《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§5.2解答

习题5.2

5.2.1 证明：由于 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 是Cauchy序列，则对任一比例数 $\varepsilon>0$ 存在整数 $N\geqslant 1$ ，使得对于一切 $j,k\geqslant N$ 有 $|a_j-a_k|\leqslant\varepsilon$ . 又因为 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 是等价的序列，则对任一比例数 $\varepsilon>0$ 存在整数 $N\geqslant 1$ ，使得对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-b_n|\leqslant\varepsilon$ .

对任一比例数 $\varepsilon>0$ ，有比例数 $\frac{\varepsilon}{3}>0$ ，则存在整数 $N_1\geqslant 1$ 使得对于一切 $j,k\geqslant N_1$ 有 $|a_j-a_k|\leqslant\frac{\varepsilon}{3}$ . 亦存在整数 $N_2\geqslant 1$ 使得对于一切 $n\geqslant N_2$ 有 $|a_n-b_n|\leqslant\frac{\varepsilon}{3}$ .

取 $N=max\left\{N_1,N_2\right\}$ ，则对一切 $j,k\geqslant N$ 有 $|a_j-a_k|\leqslant\frac{\varepsilon}{3}$ 且对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-b_n|= |b_n-a_n|\leqslant\frac{\varepsilon}{3}$ .

故对一切 $n\geqslant N$ 有 $-\frac{\varepsilon}{3}\leqslant b_n-a_n\leqslant\frac{\varepsilon}{3}$ ，即 $a_n-\frac{\varepsilon}{3}\leqslant b_n\leqslant a_n+\frac{\varepsilon}{3}$ .

故对一切 $j,k\geqslant N$ 有 $a_j-\frac{\varepsilon}{3}\leqslant b_j\leqslant a_j+\frac{\varepsilon}{3}$ 且 $a_k-\frac{\varepsilon}{3}\leqslant b_k\leqslant a_k+\frac{\varepsilon}{3}$ .

由命题4.2.9(d)知对一切 $j,k\geqslant N$ 有 $a_j-\frac{\varepsilon}{3}\leqslant b_j\leqslant a_j+\frac{\varepsilon}{3}$ 且 $-\frac{\varepsilon}{3}-a_k\leqslant -b_k\leqslant \frac{\varepsilon}{3}-a_k$ . 由上两不等式有 $a_j-b_k-\frac{\varepsilon}{3}\leqslant b_j-b_k\leqslant a_j-b_k+\frac{\varepsilon}{3}$ 且 $-\frac{\varepsilon}{3}+a_j-a_k\leqslant a_j-b_k\leqslant \frac{\varepsilon}{3}+a_j-a_k$ .

再由不等式 $a_j-b_k-\frac{\varepsilon}{3}\leqslant b_j-b_k\leqslant a_j-b_k+\frac{\varepsilon}{3}$ 和 $-\frac{\varepsilon}{3}+a_j-a_k\leqslant a_j-b_k\leqslant \frac{\varepsilon}{3}+a_j-a_k$ 有 $a_j-a_k-\frac{2\varepsilon}{3}\leqslant b_j-b_k\leqslant a_j-a_k+\frac{2\varepsilon}{3}$ ，而我们有 $-|a_j-a_k|\leqslant a_j-a_k\leqslant|a_j-a_k|$ ，所以由上面不等式得 $-|a_j-a_k|-\frac{2\varepsilon}{3}\leqslant b_j-b_k\leqslant |a_j-a_k|+\frac{2\varepsilon}{3}$ ，故 $|b_j-b_k|\leqslant|a_j-a_k|+\frac{2\varepsilon}{3}\leqslant\varepsilon$ .

至此，我们证明了对任一比例数 $\varepsilon>0$ ，存在整数 $N\geqslant 1$ 使得对一切 $j,k\geqslant N$ 有 $|b_j-b_k|\leqslant\varepsilon$ . 故 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 是Cauchy序列. 同理可证若 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 是Cauchy序列那么 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 也是Cauchy序列.

5.2.2 证明：由 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ -接近的，则存在整数 $N\geqslant 1$ 使得对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-b_n|\leqslant\varepsilon$ ，即 $-\varepsilon\leqslant b_n-a_n\leqslant\varepsilon$ ，即 $a_n-\varepsilon\leqslant b_n\leqslant a_n+\varepsilon$ ，即 $-|a_n|-\varepsilon\leqslant a_n-\varepsilon\leqslant b_n\leqslant a_n+\varepsilon\leqslant|a_n|+\varepsilon$ ，即 $|b_n|\leqslant|a_n|+\varepsilon$ .

由于 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 是有界的，则对所有 $i\geqslant 1$ 有 $|a_i|\leqslant M_1$ ( $M_1$ 为某非负比例数).

故存在 $N\geqslant 1$ ，使对于一切 $n\geqslant N$ 有 $|b_n|\leqslant|a_n|+\varepsilon\leqslant M_1+\varepsilon$ . 而对序列 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 当 $1\leqslant n<N$ 时的部分 $b_1,...,b_{n-1}$ ，其为有限序列，由引理5.1.14知对也是有界的，不妨记其以 $M_2\geqslant 0$ 为界，即对一切 $1\leqslant n<N$ 有 $|b_n|\leqslant M_2$ . 由此，对一切 $i\geqslant 1$ ，总有 $|b_i|\leqslant M_1+M_2+\varepsilon$ ，所以 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 是有界的.

同理可证当 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 是有界的那么 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 也是有界的.

文内补充

1.文中定义5.2.1、定义5.2.3、定义5.2.6都要求两个无限序列的起始下标是一致的. 我们可以看到，对于序列本身一样，但起始下标不一样的两个序列，它们本质上是相同的序列，但不一定满足定义5.2.1、定义5.2.3、定义5.2.6. 比如下面的两个序列：

序列1： $(n)_{n=0}^{\infty}$

序列2： $(n+100)_{n=-100}^{\infty}$

但我们可以任意改变序列的起始下标，使得两个序列之间可以考虑是否满足定义5.2.1、定义5.2.3、定义5.2.6. 也就是如果两个序列的起始下标不一样，我们可以改变一序列的起始下标与另一个序列的起始下标一样，这样就可以考虑定义5.2.1、定义5.2.3、定义5.2.6，因为起始下标对序列本身来说是不重要的，其最主要的作用是为序列的精确函数表达(定义5.1.1)带来方便，但这种方便不是必要的，我们可以使用任意一个不同的起始下标来表达同一个序列，即使其函数表达比原起始下标开始的函数表达更复杂. 也就是说，我们统一序列的起始下标后是有好处的，这样任意两个序列之间都可以考虑定义5.2.1、定义5.2.3、定义5.2.6.

或许我们可以推广一下定义5.2.1、定义5.2.3、定义5.2.6，使得有不同的起始下标的序列也可以进行比较. 比如定义5.2.1可以推广成：对两个序列 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 和序列 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ ，令 $p:=m_2-m_1$ . 如果对一切 $n\geqslant m_1$ 都有 $|a_n-b_{n+p}|\leqslant\varepsilon$ ，那么两序列就是 $\varepsilon$ -接近的. 定义5.2.3、定义5.2.6也可以作类似的推广.

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