m_0}|\geqslant c$ 知 $-b_{m_0}\geqslant c$ ，即 $b_{m_0}\leqslant -c$ ，则 $b_n\leqslant b_{m_0}+\frac{c}{2}\leqslant-\frac{c}{2}<0$ . 同理可证我们知道 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 等价于一个负限制离开零的的Cauchy序列. 即此时x是负的.

所以，当 $x\neq 0$ 时其是正的或者是负的.

综上，我们证明了一个实数x，在 $x=0$ 、x为正的、x为负的三者中至少有一个成立.

现在来证明 $x=0$ 、x为正的、x为负的三者中至多有一个成立.

很明显由定义5.4.3知实数x不可能是正的又是负的.

假设x是正的，说明有正限制离开零的Cauchy序列 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 使得 $x=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n$ . 由于 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 是正限制离开零的，所以也是限制离开零的，我们在上一篇博文§5.3解答中的文内补充部分最后一点论证了限制离开零的Cauchy序列的形式极限不可能是0，所以 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 的形式极限也不是0，所以x不是0. 同理可证如果x是负的那么x也不会是0.

这样就证明了 $x=0$ 、x为正的、x为负的三者中至多有一个成立.

由定义5.4.3容易知以下陈述成立：

(a)一个实数x是负的当且仅当-x是正的.

(b)如果x和y是正的，那么x+y和xy也都是正的.

5.4.2 证明：(a)由§5.3实数的构造知x-y也是实数. 由命题5.4.4知x-y等于零、是正的、是负的三者之一. 如果x-y等于零，即 $x-y=0$ ，则 $y=y+0=y+(x-y)=x$ ，即 $x=y$ ；如果x-y是正的，由定义5.4.3知 $x>y$ ；如果x-y是负的，由定义5.4.3知 $x<y$ . 这样我们就证明了 $x=y,x>y,x<y$ 三者至少一个成立.

现在我们来证明 $x=y,x>y,x<y$ 三者至多一个成立.

假如 $x>y$ 且 $x<y$ ，由定义5.4.3知x-y是正的又是负的，由命题5.4.4知这不可能. 同理可证 $x=y$ 且 $x<y$ 不可能， $x=y$ 且 $x>y$ 不可能. 故 $x=y,x>y,x<y$ 三者至多一个成立.

综上， $x=y,x>y,x<y$ 三者恰有一个成立.

(b)若 $x<y$ ，则x-y为负的，由命题5.4.4知 $-(x-y)=(-1)\times(x+(-y))=-x+y$ 为正的，即 $y-x$ 为正的，故 $y>x$ . 同理可证当 $y>x$ 时有 $x<y$ . 综上， $x<y$ 当且仅当 $y>x$ .

(c)如果 $x<y$ 且 $y<z$ ，由(b)知即 $y>x$ 且 $z>y$ ，即y-x和z-y是正的. 由命题5.4.4知 $(y-x)+(z-y)$ 是正的，即 $z-x$ 为正的，即 $z>x$ ，则 $x<z$ .

(d)如果 $x<y$ ，则x-y为负的，则x-y+(z-z)为负数，即(x+z)-(y-z)为负数，即 $x+z<y+z$ .

(e)见文中定义5.4.5下一段.

我们还可以证明对于实数a,b,c有：

$a\geqslant a$ .

如果 $a\geqslant b$ 且 $b\geqslant c$ ，那么 $a\geqslant c$ .

如果 $a\geqslant b$ 且 $b\geqslant a$ ，那么 $a=b$ .

$a\geqslant b$ 当且仅当 $a+c\geqslant b+c$ .

如果 $a+c>b+c$ 那么 $a>b$ .

$a<b$ 等价于对某正实数d有 $b=a+d$ .

实数的序是由减法以及实数三歧性(零、正的、负的)定义的，而两者都是满足代入公理的. 所以容易验证实数的序的概念也是满足代入公理的.

5.4.3 证明：由命题5.4.4知x无非是等于零、为正的、为负的中的一个.

当 $x=0$ 时，确存在整数0使得 $0\leqslant x<1$ 成立.

当x为正的，假设不存在自然数N使得 $N\leqslant x<N+1$ ，即对所有自然数N不成立 $N\leqslant x<N+1$ ，即对所有自然数N有 $x<N\text{ or }N+1\leqslant x$ . 容易注意到 $x<N$ 和 $N+1\leqslant x$ 不能同时成立. 故对自然数0，有 $x<0\text{ or }0+1\leqslant x$ ，即 $x<0\text{ or }1\leqslant x$ . 由于x为正的，故 $x>0$ ，故对自然数0有 $1\leqslant x$ . 现假设对自然数n有 $n+1\leqslant x$ . 对自然数n+1有 $x<n+1\text{ or }(n+1)+1\leqslant x$ ，由归纳假设 $n+1\leqslant x$ 知 $x<n+1$ 不成立，则对自然数n+1有 $(n+1)+1\leqslant x$ ，这样就完成了归纳. 故对所有自然数n有 $n+1\leqslant x$ ，即 $x\geqslant n+1>n$ ，故实数x大于任何自然数，由命题5.4.12知这不可能，故存在自然数N使得 $N\leqslant x\leqslant N+1$ .

当x为负数时，则-x为正的，由上论证知存在整数N(进一步说应是自然数)使得 $N\leqslant -x<N+1$ ，故 $-(N+1)<x\leqslant-N$ . 若 $-(N+1)<x<-N$ ，则显然有整数-(N+1)使得 $-(N+1)\leqslant x<-N$ ；若 $-(N+1)<x=-N$ ，即 $x=-N$ ，亦显然有整数-N使得 $-N\leqslant x<-N+1$ . 综上，无论x是零、是正的还是负的，都存在整数N使得 $N\leqslant x<N+1$ .

现在我们来证明N的唯一性. 假设存在整数 $N_1,N_2$ 使得 $N_1\leqslant x<N_1+1$ 且 $N_2\leqslant x<N_2+1$ . 假设 $N_1\neq N_2$ ，那么不是 $N_1<N_2$ 就是 $N_1>N_2$ . 若 $N_1<N_2$ ，则 $N_1+1\leqslant N_2$ ，再由 $N_1\leqslant x<N_1+1$ 和 $N_2\leqslant x<N_2+1$ 知 $x<N_1+1\leqslant N_2\leqslant x$ ，则推出 $x<x$ ，这是矛盾的. 同理可证 $N_1>N_2$ 亦不成立. 综上假设 $N_1\neq N_2$ 不成立，故 $N_1=N_2$ .

5.4.4 证明：由命题5.4.12知存在正比例数q使得 $x\geqslant q$ ，即存在正整数a,b使得 $x\geqslant\frac{a}{b}$ . 容易证明 $\frac{a}{b}>\frac{1}{b+1}$ ，则 $x\geqslant\frac{a}{b}>\frac{1}{b+1}$ ，即 $x>\frac{1}{b+1}$ . 故存在正整数 $N:=b+1$ 使得 $x>\frac{1}{N}>0$ .

5.4.5 证明：已知 $x<y$ ，即 $y>x$ ，即 $y-x>0$ . 若 $y-x>1$ ，即 $y>x+1$ ，由习题5.4.3知存在整数N使得 $N\leqslant x<N+1$ ，则有 $N+1\leqslant x+1$ ，再由 $y>x+1$ 知 $x<N+1\leqslant x+1<y$ ，则我们找到了N使得 $x<N+1<y$ .

若 $0<y-x\leqslant 1$ ，由推论5.3.13知存在正整数n使得 $n(y-x)>1$ ，即 $ny-nx>1$ ，由上论证知此时存在整数m使得 $ny>m>nx$ . 故有 $x<\frac{m}{n}<y$ .

综上，对任意实数x和y，若 $y>x$ 则存在比例数q使得 $x<q<y$ .

5.4.6 证明：已知x,y是实数，由实数加法以及负运算的定义知x-y也是实数. 由命题5.4.4知x-y为等于零、为正的、为负的三者之一. 如果 $x-y=0$ ，则 $y-x=-(x-y)=0$ ，则显然有 $x-y<\varepsilon$ 和 $y-x<\varepsilon$ ，即 $x<y+\varepsilon$ 和 $y-\varepsilon<x$ ，则 $y-\varepsilon<x<y+\varepsilon$ ；如果x-y为正的，即有 $x-y>0$ ，即 $x>y$ ，再由 $|x-y|<\varepsilon$ 知 $x-y<\varepsilon$ ，即 $x<y+\varepsilon$ ，故 $y<x<y+\varepsilon$ ，则 $y-\varepsilon<y<x<y+\varepsilon$ ；如果x-y为负的，即有 $x-y<0$ ，即 $x<y$ ，再由 $|x-y|<\varepsilon$ 知 $y-x<\varepsilon$ ，即有 $y-\varepsilon<x$ ，故 $y-\varepsilon<x<y<y+\varepsilon$ . 综上，我们证明了如果 $|x-y|<\varepsilon$ 那么 $y-\varepsilon<x<y+\varepsilon$ .

如果 $y-\varepsilon<x<y+\varepsilon$ ，则有 $y-x<\varepsilon$ 且 $x-y<\varepsilon$ . 如果 $x-y=0$ ，则显然有 $|x-y|=0<\varepsilon$ ；如果x-y为正的，则 $|x-y|=x-y<\varepsilon$ ；如果x-y为负的，则 $|x-y|=y-x<\varepsilon$ . 综上，我们有如果 $y-\varepsilon<x<y+\varepsilon$ 那么 $|x-y|<\varepsilon$ .

综上我们证明了 $|x-y|<\varepsilon$ 当且仅当 $y-\varepsilon<x<y+\varepsilon$ .

如果 $|x-y|\leqslant\varepsilon$ ，那么有 $|x-y|<\varepsilon$ 或者 $|x-y|=\varepsilon$ . 如果 $|x-y|<\varepsilon$ ，由上论证有 $y-\varepsilon<x<y+\varepsilon$ ，故有 $y-\varepsilon\leqslant x\leqslant y+\varepsilon$ ；如果 $|x-y|=\varepsilon$ ，显然此时 $x-y\neq 0$ (否则 $|x-y|=0=\varepsilon$ ，这与 $\varepsilon>0$ 相矛盾)，故x-y为正的或为负的，如果x-y为正的，由 $|x-y|=\varepsilon$ 知 $x-y=\varepsilon$ ，故有 $x=y+\varepsilon>y-\varepsilon$ ，即 $y-\varepsilon<x=y+\varepsilon$ ，故有 $y-\varepsilon\leqslant x\leqslant y+\varepsilon$ ；如果x-y为负的，由 $|x-y|=\varepsilon$ 知 $y-x=\varepsilon$ ，则 $y+\varepsilon>y-\varepsilon=x$ ，即即 $y-\varepsilon=x<y+\varepsilon$ ，故有 $y-\varepsilon\leqslant x\leqslant y+\varepsilon$ . 综上我们证明了如果 $|x-y|\leqslant\varepsilon$ 那么 $y-\varepsilon\leqslant x\leqslant y+\varepsilon$ .

如果 $y-\varepsilon\leqslant x\leqslant y+\varepsilon$ ，那么有 $y-\varepsilon\leqslant x$ 且 $x\leqslant y+\varepsilon$ ，即 $y-x\leqslant\varepsilon$ 且 $x-y\leqslant\varepsilon$ . 如果 $x-y=0$ ，则显然有 $|x-y|=0<\varepsilon$ ；如果x-y为正的，则 $|x-y|=x-y\leqslant\varepsilon$ ；如果x-y为负的，则 $|x-y|=y-x\leqslant\varepsilon$ . 综上如果 $y-\varepsilon\leqslant x\leqslant y+\varepsilon$ 那么 $|x-y|=\leqslant\varepsilon$ .

综上 $|x-y|=\leqslant\varepsilon$ 当且仅当 $y-\varepsilon\leqslant x\leqslant y+\varepsilon$ .

5.4.7 证明：如果 $x\leqslant y$ ，那么对于一切实数 $\varepsilon>0$ 有 $x<x+\varepsilon\leqslant y+\varepsilon$ ，故 $x\leqslant y+\varepsilon$ . 如果对一切实数 $\varepsilon>0$ 有 $x\leqslant y+\varepsilon$ . 假设 $x>y$ ，则 $x-y>0$ ，即x-y为正的，取 $\varepsilon:=\frac{1}{2}(x-y)>0$ ，则此时有 $x-y>\frac{1}{2}(x-y)=\varepsilon$ ，即 $x>y+\varepsilon$ . 这与对一切 $\varepsilon>0$ 有 $x\leqslant y+\varepsilon$ 相矛盾，故假设不成立，故 $x\leqslant y$ .

如果 $x=y$ ，则 $|x-y|=0<\varepsilon$ ，即 $|x-y|\leqslant\varepsilon$ .

如果对一切实数 $\varepsilon>0$ 有 $|x-y|\leqslant\varepsilon$ ，假设 $x\neq y$ ，则 $x-y\neq 0$ ，容易证明此时 $|x-y|>0$ . 取 $\varepsilon:=\frac{1}{2}|x-y|>0$ ，则此时有 $|x-y|>\frac{1}{2}|x-y|=\varepsilon$ ，故假设不成立，则 $x=y$ .

5.4.8 证明：用反证法. 假设 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n>x$ ，由命题5.4.14知存在一个比例数q使得 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n>q>x$ . 再由对一切 $n\geqslant 1$ 有 $a_n\leqslant x$ 知对一切 $n\geqslant 1$ 有 $q>a_n$ ，即 $q\geqslant a_n$ ，由推论5.4.10知 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}q\geqslant\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n$ ，即 $q\geqslant\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n$ ，这显然与 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n>q>x$ 相矛盾，故假设不成立，即 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n\leqslant x$ . 同理可证如果对于一切 $n\geqslant 1$ 有 $a_n\geqslant x$ 那么 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n\geqslant x$ .