《陶哲轩实分析》(中文第一版)——§2.3解答

习题2.3

2.3.1 证明：首先证明对任何自然数n都有 $n\times 0=0$ . 先看基础情形，由定义2.3.1知有 $0\times 0=0$ . 现归纳假设 $n\times 0=0$ ，由定义2.3.1和假设知 $\left(n++\right)\times 0=n\times 0+0=0+0=0$ . 这就完成了归纳.

再证明对任何自然数n,m有 $n\times \left(m++\right)=n\times m+n$ . 先看基础情形，由定义2.3.1知 $0\times \left(m++\right)=0=0\times m+0$ . 现假设 $n\times \left(m++\right)=n\times m+n$ ，由定义2.3.1知 $\left(n++\right)\times \left(m++\right)=n\times \left(m++\right)+\left(m++\right)$ ，再由归纳假设和引理2.2.3和定义2.2.1知 $n\times \left(m++\right)+\left(m++\right)=n\times m+n+\left(m++\right)=n\times m+m+\left(n++\right)$ ，再由定义2.3.1有 $n\times m+m+\left(n++\right)=\left(n++\right)\times m+\left(n++\right)$ . 这就完成了归纳.

我们现在来证明对所有自然数n,m有 $n \times m=m \times n$ . 对n进行归纳，由定义2.3.1和 $n\times 0=0$ 有 $0\times m=0=m\times 0$ . 现归纳假设有 $n\times m=m\times n$ ，由定义2.3.1和 $n\times \left(m++\right)=n\times m+n$ 和假设我们有 $\left(n++\right)\times m=n\times m+m=m\times n+m=m\times \left(n++\right)$ . 这就完成了归纳.

2.3.2 证明：由定义2.3.1知若 $n=0$ 则 $n\times m=0\times m=0$ ；由习题2.3.1中 $n\times 0=0$ 知若 $m=0$ 则 $n\times m=n\times 0=0$ . 所以如果n,m中至少有一个为0，那么 $n\times m=0$ .

如果 $n\times m=0$ . 我们假设 $n\ne 0$ 且 $m\ne 0$ ，即n,m都为正数. 由引理2.2.10知存在自然数a,b使得 $a++=n$ 和 $b++=m$ . 故 $n\times m=\left(a++\right)\times \left(b++\right)$ . 由定义2.3.1和 $n\times \left(m++\right)=n\times m+n$ 知 $\left(a++\right)\times \left(b++\right)=a\times \left(b++\right)+\left(b++\right)=a \times b+a+m$ . 由两自然数之和是自然数与两自然数之积也是自然数知 $a \times b+a+m$ 是自然数，由命题2.2.8知 $a \times b+a+m$ 是正的，则 $n\times m\ne 0$ ，这与命题条件矛盾，故假设不成立，所以 $n=0$ 或 $m=0$ .

2.3.3 证明：对b进行归纳. 由定义2.3.1和 $n\times 0=0$ 有 $\left(a\times 0\right)\times c=0\times c=0$ ，以及有 $a\times\left(0\times c\right)=a\times 0=0$ . 这就完成了归纳奠基.

假设有 $\left(a\times b\right)\times c=a\times\left(b\times c\right)$ ，由定义2.3.1和 $n\times \left(m++\right)=n\times m+n$ 和命题2.3.4和假设有 $\left(a\times \left(b++\right)\right)\times c=\left(a\times b+a\right)\times c=\left(a\times b\right)\times c+a\times c=a\times\left(b\times c\right)+a\times c$ ，并且有 $a\times\left(\left(b++\right)\times c\right)=a\times\left(b\times c+c\right)=a\times\left(b\times c\right)+a\times c$ . 所以 $\left(a\times \left(b++\right)\right)\times c=a\times\left(\left(b++\right)\times c\right)$ ，这就完成了归纳.

2.3.4 证明：由定义2.3.11和命题2.3.4知 $\left(a+b\right)^2=\left(a+b\right)\left(a+b\right)=\left(a+b\right)a+\left(a+b\right)b=a^2+ba+ab+b^2$ ，再由引理2.3.2知 $a^2+ba+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$ . 所以 $\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$ .

2.3.5 证明：考虑基础情形，显然有 $0=0\times q+0$ . 归纳假设对自然数n命题成立，即有 $n=m\times q+r$ 且 $0\leqslant r<q$ (m,r为自然数，q为正数). $n++=\left(m\times q+r\right)++=m\times q+\left(r++\right)$ . 由 $0\leqslant r<q$ 和命题2.2.12(e)知 $r++\leqslant q$ . 若 $r++=q$ ，则 $n++=m\times q+\left(r++\right)=m\times q+q=\left(m++\right)\times q=\left(m++\right)\times q+0$ ；若 $r++<q$ ，则 $n++==m\times q+\left(r++\right)$ . 所以在任何情况下都有对n++命题成立. 这就完成了归纳.

文内补充

1.证明两个自然数的积仍是自然数.

证明：设n,m是自然数. 我们可以对任一变量进行归纳，比如对m进行归纳. 归纳基始——由定义2.3.1知 $0\times n=0$ ，所以 $0\times n$ 是自然数. 归纳步骤——假设 $m\times n$ 的和是自然数. 由定义2.3.1知 $\left(m++\right)\times n=\left(m\times n\right)+m$ ，再由两自然数的和是自然数和归纳假设知 $\left(m\times n\right)+m$ 是自然数，所以 $\left(m++\right)\times n$ 也是自然数. 这就完成了归纳. 其说明 $0\times n,1\times n,...$ 结果都是自然数. 由n的任意性，我们知道任意两个自然数的积仍是自然数.