《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§4.2解答

习题4.2

4.2.1 证明：设a,b,c,d,e,f是整数且b和d和f不是零. 自反性：由命题4.1.6知 $ab=ba$ ，故由定义4.2.1比例数的相等知 $a//b=a//b$ .

对称性：设 $a//b=c//d$ ，由定义4.2.1中比例数相等定义知有 $ad=bc$ ，由命题4.1.6知 $da=ad=bc=cb$ ，再由整数相等满足的对称性知 $cb=da$ ，定义4.2.1知 $c//d=a//b$ .

传递性：设 $a//b=c//d$ 且 $c//d=e//f$ ，由定义4.2.1知 $ad=bc$ 且 $cf=de$ . 由于 $ad=bc$ ，两边同时乘以f得到 $adf=bcf$ ，则有整数代数算律知 $afd=adf=bcf=bde=bed$ ，由推论4.1.9知 $af=be$ ，由定义4.2.1知 $a//b=e//f$ .

4.2.2 证明：设a,b,a’,b’,c,d,c’,d’是整数(b,b’,d,d’不是零)且 $a//b=a'//b'$ 且 $c//d=c'//d'$ . 现需证 $\left(a//b\right)\times\left(c//d\right)=\left(a'//b'\right)\times\left(c//d\right)$ . 由定义4.2.2知要证 $ac//bd=a'c//b'd$ ，由定义4.2.1知要证 $acb'd=bda'c$ ，由整数的算律和推论4.1.9只需证 $ab'=ba'$ ，而这是 $a//b=a'//b'$ 所保证的. 同理可证 $\left(a//b\right)\times\left(c//d\right)=\left(a//b\right)\times\left(c'//d'\right)$ . 所以比例数的乘法是定义成功的.

先要证 $-\left(a//b\right)=-\left(a'//b'\right)$ ，由定义4.2.2知需证 $\left(-a\right)//b=\left(-a'\right)//b'$ ，由定义4.2.1知需证 $\left(-a\right)\times b'=b\times\left(-a'\right)$ ，由整数的算律和整数的负运算是成功定义的知只需证 $ab'=ba'$ ，这是 $a//b=a'//b'$ 所保证的. 所以比例数的负运算是定义成功的.

4.2.3 证明：设 $x:=a//b$ ， $y:=c//d$ ， $z:=e//f$ (a,c,e为整数且b,d,f为非零整数).

(a) $x+y=a//b+c//d=\left(ad+bc\right)//\left(bd\right)$ .

$y+x=c//d+a//b=\left(cb+da\right)//\left(db\right)$ .

由整数的代数算律知 $\left(ad+bc\right)\times db= bd\times\left(cb+da\right)$ ，所以 $\left(ad+bc\right)//\left(bd\right)=\left(cb+da\right)//\left(db\right)$ ，故 $x+y=y+x$ .

(b)由(a)知 $x+0=0+x$ ，所以只需证 $x+0=x$ . $x+0=\left(a//b\right)+\left(0//1\right)=\left(a\times 1+b\times 0\right)//\left(b\times 1\right)=a//b=x$ .

故 $x+0=0+x=x$ .

(c)由(a)知 $x+\left(-x\right)=\left(-x\right)+x$ ，所以只需证 $x+\left(-x\right)=0$ . $x+\left(-x\right)=\left(a//b\right)+\left(\left(-a\right)//b\right)=\left(ab+b\left(-a\right)\right)//\left(b\times b\right)=0//1=0$ .

故 $x+\left(-x\right)=\left(-x\right)+x=0$ .

(d) $xy=\left(a//b\right)\times\left(c//d\right)=\left(ac\right)//\left(bd\right)$ .

$yx=\left(c//d\right)\times\left(a//b\right)=\left(ca\right)//\left(db\right)$ .

由于 $\left(ac\right)\times\left(db\right)=\left(bd\right)\times\left(ca\right)$ , 故 $xy=yx$ .

(e)由(d)知 $x1=1x$ ，所以只需证 $x1=x$ . $x1=\left(a//b\right)\times\left(1//1\right)=a//b=x$ .

故 $x1=1x=x$ .

(f)由(d)知 $xx^{-1}=x^{-1}x$ ，所以只需证 $xx^{-1}=1$ . $xx^{-1}=\left(a//b\right)\times\left(b//a\right)=\left(ab\right)//\left(ba\right)=1//1=1$ .

故 $xx^{-1}=x^{-1}x=1$ .

(g) $\left(xy\right)z=\left(\left(a//b\right)\times\left(c//d\right)\right)\times\left(e//f\right)=\left(ace\right)//\left(bdf\right)$ .

$x\left(yz\right)=\left(a//b\right)\times\left(\left(c//d\right)\times\left(e//f\right)\right)=\left(ace\right)//\left(bdf\right)$ .

故 $\left(xy\right)z=x\left(yz\right)$ .

(h) $x\left(y+z\right)=\left(a//b\right)\times\left(\left(c//d\right)+\left(e//f\right)\right)=\left(a\left(cf+de\right)\right)//\left(bdf\right)$ .

$xy+xz=\left(a//b\right)\times\left(c//d\right)+\left(a//b\right)\times\left(e//f\right)=\left(acbf+bdae\right)//\left(bdbf\right)$ .

由整数的代数算律知 $\left(a\left(cf+de\right)\right)\times\left(bdbf\right)=\left(bdf\right)\times\left(acbf+bdae\right)$ . 故 $x\left(y+z\right)=xy+xz$ .

(i)由(d)以及(h)知 $\left(y+z\right)x=yx+zx$ .

4.2.4 证明：设 $x:=a//b$ (其中a为整数，b为非零整数). 由引理4.1.5知：a为正自然数、零和负整数三者之一；b为正自然数和负整数两者之一.

若 $a=0$ ，由于 $0\times 1=b\times 0=0$ ，由定义4.2.1知 $a//b=0//b=0//1=0$ . 此时 $a//b$ 等于0.

若a,b均为正自然数(即正整数)，由定义4.2.6知此时 $a//b$ 为正的比例数. 若a为负整数而b为正整数，由定义4.2.6知此时 $a//b$ 为负的比例数. 若a为正整数而b为负整数，令 $b:=-m$ (m为正整数)，故 $a//b=a//\left(-m\right)=\left(-a\right)//m$ ，由定义4.2.6知此时 $a//b$ 为负的比例数. 若a,b均为负整数，令 $a:=-m$ 和 $b:=-n$ (m,n为正整数)，由定义4.2.6知此时 $a//b=\left(-m\right)//\left(-n\right)=m//n$ 为正的比例数.

综上我们证明了引理4.2.7中三命题至少有一个成立.

现在来证明三者至多一个成立. 比例数如果等于0又是正的，说明存在正整数a,b使得0=a//b，由定义4.2.1知有 $0=a$ ，这与a为正整数相矛盾，所以比例数不可能等于0又是正的；同理可证比例数不可能等于0又是负的；比例数如果是正的又是负的，说明存在正整数a,b,c,d使得 $a//b=\left(-c\right)//d$ ，由定义4.2.1知 $ad=-bc$ ，即 $ad+bc=0$ ，由推论2.2.9知 $ad=bc=0$ ，再由引理2.3.3知这不可能，因为a,b,c,d均为正自然数.

综上，我们证明了比例数的三歧性.

4.2.5 证明：(a)令 $z:=x-y$ ，由比例数的减法是定义成功的知道z也是比例数，由引理4.2.7知z是0、正比例数和负比例数三者之一. 若z等于0，即 $x-y=0$ ，故 $x=y$ ；若z为正比例数，即x-y为正比例数，由定义4.2.8知 $x>y$ ；若z为负比例数，即x-y为负比例数，由定义4.2.8知 $x<y$ . 这样我们就证明了三个命题中至少有一个成立.

现在证三命题至多有一个成立. 令 $z:=x-y$ ，若 $x=y$ 且 $x>y$ ，则 $x-y=0$ 且 $x-y$ 为正的比例数，即z等于0又是正的比例数，由命题4.2.7(比例数的三歧性)知这不可能. 同理可证 $x=y$ 且 $x<y$ 不可能， $x>y$ 且 $x<y$ 不可能.

这样我们就证明了比例数序的三歧性.

(b)若 $x<y$ ，则x-y为负的比例数，不妨记为 $x-y:=\frac{-m}{n}$ (m,n为正整数). 两边同时乘以比例数-1，得 $y-x=\frac{m}{n}$ ，即y-x为正的比例数，由定义4.2.8知 $y>x$ . 同理可证如果 $y>x$ 则 $x<y$ . 所以 $y>x$ 和 $x<y$ 是等价的陈述.

(c)设 $a:=\frac{-m_{1}}{n_{1}}$ ， $b:=\frac{-m_{2}}{n_{2}}$ ( $m_{1},n_{1},m_{2},n_{2}$ 均为正整数). 故 $a+b=\frac{-m_{1}}{n_{1}}+\frac{-m_{2}}{n_{2}}=\frac{-\left(m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2}\right)}{n_{1}n_{2}}$ . 由于 $m_{1},n_{1},m_{2},m_{2}$ 均为正整数，由引理2.3.3所以 $n_{1}n_{2},m_{1}n_{2},n_{1}m_{2}$ 均为正整数，由推论2.2.9所以 $m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2}$ 也是正整数，所以由定义4.2.6知 $a+b$ 为负整数. 这样我们就证明了两负整数的和仍是负整数. 如果 $x<y$ 且 $y<z$ ，则 $x-y,y-z$ 是负整数，所以 $\left(x-y\right)+\left(y-z\right)=x-z$ 是负整数，由定义4.2.8知 $x<z$ .

(d) $\left(x+z\right)-\left(y+z\right)=x-y$ ，由于 $x<y$ ，所以 $x-y$ 是负整数，故 $\left(x+z\right)-\left(y+z\right)$ 是负整数，由定义4.2.8知 $x+z<y+z$ .

(e)如果 $x<y$ ，由(b)知 $y>x$ ，由定义4.2.8知 $y-x$ 是正比例数，设 $y-x:=\frac{m}{n},z:=\frac{p}{q}$ (m,n,p,q均为正整数)，则 $yz-xz=\left(y-x\right)z=\frac{m}{n}\times\frac{p}{q}=\frac{mp}{nq}$ ，由引理2.3.3知 $mp,nq$ 均为正整数，由定义4.2.6知 $yz-xz=\frac{mp}{nq}$ 是正比例数，由定义4.2.8知 $yz>xz$ ，再由(b)知 $xz<yz$ .