《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§5.1解答

习题5.1

5.1.1 证明：由于 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 是柯西序列，则 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 对一切比例数 $\varepsilon$ 都是 $\varepsilon$ -终极稳定的. 取 $\varepsilon:=1$ ，即 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 是1-终极稳定的. 说明对某自然数 $N\geqslant 1$ ，对于一切自然数 $j,k\geqslant N$ 有 $d(a_j,a_k)\leqslant 1$ . 我们以N为界限，把序列 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 分成 $a_1,...a_N$ (避免序列为空，其实空序列仍是有界的，但为了使用引理5.1.14，我们不证明空序列仍是有界的)和 $a_{N+1},a_{N+2},...$ 两部分，前者为有限序列(定义详见注3.5.10和习题3.5.2)而后者为1-稳定序列. 由引理5.1.14知 $a_1,...a_N$ 是有界的，不妨记其以比例数M为界. 而后者是1-稳定序列，即对一切 $j,k\geqslant N+1$ 有 $d(a_j,a_k)\leqslant 1$ . 换句话说，即对一切 $j\geqslant N+1$ ，对一切 $k\geqslant N+1$ ，有 $|a_j-a_k|\leqslant 1$ . 不妨取定 $k:=N+2>N+1$ ，故对于一切 $j\geqslant N+1$ 有 $|a_j-a_{N+2}|\leqslant 1$ . 即故对于一切 $j\geqslant N+1$ 有 $-1\leqslant a_j-a_{N+2}\leqslant 1$ ，即对于一切 $j\geqslant N+1$ 有 $-1+a_{N+2}\leqslant a_j\leqslant 1+a_{N+2}$ ，即对于一切 $j\geqslant N+1$ 有 $-|1+a_{N+2}|-|-1+a_{N+2}|\leqslant a_j\leqslant |1+a_{N+2}|+|-1+a_{N+2}|$ ，这说明1-稳定序列 $a_{N+1},a_{N+2},...$ 是以 $|1+a_{N+2}|+|-1+a_{N+2}|$ 为界的(由这我们可以一般性的证明所有具有 $\varepsilon$ -稳定的的序列都是有界的). 综上，对 $1\leqslant i\leqslant N$ 有 $|a_i|\leqslant M$ ，对 $i\geqslant N+1$ 有 $|a_i|\leqslant |1+a_{N+2}|+|-1+a_{N+2}|$ ，所以对 $i\geqslant 1$ 有 $|a_i|\leqslant |1+a_{N+2}|+|-1+a_{N+2}|+M$ . 这就证明了柯西序列 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 是有界的.

在证明 $a_{N+1},a_{N+2},...$ 为有界序列时也可以用绝对值三角不等式 $|a|-|b|\leqslant |a-b|$ 来证明.

文内补充

1.序列 $0.1,0.01,0.001,0.0001,...$ 不是0.01-稳定的.

因为 $|0.1-0.01|=0.09>0.01$ .

2.序列 $1,2,4,8,16,...$ 对任何 $\varepsilon>0$ 都不是 $\varepsilon$ -稳定的.

因为我们容易证明任何 $\varepsilon$ -稳定的序列都是有界序列，而序列 $1,2,4,8,16,...$ ( $a_n=2^n(n\geqslant 0)$ )可以用归纳法和反证法和命题4.4.1证明其不是有界的.

3.对于任何小于10的 $\varepsilon$ ，序列 $10,0,0,0,...$ 都不是 $\varepsilon$ -稳定的，但对于每个 $\varepsilon>0$ 它都是终极 $\varepsilon$ -稳定的.

因为对于任何 $\varepsilon<10$ ， $|10-0|=10>\varepsilon$ ，所以对于任何 $\varepsilon<10$ 序列 $10,0,0,0,...$ 都不是 $\varepsilon$ -稳定的；序列 $10,0,0,0,...$ 可以表示成 $a_0=10,a_n=0(n>0)$ ，对每个 $\varepsilon>0$ ，总可以找到 $1>0$ ，使得当 $j,k\geqslant 1$ 时 $|a_j-a_k|=0<\varepsilon$ . 所以对于每个 $\varepsilon>0$ 它都是终极 $\varepsilon$ -稳定的.

4.无限序列 $1,-2,3,-4,5,-6,...$ 不是有界的.

证明：序列可表示成 $a_n=(-1)^n(n+1)(n\geqslant 0)$ ，故 $|a_n|=|(-1)^n(n+1)|=n+1$ . 假设其是有界的，说明存在比例数M使得对于一切 $n\geqslant 0$ 有 $n+1\leqslant M$ ，即对于一切 $n\geqslant 0$ 有 $n<M$ ，由命题4.4.1知存在整数N使得 $M<N$ ，这是相矛盾的，这就完成了证明.

5.书中 $\varepsilon$ -稳定性、终极 $\varepsilon$ -稳定性、Cauchy序列、有界序列的概念中序列的起始下标都是确定的，但就如注5.1.4说的，其有更一般化的定义，即起始下标是整数变量的概念定义.

6.定义5.1.1(序列)的一点说明.

定义5.1.1把比例数序列定义成一个函数 $f:\left\{n\in\mathbb{Z}:n\geqslant m\right\}\rightarrow\mathbb{Q}$ 这是对习题3.5.2定义的有限序列的进一步一般化，但这也会带来一些理解上的问题，比如我们我们来看两个序列：

序列1: $a_0:=0,a_1:=1,a_2:=2,a_3:=3,a_4:=4,...$

序列2: $b_{-9}:=0,b_{-8}:=1,b_{-7}:=2,b_{-6}:=3,b_{-5}:=4,...$

两个序列的开始下标是不同的，但它们都是表示序列 $0,1,2,3,4,...$ . 即它们表达的是同一个序列，只是在定义5.5.1下它们可以有不同的开始下标. 这就引出一个问题，序列的起始下标是重要的吗？从序列本身来说，其是不重要的，比如对序列 $0,1,2,3,4,...$ 来说，我们想让其起始下标是多少就是多少，但表现出来的序列就是 $0,1,2,3,4,...$ ，这也就是定义5.1.1中后面一句“一个比例数的序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是比例数 $a_m,a_{m+1},a_{m+2},...$ 的一个汇集”的意思，序列重要的是序列本身(隐去了起始下标)，而不是其下标本身. 进一步说，一个序列是否具有 $\varepsilon$ -稳定性、终极 $\varepsilon$ -稳定性、是Cauchy序列、是有界序列与其起始下标的选择根本没有关系，它们反映的是序列本身的性质，即我们可以证明如下命题：

对序列 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 和序列 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ ，令 $p:=m_2-m_1$ . 两序列满足对于 $\forall n\geqslant m_1$ 都有 $a_n=b_{n+p}$ . 这就说明了两序列本身是相同的序列，只是有相同或者不同的起始下标.

(a)序列 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ -稳定的当且仅当序列 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ -稳定的.

(b)序列 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ -稳定的当且仅当序列 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ -稳定的.

(c)序列 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是柯西序列当且仅当序列 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 是柯西序列.

(d)序列 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是有界序列当且仅当序列 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 是有界序列.

证明：(a)由于 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ -稳定的，说明 $\forall j,k$ 如果 $j,k\geqslant m_1$ 那么 $|a_j-a_k|\leqslant\varepsilon$ . 对 $\forall s,t$ ，如果 $s,t\geqslant m_2$ ，由 $p:=m_2-m_1$ 有 $s,t\geqslant m_1+p$ ，进一步有 $s-p,t-p\geqslant m_1$ . 由 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ -稳定的知 $|a_{s-p}-a_{t-p}|\leqslant\varepsilon$ ，再由 $a_n=b_{n+p}$ 知 $|b_s-b_t|\leqslant\varepsilon$ . 这样我们就证明了 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ -稳定的. 同理可证如果 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ -稳定的那么 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ -稳定的.

综上我们证明了序列 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ -稳定的当且仅当序列 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ -稳定的.

(b)如果 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ -稳定的，说明存在 $N\geqslant m_1$ 使得对于一切 $j,k\geqslant N$ 有 $|a_j-a_k|\leqslant\varepsilon$ . 而对 $\forall s,t$ ，如果 $s,t\geqslant N+p$ ，则有 $s-p,t-p\geqslant N$ ，再由 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ -稳定的知 $|a_{s-p}-a_{t-p}|\leqslant\varepsilon$ ，再由 $a_n=b_{n+p}$ 知 $|b_s-b_t|\leqslant\varepsilon$ . 这样我们就找到了整数 $N+p$ 使得对一切 $s,t\geqslant N+p$ 有 $|b_s-b_t|\leqslant\varepsilon$ ，即 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ -稳定的. 同理可证如果 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ -稳定的那么 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ -稳定的.

综上我们证明了序列 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ -稳定的当且仅当序列 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ -稳定的.

(c)由(b)和Cauchy序列的定义我们知道有：序列 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是柯西序列当且仅当序列 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 是柯西序列.

(d)如果 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是有界序列，说明存在比例数 $M\geqslant 0$ 使得对于一切 $i\geqslant m_1$ 有 $|a_i|\leqslant M$ . 对于一切 $j\geqslant m_2$ ，由 $p:=m_2-m_1$ 知 $j\geqslant m_1+p$ ，即 $j-p\geqslant m_1$ ，由 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是有界序列知 $|a_{j-p}|\leqslant M$ ，再由 $a_n=b_{n+p}$ 知 $|b_j|\leqslant M$ . 这就证明了 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 是有界序列. 同理可证如果 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 是有界序列那么 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是有界序列.

综上我们证明了序列 $(a_n)_{n=m_1}^{\infty}$ 是有界序列当且仅当序列 $(b_n)_{n=m_2}^{\infty}$ 是有界序列.

还需要补充一点的是：我们上面只谈到了无限序列，没有谈到有限序列. $\varepsilon$ -稳定性、终极 $\varepsilon$ -稳定性、Cauchy序列这些概念是针对无限序列来说的，只有有界序列这个概念也对有限序列有定义，以类似的证明我们知道序列本身一样而只是起始下标不一样的有限序列A和B，有A是有界序列当且仅当B是有界序列.

所以引理5.1.14的证明过程中只选用了起始下标是1的有限序列来证明.

通过上面的讨论，对一个序列来说，我们可以随意地改变其起始下标，而不影响其 $\varepsilon$ -稳定性、终极 $\varepsilon$ -稳定性、是Cauchy序列、是有界序列等性质，因为这些性质与起始下标的选择无关. 进一步的，我们可以统一序列的起始下标从某个确定的整数开始(比如从1)，进而我们可以定义序列 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 为函数 $f:\left\{n\in\mathbb{Z}:n\geqslant 1\right\}\rightarrow\mathbb{Q}$ ，这样与习题3.5.2定义的有限序列的也是相容的，而且 $\varepsilon$ -稳定性、终极 $\varepsilon$ -稳定性、是Cauchy序列、是有界序列的定义也就简单了，只需要考虑确定的下标1开始. 但我们为什么选择了定义5.5.1，即让序列的下标可任意选择. 因为这样定义序列可以为序列的的表达带来方便,如下例子：

为精确表达序列 $0,1,2,3,...$ ，我们可以定义序列 $(n)_{n=0}^{\infty}$ ，或者 $(n-1)_{n=1}^{\infty}$ . 而前者比后者更简洁.

最后总的来说，我们的序列总可以从一个开始下标转化成另一个开始下标，而不改变 $\varepsilon$ -稳定性、终极 $\varepsilon$ -稳定性、是Cauchy序列、是有界序列等性质.

7.所有 $\varepsilon$ -稳定序列都是有界的.

证明：如果 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ -稳定序列，定义一个新序列 $(b_n)_{n=0}^{\infty}=(a_{n+m})_{n=0}^{\infty}$ . 这两序列本身是相同的序列，只是有相同或者不同的起始下标. 由上的讨论我们知道 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 也是 $\varepsilon$ -稳定序列并且如果 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 有界的，那么 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 也是有界的. 所以我们只需要证明 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是有界的.

由于 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ -稳定序列，说明对于一切大于等于0的整数j,k有 $|b_j-b_k|\leqslant\varepsilon$ ，不妨取 $k:=0$ ，那么对一切大于等于0的整数j有 $|b_j-b_0|\leqslant\varepsilon$ ，由绝对值三角不等式知 $|b_j|\leqslant |b_j-b_0|+|b_0|$ ，故 $|b_j|-|b_0|\leqslant |b_j-b_0|\leqslant\varepsilon$ ，即 $|b_j|\leqslant\varepsilon+|b_0|$ ，所以 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是以 $\varepsilon+|b_0|$ 为界的，所以 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 有界的，那么 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 也是有界的.