《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§4.3解答

习题4.3

4.3.1 证明：(a)由引理4.2.7(比例数的三歧性)知比例数x为0、正的以及负的三者之一. 若 $x=0$ ，由定义4.3.1得 $|x|=0$ ，即 $|x|\geqslant 0$ ；若x为正的，由定义4.3.1得 $|x|=x$ 亦为正的，又因为 $|x|-0=|x|$ ，由定义4.2.8知 $|x|>0$ ，即 $|x|\geqslant 0$ ；若x为负的，记 $x=-y$ (y为正比例数)，由定义4.3.1得 $|x|=-x=-(-y)=y$ 亦为正的，又因为 $|x|-0=|x|$ ，由定义4.2.8知 $|x|>0$ ，即 $|x|\geqslant 0$ . 综上我们有 $|x|\geqslant 0$ .

如果 $|x|=0$ . 假若 $x\neq 0$ ，那么由上讨论知x是正的或是负的，但这两种情况下都有 $|x|>0$ ，与 $|x|=0$ 相矛盾，故假设不成立. 所以 $x=0$ . 同由上讨论知道如果 $x=0$ 那么 $|x|=0$ . 综上， $|x|=0$ 当且仅当 $x=0$ .

(b)由引理4.2.7知共有 $3\times 3=9$ 种情况.

1.若x和y是正比例数. 设 $x:=\frac{a}{b},y:=\frac{c}{d}$ (a,b,c,d均为正整数). $x+y=\frac{ad+bc}{bd}$ ，由于a,b,c,d均为正整数，由引理2.3.3知 $ad,bc,bd$ 均是正整数，进而由推论2.2.9知 $ad+bc\neq 0$ ，再由定义4.2.6知 $\frac{ad+bc}{bd}$ 是正的，即 $x+y$ 是正的. 由定义4.3.1知 $|x+y|=x+y=|x|+|y|$ .

2.若x为正比例数而y为0，由定义4.3.1知 $|x+y|=|x+0|=|x|=|x|+0=|x|+|y|$ .

3.若x为正比例数而y为负比例数，则 $|x|+|y|=x-y$ . 由引理4.2.7知 $x+y$ 为零、正的、负的三者之一，又分三种情况讨论.

3-a.若 $x+y$ 为正的，则由定义4.3.1知 $|x+y|=x+y$ . 由于 $(x-y)-(x+y)=-2y$ ，由于y为负比例数，所以-y为正的比例数，则 $-2y$ 为正比例数，即 $-2y>0$ ，故 $(x-y)-(x+y)>0$ ，即 $(x-y)>(x+y)$ ，即 $|x|+|y|>|x+y|$ .

3-b.若 $x+y$ 为负的，则由定义4.3.1知 $|x+y|=-(x+y)$ . 由于 $(x-y)-(-(x+y))=2x$ ，由于x为正比例数，则 $2x$ 为正比例数，即 $2x>0$ ，故 $(x-y)-(-(x+y))>0$ ，即 $(x-y)>(-(x+y))$ ，即 $|x|+|y|>|x+y|$ .

3-c.若 $x+y$ 为0，则由定义4.3.1知 $|x+y|=0$ . 由于 $|x|\geqslant 0,|y|\geqslant 0$ ，所以 $|x|+|y|\geqslant 0$ ，即 $|x|+|y|\geqslant|x+y|$ .

综上，若x为正比例数而y为负比例数时总有 $|x+y|\leqslant|x|+|y|$ .

4.若x为负比例数而y为正比例数，由比例数的代数算律以及同理如3.可知仍有 $|x+y|\leqslant|x|+|y|$ .

5.若x为负比例数而y为0，则 $|x+y|=|x|=-x=-x+0=|x|+|y|$ .

6.若x,y均为负比例数，同理如1.易证 $x+y$ 是负的，故 $|x+y|=-(x+y)=-1\times(x+y)=(-x)+(-y)=|x|+|y|$ .

7.若x为0而y为正比例数，由比例数的代数算律以及同理如2.可知仍有 $|x+y|=|x|+|y|$ .

8.若x,y均为0，则 $|x+y|=|0+0|=|0|=0=0+0=|0|+|0|=|x|+|y|$ .

9.若x为0而y为负比例数，由比例数的代数算律以及同理如5.可知仍有 $|x+y|=|x|+|y|$ .

综合1.~9.，我们知道在任何情况下都有 $|x+y|\leqslant|x|+|y|$ .

(c)由不等式 $-y\leqslant x\leqslant y$ 知 $-y\leqslant y$ ，进一步知 $2y\geqslant 0$ ，即 $y\geqslant 0$ ，即y可取非负整数. 当 $y=0$ 时，由 $0\leqslant x\leqslant 0$ 分类讨论可知 $x=0$ ，此时显然有 $y=|x|$ ，即 $|x|\leqslant y$ .

当 $y>0$ 时，可分三种情况讨论.

(1)若 $x=0$ ，此时显然有 $|x|< y$ ，即 $|x|\leqslant y$ .

(2)若 $x>0$ ，即 $0<x\leqslant y$ ，此时 $|x|=x$ ，故 $|x|\leqslant y$ .

(3)若 $x<0$ ，即 $-y\leqslant x<0$ ，此时 $|x|=-x$ ，由 $-y\leqslant x$ 可知 $y\geqslant -x$ ，即 $y\geqslant|x|$ ，即 $|x|\leqslant y$ .

综上，若 $-y\leqslant x\leqslant y$ 则 $|x|\leqslant y$ .

由 $|x|\leqslant y$ 可知 $y\geqslant|x|\geqslant 0$ ，由定义4.2.8知可分四种情况讨论：

(1) $y=|x|$ 且 $|x|=0$ ，则显然有 $y=x=0$ ，即有 $-y\leqslant x\leqslant y$ 成立.

(2) $y>|x|$ 且 $|x|=0$ ，即 $y>0$ 和 $x=0$ ，故 $-y<0$ ，即 $-y<|x|$ ，综合有 $-y<|x|<y$ 成立，即有 $-y\leqslant x\leqslant y$ 成立.

(3) $y=|x|$ 且 $|x|>0$ ，则有 $y>0$ ，进一步有 $-y<0$ ，则有 $-y<0<|x|$ ，即 $-y<|x|$ ，综上有 $-y<|x|=y$ ，即有 $-y\leqslant |x|\leqslant y$ 成立. 再由 $|x|>0$ 可知x为正数或负数. 若x为正数，由 $-y\leqslant |x|\leqslant y$ 知 $-y\leqslant x\leqslant y$ ；若x为负数，由 $-y\leqslant |x|\leqslant y$ 知 $-y\leqslant -x\leqslant y$ ，进一步知 $-y\leqslant x\leqslant y$ .

(4) $y>|x|$ 且 $|x|>0$ ，同理如(3)可知有 $-y\leqslant x\leqslant y$ .

综上， $-y\leqslant x\leqslant y$ 当且仅当 $y\geqslant|x|$ . 特别地，由于 $|x|\geqslant|x|$ ，故有 $-|x|\leqslant x\leqslant|x|$ .

(d)由引理4.2.7无外乎以下几种情况：

(1) $x=0$ 或 $y=0$ ，易证此时有 $xy=0$ 且 $|x||y|=0$ ，故有 $|xy|=|x||y|$ .

(2)x和y都为正比例数，易证xy也为正比例数，故 $|xy|=xy=|x||y|$ .

(3)x和y都为负比例数，易证xy也为正比例数，故 $|xy|=xy=(-x)(-y)=|x||y|$ .

(4)x为正比例数而y为负比例数，易证xy为负比例数，故 $|xy|=-(xy)=x(-y)=|x||y|$ . 同理可证y为正比例数而x为负比例数时也有 $|xy|=|x||y|$ .

综上，我们总有 $|xy|=|x||y|$ . 特别地， $|-x|=|x|$ .

(e)由(a)知 $d(x,y)\geqslant 0$ 并且 $d(x,y)=0$ 当且仅当 $x-y=0$ ，即当且仅当 $x=y$ .

(f)容易验证绝对值运算满足代入公理. 由(d)中 $|-x|=|x|$ 知 $|x-y|=|-(y-x)|=|y-x|$ . 即 $d(x,y)=d(y,x)$ .

(g)由(b)知 $|x-y|+|y-z|\geqslant|(x-y)+(y-z)|=|x-z|$ ，即 $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ .

4.3.2 证明：(a)如果 $x=y$ ，对每个 $\varepsilon>0$ ，都有 $d(y,x)=|y-x|=|y-y|=|0|=0<\varepsilon$ ，即对每个 $\varepsilon>0$ ，x都是 $\varepsilon$ -接近于y的.

如果对每个 $\varepsilon>0$ ，x都是 $\varepsilon$ -接近于y的. 假设 $x\neq y$ ，则 $y-x\neq 0$ ，即y-x为负的或为正的比例数. 由习题4.3.1(a)我们知道有 $|y-x|>0$ ，令 $\varepsilon_{0}:=\frac{1}{2}\times|y-x|<|y-x|$ ，则此时 $|y-x|>\varepsilon_{0}>0$ ，故x不是 $\varepsilon_{0}$ -接近于y的. 这与对每个 $\varepsilon>0$ 有x都是 $\varepsilon$ -接近于y的相矛盾，故假设不成立，所以 $x=y$ .

(b)由命题4.3.3(f)知 $d(x,y)=d(y,x)$ . 如果x是 $\varepsilon$ -接近于y的，说明 $d(y,x)\leqslant\varepsilon$ ，即 $d(x,y)\leqslant\varepsilon$ ，所以y是 $\varepsilon$ -接近于x的. 综上我们知道可以说成：x,y是 $\varepsilon$ -接近的.

(c)令 $a:=y-x,b:=z-y$ ，则 $x=y-a,z=b+y$ . 由x是 $\varepsilon$ -接近于y的和y是 $\delta$ -接近于z的知道 $|a|\leqslant\varepsilon,|b|\leqslant\delta$ . $|z-x|=|(b+y)-(y-a)|=|b+a|\leqslant|b|+|a|\leqslant\delta+\varepsilon=\varepsilon+\delta$ ，所以x和y是 $(\varepsilon+\delta)$ -接近的.

(d)令 $a:=y-x,b:=w-z$ ，则 $x=y-a,y=a+x,w=b+z,z=w-b$ . 由x和y是 $\varepsilon$ -接近的和z和w是 $\delta$ -接近的知 $|a|\leqslant\varepsilon,|b|\leqslant\delta$ . $|(y+w)-(x+z)|=|((a+x)+(b+z))-(x+z)|=|a+b|\leqslant|a|+|b|\leqslant\varepsilon+\delta$ . 所以x+z和y+w是 $(\varepsilon+\delta)$ -接近的.

$|(y-w)-(x-z)|=|((a+x)-(b+z))-(x-z)|=|a-b|\leqslant|a|+|b|\leqslant\varepsilon+\delta$ . 所以x-z和y-w是 $(\varepsilon+\delta)$ -接近的.

(e)如果x和y是 $\varepsilon$ -接近的，即 $|y-x|\leqslant\varepsilon$ . 对每个 $\varepsilon'>\varepsilon$ ，有 $|y-x|\leqslant\varepsilon<\varepsilon'$ . 故x和y是 $\varepsilon'$ -接近的.

(f)y和z是 $\varepsilon$ -接近于x的，那么有 $|x-y|\leqslant\varepsilon,|x-z|\leqslant\varepsilon$ . 由引理4.2.7知分下列九种情况：

(1)x-y,x-z为正比例数. 由 $|x-y|\leqslant\varepsilon,|x-z|\leqslant\varepsilon$ 知 $x-y\leqslant\varepsilon,x-z\leqslant\varepsilon$ ，即 $0<x-y\leqslant\varepsilon,0<x-z\leqslant\varepsilon$ .

若 $y\leqslant w\leqslant z$ ，则 $x-z\leqslant x-w\leqslant x-y$ ，即 $0<x-z\leqslant x-w\leqslant x-y\leqslant\varepsilon$ ，即 $0<x-w\leqslant\varepsilon$ ，故 $|x-w|=x-w\leqslant\varepsilon$ ，于是w是 $\varepsilon$ -接近于x的.

同理可证若 $z\leqslant w\leqslant y$ 时亦有w是 $\varepsilon$ -接近于x的.

(2)x-y为正比例数,x-z为零，则 $x-y>x-z,x=z$ ，即 $z>y,x=z$ . 由 $|x-y|\leqslant\varepsilon$ 知由 $x-y\leqslant\varepsilon$ . 故只能是 $y\leqslant w\leqslant z$ ，则 $x-z\leqslant x-w\leqslant x-y$ ，即 $0=x-z\leqslant x-w\leqslant x-y\leqslant\varepsilon$ ，即 $0\leqslant x-w\leqslant\varepsilon$ ，故 $|x-w|=x-w\leqslant\varepsilon$ ，于是w是 $\varepsilon$ -接近于x的.

(3)x-y为正比例数,x-z为负比例数，则 $x-y>x-z$ ，即 $z>y$ . 由 $|x-y|\leqslant\varepsilon,|x-z|\leqslant\varepsilon$ 知 $x-y\leqslant\varepsilon,z-x\leqslant\varepsilon$ ，即 $0<x-y\leqslant\varepsilon,-\varepsilon\leqslant x-z<0$ . 此时 $y\leqslant w\leqslant z$ ，则 $x-z\leqslant x-w\leqslant x-y$ ，即 $-\varepsilon\leqslant x-z\leqslant x-w\leqslant x-y\leqslant\varepsilon$ ，即 $-\varepsilon\leqslant x-w\leqslant\varepsilon$ ，由命题4.3.3中(c)知 $|x-w|\leqslant\varepsilon$ ，于是w是 $\varepsilon$ -接近于x的.

(4)x-y为零,x-z为正比例数. 同理如(2)可证w是 $\varepsilon$ -接近于x的.

(5)x-y为零,x-z为负比例数. 故 $x-y>x-z$ ，即 $z>y$ . 由 $|x-z|\leqslant\varepsilon$ 知 $z-x\leqslant\varepsilon$ ，即 $-\varepsilon\leqslant x-z<0$ . 故只能是 $y\leqslant w\leqslant z$ ，则 $x-z\leqslant x-w\leqslant x-y$ ，即 $-\varepsilon\leqslant x-z\leqslant x-w\leqslant x-y=0$ ，即 $-\varepsilon\leqslant x-w\leqslant\varepsilon$ ，由命题4.3.3中(c)知 $|x-w|\leqslant\varepsilon$ ，于是w是 $\varepsilon$ -接近于x的.

(6)x-y,x-z均为零，则 $x=y=z$ . 若 $y\leqslant w\leqslant z$ ，可知 $w=x$ . 故 $|x-w|=|x-x|=0\leqslant\varepsilon$ ，于是w是 $\varepsilon$ -接近于x的. 同理可证 $z\leqslant w\leqslant y$ 时亦有w是 $\varepsilon$ -接近于x的.

(7)x-y为负比例数,x-z为正比例数. 同理如(3)可证w是 $\varepsilon$ -接近于x的.

(8)x-y为负比例数,x-z为零. 同理如(5)可证w是 $\varepsilon$ -接近于x的.

(9)x-y,x-z均为负比例数. 由 $|x-y|\leqslant\varepsilon,|x-z|\leqslant\varepsilon$ 知 $y-x\leqslant\varepsilon,z-x\leqslant\varepsilon$ ，即 $-\varepsilon\leqslant x-y<0,-\varepsilon\leqslant x-z<0$ .

若 $y\leqslant w\leqslant z$ ，则 $x-z\leqslant x-w\leqslant x-y$ ，即 $-\varepsilon\leqslant x-z\leqslant x-w\leqslant x-y<0$ ，即 $-\varepsilon\leqslant x-w<0$ ，故 $|x-w|=w-x\leqslant\varepsilon$ ，于是w是 $\varepsilon$ -接近于x的.

同理可证若 $z\leqslant w\leqslant y$ 时亦有w是 $\varepsilon$ -接近于x的.

综上我们总有w是 $\varepsilon$ -接近于x的.

(g)如果x和y是 $\varepsilon$ -接近的，即 $|y-x|\leqslant\varepsilon$ . 而 $|yz-xz|=|(y-x)z|=|y-x||z|\leqslant\varepsilon|z|$ . 所以xz和yz是 $\varepsilon|z|$ -接近的. 即使z为0命题也是成立的.

4.3.3 证明：容易用归纳法证明自然数次幂的指数运算是满足代入公理的，即如果 $x=y$ ，则 $x^{a}=y^{a}$ (x,y为比例数，a为自然数)；对自然数a,b，如果 $a=b$ ，那么 $x^{a}=x^{b}$ (x为比例数). 虽然后者看起来是如此明显的成立的. 并且容易用归纳法证明比例数的自然数次幂的指数运算后仍是比例数.

(a)对n进行归纳. 归纳基始： $x^{0}x^{m}=1\times x^{m}=x^{m}=x^{0+m}$ . 归纳步骤：现假设 $x^{n}x^{m}=x^{n+m}$ ，则 $x^{n+1}x^{m}=(x^{n}x)x^{m}=(xx^{n})x^{m}=x(x^{n}x^{m})=x^{n+m}x=x^{(n+m)+1}=x^{(n+1)+m}$ . 这就完成了归纳. 所以 $x^{n}x^{m}=x^{n+m}$ 成立.

对m进行归纳. 归纳基始： $(x^{n})^{0}=1=x^{0}=x^{n\times 0}$ . 归纳步骤：现假设 $(x^{n})^{m}=x^{n\times m}$ ，则 $(x^{n})^{m+1}=(x^{n})^{m}x^{n}=x^{n\times m}x^{n}=x^{n\times m+n}=x^{n\times (m+1)}$ ，这就完成了归纳. 所以 $(x^{n})^{m}=x^{n\times m}$ 成立.

对n进行归纳. 归纳基始： $(xy)^{0}=1=1\times 1=x^{0}y^{0}$ . 归纳步骤：现假设 $(xy)^{n}=x^{n}y^{n}$ ，则 $(xy)^{n+1}=(xy)^{n}(xy)=(x^{n}y^{n})(xy)=(x^{n}x)(y^{n}y)=x^{n+1}y^{n+1}$ . 这就完成了归纳. 所以 $(xy)^{n}=x^{n}y^{n}$ 成立.

(b)英文第一版有句前提：Suppose n>0，中文第一版没有，这里补上. 如果 $x^{n}=0$ . 假设 $x\neq 0$ ，对 $x^{0}=1\neq 0$ ；现归纳假设 $x^{n}\neq 0$ ，那么 $x^{n+1}=x^{n}x$ ，由定义4.3.9知比例数的自然数幂的指数运算得到的仍然是比例数，所以由假设 $x\neq 0$ 和 $x^{n}\neq 0$ 不妨设 $x:=\frac{a}{b}$ 和 $x^{n}:=\frac{c}{d}$ (a,b,c,d均为不为0的整数). 所以 $x^{n}x=\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$ ，由命题4.1.8的逆否命题知 $ac\neq 0$ ，故 $\frac{ac}{bd}\neq 0$ ，即 $x^{n+1}\neq 0$ . 这样就归纳完成了如果 $x\neq 0$ ，那么对所有自然数n都有 $x^{n}\neq 0$ . 这显然与 $x^{n}=0$ 相矛盾，故 $x=0$ . 也可以直接用归纳法证明对所有自然数n>0，有蕴涵关系“如果 $x^{n}=0$ 那么 $x=0$ .”

如果 $x=0$ . $x^{1}=x^{0}x=1\times 0=0$ ；现归纳假设 $x^{n}=0$ ，那么 $x^{n+1}=x^{n}x=0\times 0=0$ . 这就完成了归纳：如果 $x=0$ 那么对所有自然数n>0， $x^{n}=0$ . 即对所有自然数n>0，如果 $x=0$ 那么 $x^{n}=0$ . 如果这里对全称量词的位置变化不太理解，也可以直接用归纳法证明所有自然数n>0，有蕴涵关系“如果 $x=0$ 那么 $x^{n}=0$ .” 对两者的联系我们在下面(c)的证明中详细介绍.

综上我们有对所有自然数n>0， $x^{n}=0$ 当且仅当 $x=0$ .

(c)题目要求证明：对所有自然数n，有蕴涵关系“如果 $x\geqslant y\geqslant 0$ 那么 $x^{n}\geqslant y^{n}\geqslant 0$ ”，而不是要求证明：已知 $x\geqslant y\geqslant 0$ ，那么对所有自然数n有 $x^{n}\geqslant y^{n}\geqslant 0$ . 前者要求证明在任何自然数n下都有蕴涵关系“如果 $x\geqslant y\geqslant 0$ 那么 $x^{n}\geqslant y^{n}\geqslant 0$ ”成立，后者要求证明在条件 $x\geqslant y\geqslant 0$ 下对任何自然数都有 $x^{n}\geqslant y^{n}\geqslant 0$ .

我们可以用归纳法直接证明对所有自然数都有上述蕴涵关系. 归纳基始：对自然数0，显然 $x^{0}=y^{0}=1$ ，即显然有 $x^{0}\geqslant y^{0}\geqslant 0$ ，所以蕴涵关系“如果 $x\geqslant y\geqslant 0$ 那么 $x^{n}\geqslant y^{n}\geqslant 0$ ”为真. 这就完成了归纳基始. 归纳步骤：假设对自然数n，有蕴涵关系“如果 $x\geqslant y\geqslant 0$ 那么 $x^{n}\geqslant y^{n}\geqslant 0$ ”；那么对自然数n+1，如果 $x\geqslant y\geqslant 0$ ，由归纳假设我们知道有 $x^{n}\geqslant y^{n}\geqslant 0$ ，故 $x^{n+1}=x^{n}x\geqslant y^{n}x\geqslant y^{n}y=y^{n+1}\geqslant 0$ (要证明此不等式，可以先证明对比例数 $a\geqslant 0,b\geqslant 0$ ，有 $ab\geqslant 0$ ). 这就完成了归纳. 我们归纳证明了对所有自然数都有上述蕴涵关系.

也可以用反证法，假设存在自然数n使得蕴涵关系不成立，即有 $x\geqslant y\geqslant 0$ 但 $x^{n}<y^{n}\text{or}y^{n}<0$ ，然后证明这不可能. 上面(b)的第一部分就是这样的思路.

再来证明所有自然数n>0，有蕴涵关系“如果 $x>y\geqslant 0$ 那么 $x^{n}>y^{n}\geqslant 0$ ”. 这次我们不直接用归纳法证明蕴涵关系. 我们先假设 $x>y\geqslant 0$ . 对自然数1来说，有 $x^{1}=x>y=y^{1}\geqslant 0$ ，即 $x^{1}>y^{1}\geqslant 0$ . 假设 $x^{n}>y^{n}\geqslant 0$ ，那么 $x^{n+1}=x^{n}x>y^{n}x\geqslant y^{n}y=y^{n+1}\geqslant 0$ ，即 $x^{n+1}>y^{n+1}\geqslant 0$ . 这样我们就证明了如果 $x>y\geqslant 0$ ，那么对所有自然数n>0有 $x^{n+1}>y^{n+1}\geqslant 0$ . 现在对任意自然数m>0，如果 $x>y\geqslant 0$ ，由上“如果 $x>y\geqslant 0$ ，那么对所有自然数n>0有 $x^{n+1}>y^{n+1}\geqslant 0$ .”知对自然数m有 $x^{m+1}>y^{m+1}\geqslant 0$ . 这就是要证明的.

(d)归纳基始：对自然数0， $|x^{0}|=|1|=1=|x|^{0}$ . 归纳步骤：归纳假设 $|x^{n}|=|x|^{n}$ ，那么 $|x^{n+1}|=|x^{n}x|=|x^{n}||x|=|x|^{n}|x|=|x|^{n+1}$ . 这就完成了归纳.

4.3.4 证明：首先证明几个命题.

命题1.设x为非零比例数. 若a,b为自然数且 $a\geqslant b$ ，那么 $\frac{x^{a}}{x^{b}}=x^{a-b}$ .

证明：由于 $a\geqslant b$ ，则 $a-b\geqslant 0$ ，即 $a-b$ 是自然数. 所以有 $x^{a-b}x^{b}=x^{(a-b)+b}=x^{a}$ . $\frac{x^{a}}{x^{b}}=x^{a}(x^{b})^{-1}=x^{a-b}x^{b}(x^{b})^{-1}=x^{a-b}$ .

命题2.设x,y为非零比例数. 则有 $(\frac{x}{y})^{-1}=\frac{y}{x}$ .

证明： $\frac{y}{x}\times\frac{x}{y}=(y(x)^{-1})\times(x(y)^{-1})=1$ . 故 $(\frac{x}{y})^{-1}=\frac{y}{x}$ .

命题3.对于非零比例数a，对所有自然数m有 $(\frac{1}{a})^{m}=\frac{1}{a^{m}}$ .

证明：归纳基始：对自然数0，有 $(\frac{1}{a})^{0}=1=\frac{1}{1}=\frac{1}{a^{0}}$ . 归纳步骤：归纳假设有 $(\frac{1}{a})^{m}=\frac{1}{a^{m}}$ ，那么 $(\frac{1}{a})^{m+1}=(\frac{1}{a})^{m}\frac{1}{a}=\frac{1}{a^{m}}\frac{1}{a}=(a^{m})^{-1}a^{-1}=(\frac{a^{m+1}}{a})^{-1}a^{-1}=\frac{a}{a^{m+1}}a^{-1}=\frac{1}{a^{m+1}}$ . 这就完成了归纳.

(a)当n,m为自然数时，我们已经在习题4.3.3证明了结论. 故只需要考虑n或m为负整数时等式是否成立.

(a1)当n为自然数而m为负整数时，记 $m:=-m'$ (m’为正自然数).

$x^{n}x^{m}=x^{n}x^{-m'}=x^{n}\frac{1}{x^{m'}}=x^{n}(1\times(x^{m'})^{-1})=x^{n}(x^{m'})^{-1}=\frac{x^{n}}{x^{m'}}$ .

若 $n\geqslant m'$ ，由上面命题1知 $x^{n}x^{m}=\frac{x^{n}}{x^{m'}}=x^{n-m'}=x^{n+m}$ .

若 $n<m'$ ，即有 $m'\geqslant n$ ，由上面命题2知 $x^{n}x^{m}=\frac{x^{n}}{x^{m'}}=(\frac{x^{m'}}{x^{n}})^{-1}=(x^{m'-n})^{-1}=\frac{1}{x^{m'-n}}=x^{-(m'-n)}=x^{n-m'}=x^{n+m}$ .

综上，我们证明了当n为自然数而m为负整数时有 $x^{n}x^{m}=x^{n+m}$ .

当n为负整数而m为自然数时，由比例数负整数次幂的指数运算的定义我们知道其仍为比例数，所以满足比例数的代数算律，故 $x^{n}x^{m}=x^{m}x^{n}$ ，由上(a1)论证有 $x^{n}x^{m}=x^{m}x^{n}=x^{m+n}=x^{n+m}$ .

当n,m均为负整数时，记 $n:=-n',m:=-m'$ .

$\frac{x^{n'}x^{m'}}{x^{m'}}=\frac{x^{n'+m'}}{x^{m'}}=x^{n'+m'-m'}=x^{n'}$ ，故 $(\frac{x^{n'}x^{m'}}{x^{m'}})^{-1}=(x^{n'})^{-1}$ ，即 $\frac{x^{m'}}{x^{n'}x^{m'}}=\frac{1}{x^{n'}}$ .

$x^{n}x^{m}=x^{-n'}x^{-m'}=\frac{1}{x^{n'}}\frac{1}{x^{m'}}=\frac{1}{x^{n'}}(x^{m'})^{-1}=\frac{x^{m'}}{x^{n'}x^{m'}}(x^{m'})^{-1}=(x^{m'}(x^{n'+m'})^{-1})(x^{m'})^{-1}=(x^{n'+m'})^{-1}=x^{-(n'+m')}=x^{n+m}$ .

综上，对非零比例数x和整数n,m，我们总有 $x^{n}x^{m}=x^{n+m}$ .

(a2)当n为自然数而m为负整数时，记 $m:=-m'$ (m’为正自然数).

$(x^{n})^{m}=(x^{n})^{-m'}=\frac{1}{(x^{n})^{m'}}=\frac{1}{x^{nm'}}=x^{-nm'}=x^{nm}$ .

当n为负整数而m为自然数时，记 $n:=-n'$ (n’为正自然数). 由上面已证命题3知 $(x^{n})^{m}=(x^{-n'})^{m}=(\frac{1}{x^{n'}})^{m}=\frac{1^{m}}{(x^{n'})^{m}}=\frac{1}{x^{n'm}}=x^{-n'm}=x^{nm}$ .

当n,m均为负整数时，记 $n:=-n',m:=-m'$ .

$(x^{n})^{m}=(x^{-n'})^{-m'}=\frac{1}{(\frac{1}{x^{n'}})^{m'}}=\frac{1}{\frac{1}{x^{n'm'}}}=((x^{n'm'})^{-1})^{-1}=x^{n'm'}=x^{nm}$ .

综上我们证明了对非零比例数x和整数n,m，我们总有 $(x^{n})^{m}=x^{nm}$ .

(a3)当n为负整数时，记 $n:=-n'$ (n’为正自然数).

$(xy)^{n}=(xy)^{-n'}=\frac{1}{(xy)^{n'}}=((xy)^{n'})^{-1}=((xy)^{n'})^{-1}(y^{n'}(y^{n'})^{-1})=(y^{n'}((xy)^{n'})^{-1})(y^{n'})^{-1}=\frac{y^{n'}}{(xy)^{n'}}(y^{n'})^{-1}=(\frac{x^{n'}y^{n'}}{y^{n'}})^{-1}(y^{n'})^{-1}=(x^{n'}y^{n'}(y^{n'})^{-1})^{-1}(y^{n'})^{-1}=(x^{n'})^{-1}(y^{n'})^{-1}=\frac{1}{x^{n'}}\frac{1}{y^{n'}}=x^{-n'}y^{-n'}=x^{n}y^{n}$

这就完成了证明.

(b)我们已经在习题4.3.3(c)中证明了题目的前一部分，现在只需要证当n为负整数时题目的结论成立. 记 $n:=-n'$ (n’为正自然数).

已知 $x>y\geqslant 0$ (由于x,y为不为0的比例数，所以 $x>y>0$ .)，那么对所有自然数m有 $x^{m}>y^{m}\geqslant 0$ ，故对自然数n’有 $x^{n'}>y^{n'}\geqslant 0$ . 由于x,y为正的比例数，容易用归纳法证明有 $y^{n'}>0$ ，故 $x^{n'}>y^{n'}>0$ . 即 $x^{n'},y^{n'}$ 均为正比例数. 记 $x^{n'}:=\frac{a}{b},y^{n'}:=\frac{c}{d}$ (其中a,b,c,d均为正整数)，由 $x^{n'}>y^{n'}>0$ 即知 $\frac{a}{b}>\frac{c}{d}>0$ . 由 $bd>0$ (即bd为正整数)知 $\frac{a}{b}bd>\frac{c}{d}bd>0$ ，即 $\frac{abd}{b}>\frac{cbd}{d}>0$ ，即 $ad>cb>0$ . 再由 $\frac{1}{ac}$ 为正比例数得 $ad\frac{1}{ac}>cb\frac{1}{ac}>0$ ，即 $\frac{ad}{ac}>\frac{cb}{ac}>0$ ，即 $\frac{d}{c}>\frac{b}{a}>0$ ，即 $(y^{n'})^{-1}>(x^{n'})^{-1}>0$ ，即 $\frac{1}{y^{n'}}>\frac{1}{x^{n'}}>0$ ，即 $y^{n}>x^{n}\geqslant 0$ .

(c)我们不用归纳法证明此事，转而用习题4.3.4(b)已证明的结论. 已知 $x,y>0$ ，由命题4.2.9(比例数序的三歧性)我们知有 $x>y\text{or}y>x\text{or}x=y$ ；已知 $n\neq 0$ ，由引理4.1.5(整数的三歧性)知n为正整数或为负整数. 如果 $x>y>0$ 并且n为正整数，由习题4.3.4(b)知 $x^{n}>y^{n}$ ，这与条件 $x^{n}=y^{n}$ 相矛盾，故这种情况不会出现，或者说我们要证的命题是空真的成立的；同理可知不会出现 $y>x>0$ 并且n为正整数并且 $x^{n}=y^{n}$ 的情况；如果 $x>y>0$ 并且n为负整数，由习题4.3.4(b)知 $x^{n}<y^{n}$ ，这与条件 $x^{n}=y^{n}$ 相矛盾，故这种情况不会出现；同理可证不会出现 $y>x>0$ 并且n为负整数并且 $x^{n}=y^{n}$ 的情况；综合，我们只剩下“ $y=x>0$ 并且n为正整数并且 $x^{n}=y^{n}$ ”和“ $y=x>0$ 并且n为负整数并且 $x^{n}=y^{n}$ ”的两种情况未讨论，但两种情况下由前提知都有“ $y=x$ ”，这就是要证的.

(d)习题4.3.3(d)已证当n为自然数时有 $|x^{n}|=|x|^{n}$ . 当n为负整数时，记 $n:=-n'$ (n’为正自然数).

$|x^{n}|=|x^{-n'}|=|\frac{1}{x^{n'}}|=|(\frac{1}{x})^{n'}|=|\frac{1}{x}|^{n'}=(|\frac{1}{x}|(|x||x|^{-1}))^{n'}=((|\frac{1}{x}||x|)|x|^{-1})^{n'}=((|\frac{1}{x}x|)|x|^{-1})^{n'}=(|x|^{-1})^{n'}=(\frac{1}{|x|})^{n'}=\frac{1^{n'}}{|x|^{n'}}=\frac{1}{|x|^{n'}}=|x|^{-n'}=|x|^{n}$

综上，对任意比例数x和整数n我们有 $|x^{n}|=|x|^{n}$ .

4.3.5 证明： $2^{0}=1$ ，现归纳假设对自然数n有 $2^{n}\geqslant 1$ ，那么 $2^{n+1}=2^{n}\times 2\geqslant 2^{n}\geqslant 1$ . 这样我们就证明了对所有自然数n都有 $2^{n}\geqslant 1$ .

归纳基始——对自然数0有 $2^{0}=1>0$ . 归纳步骤——假设对自然数n有 $2^{n}>n$ ，那么 $2^{n+1}=2^{n}\times 2=2^{n}+2^{n}\geqslant 2^{n}+1>n+1$ . 这样就完成了归纳，对所有自然数n有 $2^{n}>n$ . 所以对所有正整数n都有 $2^{n}>n$ .

文内补充

1.比例数的绝对值满足代入公理. 即对比例数x,y，如果 $x=y$ 那么 $|x|=|y|$ .

证明：对比例数x，由比例数的三歧性知道其为等于零、等于正比例数、等于负比例数三者之一. 如果 $x=0$ ，则有 $x=y=0$ ，由比例数绝对值的定义我们知 $|x|=0=|y|$ ；如果x为正的，由比例数正的定义我们知有 $x=\frac{a}{b}$ (a,b均为正整数)，故有 $x=y=\frac{a}{b}$ ，再由比例数正的定义我们知道y也是正的，由比例数绝对值的定义我们知 $|x|=x=y=|y|$ ；同理可证当x为负的时仍有 $|x|=|y|$ .

综上，我们有对比例数x,y，如果 $x=y$ 那么 $|x|=|y|$ .

2.比例数的距离定义满足代入公理，因为其定义是比例数由绝对值和减法来定义的，而后两者都满足代入公理.

3. $\varepsilon$ -接近性的概念是满足代入公理的，因为其定义用到了比例数的距离和序的定义，而后两者是满足代入公理的.

4.比例数的自然数次幂指数运算的结果仍是比例数.

证明：对任意比例数x， $x^0=1$ ，所以 $x^0$ 是比例数. 假设 $x^n$ 是比例数，那么 $x^{n+1}=x^nx$ 是比例数(因为两个比例数的积仍是比例数). 这就完成了归纳.

5.比例数的自然数次幂指数运算是满足代入公理的. 即对比例数x,y和自然数a,b，如果 $x=y$ 那么 $x^a=y^a$ ；如果 $a=b$ 那么 $x^a=x^b$ .

证明：对自然数0， $x^0=1=y^0$ . 归纳假设 $x^a=y^a$ ，那么 $x^{a+1}=x^aa=y^aa=y^{a+1}$ . 这就完成了归纳：如果 $x=y$ 那么 $x^a=y^a$ .

对后一个命题的证明有些细节理解上的困难，因为此命题涉及到自然数的相等. 自然数的公理化定义(Peano公理)没有定义自然数的相等，在公理化的自然数上说两个自然数a,b相等说的就是它们是同一个自然数. 这样代入公理对自然数是显然成立而无需证明的，或者说是无法证明的. 因为相等的概念未曾定义. 所以要从自然数的构造性定义出手，比如从集合论出发来构造自然数，那么自然数相等的概念就是集合相等的概念.

证明：证明是些许无聊的，因为集合及其相等的概念更像是逻辑上概念而不是数学上概念，我们说两个集合相等的时候就认为这两个集合是一样的(无差别的)，虽然两集合的数学表达式可以不一样. 所以把自然数看作集合，自然数的相等看作集合之间的相等时，由此验证代入公理更像是多此一举. 用归纳法，只要我们注意到空集只有一个，在逻辑上空集只有一个.

6.比例数的负整数次幂指数运算是满足代入公理的. 即对比例数x,y和负整数a,b，如果 $x=y$ 那么 $x^a=y^a$ ；如果 $a=b$ 那么 $x^a=x^b$ . 这是由比例数的自然数次幂指数运算满足代入公理所保证的. 综上，比例数的整数次幂运算(不管是指数部分还是底数)是满足代入公理的.

《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§4.3解答

习题4.3

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