《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§3.1解答

习题3.1

3.1.1 证明：自反性——对集合A来说，任何对象x要么有 $x\in A$ ，要么有 $x\notin A$ . 不会出现两者都不成立或两者都成立的情况. 所以对于集合A中的任何对象x，其必定属于A. 由定义3.1.4知有 $A=A$ .

对称性——假设 $A=B$ ，由定义3.1.4知A中每个对象都是B的对象且B中每个对象都是A的对象，也即B中每个对象都是A的对象且A中每个对象都是B的对象. 由定义3.1.4知 $B=A$ .

传递性——假设 $A=B$ 且 $B=C$ ，由 $A=B$ 和定义3.1.4知对A的每个对象x都是B中的对象，同理由 $B=C$ 和定义3.1.4知对B的对象x也是C的对象；用类似的论述于C中的任意对象y知y也是A的对象. 则有 $x\in A\Longleftrightarrow x\in C$ 成立. 由定义3.1.4知 $A=C$ .

3.1.2 证明：例3.1.10部分已证 $\emptyset\ne\left\{\emptyset\right\}$ (见文内补充部分)，同理可证 $\emptyset\ne\left\{\left\{\emptyset\right\}\right\}$ . 由公理3.3和 $\emptyset=\emptyset$ 知 $\emptyset\in\left\{\emptyset,\left\{\emptyset\right\}\right\}$ ，由公理3.2知 $\emptyset\notin\emptyset$ ，所以 $\emptyset\ne\left\{\emptyset, \left\{\emptyset\right\}\right\}$ .

由于 $\emptyset\ne\left\{\emptyset\right\}$ 和 $\emptyset\in\left\{\emptyset\right\}$ ，由公理3.3知 $\left\{\emptyset\right\}\ne\left\{\left\{\emptyset\right\}\right\}$ ，同理可证 $\left\{\emptyset\right\}\ne\left\{\emptyset,\left\{\emptyset\right\}\right\}$ 和 $\left\{\left\{\emptyset\right\}\right\}\ne\left\{\emptyset,\left\{\emptyset\right\}\right\}$ .

3.1.3 证明：对一切对象x有 $x\in \left\{a\right\}\cup\left\{b\right\}$ 时，由公理3.4知有 $x\in\left\{a\right\}$ 或 $x\in\left\{b\right\}$ . 若 $x\in\left\{a\right\}$ ，由公理3.3知有 $x=a$ ，即有 $x=a$ 或者 $x=b$ ；同理可证若 $x\in\left\{b\right\}$ 则有 $x=a$ 或者 $x=b$ . 这样无论何种情况都有 $x=a$ 或者 $x=b$ ，由公理3.3知 $x\in \left\{a,b\right\}$ . 对一切对象y有 $y\in \left\{a,b\right\}$ 时，由公理3.3知有 $y=a$ 或者 $y=b$ . 若 $y=a$ ，由公理3.3知 $y\in\left\{a\right\}$ ，进而有 $y\in\left\{a\right\}$ 或 $y\in\left\{b\right\}$ ；同理可证若 $x=b$ 时也有 $y\in\left\{a\right\}$ 或 $y\in\left\{b\right\}$ . 由公理3.4知 $y\in \left\{a\right\}\cup\left\{b\right\}$ . 综上由定义3.1.4知 $\left\{a\right\}\cup\left\{b\right\}=\left\{a,b\right\}$ .

对 $A\cup B$ 中的每个对象x有 $x\in A\cup B$ ，由公理3.4知有 $x\in A$ 或 $x\in B$ ，即 $x\in B$ 或 $x\in A$ ，由公理3.4知 $x\in B\cup A$ ；同理可证 $B\cup A$ 中每个对象都是 $A\cup B$ 中的对象. 综上，由定义3.1.4知 $A\cup B=B\cup A$ .

对于一切对象x陈述“ $x\in A$ 或 $x\in A$ ”和“ $x\in A$ 或 $x\in \emptyset$ ( $x\in \emptyset$ 永远假)”以及“ $x\in A$ ”是等价的，所以 $A\cup A=A\cup \emptyset=A$ .

3.1.4 证明：由 $A\subseteq B$ 知集合A的每个对象都是集合B中的对象，由 $B\subseteq A$ 知集合B的每个对象都是集合A中的对象. 由定义3.1.4知 $A=B$ . 如果认为这个证明太简略，可以用反证法证明；或者对A是否是空集进行分类讨论证明(后面对于集合相等的定义的讨论说明可以不考虑A是空集的情况，因为此时B必定也是空集，必有 $A=\emptyset=B$ ).

由 $A\subsetneq B$ 我们知 $A\subseteq B$ ，再由 $B\subsetneq C$ 知 $B\subseteq C$ ，由例3.1.18中证明有 $A\subseteq C$ . 若 $A=C$ ，由 $B\subseteq C$ 和代入公理知 $B\subseteq A$ ，再由习题3.1.4上面的证明知 $A=B$ ，而这与 $A\subsetneq B$ 矛盾，所以 $A\ne C$ . 综上，我们有 $A\subsetneq C$ .

3.1.5 证明：已知 $A\subseteq B$ ，即集合A中的任何对象都是集合B中的对象. 现证 $A\cup B=B$ . 对任何对象x，若 $x\in B$ ，则有 $x\in B$ 或者 $x\in A$ ，由公理3.4知 $x\in A\cup B$ ，即 $B\subseteq A\cup B$ ，当集合B为空集时，上述论证的前提变为空的，但是仍有 $B\subseteq A\cup B$ (见文内补充部分)，因为空集是任何集合的子集. 对于任何对象y，若 $y\in A\cup B$ ，由公理3.4知 $y\in A$ 或 $y\in B$ . 若 $y\in A$ ，由 $A\subseteq B$ 知 $y\in B$ ；若 $y\in B$ ，则显然有 $y\in B$ . 由此，总有 $y\in B$ ，所以 $A\cup B\subseteq B$ . 当 $A\cup B$ 为空集时，上述论证的前提变为空的(易用反证法证明集合A和B都是空集)，但是仍然有 $A\cup B\subseteq B$ . 由 $B\subseteq A\cup B$ 和 $A\cup B\subseteq B$ 以及习题3.1.4的证明，我们知道 $A\cup B=B$ . 故 $A\subseteq B\Longrightarrow A\cup B=B$ .

已知 $A\cup B=B$ ，我们来证 $A\subseteq B$ . 当A是空集时，结论是显然的. 当A不是空集时，对任何对象x，如果 $x\in A$ ，则有 $x\in A$ 或 $x\in B$ ，由公理3.4知 $x\in A\cup B$ . 由 $A\cup B=B$ 和定义3.1.4知有 $x\in B$ ，所以由定义3.1.15知 $A\subseteq B$ ，故 $A\cup B=B\Longrightarrow A\subseteq B$ .

综上，我们有 $A\cup B=B\Longleftrightarrow A\subseteq B$ .

已知 $A\subseteq B$ ，即集合A中的任何对象都是集合B中的对象. 现证 $A\cap B=A$ . 对任何对象x，若 $x\in A$ ，由 $A\subseteq B$ 知此时 $x\in B$ . 则同时有 $x\in A$ 和 $x\in B$ ，由定义3.1.23知 $x\in A\cap B$ ，由定义3.1.15知 $A \subseteq A\cap B$ . 当A为空集时，上述论证的前提变为空的，但仍有 $A \subseteq A\cap B$ . 对任何对象y，若 $y\in A\cap B$ ，由定义3.1.23知必有 $y\in A$ ，由定义3.1.15知 $A\cap B\subseteq A$ . 当 $A\cap B$ 为空集时，仍有 $A\cap B\subseteq A$ . 由 $A \subseteq A\cap B$ 和 $A\cap B\subseteq A$ 知 $A\cap B=A$ ，故 $A\subseteq B\Longrightarrow A\cap B=A$ .

已知 $A\cap B=A$ ，我们来证 $A\subseteq B$ . 当A是空集时，结论是显然的. 当A不是空集时，对任何对象x，如果 $x\in A$ ，由 $A\cap B=A$ 和定义3.1.4知 $x\in A\cap B$ ，再由定义3.1.23知 $x\in B$ ，由此由定义3.1.15知 $A\subseteq B$ . 故 $A\cap B=A\Longrightarrow A\subseteq B$ .

综上，有 $A\cap B=A\Longleftrightarrow A\subseteq B$ .

最后，由 $A\cup B=B\Longleftrightarrow A\subseteq B$ 和 $A\cap B=A\Longleftrightarrow A\subseteq B$ 我们知道 $A\subseteq B$ 和 $A\cup B=B$ 和 $A\cap B=A$ 是等价的.

3.1.6 证明：

(a)当A为空集时，用反证法可以证明 $A\cup\emptyset=A$ . 假若 $\emptyset\cup\emptyset$ 不是空集，由引理3.1.6知存在对象x使得 $x\in\emptyset\cup\emptyset$ ，由公理3.4知有 $x\in\emptyset$ 或 $x\in\emptyset$ ，由公理3.2知“ $x\in\emptyset$ ”是假的，所以 $x\in\emptyset$ 或 $x\in\emptyset$ 不可能成立，所以 $\emptyset\cup\emptyset$ 是空集. 这就证明了当A为空集时 $A\cup\emptyset=A$ 成立.

当A不是空集时，易证 $A\cup\emptyset$ 也不是空集. 对任何对象x，如果 $x\in A$ ，则有 $x\in A$ 或者 $x\in\emptyset$ (虽然这恒为假)，由公理3.4知 $x\in A\cup\emptyset$ ，所以 $A\subseteq A\cup\emptyset$ . 对任何对象y，如果 $y\in A\cup\emptyset$ ，由公理3.4知 $y\in A$ 或者 $y\in\emptyset$ ，由公理3.2知 $y\in\emptyset$ 恒假，所以只有 $y\in A$ ，这样由定义3.1.15知 $A\cup\emptyset\subseteq A$ .综上有 $A\cup\emptyset=A$ .

其实只有第二部分A不是空集的证明也可以，因为第二部分证明了当A不是空集时有 $A\cup\emptyset=A$ . 当A是空集时， $A\cup\emptyset$ 也必是空集. 假若 $A\cup\emptyset$ 不是空集，易证A 不是空集，这就出现了矛盾.

对于 $A\cap\emptyset=\emptyset$ ，我们只需证明 $A\cap\emptyset$ 是空集即可. 假设 $A\cap\emptyset$ 不是空集，由引理3.1.6和定义3.1.23知存在对象x使得 $x\in A$ 且 $x\in\emptyset$ . 由公理2.2知 $x\in\emptyset$ 是假的，所以 $x\in A$ 且 $x\in\emptyset$ 是假的，所以不存在这样的对象x，所以 $A\cap\emptyset$ 是空集.

也可以这样证明：首先证明 $\emptyset\cap\emptyset=\emptyset$ ，可以用反证法证明 $\emptyset\cap\emptyset$ 是空集，也可用定义3.1.4中相等的定义，我们用后者. 对任何对象x，如果 $x\notin\emptyset$ ，则 $x\notin\emptyset$ 或 $x\notin\emptyset$ . 由逆否命题知如果 $x\in\emptyset$ 且 $x\in\emptyset$ ，则 $x\in\emptyset$ . 这就证明了 $x\in\emptyset\cap\emptyset\Longrightarrow x\in\emptyset$ (也可以直接用联结词“且”说明这个蕴涵关系，接下来的证明就是这样). 如果 $x\in\emptyset$ ，则有 $x\in\emptyset$ 且 $x\in\emptyset$ ，由定义3.1.23知 $x\in\emptyset\cap\emptyset$ ，所以我们证明了 $x\in\emptyset\Longrightarrow x\in\emptyset\cap\emptyset$ (证明这个蕴涵关系没有用到其逆否命题，而是用到了联结词“且”的语义)，综上，我们证明了 $x\in\emptyset\Longleftrightarrow x\in\emptyset\cap\emptyset$ ，由定义3.1.4知 $\emptyset\cap\emptyset=\emptyset$ .

当A不是空集时，对任何对象x，如果 $x\in A\cap\emptyset$ ，由定义3.1.23知 $x\in A$ 且 $x\in\emptyset$ ，所以 $x\in\emptyset$ ，即 $x\in A\cap\emptyset\Longrightarrow x\in\emptyset$ . 对任何对象y，如果 $y\notin A\cap\emptyset$ ，由定义3.1.23知有 $y\notin A$ 或 $y\notin \emptyset$ . 在这两种情况下都有 $y\notin \emptyset$ ，于是我们证明了 $y\notin A\cap\emptyset\Longrightarrow y\notin \emptyset$ ，由其逆否命题知 $y\in \emptyset\Longrightarrow y\in A\cap\emptyset$ . 综上，我们证明了 $x\in A\cap\emptyset\Longleftrightarrow x\in\emptyset$ . 由定义3.1.4我们知道 $A\cap\emptyset=\emptyset$ . 最后，有 $A\cap\emptyset=\emptyset$ .

(b)已知 $A\subseteq X$ ，由习题3.1.5知 $A\cup X=X$ 以及 $A\cap X=A$ .

(c)由习题3.1.6(b)知 $A\cup A=A$ 以及 $A\cap A=A$ .

(d) $A\cup B=B\cup A$ 的证明详见习题3.1.3部分，现在只证 $A\cap B=B\cap A$ . 当 $A\cap B\ne\emptyset$ 时，对任何对象x，如果 $x\in A\cap B$ ，由定义3.1.23知 $x\in A$ 且 $x\in B$ ，即有 $x\in B$ 且 $x\in A$ ，再由定义3.1.23知 $x\in B\cap A$ ，所以 $B\cap A\ne\emptyset$ ，并且由定义3.1.15知 $A\cap B\subseteq B\cap A$ . 同理可证 $B\cap A\subseteq A\cap B$ . 所以 $A\cap B=B\cap A$ .

当 $A\cap B=\emptyset$ 时，由反证法和上面的论述知 $B\cap A=\emptyset$ ，所以仍有 $A\cap B=B\cap A$ .

(e)引理3.1.13的部分证明已证明 $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$ ，由于此部分的证明已论证了当 $(A\cup B)\cup C\ne\emptyset$ 或 $A\cup(B\cup C)\ne\emptyset$ 时，都有 $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$ . 所以当 $(A\cup B)\cup C=\emptyset$ 我们可以知道 $A\cup(B\cup C)=\emptyset$ ，否则可推出矛盾，也就仍有 $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$ . 而当 $A\cup(B\cup C)=\emptyset$ 时同理也知 $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$ . 无论如何都有 $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$ .

现在我们来证 $(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$ . 当 $(A\cap B)\cap C\ne\emptyset$ 时，由定义3.1.23知对任何对象x，如果 $x\in (A\cap B)\cap C$ ，则( $x\in A$ 且 $x\in B$ )且 $x\in C$ ，即有 $x\in A$ 且( $x\in B$ 且 $x\in C$ )，再由定义3.1.23知 $x\in A\cap(B\cap C)$ ，所以 $A\cap(B\cap C)\ne\emptyset$ 并且由定义3.1.15知 $(A\cap B)\cap C\subseteq A\cap(B\cap C)$ . 同理可证 $A\cap(B\cap C)\subseteq (A\cap B)\cap C$ . 所以 $(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$ .

当 $(A\cap B)\cap C=\emptyset$ 时，假若 $A\cap(B\cap C)\ne\emptyset$ ，由引理3.1.6知存在对象x使得 $x\in A\cap(B\cap C)$ ，由定义3.1.23知 $x\in A$ 且( $x\in B$ 且 $x\in C$ )，即有( $x\in A$ 且 $x\in B$ )且 $x\in C$ ，再由定义3.1.23知 $x\in (A\cap B)\cap C$ ，这与 $(A\cap B)\cap C=\emptyset$ 矛盾，所以 $A\cap(B\cap C)=\emptyset$ ，则此时仍有 $(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$ .

综上，有 $(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$ .

(f)当 $A\cap(B\cup C)\ne\emptyset$ 时，对任何对象x，若 $x\in A\cap(B\cup C)$ ，由定义3.1.23和公理3.4知有 $x\in A$ 且( $x\in B$ 或者 $x\in C$ )，即有( $x\in A$ 且 $x\in B$ )或者( $x\in A$ 且 $x\in C$ )，由定义3.1.23和公理3.4知 $x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)$ ，所以 $(A\cap B)\cup(A\cap C)\ne\emptyset$ 并且由定义3.1.15知 $A\cap(B\cup C)\subseteq(A\cap B)\cup(A\cap C)$ . 同理可证 $(A\cap B)\cup(A\cap C)\subseteq A\cap(B\cup C)$ ，所以有 $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ .

当 $A\cap(B\cup C)=\emptyset$ 时，假设 $(A\cap B)\cup(A\cap C)\ne\emptyset$ ，由引理3.1.6知存在对象x使得 $x\in (A\cap B)\cup(A\cap C)$ ，由公理3.4和定义3.1.23知( $x\in A$ 且 $x\in B$ )或者( $x\in A$ 且 $x\in C$ ). 若 $x\in A$ 且 $x\in B$ ，则有 $x\in A$ 且 $x\in B\cup C$ ，即 $x\in A\cap(B\cup C)$ ；同理若 $x\in A$ 且 $x\in C$ ，仍有 $x\in A\cap(B\cup C)$ . 所以 $A\cap(B\cup C)$ 不是空集，这与前提矛盾，所以 $(A\cap B)\cup(A\cap C)=\emptyset$ ，即仍有 $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ .

综上，我们有 $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ .

当 $A\cup(B\cap C)\ne\emptyset$ 时，对任何对象x，若 $x\in A\cup(B\cap C)$ ，由定义3.1.23和公理3.4知有 $x\in A$ 或( $x\in B$ 且 $x\in C$ ). 若 $x\in A$ ，由公理3.4 $x\in A\cup B$ 且 $x\in A\cup C$ ，由定义3.1.23知 $x\in (A\cup B)\cap(A\cup C)$ ；若 $x\in B$ 且 $x\in C$ ，由公理3.4知 $x\in A\cup B$ 且 $x\in A\cup C$ ，由定义3.1.23知 $x\in (A\cup B)\cap(A\cup C)$ . 这样无论在何种情况下都有 $x\in (A\cup B)\cap(A\cup C)$ ，由定义3.1.15知 $A\cup(B\cap C)\subseteq (A\cup B)\cap(A\cup C)$ . 此时 $(A\cup B)\cap(A\cup C)$ 不是空集，对任何对象y，如果 $y\in (A\cup B)\cap(A\cup C)$ ，由定义3.1.23和公理3.4知有( $y\in A$ 或 $y\in B$ )且( $y\in A$ 或 $y\in C$ )，即( $y\in A$ 且 $y\in A$ )或( $y\in A$ 且 $y\in C$ )或( $y\in B$ 且 $y\in A$ )或( $y\in B$ 且 $y\in C$ )，这四种情况无论哪种都有 $y\in A\cup(B\cap C)$ ，由定义3.1.15知 $(A\cup B)\cap(A\cup C)\subseteq A\cup(B\cap C)$ . 综上有 $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$ .

当 $A\cup(B\cap C)=\emptyset$ 时，假设 $(A\cup B)\cap(A\cup C)\ne\emptyset$ ，由上面的论证知 $A\cup(B\cap C)$ 不是空集，出现矛盾，所以 $(A\cup B)\cap(A\cup C)=\emptyset$ ，即此时仍有 $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$ .

综上，有 $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$ .

(g)已知 $A\subseteq X$ ，由习题3.1.5则有 $A\cap X=A$ . 假如X不是空集，对任何对象x，如果 $x\in X$ ，那么x可以分为两种：一种为 $x\in A$ ，另一种为 $x\notin A$ . 即为 $x\in X$ 且 $x\in A$ 或为 $x\in X$ 且 $x\notin A$ . 由定义3.1.23和定义3.1.27知 $x\in X\cap A$ 或为 $x\in X\backslash A$ . 由公理3.4知 $x\in (X\cap A)\cup(X\backslash A)$ ，而 $(X\cap A)\cup(X\backslash A)=A\cup(X\backslash A)$ ，所以 $x\in A\cup(X\backslash A)$ ，由此我们知 $A\cup(X\backslash A)\ne\emptyset$ 并且由定义3.1.15知 $X\subseteq A\cup(X\backslash A)$ . 对任意对象y，如果 $y\in A\cup(X\backslash A)$ ，由公理3.4知 $y\in A$ 或 $y\in X\backslash A$ ，但无论哪种情况都有 $y\in X$ ，所以由定义3.1.15知 $A\cup(X\backslash A)\subseteq X$ . 由此有 $A\cup(X\backslash A)=X$ .

当X为空集时，由命题3.1.28(a)知 $A=A\cap X=\emptyset$ ，说明A也是空集，再由命题3.1.28(a)和反证法知 $A\cup(X\backslash A)=X\backslash A=\emptyset\backslash\emptyset=\emptyset$ ，所以此时仍然有 $A\cup(X\backslash A)=X$ .

简而言之，我们有 $X=(X\backslash A)\cup(X\cap A)=(X\backslash A)\cup A$ . 综上，有 $A\cup(X\backslash A)=X$ .

对于 $A\cap(X\backslash A)=\emptyset$ ，只需要证明 $A\cap(X\backslash A)$ 是空集即可. 假设 $A\cap(X\backslash A)$ 不是空集，由引理3.1.6知存在对象x使得 $x\in A\cap(X\backslash A)$ ，由定义3.1.23和定义3.1.27知 $x\in A$ 且( $x\in X$ 且 $x\notin A$ )，这显然是矛盾的，所以不存在这样的对象x，所以 $A\cap(X\backslash A)$ 是空集.

(h)假设 $X\backslash(A\cup B)\ne\emptyset$ . 对任何对象x，如果 $x\in X\backslash(A\cup B)$ ，由定义3.1.27知有 $x\in X$ 且 $x\notin (A\cup B)$ ，由公理3.4知即 $x\in X$ 且( $x\notin A$ 且 $x\notin B$ )，所以有 $x\in X$ 且 $x\notin A$ 同时 $x\in X$ 且 $x\notin B$ ，由定义3.1.27和定义3.1.23知有 $x\in (X\backslash A)\cap(X\backslash B)$ ，所以 $(X\backslash A)\cap(X\backslash B)$ 不是空集并且有 $X\backslash(A\cup B)\subseteq(X\backslash A)\cap(X\backslash B)$ . 同理可证 $(X\backslash A)\cap(X\backslash B)\subseteq X\backslash(A\cup B)$ . 所以 $X\backslash(A\cup B)=(X\backslash A)\cap(X\backslash B)$ .

当 $X\backslash(A\cup B)=\emptyset$ ，用反证法可证此时 $(X\backslash A)\cap(X\backslash B)=\emptyset$ ，所以仍有 $X\backslash(A\cup B)=(X\backslash A)\cap(X\backslash B)$ .

综上，有 $X\backslash(A\cup B)=(X\backslash A)\cap(X\backslash B)$ .

假设 $X\backslash(A\cap B)\ne\emptyset$ . 对任何对象x，如果 $x\in X\backslash(A\cap B)$ ，由定义3.1.27知有 $x\in X$ 且 $x\notin (A\cap B)$ ，由定义3.1.23知即 $x\in X$ 且( $x\notin A$ 或 $x\notin B$ )，所以有( $x\in X$ 且 $x\notin A$ )或者( $x\in X$ 且 $x\notin B$ )，由定义3.1.27和公理3.4知有 $x\in (X\backslash A)\cup(X\backslash B)$ ，所以 $(X\backslash A)\cup(X\backslash B)$ 不是空集并且有 $X\backslash(A\cap B)\subseteq(X\backslash A)\cup(X\backslash B)$ . 同理可证 $(X\backslash A)\cup(X\backslash B)\subseteq X\backslash(A\cap B)$ . 所以 $X\backslash(A\cap B)=(X\backslash A)\cup(X\backslash B)$ .

当 $X\backslash(A\cap B)=\emptyset$ ，用反证法可证此时 $(X\backslash A)\cup(X\backslash B)=\emptyset$ ，所以仍有 $X\backslash(A\cap B)=(X\backslash A)\cup(X\backslash B)$ .

综上，有 $X\backslash(A\cap B)=(X\backslash A)\cup(X\backslash B)$ .

3.1.7 证明：当 $A\cap B=\emptyset$ ，显然有 $A\cap B\subseteq A$ 且 $A\cap B\subseteq B$ .

当 $A\cap B\ne\emptyset$ 时，对任何对象x，如果 $x\in A\cap B$ ，由定义3.1.23知有 $x\in A$ 且 $x\in B$ ，由定义3.1.15知仍有 $A\cap B\subseteq A$ 且 $A\cap B\subseteq B$ .

现在来证明 $(C\subseteq A)\land(C\subseteq B)\Longleftrightarrow C\subseteq A\cap B$ . 当 $C=\emptyset$ 时，上述逻辑等价关系是显然成立的，我们接下来考虑 $C\ne\emptyset$ 时的情况.

对任何对象x，如果 $x\in C$ ，由 $C\subseteq A$ 且 $C\subseteq B$ 和定义3.1.15知有 $x\in A$ 且 $x\in B$ ，由定义3.1.23和定义3.1.15知 $C\subseteq A\cap B$ . 对任何对象y，如果 $y\in C$ ，由 $C\subseteq A\cap B$ 和定义3.1.15知 $y\in A\cap B$ ，由定义3.1.23和定义3.1.15知 $C\subseteq A$ 且 $C\subseteq B$ .

综上，我们证明了 $(C\subseteq A)\land(C\subseteq B)\Longleftrightarrow C\subseteq A\cap B$ .

当A或B为空集时，由命题3.1.28中已证结论显然有 $A\subseteq A\cup B$ 且 $B\subseteq A\cup B$ . 当A和B都不是空集时，由公理3.4显然有 $A\subseteq A\cup B$ 且 $B\subseteq A\cup B$ . 这样我们就证明了 $A\subseteq A\cup B$ 且 $B\subseteq A\cup B$ .

现在来证明 $(A\subseteq C)\land(B\subseteq C)\Longleftrightarrow A\cup B\subseteq C$ . 当A或B为空集时，由命题3.1.28容易验证 $(A\subseteq C)\land(B\subseteq C)\Longrightarrow A\cup B\subseteq C$ . 当A且B都不是空集时，对任何对象x，如果 $x\in A\cup B$ ，由公理3.4知 $x\in A$ 或者 $x\in B$ ，由 $A\subseteq C$ 且 $B\subseteq C$ 和定义3.1.15知无论是 $x\in A$ 或者是 $x\in B$ ，我们都有 $x\in C$ ，由定义3.1.15知 $A\cup B\subseteq C$ . 这样我们就证明了 $(A\subseteq C)\land(B\subseteq C)\Longrightarrow A\cup B\subseteq C$ .

对 $A\subseteq A\cup B$ 且 $B\subseteq A\cup B$ 以及 $A\cup B\subseteq C$ ，由命题3.1.18知 $A\subseteq C$ 且 $B\subseteq C$ .这样就证明了 $A\cup B\subseteq C\Longrightarrow(A\subseteq C)\land(B\subseteq C)$ .

综上，我们有 $(A\subseteq C)\land(B\subseteq C)\Longleftrightarrow A\cup B\subseteq C$ .

3.1.8 证明：由命题3.1.28(f)和(c)知 $A\cap(A\cup B)=(A\cap A)\cup(A\cap B)=A\cup(A\cap B)$ ，所以只要证明 $A\cup(A\cap B)=A$ ，那么另外一个吸收律也自动成立. 由习题3.1.7知有 $A\subseteq A\cup(A\cap B)$ . 所以只需要证明 $A\cup(A\cap B)\subseteq A$ . 当 $A\cup(A\cap B)\ne\emptyset$ 由公理3.4和定义3.1.23知这是显然的；当 $A\cup(A\cap B)=\emptyset$ 时由 $A\subseteq A\cup(A\cap B)$ 和反证法知道A是空集，由命题3.1.28知仍有 $A\cup(A\cap B)\subseteq A$ . 所以两个吸收律都成立.

3.1.9 证明：由题设和定义3.1.4我们容易证明 $A=(A\cap B)\cup(A\backslash B)=\emptyset\cup(A\backslash B)=A\backslash B$ .

根据定义3.1.4我们还容易证明 $(A\cup B)\backslash C=(A\backslash C)\cup(B\backslash C)$ .

所以 $X\backslash B=(A\cup B)\backslash B=(A\backslash B)\cup(B\backslash B)=A\backslash B=A$ . 同理可证 $X\backslash A=B$ .

第二种证明方法是直接根据定义3.1.4证明 $X\backslash A=B$ 和 $X\backslash B=A$ . 证明过程的思路一样.

3.1.10 证明：我们首先证明 $A\cup B=(A\backslash B)\cup B$ . 当 $A\cup B\ne\emptyset$ 时，对任何对象x，如果 $x\in A\cup B$ ，由公理知有 $x\in A$ 或 $x\in B$ . 如果 $x\in A$ ，那么x可以分为两种：一种为 $x\in B$ ，另一种为 $x\notin B$ . 即为( $x\in A$ 且 $x\in B$ )或为( $x\in A$ 且 $x\notin B$ ). 由定义3.1.23和定义3.1.27知 $x\in A\cap B$ 或为 $x\in A\backslash B$ . 若 $x\in A\cap B$ ，则 $x\in B$ ，由习题3.1.7知 $x\in (A\backslash B)\cup B$ ；若 $x\in A\backslash B$ ，由习题3.1.7知 $x\in (A\backslash B)\cup B$ . 所以对所有对象x如果 $x\in A$ ，那么 $x\in (A\backslash B)\cup B$ ，由定义3.1.15知 $A\subseteq (A\backslash B)\cup B$ .

如果 $x\in B$ ，由习题3.1.7知有 $B\subseteq (A\backslash B)\cup B$ . 由 $A\subseteq (A\backslash B)\cup B$ 和 $B\subseteq (A\backslash B)\cup B$ 以及习题3.1.7知 $A\cup B\subseteq(A\backslash B)\cup B$ . 这就说明了当 $A\cup B\ne\emptyset$ 时 $(A\backslash B)\cup B\ne\emptyset$ . 对任意对象y，如果 $y\in(A\backslash B)\cup B$ ，由公理3.4知 $y\in(A\backslash B)$ 或者 $y\in B$ . 若 $y\in(A\backslash B)$ ，由定义3.1.27知 $y\in A$ ，进而由公理3.4知 $y\in A\cup B$ ；若 $y\in B$ ，进而由公理3.4知 $y\in A\cup B$ . 所以对任意对象y如果 $y\in(A\backslash B)\cup B$ ，那么 $y\in A\cup B$ . 由定义3.1.15知 $(A\backslash B)\cup B\subseteq A\cup B$ . 由此我们证明了当 $A\cup B\ne\emptyset$ 时我们有 $A\cup B=(A\backslash B)\cup B$ .

当 $A\cup B=\emptyset$ 时，根据上面的论证易用反证法证明 $(A\backslash B)\cup B=\emptyset$ ，此时仍有 $A\cup B=(A\backslash B)\cup B$ .

综上，我们有 $A\cup B=(A\backslash B)\cup B$ .

进一步我们证明 $B=(B\cap A)\cup(B\backslash A)$ ，由命题3.1.28(g)中 $A\cup(X\backslash A)=X$ 的相似论证过程我们知道 $B=(B\cap A)\cup(B\backslash A)$ 是成立的.

综上，有 $A\cup B=(A\backslash B)\cup B=(A\backslash B)\cup (B\cap A)\cup(B\backslash A)$ .

容易证明 $A\backslash B$ 、 $B\backslash A$ 和 $A\cap B$ 两两之间都是不交的.

3.1.11 证明：替换公理中的性质Q(x,y)为：P(x)且y=x. 此时容易证明集合 $\{x\in X : P(x)\}=\{y : Q(x,y)\text{ is true for some }x\in X\}$ .（这是由于公理3.6表述中字眼“存在至多一个”，也就是说可以“不存在”. 但是实际上我们使用替换公理时通常为“恰有一个”，甚至有的书上的替换公理的陈述也为“恰有一个”. 于是我们容易知道空集可以使用公理3.6且对空集使用公理3.6得到的仍为空集.）

文内补充

1.有关集合论的命题证明.

有关集合论的命题证明的推理过程对命题逻辑有所要求，若推理过程有不明白的地方，多可能是命题逻辑不熟悉.

2.由定义3.1.1我们知：如果x是一个对象且X是一个集合，那么

$x\,\,is\,\,an\,\,element\left(object\right)\,\,of\,\,X\Longleftrightarrow x\in X$

$x\,\,isn't\,\,an\,\,element\left(object\right)\,\,of\,\,X\Longleftrightarrow x\notin X$

而对任何对象x和任何集合X，x是否是X的一个元素是确定的. 换句话说， $x\in X$ 和 $x\notin X$ 中只有一个成立而另一个不成立. 不会出现两者都成立(这显然是矛盾的)或两者都不成立的情况出现.

3.集合的相等：我们说集合A等于集合B(A=B)，是说A的每个元素都是B的元素而且B的每个元素都是A的元素. 即对任何对象x，有 $x\in A\Longleftrightarrow x\in B$ . 即对任何对象x，有 $x\in A\Longrightarrow x\in B$ 和 $x\in B\Longrightarrow x\in A$ . 当集合A不是空集时，我们知道论证 $x\in A\Longrightarrow x\in B$ 和 $x\in A\Longrightarrow x\in B$ 成立的过程是有效的，确实有A的每个元素都是B的元素而且B的每个元素都是A的元素，即A=B. 当A为空集时，论证 $x\in A\Longrightarrow x\in B$ 成立的过程变得是空真的，但论证 $x\in B\Longrightarrow x\in A$ 成立的过程保证了B此时也是空集. 因为假如集合B不是空集，由 $x\in B\Longrightarrow x\in A$ 知道集合A也不是空集，这就与A是空集矛盾.

所以我们证明两个集合A,B相等时，只需要证明对任何对象x， $x\in A\Longrightarrow x\in B$ 和 $x\in B\Longrightarrow x\in A$ ，不需要担心A或B为空集使得论证变成空真的而出现 $A\ne B$ 的情况. 所以上面许多习题的解答可以简化成只有论证对任何对象x， $x\in A\Longrightarrow x\in B$ 和 $x\in B\Longrightarrow x\in A$ 成立的部分.

4.如果有两个集合 $\emptyset$ 和 $\emptyset'$ 都是空集，那么 $\emptyset=\emptyset'$ . 即只有一个空集.

证明：直接证明的方法与引理3.1.6证明的过程类似. 由于 $\emptyset$ 和 $\emptyset'$ 都是空集，则对一切对象x都有 $x\notin\emptyset$ 和 $x\notin\emptyset'$ . 于是，有 $x\in\emptyset\Longrightarrow x\in\emptyset'$ 和 $x\in\emptyset'\Longrightarrow x\in\emptyset$ 空真地成立，即对一切对象x有 $x\in\emptyset\Longleftrightarrow x\in\emptyset'$ (两者皆假). 根据定义3.1.4有 $\emptyset=\emptyset'$ .

反证法：假如 $\emptyset\ne\emptyset'$ ，则存在对象x使得 $x\in\emptyset\nLeftrightarrow x\in\emptyset'$ ，说明存在对象x使得 $x\in\emptyset$ 为真且 $x\in\emptyset'$ 为假，或者 $x\in\emptyset$ 为假且 $x\in\emptyset'$ 为真. 但是无论哪种情况都说明 $\emptyset$ 和 $\emptyset'$ 不都是空集，这与前提矛盾，故假设不成立.

5.恰有一个由对象a构成的单元素集{a}.

证明：假设单元素集{b}也是由对象a构成的，即 $a\in\left\{b\right\}$ . 我们来证明{a}={b}. 由公理3.3知{b}是一个由对象b构成的单元素集，又因为 $a\in\left\{b\right\}$ ，我们知有a=b.

对任何对象x，如果 $x\in\left\{a\right\}$ ，由公理3.3知x=a. 由于a=b，则x=b，再由公理3.3知 $x\in\left\{b\right\}$ . 即证明了对任何对象x， $x\in\left\{a\right\}\Longrightarrow x\in\left\{b\right\}$ .

同理可证对任何对象x， $x\in\left\{b\right\}\Longrightarrow x\in\left\{a\right\}$ .

由定义3.1.4知{a}={b}.

这里证明的关键是对象x相等要满足相等的四条公理. 在数学中，任何数学对象的相等都要满足其四条公理，不然这个相等定义是不符合逻辑的，怪异的.

6.恰有一个由对象a,b构成的双元素集{a,b}.

证明：与上面证明“恰有一个由对象a构成的单元素集{a}”类似，我们假设双元素集{c,d}也是由对象a,b构成的，即 $a\in\left\{c,d\right\}$ 且 $b\in\left\{c,d\right\}$ . 接下来的证明与证明“恰有一个由对象a构成的单元素集{a}”类似，只不过要分类讨论，但最终有对任何对象x， $x\in\left\{a,b\right\}\Longleftrightarrow x\in\left\{c,d\right\}$ . 所以{a,b}={c,d}.

7.{a,b}={b,a}以及{a,a}={a}.

由公理3.3和定义3.1.4知道这是显然的.

8. $\emptyset\ne\left\{\emptyset\right\}$ .

证明：由公理3.1知 $\emptyset$ 是一个对象，由公理3.3知存在集合 $\left\{\emptyset\right\}$ 并且 $\emptyset\in\left\{\emptyset\right\}$ . 而由公理3.2知 $\emptyset\notin\emptyset$ ，说明并非对所有对象x有 $x\in\left\{\emptyset\right\}\Longleftrightarrow x\in\emptyset$ . 由定义3.1.4知 $\emptyset\ne\left\{\emptyset\right\}$ .

9.集合的双并运算(公理3.4)满足代入公理.

证明：设 $A_0,A_1,B_0,B_1$ 都是集合并且 $A_0=A_1$ 和 $B_0=B_1$ ，那么有 $A_0\cup B_0=A_1\cup B_0$ 和 $A_0\cup B_0=A_0\cup B_1$ .

对于任何对象x，如果 $x\in A_0\cup B_0$ ，由公理3.4知 $x\in A_0$ 或者 $x\in B_0$ . 如果 $x\in A_0$ ，由 $A_0=A_1$ 则有 $x\in A_1$ ，所以有 $x\in A_1$ 或者 $x\in B_0$ ，再由公理3.4知 $x\in A_1\cup B_0$ ；如果 $x\in B_0$ ，所以有 $x\in A_1$ 或者 $x\in B_0$ ，由公理3.4知 $x\in A_1\cup B_0$ . 由定义3.1.15知 $A_0\cup B_0\subseteq A_1\cup B_0$ . 同理可证 $A_1\cup B_0\subseteq A_0\cup B_0$ . 由定义3.1.4知 $A_0\cup B_0=A_1\cup B_0$ .

同理可证 $A_0\cup B_0=A_0\cup B_1$ .

10.子集和真子集的概念遵从代入公理.

证明：设 $A_0,A_1,B_0,B_1$ 都是集合并且 $A_0=A_1$ 和 $B_0=B_1$ ，那么有：如果 $A_0\subseteq B_0$ 那么 $A_1\subseteq B_0$ 和如果 $A_0\subseteq B_0$ 那么 $A_0\subseteq B_1$ . 如果 $A_0\subsetneq B_0$ 那么 $A_1\subsetneq B_0$ 和如果 $A_0\subsetneq B_0$ 那么 $A_0\subsetneq B_1$ .

已知 $A_0\subseteq B_0$ . 如果 $A_0=\emptyset$ ，由 $A_0=A_1$ 知 $A_1=\emptyset$ ，则显然有 $A_1\subseteq B_0$ ；如果 $A_0\ne\emptyset$ ，由 $A_0=A_1$ 知 $A_1\ne\emptyset$ 并且对任何对象x，如果 $x\in A_1$ ，那么 $x\in A_0$ ，再由 $A_0\subseteq B_0$ 知如果 $x\in A_0$ ，那么 $x\in B_0$ ，所以如果 $x\in A_1$ ，那么 $x\in B_0$ ，由定义3.1.15知 $A_1\subseteq B_0$ . 于是如果 $A_0\subsetneq B_0$ ，那么有 $A_0\subseteq B_0$ 并且 $A_0\ne B_0$ ，再由 $A_0=A_1$ 知 $A_1\subseteq B_0$ 并且 $A_1\ne B_0$ ，所以 $A_1\subsetneq B_0$ .

已知 $A_0\subseteq B_0$ . 如果 $A_0=\emptyset$ ，显然有 $A_0\subseteq B_1$ ；如果 $A_0\ne\emptyset$ ，由 $A_0\subseteq B_0$ 以及定义3.1.15知对任何对象x如果 $x\in A_0$ 那么 $x\in B_0$ ，由 $B_0=B_1$ 和定义3.1.4知对任何对象x如果 $x\in B_0$ 那么 $x\in B_1$ ，所以有对任何对象x如果 $x\in A_0$ 那么 $x\in B_1$ ，由定义3.1.15知 $A_0\subseteq B_1$ . 于是如果 $A_0\subsetneq B_0$ ，那么有 $A_0\subseteq B_0$ 并且 $A_0\ne B_0$ ，再由 $B_0=B_1$ 知 $A_0\subseteq B_1$ 并且 $A_0\ne B_1$ ，由定义3.1.15知 $A_0\subsetneq B_1$ .

11.对任意集合A，总有 $\emptyset\subseteq A$ 和 $A\subseteq A$ .

证明：对任意集合A都有 $\emptyset\subseteq A$ 成立. 假设不然，说明存在集合A使得 $\emptyset\subseteq A$ 不成立，由定义3.1.15知存在集合A使得存在对象x， $x\in\emptyset$ 并且 $x\notin A$ ，由公理3.2知这样的对象不存在，也就不存在这样的集合A使得 $\emptyset\subseteq A$ 不成立，所以假设不成立. 故对任意集合A都有 $\emptyset\subseteq A$ 成立.

这个 $\emptyset\subseteq A$ 说明了我们考虑一个集合A是否是另一个集合B的子集时，只需论证对任意对象x，有 $x\in A\Longrightarrow x\in B$ ，而无需担心论证成空论证(即A为空集时)，因为此时恒有 $A=\emptyset\subseteq B$ 成立. 这点和集合的相等是一样的. 因为集合的相等定义可用定义3.1.15来表述如下：

由定义3.1.15和定义3.1.4我们知道集合相等的定义还可以表述为：集合A和集合B相等当且仅当 $A\subseteq B$ 并且 $B\subseteq A$ . 这个表述是成立的，因为我们在命题3.1.18中证明了如果 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$ 那么 $A=B$ .

正如我们上面所讨论的，我们只需要考虑A不是空集的情况下有：对任意对象x，有 $x\in A\Longrightarrow x\in A$ . 这是显然成立的，所以 $A\subseteq A$ 成立.

12. $\left\{x\in A:P(x)\right\}\subseteq A$ . 并且公理3.5满足代入公理.

证明：由公理3.5知，对任何对象y，如果 $y\in\left\{x\in A:P(x)\right\}$ ，那么有 $y\in A$ 且P(y)成立，则有 $y\in A$ . 由定义3.1.15知 $\left\{x\in A:P(x)\right\}\subseteq A$ .

对任何对象y，如果 $y\in\left\{x\in A:P(x)\right\}$ ，由公理3.5知有 $y\in A$ 且P(y)成立，由定义3.1.4和 $A=A'$ 则有 $y\in A'$ 且P(y)成立，由公理3.5知 $y\in\left\{x\in A':P(x)\right\}$ ，由定义3.1.15知 $\left\{x\in A:P(x)\right\}\subseteq\left\{x\in A':P(x)\right\}$ . 同理可证 $\left\{x\in A':P(x)\right\}\subseteq\left\{x\in A:P(x)\right\}$ . 所以 $\left\{x\in A:P(x)\right\}=\left\{x\in A':P(x)\right\}$ . 所以公理3.5满足代入公理. 由此也知交运算满足代入公理.

13.两空集是不交的，但不是相异的.

证明：假设两空集是交的，说明 $\emptyset\cap\emptyset\ne\emptyset$ ，由引理3.1.6知存在对象x使得 $x\in\emptyset\cap\emptyset$ ，由定义3.1.23知 $x\in\emptyset\,\,and\,\,x\in\emptyset$ ，由公理3.2知这是不可能的，所以两空集是不交的.

文内补充的第4问证明了所有空集都相等，即空集只有一个，所以空集不是相异的.

14.自然数的公理化定义和构造性定义.

正如博文(《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§3.1解答)中所说，Peano公理定义的自然数是公理化的，没有定义到自然数的相等；而在纯粹集合论中，我们可以构造性的定义出自然数： $0:=\emptyset$ 和集X的后继 $X++:=X\cup\left\{X\right\}$ . 并且由ZFC公理知道存在一个最小归纳集，其满足Peano公理每一条. 由此自然数相等的自反性、对称性和传递性就是集合相等的自反性、对称性和传递性所保证的了；并且可以验证后继运算满足代入公理，也即对于自然数a,b若a=b则a++=b++. 进而自然数的加法和乘法可以用归纳法证明满足代入公理.

《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§3.1解答

习题3.1

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