《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§4.1解答

习题4.1

4.1.1 证明：设a,b,c,d是自然数. 自反性：由于 $a+b=a+b$ (可参考加法定义的合理性和唯一性证明)，故 $a\raisebox{0.05mm}{-----}b=a\raisebox{0.05mm}{-----}b$ .

对称性：设 $a\raisebox{0.05mm}{-----}b=c\raisebox{0.05mm}{-----}d$ ，由定义4.1.1中整数相等定义知有 $a+d=c+b$ ，由自然数相等遵从的四条公理中的对称公理知有 $c+b=a+d$ ，再由定义4.1.1知 $c\raisebox{0.05mm}{-----}d=a\raisebox{0.05mm}{-----}b$ .

4.1.2 证明：由 $a\raisebox{0.05mm}{-----}b=a'\raisebox{0.05mm}{-----}b'$ 和定义4.1.1知 $a+b'=a'+b$ ，由加法交换律知有 $b'+a=b+a'$ ，再由定义4.1.1知 $b'\raisebox{0.05mm}{-----}a'=b\raisebox{0.05mm}{-----}a$ ，由负运算定义4.1.4知 $-\left(a'\raisebox{0.05mm}{-----}b'\right)=-\left(a\raisebox{0.05mm}{-----}b\right)$ ，即 $-\left(a\raisebox{0.05mm}{-----}b\right)=-\left(a'\raisebox{0.05mm}{-----}b'\right)$ .

4.1.3 证明：设 $a:=n\raisebox{0.05mm}{-----}m$ ，其中n,m为自然数. 则 $\left(-1\right)\times a=\left[-\left(1\raisebox{0.05mm}{-----}0\right)\right]\times \left(n\raisebox{0.05mm}{-----}m\right)=\left(0\raisebox{0.05mm}{-----}1\right)\times \left(n\raisebox{0.05mm}{-----}m\right)=m\raisebox{0.05mm}{-----}n=-a$ .

4.1.4 证明：令 $x:=a\raisebox{0.05mm}{-----}b$ ， $x:=c\raisebox{0.05mm}{-----}d$ ， $x:=e\raisebox{0.05mm}{-----}f$ . 其中a,b,c,d,e,f均为自然数.

(1) $x+y=\left(a\raisebox{0.05mm}{-----}b\right)+\left(c\raisebox{0.05mm}{-----}d\right)=\left(a+c\right)\raisebox{0.05mm}{-----}\left(b+d\right)=\left(c+a\right)\raisebox{0.05mm}{-----}\left(d+b\right)$ .

$y+x=\left(c\raisebox{0.05mm}{-----}d\right)+\left(a\raisebox{0.05mm}{-----}b\right)=\left(c+a\right)\raisebox{0.05mm}{-----}\left(d+b\right)$ .

综上，有 $x+y=y+x$ .

(2)由 $x+y=y+x$ 知 $x+0=0+x$ ，故只需证 $x+0=x$ . $x+0=\left(a\raisebox{0.05mm}{-----}b\right)+\left(0\raisebox{0.05mm}{-----}0\right)=\left(a\raisebox{0.05mm}{-----}b\right)=x$ . 故 $x+0=0+x=x$ .

(3)由 $x+y=y+x$ 知 $x+\left(-x\right)=\left(-x\right)+x$ ，故只需证 $x+\left(-x\right)=0$ . $x+\left(-x\right)=\left(a\raisebox{0.05mm}{-----}b\right)+\left(b\raisebox{0.05mm}{-----}a\right)=\left(a+b\right)\raisebox{0.05mm}{-----}\left(b+a\right)=0\raisebox{0.05mm}{-----}0=0$ .

综上有 $x+\left(-x\right)=\left(-x\right)+x=0$ .

(4) $x+\left(y+z\right)=\left(a\raisebox{0.05mm}{-----}b\right)+\left(\left(c\raisebox{0.05mm}{-----}d\right)+\left(e\raisebox{0.05mm}{-----}f\right)\right)=\left(a+c+e\right)\raisebox{0.05mm}{-----}\left(b+d+f\right)$ .

$\left(x+y\right)+z=\left(\left(a\raisebox{0.05mm}{-----}b\right)+\left(c\raisebox{0.05mm}{-----}d\right)\right)+\left(e\raisebox{0.05mm}{-----}f\right)=\left(a+c+e\right)\raisebox{0.05mm}{-----}\left(b+d+f\right)$ .

综上， $\left(x+y\right)+z=x+\left(y+z\right)$ .

(5) $xy=\left(a\raisebox{0.05mm}{-----}b\right)\times\left(c\raisebox{0.05mm}{-----}d\right)=\left(ac+bd\right)\raisebox{0.05mm}{-----}\left(ad+bc\right)$ .

$yx=\left(c\raisebox{0.05mm}{-----}d\right)\times\left(a\raisebox{0.05mm}{-----}b\right)=\left(ca+db\right)\raisebox{0.05mm}{-----}\left(cb+da\right)$ .

由于 $\left(ac+bd\right)\raisebox{0.05mm}{-----}\left(ad+bc\right)=\left(ca+db\right)\raisebox{0.05mm}{-----}\left(cb+da\right)$ ，显然 $xy=yx$ .

(6)由于 $xy=yx$ ，则有 $x1=1x$ ，故只需证 $x1=x$ . $x1=\left(a\raisebox{0.05mm}{-----}b\right)\times\left(1\raisebox{0.05mm}{-----}0\right)=\left(a\raisebox{0.05mm}{-----}b\right)=x$ ，故 $x1=1x=x$ .

(7) $x\left(y+z\right)=\left(a\raisebox{0.05mm}{-----}b\right)\times\left(\left(c\raisebox{0.05mm}{-----}d\right)+\left(e\raisebox{0.05mm}{-----}f\right)\right)=\left(a\times\left(c+e\right)+b\times\left(d+f\right)\right)\raisebox{0.05mm}{-----}\left(a\times\left(d+f\right)+b\times\left(c+e\right)\right)$ .

$xy+xz=\left(a\raisebox{0.05mm}{-----}b\right)\times\left(c\raisebox{0.05mm}{-----}d\right)+\left(a\raisebox{0.05mm}{-----}b\right)\times\left(e\raisebox{0.05mm}{-----}f\right)=\left(\left(ac+bd\right)+\left(ae+bf\right)\right)\raisebox{0.05mm}{-----}\left(\left(ad+bc\right)+\left(af+be\right)\right)$ .

由自然数命题2.3.4(分配率)和加法交换律和加法结合律可知有 $\left(a\times\left(c+e\right)+b\times\left(d+f\right)\right)\raisebox{0.05mm}{-----}\left(a\times\left(d+f\right)+b\times\left(c+e\right)\right)=\left(\left(ac+bd\right)+\left(ae+bf\right)\right)\raisebox{0.05mm}{-----}\left(\left(ad+bc\right)+\left(af+be\right)\right)$ .

综上有 $x\left(y+z\right)=xy+xz$ .

(8)由已证 $xy=yx$ 以及 $x\left(y+z\right)=xy+xz$ 知 $\left(y+z\right)x=x\left(y+z\right)=xy+xz=yx+zx$ .

4.1.5 证明：若a,b为自然数且 $ab=0$ ，由引理2.3.3知a,b中至少有一个为零. 由引理4.1.5知a,b可为负整数，即a:=-c且b:=-d(c,d均为正自然数). $ab=\left(-c\right)\times\left(-d\right)=\left(\left(-1\right)\times c\right)\times\left(\left(-1\right)\times d\right)=\left(-1\right)\times\left(-1\right)\times cd=cd=0$ ，再由引理2.3.3知c,d至少一个为零，这与c,d均为正自然数相矛盾，故此情况不会出现. 又由引理4.1.5知可a为自然数b为负整数，即 $ab=a\times\left(-d\right)=\left(-1\right)\times ad=0\raisebox{0.05mm}{-----}ad=0$ ，即ad=0，由引理知a,d中至少一个为零，故a,b中至少一个为零. 当b为自然数a为负整数同理可证.

综上，命题成立.

证明二：设 $a:=i\raisebox{0.05mm}{-----}j$ ， $b:=k\raisebox{0.05mm}{-----}l$ (其中i,j,k,l均为自然数).

$ab=\left(i\raisebox{0.05mm}{-----}j\right)\times\left(k\raisebox{0.05mm}{-----}l\right)=\left(ik+jl\right)\raisebox{0.05mm}{-----}\left(il+jk\right)=0=0\raisebox{0.05mm}{-----}0$ ，故 $ik+jl=il+jk$ ，等式两边同时减去 $il+jl$ 得 $ik-il=jk-jl$ ，即 $i\left(k-l\right)=j\left(k-l\right)$ .

现考虑k和l的序. 若 $k=l$ ，显然 $b=k-l=0$ ，故 $i\left(k-l\right)=j\left(k-l\right)$ 显然成立. 若 $k>l$ ，即 $k=l+u$ (u为正自然数)，故 $k-l=u$ ，所以k-l为正自然数，再由推论2.3.7可知 $i=j$ ，故 $a=0$ 且 $b\neq0$ . 若 $k<l$ ，同理可证 $a=0$ 且 $b\neq0$ .

综上，a,b中至少有一个为零.

4.1.6 证明：由整数及其加、乘、负、减运算的定义我们易知其运算结果仍是整数，即整数系对加、减、乘、负运算是封闭的. 现已知 $ac=bc$ ，两边同时减去bc得 $ac-bc=0$ ，即 $\left(a-b\right)c=0$ ，由c不为0和命题4.1.8知 $a-b=0$ ，即 $a=b$ .

证明二：当c为正自然数时. 若a,b均为自然数，由推论2.3.7知 $a=b$ . 若a,b中一个为自然数一个为负整数，不失一般性设 $a:=-m$ (m为正自然数)，由 $ac=bc$ 得 $-mc=bc$ ，即 $\left(b+m\right)c=0$ ，由推论2.3.3知 $b+m=0$ ，故 $b=-m=a$ . 若a,b均为负整数数，设 $a:=-m$ 且 $b:=-n$ (m,n为正自然数)，由 $ac=bc$ 得 $-mc=-nc$ ，即 $mc=nc$ ，由推论2.3.7知 $m=n$ ，故 $-m=-n$ ，即 $a=b$ .

同理可证当c为负整数时亦有 $a=b$ .

4.1.7 证明：(a)由 $a>b$ 和定义4.1.10知对某自然数m有 $a=b+m$ 且 $a\neq b$ . 假若 $m=0$ ，则 $a=b$ ，这与 $a\neq b$ 相矛盾，故 $m\neq 0$ . 再由 $a=b+m$ 知 $a-b=m\neq 0$ ，所以a-b为正自然数.

若a-b为正自然数，设 $a-b:=m$ (m为某正自然数)，故有 $a=b+m$ ，由定义4.1.10知 $a\geqslant b$ . 若 $a=b$ ，由 $a=b+m$ 可推出 $m=0$ ，这与m为正自然数矛盾，故 $a\neq b$ ，再由定义4.1.10和 $a\geqslant b$ 知 $a>b$ .

(b)若 $a>b$ ，由定义4.1.10知对某自然数m有 $a=b+m$ 且 $a\neq b$ . 则有 $a+c=\left(b+c\right)+m$ 且 $a+c\neq b+c$ . 再由定义4.1.10知 $a+c>b+c$ .

(c)若 $a>b$ ，由定义4.1.10知对某自然数m有 $a=b+m$ 且 $a\neq b$ . 则有 $ac=bc+mc$ 且 $ac\neq bc$ . 再由定义4.1.10知 $ac>bc$ .

(d)若 $a>b$ ，由习题4.1.7(b)知 $a+\left(-a-b\right)>b+\left(-a-b\right)$ ，即 $-b>-a$ ，由定义4.1.10知 $-a<-b$ .

(e)若 $a>b$ 和 $b>c$ ，由由定义4.1.10知对某自然数m,n有 $a=b+m$ 且 $a\neq b$ 和 $b=c+n$ 且 $b\neq c$ . 由此得 $a=b+m=\left(c+n\right)+m=c+\left(n+m\right)$ ，由定义4.1.10知 $a\geqslant c$ . 假若 $a=c$ ，由 $a=c+\left(n+m\right)$ 和命题2.2.6知 $n+m=0$ ，再由推论2.2.9知 $n=m=0$ ，此时 $a=b$ 且 $b=c$ ，与 $a\neq b$ 和 $b\neq c$ 都矛盾，故 $a\neq c$ ，再由定义4.1.10 $a\geqslant c$ 和知 $a>c$ .

(f)首先证明三者至多一个成立. 由定义4.1.10知 $a>b$ 和 $a=b$ 不能同时成立；同理可证 $a<b$ 和 $a=b$ 不能同时成立；若 $a>b$ 且 $a<b$ ，由定义4.1.10知存在自然数m,n使得 $a=b+m$ 和 $b=a+n$ 和 $a\neq b$ ，则 $a=b+m=\left(a+n\right)+m=a+\left(n+m\right)$ ，由命题2.2.6知 $n+m=0$ ，再由推论2.2.9知 $n=m=0$ ，此时 $a=b$ ，与 $a\neq b$ 相矛盾，所以 $a>b$ 且 $a<b$ 不成立. 综上我们证明了三命题至多有一个成立.

再证明三者至少一个成立. 对整数a,b，我们知道a-b也是整数，由引理4.1.5知a-b为0，为正自然数或为负整数三者之一，且只能是三者中一个. 若 $a-b=0$ ，则 $a=b$ ；若 $a-b$ 为正自然数，由习题4.1.7(a)知 $a>b$ ；若 $a-b$ 为负整数，则 $-\left(a-b\right)=\left(-a\right)-\left(-b\right)$ 为正自然数，由习题4.1.7(a)知 $-a>-b$ ，由习题4.1.7(d)知 $a<b$ . 综上，至少一个命题成立.

4.1.8 证明：性质P(n)为——n+1为自然数.

文内补充

1.同构.

详见汪芳庭《数学基础》第五章5.2节——同构与同态.

2.整数的排序. 定义4.1.10定义了整数的顺序，其“ $a\geqslant b$ ”的定义不是使用“ $a>b$ 或 $a=b$ ”，而是“存在某自然数c，使得 $a=b+c$ ”. 我们来证明两种定义的等价性.

若知道 $a>b$ 或 $a=b$ . 如果 $a=b$ ，由定义4.1.10知 $a\geqslant b$ ；若 $a>b$ ，由定义4.1.10中“严格大于”的定义知有 $a\geqslant b$ .

若知道 $a\geqslant b$ ，由定义4.1.10知存在某自然数c，使得 $a=b+c$ . 如果自然数 $c=0$ ，则 $a=b+c=b+0=b$ ，即 $a=b$ ；如果 $c\ne 0$ ，假若 $a=b$ ，由 $a=b+c$ 知 $c=0$ ，这与 $c\ne 0$ 矛盾，所以 $a\neq b$ . 再由 $a\geqslant b$ 和定义4.1.10知 $a>b$ . 综上由 $a\geqslant b$ 可知 $a>b$ 或 $a=b$ .