《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§5.3解答

习题5.3

5.3.1 证明：设 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n$ 是实数，即 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 是柯西序列. 对任意 $\varepsilon>0$ ，存在整数 $N=1$ ，对一切整数 $n\geqslant N$ 都有 $|a_n-a_n|=0\leqslant\varepsilon$ . 则 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n$ 和 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n$ 是等价的Cauchy序列，即 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n$ = $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n$ . 所以对实数x来说有 $x=x$ .

设 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}b_n$ 是实数(即 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 是柯西序列)并且 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 是等价于 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 的Cauchy序列，即 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}b_n$ = $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n$ . 说明对任何 $\varepsilon>0$ ，存在整数 $N\geqslant 1$ ，对一切整数 $n\geqslant N$ 都有 $|b_n-a_n|\leqslant\varepsilon$ ，即 $|a_n-b_n|\leqslant\varepsilon$ ，故 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 也是等价于 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 的Cauchy序列，即 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n$ = $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}b_n$ . 所以对实数x,y来说，如果 $x=y$ 那么 $y=x$ .

设 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}c_n$ 是实数，其中 $(c_n)_{n=1}^{\infty}$ 是等价于 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 的Cauchy序列，即 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}c_n$ = $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}b_n$ . 对任一 $\varepsilon>0$ ，有 $\frac{\varepsilon}{2}>0$ ，存在 $N_1,N_2\geqslant 1$ ，当 $n\geqslant N_1$ 时有 $|b_n-a_n|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$ 并且当 $n\geqslant N_2$ 时有 $|c_n-b_n|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$ . 取 $N:=max\left\{N_1,N_2\right\}$ ，那么当 $n\geqslant N$ 时有 $|b_n-a_n|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$ 和 $|c_n-b_n|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$ ，则此时 $|c_n-a_n|\leqslant|c_n-b_n|+|b_n-a_n|\leqslant\varepsilon$ . 故 $(c_n)_{n=1}^{\infty}$ 是等价于 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 的Cauchy序列，即 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}c_n$ = $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n$ . 所以对于实数x,y,z来说，如果 $x=y\text{ and }y=z$ 那么 $x=z$ .

5.3.2 证明：(a)Cauchy序列的积是Cauchy序列.

让我们来考察一下Cauchy序列的定义：一个比例数序列是柯西序列当且仅当对每个 $\varepsilon>0$ 都存在整数 $N\geqslant 1$ 使得对于一切 $n,m\geqslant N$ 有 $|a_n-a_m|\leqslant\varepsilon$ . 如果有某个比例数序列 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 满足对每个 $0<\varepsilon<C$ 都存在整数 $N\geqslant 1$ 使得对于一切 $n,m\geqslant N$ 有 $|a_n-a_m|\leqslant\varepsilon$ ，那么这个序列是Cauchy序列吗？答案是肯定的. 设 $\varepsilon_1\geqslant C>0$ 并且 $0<\varepsilon_2<C$ ，对于 $\varepsilon_1$ ，由于 $0<\varepsilon_2<C$ ，那么存在整数 $N\geqslant 1$ 使得对于一切 $n,m\geqslant N$ 有 $|a_n-a_m|\leqslant\varepsilon_2<C\leqslant\varepsilon_1$ . 所以序列也是 $\varepsilon_1$ -稳定的，所以每个 $\varepsilon>0$ 都存在整数 $N\geqslant 1$ 使得对于一切 $n,m\geqslant N$ 有 $|a_n-a_m|\leqslant\varepsilon$ ，即这个序列也是Cauchy序列.

这说明Cauchy序列概念的精髓不在对所有 $\varepsilon>0$ 序列 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 都是终极 $\varepsilon$ -稳定的，而是要求对所有 $0<\varepsilon<C$ 其是终极 $\varepsilon$ -稳定的. 或者说是无论 $\varepsilon$ 取多么小的正值序列都是终极 $\varepsilon$ -稳定的. 有了上面的理解，我们证明(a)就容易了.

由于 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 是Cauchy序列，由引理5.1.15知其都是有界的，即对一切 $i\geqslant 1$ 存在非负比例数 $M_a$ 和 $M_b$ 使得成立 $|a_i|\leqslant M_a\text{ and }|b_i|\leqslant M_b$ ，令 $M:=max\left\{M_a,M_b\right\}+1\geqslant 1$ ，则对一切 $i\geqslant 1$ 有 $|a_i|\leqslant M\text{ and }|b_i|\leqslant M$ .

对任一 $0<\varepsilon<\frac{1}{3}$ ，有 $\frac{\varepsilon}{3M}>0$ . 由于 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 是Cauchy序列，则存在整数 $N_a,N_b\geqslant 1$ 使得对一切 $m,n\geqslant N_a$ 有 $|a_n-a_m|\leqslant \frac{\varepsilon}{3M}$ 且对一切 $m,n\geqslant N_b$ 有 $|b_n-b_m|\leqslant \frac{\varepsilon}{3M}$ . 令 $N:=max\left\{N_a,N_b\right\}$ ，则对一切 $m,n\geqslant N$ 有 $|a_n-a_m|\leqslant \frac{\varepsilon}{3M}$ 且 $|b_n-b_m|\leqslant \frac{\varepsilon}{3M}$ . 由命题4.3.7(h)可知： $|a_nb_n-a_mb_m|\leqslant \frac{\varepsilon}{3M}|a_n|+\frac{\varepsilon}{3M}|b_n|+\frac{\varepsilon^2}{9M^2}\leqslant \frac{\varepsilon}{3M}M+\frac{\varepsilon}{3M}M+\frac{\varepsilon^2}{9M^2}=\frac{2\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon^2}{9M^2}$ . 欲证 $\frac{2\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon^2}{9M^2}\leqslant\varepsilon$ ，只需证 $\frac{\varepsilon}{M^2}\leqslant 3$ . 而我们已经知道 $0<\varepsilon<\frac{1}{3}$ 且 $M\geqslant 1$ ，那么 $M^2\geqslant 1$ ，则 $0<\frac{1}{M^2}\leqslant 1$ ，则 $\frac{\varepsilon}{M^2}\leqslant\varepsilon<\frac{1}{3}\leqslant 3$ . 这就证明了 $|a_nb_n-a_mb_m|\leqslant\varepsilon$ . 综上我们证明了对每个 $0<\varepsilon<\frac{1}{3}$ 存在 $N\geqslant 1$ 使得对一切 $n,m\geqslant N$ 有 $|a_nb_n-a_mb_m|\leqslant\varepsilon$ ，由上面讨论知序列 $(a_nb_n)_{n=1}^{\infty}$ 是Cauchy序列. 即Cauchy序列的积是Cauchy序列.

(b)实数的积运算满足代入公理.

设 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n$ = $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a'_n$ ，那么 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}b_n$ = $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a'_n\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}b_n$ .

由 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n$ = $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a'_n$ 知 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(a'_n)_{n=1}^{\infty}$ 是等价的，即对一切 $\varepsilon>0$ 都存在整数 $N\geqslant 1$ 使得对一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-a'_n|\leqslant\varepsilon$ .

由于Cauchy序列 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 是有界的，即存在比例数 $M>0$ 使得对一切 $i\geqslant 1$ 有 $|b_i|\leqslant M$ .

对任一 $\varepsilon>0$ ，有 $\frac{\varepsilon}{M}>0$ ，由 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(a'_n)_{n=1}^{\infty}$ 是等价的知存在整数 $N_M\geqslant 1$ 使得对一切 $n\geqslant N_M$ 有 $|a_n-a'_n|\leqslant\frac{\varepsilon}{M}$ ，所以此时 $|a_nb_n-a'_nb_n|=|a_n-a'_n||b_n|\leqslant\frac{\varepsilon}{M}M=\varepsilon$ . 即我们证明了对任一 $\varepsilon>0$ 存在整数 $N_M\geqslant 1$ 使得对一切 $n\geqslant N_M$ 有 $|a_nb_n-a'_nb_n|\leqslant\varepsilon$ . 所以序列 $(a_nb_n)_{n=1}^{\infty}$ 和序列 $(a'_nb_n)_{n=1}^{\infty}$ 是等价的.

由(a)的证明我们知道序列 $(a_nb_n)_{n=1}^{\infty}$ 和序列 $(a'_nb_n)_{n=1}^{\infty}$ 都是Cauchy序列，故 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_nb_n$ = $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a'_nb_n$ ，即 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}b_n$ = $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a'_n\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}b_n$ .

综上，对实数x,x’,y,y’，如果 $x=x'$ 那么 $xy=x'y$ . 同理可证如果 $y=y'$ 那么 $xy=xy'$ .

5.3.3 证明：如果 $a=b$ ，对任意 $\varepsilon>0$ 都存在整数1使得对于任意 $n\geqslant 1$ 有 $|a_n-b_n|=|a-b|=0\leqslant\varepsilon$ ，即Cauchy序列 $(a)_{n=1}^{\infty}$ 和Cauchy序列 $(b)_{n=1}^{\infty}$ 是等价的，即 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}b$ .

如果 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}b$ ，即Cauchy序列 $(a)_{n=1}^{\infty}$ 和Cauchy序列 $(b)_{n=1}^{\infty}$ 是等价的，说明对任意 $\varepsilon>0$ 都存在整数 $N\geqslant 1$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-b_n|=|a-b|\leqslant\varepsilon$ ，即对任意 $\varepsilon>0$ 都有 $|a-b|\leqslant\varepsilon$ . 假设 $a\neq b$ ，则 $|a-b|>0$ ，取 $\varepsilon_0:=\frac{1}{2}|a-b|<|a-b|$ ，这时就没有 $|a-b|\leqslant\varepsilon_0$ ，所以假设不成立，则 $a=b$ .

综上，我们证明了 $a=b$ 当且仅当 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}b$ .

5.3.4 证明：由习题5.2.2立马可知 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 是有界的.

5.3.5 证明：只需证明 $(\frac{1}{n})_{n=1}^{\infty}$ 和 $(0)_{n=1}^{\infty}$ 是等价的. 对每个 $\varepsilon>0$ ，令 $N\geqslant\frac{1}{\varepsilon}$ (由命题4.4.1知这是可以的)，对所有 $n\geqslant N$ 有 $|\frac{1}{n}-0|=\frac{1}{|n|}=\frac{1}{n}\leqslant\frac{1}{N}\leqslant\varepsilon$ . 则两序列是等价的，故 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}0=0$ .

文内补充

1.从实数的负运算的定义我们有 $-\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}(-a_n)$ .

我们已经证明实数的乘法是定义成功的(即两个实数的乘积还是实数并且乘法满足代入公理)，并且我们发现比例数 $q$ 和 $\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}q$ 是同构的. 所以 $-\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n=(-1)\times\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}(-1)\times\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}((-1)\times a_n)=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}(-a_n)$ .

2.Cauchy序列 $0.1,0.01,0.001,0.0001,...$ (即 $(10^{-n})_{n=1}^{\infty}$ )等价于 $(0)_{n=1}^{\infty}$ .

证明：对任一 $\varepsilon>0$ ，由命题4.4.1可以取某个整数 $N\geqslant\frac{1}{\varepsilon}$ ，对一切 $n\geqslant N$ 有 $|10^{-n}-0|=\frac{1}{10^n}<\frac{1}{n}\leqslant\frac{1}{N}\leqslant\varepsilon$ . 这就证明了Cauchy序列 $0.1,0.01,0.001,0.0001,...$ (即 $(10^{-n})_{n=1}^{\infty}$ )等价于 $(0)_{n=1}^{\infty}$ .

3.已知 $|b_{n_0}|\geqslant\varepsilon$ 和 $|b_{n_0}-b_n|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$ ，求证 $|b_n|\geqslant\frac{\varepsilon}{2}$ .

证明：由绝对值三角不等式 $|x+y|\leqslant|x|+|y|$ 知 $|x|\leqslant|x-y|+|y|$ ，即 $|x|-|y|\leqslant|x-y|$ ，故 $|b_{n_0}|-|b_n|\leqslant|b_{n_0}-b_n|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$ ，即 $\varepsilon\leqslant|b_{n_0}|\leqslant|b_n|+\frac{\varepsilon}{2}$ ，即 $\varepsilon\leqslant|b_n|+\frac{\varepsilon}{2}$ ，故 $|b_n|\geqslant\frac{\varepsilon}{2}$ .

4.对非零实数x，我们有 $xx^{-1}=x^{-1}x=1$ .

证明:对于非零实数x，存在限制离开零的Cauchy序列 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 使得 $x=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n$ ，此时 $x^{-1}=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n^{-1}$ ，则 $xx^{-1}=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n\times\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n^{-1}=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}(a_na_n^{-1})=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}1=1$ . 同理可证 $x^{-1}x=1$ . 故 $xx^{-1}=x^{-1}x=1$ .

5.对一个Cauchy序列 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 取倒数，我们有两点要求：第一是这个序列的项 $a_n$ 不含0，即对一切 $i\geqslant 1$ 有 $|a_i|\neq 0$ ，而一个限制离开零的序列保证了这一点；第二是这个Cauchy序列的形式极限不是0，一个限制离开零的序列也保证了这一点，因为对一切 $i\geqslant 1$ 有 $|a_i-0|=|a_i|\geqslant C>0$ (C为某正比例数)，这说明对 $0<\varepsilon<C$ 来说一个限制离开零的Cauchy序列不可能终极 $\varepsilon$ -接近于0，更不可能与0是等价的柯西序列.

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