《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§3.2解答

习题3.2

3.2.1 证明：假如公理3.8成立. 这里要注意的是P(x)可能是良好构成的命题，或者是病态构成的. 对于良好构成的命题，其不是真的就是假的，不会出现两者都是或者两者都不是的情况；而对病态构成的命题，我们不认为其是真的也不认为其是假的，即我们不考虑其真假，甚至说，我们根本不考虑这种命题. 于是公理3.8说的P(x)是只考虑良好构成的命题. 比如对于复数1+i，其是一个数学对象，显然是一个对象. 但命题P(x)为“x>2”对于1+i是病态的，即“1+i>2”是病态的，在公理3.8中我们不考虑性质P(x):“x>2”. 即公理3.8中说的性质P是对所有对象x是合理的，其对所有的对象x构成的命题P(x)是良好构成的，所以通常其为蕴涵式.

性质P(x)可规定为：x不是对象. 那么对每个对象y，P(y)都是假的，进而由公理3.8知 $y\in\{x : P(x)\text{ is true}\}$ 也是假的，即 $y\notin\{x : P(x)\text{ is true}\}$ . 这样就构造了一个不含任何元素的集合，所以公理3.2成立.

性质P(x)可规定为： $x=a$ (其中a为某个对象). 那么对每个对象y，如果 $y=a$ ，则P(y)是真的，进而由公理3.8知 $y\in\{x : P(x)\text{ is true}\}$ 也是真的；如果 $y\in\{x : P(x)\text{ is true}\}$ ，由公理3.8知P(y)是真的，进而有 $y=a$ . 综上，对每个对象y， $y\in\{x : P(x)\text{ is true}\}$ 当且仅当 $y=a$ . 这样就构造了一个只含元素a的集合，所以公理3.3中单元素集成立.

性质P(x)可规定为： $x=a\text{ or }x=b$ (其中a,b为某对象). 那么对每个对象y，如果 $y=a$ 或者 $y=b$ ，则P(y)是真的，进而由公理3.8知 $y\in\{x : P(x)\text{ is true}\}$ 也是真的；如果 $y\in\{x : P(x)\text{ is true}\}$ ，由公理3.8知P(y)是真的，进而有 $y=a$ 或者 $y=b$ . 综上，对每个对象y， $y\in\{x : P(x)\text{ is true}\}$ 当且仅当 $y=a$ 或者 $y=b$ . 这样就构造了一个只含元素a,b的集合，所以公理3.3中双元素集成立.

性质P(x)可规定为： $x\in A\text{ or }x\in B$ (其中A,B为某集合). 那么对每个对象y，如果 $y\in A$ 或者 $y\in B$ ，则P(y)是真的，进而由公理3.8知 $y\in\{x : P(x)\text{ is true}\}$ 也是真的；如果 $y\in\{x : P(x)\text{ is true}\}$ ，由公理3.8知P(y)是真的，进而有 $y\in A$ 或者 $y\in B$ . 综上，对每个对象y， $y\in\{x : P(x)\text{ is true}\}$ 当且仅当 $y\in A$ 或者 $y\in B$ . 这样就构造了一个由属于A或属于B或同时属于两者的一切元素组成的集合，所以公理3.4成立.

性质P(x)可规定为： $x\in A\text{ and }if \ x\in A\ then\ Q(x)$ (其中A为某集合，Q为关于A中对象x的性质). 那么对每个对象y，如果“ $y\in A$ 并且 $Q(y)$ ”，那么“ $y\in A$ 并且有如果 $y\in A$ 那么 $Q(y)$ ”，则P(y)是真的，进而由公理3.8知 $y\in\{x : P(x)\text{ is true}\}$ 也是真的；如果 $y\in\{x : P(x)\text{ is true}\}$ ，由公理3.8知P(y)是真的，进而有“ $y\in A$ 并且如果 $y\in A$ 那么 $Q(y)$ ”，进一步有“ $y\in A$ 并且 $Q(y)$ ”. 综上，对每个对象y， $y\in\{x : P(x)\text{ is true}\}$ 当且仅当 $y\in A$ 并且 $Q(y)$ . 这样就构造了一个恰由A中使Q(x)成立的元素组成的集合，所以公理3.5成立. 注意我们规定性质P时考虑了其对每个对象x都可以考虑P(x)的真假.

性质P(x)可规定为： $Q(y,x)\ is\ true\ for\ some\ y\in A$ (其中A为某集合；Q为关于A中对象y和任意对象x的性质，并且对每个对象 $y\in A$ 至多有一个x使得Q(y,x)成立). 那么对每个对象z，如果“对于某 $x\in A$ 有 $Q(x,z)$ ”，则P(z)是真的，进而由公理3.8知 $z\in\{x : P(x)\text{ is true}\}$ 也是真的；如果 $z\in\{x : P(x)\text{ is true}\}$ ，由公理3.8知P(z)是真的，进而有“对于某 $y\in A$ 有 $Q(y,z)$ ”. 综上，对每个对象z， $z\in\{x : P(x)\text{ is true}\}$ 当且仅当对于某 $x\in A$ 有 $Q(x,z)$ . 所以公理3.6成立.

由于我们假定一切(由PA定义的)自然数都是对象，所以性质P(x)可规定为：x为(由PA定义的)自然数. 此时由公理3.8得到的集合就是自然数集合. 所以公理3.7成立. 或者我们可以把性质P(x)可规定为：

$x=0\ or\ \text{there's an natural number y definded by PA such that}\ y++=x$ . 此时由公理3.8得到的集合也是自然数集合.

3.2.2 证明：若A是集合，由公理3.1和公理3.3(单点集公理)知存在集合{A}，{A}的唯一元素为A . 即有 $A\in\left\{A\right\}$ 且 $\left\{A\right\}\ne\oslash$ .

现假设 $A\in A$ ，又知 $A\in\left\{A\right\}$ ，所以 $A\cap\left\{A\right\}\ne\oslash$ ，至少其含有元素A. 我们还可以证明其只含有元素A，即 $A\cap\left\{A\right\}=\left\{A\right\}$ . 由正则性公理知，若{A}是非空集，则{A}含有的集合元素A是与{A}不交的集合，即 $A\cap\left\{A\right\}=\oslash$ . 所以在承认正则公理的基础上不可能有 $A\in A$ ，否则得到矛盾.

若A和B是集合，由公理3.1知A和B也是对象，A和B在“属于”关系上有四种情况：a: $A\in B\text{and}B\in A$ ，b: $A\in B\text{and}B\notin A$ ，c: $A\notin B\text{and}B\in A$ ，d: $A\notin B\text{and}B\notin A$ .

若 $A\in B\text{and}B\in A$ ，由公理3.3中双元素集知存在集合{A,B}，其元素只有两个，即A和B，即 $A\in\left\{A,B\right\}$ 且 $B\in\left\{A,B\right\}$ . 再由 $A\in B$ 知 $B\cap\left\{A,B\right\}\ne\oslash$ ，至少其含有对象A. 但是由上面得到的结论：对任何集合S都有 $S\notin S$ 可证 $B\cap\left\{A,B\right\}=\left\{A\right\}$ . 同理可证 $A\cap\left\{A,B\right\}=\left\{B\right\}$ . 由正则性公理可知对集合{A,B}，应有 $B\cap\left\{A,B\right\}=\oslash$ 或 $A\cap\left\{A,B\right\}=\oslash$ . 所以情况a不成立，只能是情况b,c,d中的一种，即或者 $A\notin B$ 或者 $B\notin A$ .

3.2.3 证明：若万有分类公理成立，我们可以令P为关于任意对象x都恒真的性质（比如“ $x=x$ ”或者“x是对象”）. 则对任何对象x，有 $x\in\{x : P(x)\text{ is true}\}$ ，故此时 $\{x : P(x)\text{ is true}\}$ 是“万有集合” $\Omega$ .

若存在“万有集合” $\Omega$ ，由分类公理（公理3.5）知存在集合 $\{x\in\Omega : P(x)\text{ is true}\}$ ，进一步我们容易证明集合 $\{x\in\Omega : P(x)\text{ is true}\}$ 和集合 $\{x : P(x)\text{ is true}\}$ 相等. 这就说明公理3.8成立.

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